高考数学教学论文 中有关不等式的考点分析及解题策略 8页

高考中有关不等式的考点分析及解题策略 不等式是高中数学的重要内容，是分析、解决有关数学问题的基础与工具．在近年来的高考中,有关不等式的试题都占有较大的比重(涉及不等式的试题一般占总分的12%左右), 考查内容中不仅有不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法,而且注重考查逻辑思维能力、运算能力以及分析问题和解决问题的综合数学能力.有关不等式的题目多数是与函数、方程、数列、三角、解析几何、立体几何及实际问题相互交叉和渗透，而且充分体现出不等式的知识网络所具有的极强的辐射作用。不等式试题高考中形式活泼且多种多样，既有选择题、填空题，又有解答题。‎ 考试大纲要求：‎ 1、 理解不等式的性质及其证明；‎ 2、 掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；‎ 3、 掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；‎ 4、 掌握简单不等式的解法。‎ ‎ 下面结合08年典型考题谈谈有关不等式问题的考点分析及解题策略。‎ 一. 选择及填空题中考点分析及解题策略 ‎【典型考题】‎ ‎1.（天津）已知函数，则不等式的解集是（A）‎ A． 　 B. 　 　C. 　 　D. ‎ ‎2.（江西）若，则下列代数式中值最大的是（A）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.（陕西）“”是“对任意的正数，”的（ A ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4.（浙江）已知，b都是实数，那么“”是“>b”的（D）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎5.（海南）已知，则使得都成立的取值范围是（ B ）‎ A.（0，） B. （0，） C. （0，） D. （0，）‎ ‎6.（上海）不等式的解集是　　　　　．（0，2）‎ ‎7.（山东）若不等式｜3x-b｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围 。‎ ‎（5，7）.‎ ‎8.（江苏）已知，，则的最小值 ．3‎ ‎9.（江西）不等式的解集为 ．‎ ‎10.（全国）．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ D ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点分析及解题策略】‎ 从以上例子可以看出,选择题、填空题主要考查不等式的基本性质、解简单不等式、基本不等式应用、简单转化求参数范围、比较大小等，同时注意把不等式问题的考查与函数等问题的考查相结合。这类题目多属于基础问题，难度不大。解题策略可按解答选择填空题的一般策略进行，如用: 直接法、特殊化法、排除法、验证法、数形结合法等。选择方法时要注意合理、准确、快速，不要“小题大做”，应当思维灵活，不拘一格，以提高解题效率。‎ 一. 解答题中考点分析及解题策略 ‎【典型考题】‎ ‎1（安徽）设数列满足为实数 ‎（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是；‎ ‎（Ⅱ）设，证明：;‎ ‎（Ⅲ）设，证明：‎ ‎(1) 必要性 ： ，‎ ‎ 又 ，即 充分性 ：设 ，对用数学归纳法证明 ‎ 当时，.假设 ‎ 则，且 ‎，由数学归纳法知对所有成立 ‎ (2) 设 ，当时，，结论成立 ‎ 当 时，‎ ‎ ,由（1）知，所以 且 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(3) 设 ，当时，，结论成立 ‎ 当时，由（2）知 ‎ ‎ ‎2．（全国1）设函数．数列满足，．‎ ‎（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；‎ ‎（Ⅱ）证明：；‎ ‎（Ⅲ）设，整数．证明：．‎ 解析：（Ⅰ）证明：，‎ 故函数在区间(0,1)上是增函数；‎ ‎（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，，，‎ 由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立；‎ ‎（ⅱ）假设当时，成立，即 那么当时，由在区间是增函数，得 ‎.而，则，‎ ‎，也就是说当时，也成立；‎ 根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立.