历届数学高考试题精选——导数及其应用 50页

历届高考中的“导数”试题精选(文科自我测试)‎ 一、选择题：（每小题5分，计50分）‎ ‎1.(2005全国卷Ⅰ文)函数,已知在时取得极值,则=( ) ‎ ‎（A）2 （B）3 （C）4 （D）5‎ ‎2．(2008海南、宁夏文)设，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．（2005广东）函数是减函数的区间为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．（0，2）‎ ‎4.（2008安徽文）设函数 则（ ）‎ A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数 ‎5．（2007福建文、理)已知对任意实数x有f(－x)=－f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0时，f’(x)>0，g’(x)>0，‎ 则x<0时（ ）‎ A f’(x)>0，g’(x)>0 B f’(x)>0，g’(x)<0‎ C f’(x)<0，g’(x)>0 D f’(x)<0，g’(x)<0‎ ‎6.(2008全国Ⅱ卷文)设曲线在点（1,）处的切线与直线平行,则( )‎ A．1 B． C． D．‎ ‎7．（2006浙江文）在区间上的最大值是（ ）‎ ‎(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4‎ x y o A x y o D x y o C x y o B ‎8．（2004湖南文科）若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f /(x)的图象是（ ）‎ ‎9．（2004全国卷Ⅱ理科）函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数（ ）‎ ‎（A）(，)　（B）(，2)　（C）(，)　（D）(2，3)‎ ‎10.（2004浙江理科）设是函数f(x)的导函数，y=的图象如图所示，则y= f(x)的 图象最有可能的是（ ）‎ 二、填空题：(每小题5分,计20分)‎ ‎11.（2007浙江文）曲线在点(1，一3)处的切线方程是________________.‎ ‎12.(2005重庆文科)曲线在点（1，1）处的切线与x轴、直线所围成的三角形的 面积为 . ‎ ‎13．（2007江苏）已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，‎ 则_____________;‎ ‎14.（2008北京文）如图，函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f(f(0))= ____ ; ‎ 函数f(x)在x=1处的导数f′（1）= ______‎ 三、解答题：(15,16小题各12分,其余各小题各14分)‎ ‎15.（2005北京理科、文科） 已知函数f(x)= －x3＋3x2＋9x＋a. ‎ ‎（I）求f(x)的单调递减区间；‎ ‎（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．‎ ‎16.（2006安徽文）设函数，已知是奇函数。‎ ‎（Ⅰ）求、的值。 （Ⅱ）求的单调区间与极值。‎ ‎.（2005福建文科）已知函数的图象过点P（0，2），且 在点M（－1，f（－1））处的切线方程为.‎ ‎ （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）求函数的单调区间.‎ ‎（2007重庆文）用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽 之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？‎ 19．(2008全国Ⅱ卷文) 设，函数．‎ ‎（Ⅰ）若是函数的极值点，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若函数，在处取得最大值，求的取值范围．‎ ‎20. (2008湖北文) 已知函数（m为常数，且m>0）有极大值9.‎ ‎ （Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）若斜率为-5的直线是曲线的切线，求此直线方程.‎ 历届高考中的“导数”试题精选(文科自我测试)‎ ‎ 参考答案 一. 选择题：（每小题5分，计50分）‎ 二、填空题：(每小题5分,计20分)‎ ‎11. ; 12. ；13. 32 ；14. 2 , -2 .‎ 三、解答题：(15,16小题各12分,其余各小题各14分)‎ ‎15. 解：（I） f ’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3，‎ ‎ 所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．‎ ‎ （II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，‎ ‎ 所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，‎ 又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，‎ 因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，‎ 于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2． ‎ 故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，‎ ‎ 即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．