2013高考理科数学试题分类汇编14导数与积分 23页

‎2013年全国高考理科数学试题分类汇编14：导数与积分 ‎ ‎ 一、选择题 ．（2013年高考湖北卷（理））已知为常数,函数有两个极值点,则 （　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎ ．（2013年新课标Ⅱ卷数学（理））已知函数,下列结论中错误的是 （　　）‎ A．R, B．函数的图像是中心对称图形 C．若是的极小值点,则在区间上单调递减 D．若是的极值点,则 ‎【答案】C ‎ ．（2013年高考江西卷（理））若则的大小关系为 （　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎ ．（2013年辽宁数学（理））设函数 （　　）‎ A．有极大值,无极小值 B．有极小值,无极大值 ‎ C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值 ‎【答案】D ‎ ．（2013年福建数学（理））设函数的定义域为R,是的极大值点,以下结论一定正确的是 （　　）‎ A． B．是的极小值点 ‎ C．是的极小值点 D．是的极小值点 ‎ ‎【答案】D ‎ ．（2013年高考北京卷（理））直线l过抛物线C: x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于 （　　）‎ A． B．‎2 ‎C． D．‎ ‎【答案】C ‎ ．（2013年浙江数学（理））已知为自然对数的底数,设函数,则 （　　）‎ A．当时,在处取得极小值 B．当时,在处取得极大值 ‎ C．当时,在处取得极小值 D．当时,在处取得极大值 ‎ ‎【答案】C ‎ 二、填空题 ．（2013年高考江西卷（理））设函数在内可导,且,则______________‎ ‎【答案】2 ‎ ．（2013年高考湖南卷（理））若_________.‎ ‎【答案】3 ‎ ．（2013年广东省数学（理））若曲线在点处的切线平行于轴,则______.‎ ‎【答案】 ‎ 三、解答题 ．（2013年新课标Ⅱ卷数学（理））已知函数.‎ ‎(Ⅰ)设是的极值点,求,并讨论的单调性;‎ ‎(Ⅱ)当时,证明.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ．（2013年辽宁数学（理））已知函数 ‎(I)求证: ‎ ‎(II)若恒成立,求实数取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（2013年江苏卷）设函数,,其中为实数.‎ ‎(1)若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围;‎ ‎(2)若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论.‎ ‎【答案】解:(1)由即对恒成立,∴ ‎ 而由知<1 ∴ ‎ 由令则 ‎ 当<时<0,当>时>0, ‎ ‎∵在上有最小值 ‎ ‎∴>1 ∴> ‎ 综上所述:的取值范围为 ‎ ‎(2)证明:∵在上是单调增函数 ‎ ‎∴即对恒成立, ‎ ‎∴ ‎ 而当时,> ∴ ‎ 分三种情况: ‎ ‎(Ⅰ)当时, >0 ∴f(x)在上为单调增函数 ‎ ‎∵ ∴f(x)存在唯一零点 ‎ ‎(Ⅱ)当<0时,>0 ∴f(x)在上为单调增函数 ‎ ‎∵<0且>0 ‎ ‎∴f(x)存在唯一零点 ‎ ‎(Ⅲ)当0<时,,令得 ‎ ‎∵当0<<时,>0;>时,<0 ‎ ‎∴为最大值点,最大值为 ‎ ‎①当时,,,有唯一零点 ‎ ‎②当>0时,0<,有两个零点 ‎ 实际上,对于0<,由于<0,>0 ‎ 且函数在上的图像不间断 ∴函数在上有存在零点 ‎ 另外,当,>0,故在上单调增,∴在只有一个零点 ‎ 下面考虑在的情况,先证<0 ‎ 为此我们要证明:当>时,>,设 ,则,再设 ‎ ‎∴ ‎ 当>1时,>-2>0,在上是单调增函数 ‎ 故当>2时,>>0 ‎ 从而在上是单调增函数,进而当>时,>>0 ‎ 即当>时,>, ‎ 当0<<时,即>e时,<0 ‎ 又>0 且函数在上的图像不间断, ‎ ‎∴函数在上有存在零点,又当>时,<0故在上是单调减函数∴函数在只有一个零点 ‎ 综合(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)知:当时,的零点个数为1;当0<<时,的零点个数为2 ‎ ．（2013年广东省数学（理））设函数(其中).‎ ‎(Ⅰ) 当时,求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅱ) 当时,求函数在上的最大值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) 当时, , ‎ 令,得, ‎ 当变化时,的变化如下表:‎ 极大值 极小值 ‎ 右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,. ‎ ‎(Ⅱ) ,令,得,, ‎ 令,则,所以在上递增, ‎ 所以,从而,所以 ‎ 所以当时,;当时,; ‎ 所以 ‎ 令,则,令,则 ‎ 所以在上递减,而 ‎ 所以存在使得,且当时,,当时,, ‎ 所以在上单调递增,在上单调递减. ‎ 因为,,所以在上恒成立,当且仅当时取得“”. ‎ 综上,函数在上的最大值. ‎ ．