‎ ‎ （Ⅲ）证明：由．可得 1， 若存在某满足，则由⑵知：‎ 2， 若对任意都有，则 ‎，即成立.‎ ‎3．（全国2）设数列的前项和为．已知，，．‎ ‎（Ⅰ）设，求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的取值范围．‎ 解析：（Ⅰ）依题意，，即，‎ 由此得． 4分 因此，所求通项公式为 ‎，．① 6分 ‎（Ⅱ）由①知，，‎ 于是，当时，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，‎ ‎．‎ 又．‎ 综上，所求的的取值范围是． 12分 ‎4．（山东）已知函数其中n∈N*,a为常数.‎ ‎（Ⅰ）当n=2时，求函数f(x)的极值；‎ ‎（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x≥2时，有f(x)≤x-1.‎ 解析：（Ⅰ）由已知得函数f(x)的定义域为{x|x＞1}，‎ ‎ 当n=2时，‎ ‎ 所以 ‎ ‎（1）当a＞0时，由f(x)=0得 ‎＞1，＜1，‎ 此时 f′（x）=.‎ 当x∈（1，x1）时，f′（x）＜0,f(x)单调递减；‎ 当x∈（x1+∞）时，f′（x）＞0, f(x)单调递增.‎ ‎（2）当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，所以f(x)无极值.‎ 综上所述，n=2时，‎ 当a＞0时，f(x)在处取得极小值，极小值为 当a≤0时，f(x)无极值.‎ ‎（Ⅱ）证法一：因为a=1,所以 ‎ 当n为偶数时，‎ 令 则 g′（x）=1+＞0（x≥2）.‎ 所以当x∈[2,+∞]时，g(x)单调递增，‎ 又 g(2)=0‎ 因此≥g(2)=0恒成立，‎ ‎ 所以f(x)≤x-1成立.‎ 当n为奇数时，‎ ‎ 要证≤x-1,由于＜0，所以只需证ln(x-1) ≤x-1,‎ ‎ 令 h(x)=x-1-ln(x-1),‎ ‎ 则 h′（x）=1-≥0（x≥2）,‎ ‎ 所以 当x∈[2，+∞]时，单调递增，又h(2)=1＞0，‎ ‎ 所以当x≥2时，恒有h(x) ＞0,即ln（x-1）＜x-1命题成立.‎ 综上所述，结论成立.‎ 证法二：当a=1时，‎ ‎ 当x≤2，时，对任意的正整数n，恒有≤1，‎ ‎ 故只需证明1+ln(x-1) ≤x-1.‎ ‎ 令 ‎ 则 ‎ 当x≥2时，≥0，故h(x)在上单调递增，‎ ‎ 因此　　当x≥2时，h(x)≥h(2)=0，即1+ln(x-1) ≤x-1成立.‎ ‎ 故　　当x≥2时，有≤x-1.‎ ‎ 即f（x）≤x-1.‎ ‎5.( 上海)已知函数f(x)＝2x－ ‎⑴若f(x)＝2，求x的值 ‎⑵若2t f(2t)+m f(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围 解析：（1）当时，；当时，‎ 由条件可知，即 解得 ‎ ‎（2）当时，‎ 即，，‎ ‎，‎ 故的取值范围是 ‎6.（江苏）设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为 ▲ ‎ ‎【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论取何值，≥0显然成立；当x＞0 即时，≥0可化为，‎ 设，则， 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而≥4；‎ 当x＜0 即时，≥0可化为，‎ ‎ 在区间上单调递增，因此，从而≤4，综上＝4‎ ‎【考点分析及解题策略】‎ 从以上例子可以看出, 今年高考中有关不等式的解答题主要考查的有证明不等式、含参数的不等式恒成立问题 ‎、最值型综合题以及实际应用题等.试题寓不等式的证明、解不等式、求参数范围于函数、数列、几何等问题之中,并有机融合、交互渗透,知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高,这类问题也成为考查数学思想方法、数学能力及素质的主阵地。此类题目多属于中档题甚至是难题。‎ 解答策略：（1）证明不等式时要注意化归思想的应用，其过程是一个把已知条件向要证结论的一个转化过程，变形转化时要注意通过对已知条件和要证结论的分析、比较，逐步缩小差异，探寻解决问题的思路和方法，要做到有的放矢！要注意证明不等式的基本方法的应用，如：比较法、分析法、综合法、放缩法、数学归纳法、函数单调性法等。（2）求参数的取值范围问题，一般可考虑对原不等式可实施变量分离，最终形成g(t)>f(x)或g(t)f(x)恒成立，只需g(t)>f(x)max；对于g(t)