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- 2021-05-13 发布
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2014 年辽宁高考数学(文、理)16 题的几种解法
大连 48 中学-----何兆强
下面我们给出 2014 年辽宁高考数学(文、理)16 题的几种解法,展现思维
的全过程和不同方法技巧。
(理)16. 对于 0c ,当非零实数 a,b 满足 2 24 2 4 0a ab b c ,且使| 2 |a b 最
大时, 3 4 5
a b c
的最小值为 .
(文)16. 对于 0c ,当非零实数 a,b 满足 2 24 2 0a ab b c ,且使| 2 |a b 最
大时, 1 2 4+a b c
的最小值为 .
题目(理)拿到手后,分析已知条件,关键是找到 a、b 之间的关系、a、c 之间的关系,
这样就可以把要求的 3 4 5
a b c
的最小值问题看成关于 1
a
的二次函数,进而利用配方法求解
最小值。
方法一:设置 a、b 关系法
解:设b a ,带入 2 24 2 4 0a ab b c ,得到 2
24 2 4
ca
①,不妨将| 2 |a b
平方,再讲①带入,可得:
2
22 2
2
2
2 1| 2 | 2 24 184 2 4 422
a b a c c
,由二次函数特点,显然
当 1 3=2 8
时,即 2= 3
时| 2 |a b 有最大值,此时说明 2
3b a ②.
将 2= 3
带入①知, 240
9c a ③
再将②、③带入 3 4 5
a b c
,整理可得,
2
2
3 4 5 9 3 9 1 4= 28 8 3a b c a a a
,从而
3 4 5
a b c
的最小值为-2.
方法二:方程法
解: 2 24 2 4 0a ab b c 可变形为 226 3 2 2 0b a b b a b c ,把此式看成
关于 b 的一元二次方程,必有解。由根的判别式可得:
2 2=9 2 24 2 0a b a b c ,解得: 2 242 15a b c ,显然 2
max
24| 2 | 15a b c ,
讲其写成 215 2
24
a bc
①后带入 2 24 2 4 0a ab b c 中可得:
22 24 6 9 = 2 3 0a ab b a b ,从而得到说明 2
3b a ②,将②带入①得 240
9c a ,以
下同方法一。
方法三:数形结合法
解:把二元二次方程 2 24 2 4 0a ab b c (c 为常数)看成某条曲线,把
| 2 || 2 | 5
5
a ba b 看成曲线上一点 ,a b 到直线 2 0a b 距离的 5 倍,由此问题可
转化成曲线上一点到直线的最大距离问题。平移直线 2 0a b 直至与曲线
2 24 2 4 0a ab b c 相切,基于这种想法,我们需要联系方程组,
2 24 2 4 0
2
a ab b c
b a m
,消去变量 b,得到关于 a 的一元二次方程,
2 224 18 4 0a m a m c ,令 2 2324 4 24 4 0m m c ,即 28 5c m ①,而
方程 2 224 18 4 0a m a m c 的唯一解是 3
8
ma ②,即 8
3m a 带入 2b a m 中
可得 2
3b a ,再由①、②可得 240
9c a ③,以下同方法一。
方法四:柯西不等式法
解: 2 24 2 4 0a ab b c 可变形为:
2
215
4 4 16
c ba b
,由柯西不等式知,
22 22
22 2 26 15 6 6 152 + 2 + 2 24 4 16 4 415 15 15
c b ba b a b a b
,即 2 242 15a b c ,当且仅当
15
4 4
62
15
ba b
时取“=”,即 2
3b a ,带入
2 24 2 4 0a ab b c 中,可得 240
9c a ,以下同方法一。
题目(文)拿到手后,分析已知条件,关键是利用均值不等式找到 a、b 之间的关系、a、
c 之间的关系,这样就可以把要求的 1 2 4+a b c
的最小值问题看成关于 1
a
的二次函数,进而
利用配方法求解最小值。
文科这道题目理科以上四种方法均适用,但不必如此麻烦,我们给出均值不等式方法,
或者更加巧妙的轮换式。
解 : 2 24 2 0a ab b c 可 写 成 22 6a b c ab , 利 用 均 值 不 等 式 ,
222 2
a ba b
,即 2 232 6 24a b ab c a b c ,那么 22 4a b c ,即
2
max2 4a b c ,当且仅当 2b a 时取“=”,将 2b a 带入 2 24 2 0a ab b c 可得
24c a .
2
2
1 2 4 1 2 1+ = 1 1a b c a a a
,从而 1 2 4+a b c
的最小值为-1.