（2013年高考江西卷（理））已知函数,为常数且.‎ ‎(1) 证明:函数的图像关于直线对称;‎ ‎(2) 若满足,但,则称为函数的二阶周期点,如果有两个二阶周期点试确定的取值范围;‎ ‎(3) 对于(2)中的和, 设x3为函数f(f(x))的最大值点,A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(x3,0),记△ABC的面积为S(a),讨论S(a)的单调性.‎ ‎【答案】(1)证明:因为,有, ‎ 所以函数的图像关于直线对称. ‎ ‎(2)解:当时,有 [来源:Zxxk.Com]‎ 所以只有一个解,又,故0不是二阶周期点. ‎ 当时,有 ‎ 所以有解集,又当时,,故中的所有点都不是二阶周期点. ‎ 当时,有 ‎ 所以有四个解,又, ‎ ‎,故只有是的二阶周期点.综上所述,所求 的取值范围为. ‎ ‎(3)由(2)得, ‎ 因为为函数的最大值点,所以或. ‎ 当时,.求导得:, ‎ 所以当时,单调递增,当时单调递减; ‎ 当时,,求导得:, ‎ 因,从而有, ‎ 所以当时单调递增. ‎ ．（2013年重庆数学（理））设,其中,曲线在点处的切线与轴相交于点.‎ ‎(1)确定的值; (2)求函数的单调区间与极值.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（2013年高考四川卷（理））已知函数,其中是实数.设,为该函数图象上的两点,且.‎ ‎(Ⅰ)指出函数的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)若函数的图象在点处的切线互相垂直,且,求的最小值;‎ ‎(Ⅲ)若函数的图象在点处的切线重合,求的取值范围.‎ ‎【答案】解:函数的单调递减区间为,单调递增区间为, ‎ 由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为,点B处的切线斜率为,故当点A处的切线与点B处的切垂直时,有. ‎ 当时,对函数求导,得. ‎ 因为,所以, ‎ 所以. ‎ 因此 ‎ 当且仅当==1,即时等号成立. ‎ 所以函数的图象在点处的切线互相垂直时,的最小值为1 ‎ 当或时,,故. ‎ 当时,函数的图象在点处的切线方程为 ‎ ‎,即 ‎ 当时,函数的图象在点处的切线方程为 ‎ ‎,即. ‎ 两切线重合的充要条件是 ‎ 由①及知,. ‎ 由①②得,. ‎ 设, ‎ 则. ‎ 所以是减函数. ‎ 则, ‎ 所以. ‎ 又当且趋近于时,无限增大,所以的取值范围是. ‎ 故当函数的图像在点处的切线重合时,的取值范围是 ‎ ．（2013年高考湖南卷（理））已知，函数.‎ ‎（Ⅰ）记在区间上的最大值为，求的表达式；‎ ‎（Ⅱ）是否存在，使函数在区间内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。‎ 解（Ⅰ）当时，；当时，，因此，‎ 当时，在上单调递减；‎ 当时，在上单调递减；‎ ‎①若则在上单调递减，‎ ‎②若则在上单调递减，在上单调递增.所以 故当时，时，‎ ‎ 综上所述，‎ ‎（Ⅱ）由（I）知，当时，在上单调递减，故不满足要求.‎ 当则在上单调递减，在上单调递增.若存在使曲线在两点处的切线相互垂直，则即 亦即 ‎（*）‎ 由得 故（*）成立等价于集合与集合的交集非空.‎ 因为，所以当且仅当即时，.‎ 综上所述，存在，使函数在区间内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直 ‎，且的取值范围是 ．（2013年福建数学（理））已知函数 ‎(1)当时,求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(2)求函数的极值.‎ ‎【答案】解:函数的定义域为,. ‎ ‎(Ⅰ)当时,,, ‎ ‎, ‎ 在点处的切线方程为, ‎ 即. ‎ ‎(Ⅱ)由可知: ‎ ‎①当时,,函数为上的增函数,函数无极值; ‎ ‎②当时,由,解得; ‎ 时,,时, ‎ 在处取得极小值,且极小值为,无极大值. ‎ 综上:当时,函数无极值 ‎ 当时,函数在处取得极小值,无极大值. ‎ ．（2013年高考新课标1（理））(本小题满分共12分)已知函数=,=,若曲线和曲线都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线 ‎(Ⅰ)求,,,的值;(Ⅱ)若≥-2时,≤,求的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)由已知得, ‎ 而=,=,∴=4,=2,=2,=2; ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,, ‎ 设函数==(), ‎ ‎==, ‎ 有题设可得≥0,即, ‎ 令=0得,=,=-2, ‎ ‎(1)若,则-2<≤0,∴当时,<0,当时,>0,即在单调递减,在单调递增,故在=取最小值,而==≥0, ‎ ‎∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立, ‎ ‎(2)若,则=, ‎ ‎∴当≥-2时,≥0,∴在(-2,+∞)单调递增,而=0, ‎ ‎∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立, ‎ ‎(3)若,则==<0, ‎ ‎∴当≥-2时,≤不可能恒成立, ‎ 综上所述,的取值范围为[1,]. ‎ ．