‎ ‎16.解（Ⅰ）∵，∴。从而＝是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，由此可知，‎ 和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；‎ 在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。‎ ‎17.解：(Ⅰ)由的图象过点P（0，2）,d=2知,所以 ,(x)=3x2+2bx+c,由在(-1,(-1))处的切线方程是6x-y+7=0,知 ‎-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1, (-1)=6,∴即解得b=c=-3.‎ 故所求的解析式为f(x)=x3-3x2-3x+2,‎ ‎(Ⅱ) (x)=3x2-6x-3,令3x2-6x-3=0即x2-2x-1=0,解得x1=1-,x2=1+,‎ 当x<1-或x>1+时, (x)>0;当1-0时,因为h(0)= -6<0,,所以要使h(x)≤0在上恒成立,只需h(2) ≤0成立即可,解得a≤;‎ 综上，的取值范围为．‎ ‎20.解：(Ⅰ) f’(x)＝3x2+2mx－m2=(x+m)(3x－m)=0,则x=－m或x=m,‎ ‎ 当x变化时，f’(x)与f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞,－m)‎ ‎－m ‎(－m,)‎ ‎(,+∞)‎ f’(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎+‎ f (x)‎ 极大值 极小值 从而可知，当x=－m时，函数f(x)取得极大值9，即f(－m)＝－m3+m3+m3+1=9,∴m＝2.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x3+2x2－4x+1,‎ 依题意知f’(x)＝3x2＋4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－. 又f(－1)＝6，f(－)＝，‎ 所以切线方程为y－6＝－5(x＋1),或y－＝－5(x＋)，‎ 即5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0.‎ 历届高考中的“导数”试题精选(理科自我测试)‎ 一、选择题：（每小题5分，计50分）‎ ‎1．（2004湖北理科）函数有极值的充要条件是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2.（2007全国Ⅱ理）已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为（ ）‎ ‎(A)3 (B) 2 (C) 1 (D) ‎3.(2005湖南理)设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，‎ 则f2005(x)＝（　）‎ ‎　　A、sinx　B、－sinx　C、cosx　D、－cosx ‎4.(2008广东理)设，若函数，有大于零的极值点，则（ ）‎ A． B. C. D. ‎ ‎5．(2001江西、山西、天津理科)函数有（ ）‎ ‎（A）极小值－1，极大值1 （B）极小值－2，极大值3‎ ‎（C）极小值－2，极大值2 （D）极小值－1，极大值3‎ ‎6．（2004湖南理科）设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,‎ ‎＞0.且，.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是（ ）‎ ‎(A) （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎7.(2007海南、宁夏理)曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎8. (2008湖北理)若f(x)=上是减函数，则b的取值范围是（ ）‎ A.[-1，+∞] B.（-1，+∞） C. D.（-∞，-1）‎ ‎9．（2005江西理科）已知函数的图像如右图所示（其中是函数，下面四个图象中的图象大致是 （ ）‎ ‎ ‎ ‎ A B C D ‎10.（2000江西、天津理科）右图中阴影部分的面积是（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ 二、填空题：(每小题5分,计20分)‎ ‎11.（2007湖北文）已知函数的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，‎ f(1)—f’(1)=______________.‎ ‎12．（2007湖南理）函数在区间上的最小值是 ．‎ ‎13.(2008全国Ⅱ卷理)设曲线在点处的切线与直线垂直，则 _____ ．‎ ‎14．（2006湖北文）半径为r的圆的面积S(r)＝r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋‎ ‎∞)上的变量，则＝2r ， 式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。‎ 对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于的式子： 式可以用语言叙述为： 。‎ 三、解答题：(15,16小题各12分,其余各小题各14分)‎ ‎15.(2004重庆文)某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量(吨)与每吨产品的价格(元/吨)之间的关系式为：,且生产x吨的成本为（元）。问该产每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本）‎ ‎16.(2008重庆文) 设函数若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与 直线12x+y=6平行，求： （Ⅰ）a的值; （Ⅱ）函数f(x)的单调区间.‎ ‎17．(2008全国Ⅰ卷文、理)已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．‎ ‎18．（2004浙江理）设曲线≥0）在点M（t, ）处的切线与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t）。 （Ⅰ）求切线的方程； （Ⅱ）求S（t）的最大值。‎ ‎19．(2007海南、宁夏文)设函数 ‎（Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）求在区间的最大值和最小值．‎ ‎20..(2007安徽理)设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）.‎ ‎（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；‎ ‎（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.‎ ‎.‎ 历届高考中的“导数”试题精选(理科自我测试)‎ 参考答案 一、选择题：（每小题5分，计50分）‎ 二、填空题：(每小题5分,计20分)‎ ‎11. 3 ； 12．； 13. 2 ； 14. ,球的体积函数的导数等于球的表面积函数 三、解答题：(15,16小题各12分,其余各小题各14分)‎ ‎15. 解：每月生产x吨时的利润为 ‎ ‎ ‎ ，故它就是最大值点，且最大值为：‎ ‎ 答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.‎ ‎16. 解：(Ⅰ)因为, 所以 ‎ 即当 ‎ 因斜率最小的切线与平行，即该切线的斜率为-12，‎ ‎ 所以 解得 ‎ (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ‎ ‎ ‎17．解：（1） 求导：‎ 当时，，, 在上递增 当，求得两根为 即在递增, 递减, 递增 ‎（2）要使f(x)在在区间内是减函数，当且仅当，在恒成立，‎ 由的图像可知，只需，即, 解得。a≥2。‎ 所以，的取值范围。‎ ‎18.解：（Ⅰ）因为 所以切线的斜率为 故切线的方程为即。‎ ‎（Ⅱ）令y= 0得x=t+1, x=0得 所以S（t）==‎ 从而 ‎∵当（0，1）时，>0, 当（1,+∞）时,<0,‎ 所以S(t)的最大值为S(1)=。‎ ‎19．解：的定义域为．‎ ‎（Ⅰ）．‎ 当时，；当时，；当时，．‎ 从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间的最小值为．‎ 又．‎ 所以在区间的最大值为．‎ ‎20.（Ⅰ）解：根据求导法则得 故 于是 列表如下：‎ x ‎ (0,2)‎ ‎ 2‎ ‎ (2,+∞)‎ F′（x）‎ ‎ -‎ ‎ 0‎ ‎ +‎ F(x)‎ ‎　　　　↓‎ ‎ 极小值F（2）‎ ‎ ↑‎ 故知F（x）在（0，2）内是减函数，在（2，+∞）内是增函数，所以，在x＝2处取得极小值F（2）＝2-2In2+2a.‎ ‎（Ⅱ）证明：由 于是由上表知，对一切 从而当 所以当 故当 ‎1.（2010 ·海南高考·理科T3）曲线在点处的切线方程为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.‎ ‎【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.‎ ‎【规范解答】选A.因为 ，所以，在点处的切线斜率，所以，切线方程为，即，故选A.‎ ‎2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ）‎ ‎(A) 13万件 (B) 11万件 ‎(C) 9万件 (D) 7万件 ‎【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力.‎ ‎【思路点拨】利用导数求函数的最值.‎ ‎【规范解答】选C，,令得或（舍去），当时；当时，故当时函数有极大值，也是最大值，故选C.‎ ‎3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=,y=围成的封闭图形面积为（ ）‎ ‎（A） (B) (C) (D) ‎ ‎ 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力.‎ ‎ 【思路点拨】先求出曲线y=,y=的交点坐标，再利用定积分求面积.‎ ‎ 【规范解答】选A,由题意得: 曲线y=,y=的交点坐标为(0,0)，(1,1)，故所求封闭图形的面积为,故选A.‎ ‎4.（2010·辽宁高考理科·Ｔ10）已知点P在曲线y=上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）‎ ‎ (A)[0,) (B) (D) ‎ ‎【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率。‎ ‎【思路点拨】先求导数的值域，即tan的范围，再根据正切函数的性质求的范围。‎ ‎【规范解答】选D.‎ ‎5.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）等于（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【命题立意】考查积分的概念和基本运算.‎ ‎【思路点拨】记住的原函数.‎ ‎【规范解答】选D .=(lnx+c)|42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2.