（2013年高考湖北卷（理））设是正整数,为正有理数.‎ ‎(I)求函数的最小值;‎ ‎(II)证明:;‎ ‎(III)设,记为不小于的最小整数,例如,,.令,求的值.‎ ‎(参考数据:,,,)‎ ‎【答案】证明:(I) ‎ 在上单减,在上单增. ‎ ‎ ‎ ‎(II)由(I)知:当时,(就是伯努利不等式了) ‎ 所证不等式即为: ‎ 若,则 ‎ ① ‎ ‎, ‎ ‎,故①式成立. ‎ 若,显然成立. ‎ ‎ ‎ ② ‎ ‎, ‎ ‎,故②式成立. ‎ 综上可得原不等式成立. ‎ ‎(III)由(II)可知:当时, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（2013年高考陕西卷（理））已知函数. ‎ ‎(Ⅰ) 若直线y=kx+1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值; ‎ ‎(Ⅱ) 设x>0, 讨论曲线y=f (x) 与曲线 公共点的个数. ‎ ‎(Ⅲ) 设a 0,m > 0 时, 曲线y=f (x) 与曲线 的公共点个数即方程 根的个数. ‎ 由, ‎ 则 h(x)在 ‎ h(x). ‎ 所以对曲线y=f (x) 与曲线 公共点的个数,讨论如下: ‎ 当m 时,有0个公共点;当m= ,有1个公共点;当m 有2个公共点; ‎ ‎(Ⅲ) 设 ‎ ‎ ‎ 令. ‎ ‎,且 ‎ ‎. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ ．（2013年山东数学（理））设函数(=2.71828是自然对数的底数,).‎ ‎(Ⅰ)求的单调区间、最大值; (Ⅱ)讨论关于的方程根的个数.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ), ‎ 由,解得, ‎ 当时,,单调递减 ‎ 所以,函数的单调递增区间是,单调递减区间是, ‎ 最大值为 ‎ ‎(Ⅱ)令 ‎ ‎(1)当时,,则, ‎ 所以, ‎ 因为, 所以 ‎ 因此在上单调递增. ‎ ‎(2)当时,当时,,则, ‎ 所以, ‎ 因为,,又 ‎ 所以 所以 ‎ 因此在上单调递减. ‎ 综合(1)(2)可知 当时,, ‎ 当,即时,没有零点, ‎ 故关于的方程根的个数为0; ‎ 当,即时,只有一个零点, ‎ 故关于的方程根的个数为1; ‎ 当,即时, ‎ ①当时,由(Ⅰ)知 ‎ ‎ ‎ 要使,只需使,即; ‎ ②当时,由(Ⅰ)知 ‎ ‎; ‎ 要使,只需使,即; ‎ 所以当时,有两个零点,故关于的方程根的个数为2; ‎ 综上所述: ‎ 当时,关于的方程根的个数为0; ‎ 当时,关于的方程根的个数为1; ‎ 当时,关于的方程根的个数为2. ‎ ．（2013年浙江数学（理））已知,函数 ‎(1)求曲线在点处的切线方程;(2)当时,求的最大值.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)由已知得:,且,所以所求切线方程为:,即为:; ‎ ‎(Ⅱ)由已知得到:,其中,当时,, ‎ ‎(1)当时,,所以在上递减,所以,因为; ‎ ‎(2)当,即时,恒成立,所以在上递增,所以,因为 ‎ ‎; ‎ ‎(3)当,即时, ‎ ‎ ,且,即 ‎2‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以,且 ‎ 所以, ‎ 所以; ‎ 由,所以 ‎ ‎(ⅰ)当时,,所以时,递增,时,递减,所以,因为 ‎ ‎,又因为,所以,所以,所以 ‎ ‎ ‎(ⅱ)当时,,所以,因为,此时,当时,是大于零还是小于零不确定,所以 ‎ ‎① 当时,,所以,所以此时; ‎ ‎② 当时,,所以,所以此时 ‎ 综上所述:. ‎ ．（2013年大纲版数学（理））已知函数 ‎(I)若时,,求的最小值;‎ ‎(II)设数列 ‎【答案】‎ ‎ ‎ ．（2013年天津数学（理））已知函数. ‎ ‎(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间; ‎ ‎(Ⅱ) 证明: 对任意的t>0, 存在唯一的s, 使. ‎ ‎(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为, 证明: 当时, 有.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（2013年高考北京卷（理））设L为曲线C:在点(1,0)处的切线.‎ ‎(I)求L的方程;‎ ‎(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.‎ ‎【答案】解: (I)设,则.所以.所以L的方程为. ‎ ‎(II)令,则除切点之外,曲线C在直线的下方等价于. ‎ 满足,且. ‎ 当时,,,所以,故单调递减; ‎ 当时,,,所以,故单调递增. ‎ 所以,(). ‎ 所以除切点之外,曲线C在直线L的下方. ‎ 又解:即变形为,记,则, ‎ 所以当时,,在(0,1)上单调递减; ‎ 当时,,在(1,+∞)上单调递增. ‎ 所以.) ‎