‎ ‎【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.‎ ‎6.（2010·江苏高考·Ｔ8）函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,，若a1=16，则a1+a3+a5的值是________‎ ‎【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。 ‎ ‎【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由，即可求得切线与x轴交点的横坐标。‎ ‎【规范解答】由y=x2(x>0)得，，‎ 所以函数y=x2(x>0)在点(ak,ak2)处的切线方程为：‎ 当时，解得，‎ 所以.‎ ‎【答案】21‎ ‎7.（2010·江苏高考·Ｔ１4）将边长为‎1m正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是____ ____。‎ ‎【命题立意】 本题考查函数中的建模在实际问题中的应用，以及等价转化思想。‎ ‎【思路点拨】可设剪成的小正三角形的边长为，然后用分别表示梯形的周长和面积，从而将S用x表示，利用函数的观点解决.‎ ‎【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为，‎ 则：‎ 方法一：利用导数的方法求最小值。‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，递减；当时，递增；‎ 故当时，S的最小值是。‎ 方法二：利用函数的方法求最小值 令，则：‎ 故当时，S的最小值是。‎ ‎【答案】‎ ‎【方法技巧】函数的最值是函数最重要的性质之一，高考不但在填空题中考查，还会在应用题、函数导数的的综合解答题中考察。高中阶段，常见的求函数的最值的常用方法有：换元法、有界性法、数形结合法、导数法和基本不等式法。‎ ‎8.（2010·陕西高考理科·Ｔ１3）从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x,y）,则点M取自阴影部分的概率为 ；‎ ‎【命题立意】本题考查积分、几何概率的简单运算，属送分题。‎ ‎【思路点拨】由积分求出阴影部分的面积即可 ‎【规范解答】阴影部分的面积为所以点M取自阴影部分的概率为 答案：‎ ‎9．（2010 ·海南高考·理科T13）设y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x) ≤1,可以用随机模拟方法近似计算积分,先产生两组（每组N个）区间[0,1]上的均匀随机数,…,和,…,,由此得到N个点（i=1,2,…,N）,在数出其中满足≤（（i=1,2,…,N））的点数，那么由随机模拟方法可得积分的近似值为 .‎ ‎【命题立意】本题主要考查了定积分的几何意义以及几何概型的计算公式.‎ ‎【思路点拨】由随机模拟想到几何概型，然后结合定积分的几何意义进行求解.‎ ‎【规范解答】由题意可知，所有取值构成的区域是一个边长为1的正方形，而满足≤的点落在y=f(x)、以及、围成的区域内，由几何概型的计算公式可知的近似值为.‎ 答案：‎ ‎10.（2010·北京高考理科·Ｔ１8）已知函数()=In(1+)-+， (≥0)。‎ ‎(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；‎ ‎(Ⅱ)求()的单调区间。‎ ‎【命题立意】本题考查了导数的应用，考查利用导数求切线方程及单调区间。解决本题时一个易错点是忽视定义域。‎ ‎【思路点拨】（1）求出，再代入点斜式方程即可得到切线方程；（2）由讨论的正负，从而确定单调区间。‎ ‎【规范解答】（I）当时，，‎ ‎ 由于，，‎ ‎ 所以曲线在点处的切线方程为 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎（II），.‎ 当时，.‎ 所以，在区间上，；在区间上，.‎ 故的单调递增区间是，单调递减区间是.‎ 当时，由，得，‎ 所以，在区间和上，；在区间上，‎ 故的单调递增区间是和，单调递减区间是.‎ 当时，‎ 故的单调递增区间是.‎ 当时，，得，.‎ 所以在区间和上，；在区间上，‎ 故得单调递增区间是和，单调递减区间是 ‎【方法技巧】‎ ‎（1）过的切线方程为。‎ ‎（2）求单调区间时要在定义域内讨论内的正负。‎ ‎11.（2010·安徽高考文科·Ｔ20）设函数，，求函数 的单调区间与极值。‎ ‎【命题立意】‎ 本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查考生运算能 力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力。‎ ‎【思路点拨】‎ 对函数求导，分析导数的符号情况，从而确定的单调区间和极值。‎ ‎【规范解答】‎ ‎+‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 ‎【方法技巧】利用导数研究函数的单调性和极值是解决函数单调性、极值问题的常用方法，‎ 简单易行，具体操作流程如下：‎ ‎（1）求导数；‎ ‎（2）求方程的全部实根；‎ ‎（3）列表，检查在方程的根左、右的值的符号；‎ ‎（4）判断单调区间和极值。‎ ‎12.（2010·北京高考文科·Ｔ１8） 设定函数，，且方程的两个根分别为1，4。‎ ‎（Ⅰ）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若在无极值点，求a的取值范围。‎ ‎【命题立意】本题考查了导数的求法，函数的极值，二次函数等知识。‎ ‎【思路点拨】(1)由的两个根及过原点，列出三个方程可解出；（2）是开口向上的二次函数，无极值点，则恒成立。‎ ‎【规范解答】由 得 ‎ 因为的两个根分别为1,4，所以 （*）‎ ‎（Ⅰ）当时，（*）式为 解得 又因为曲线过原点，所以 故 ‎（Ⅱ）由于a>0,所以“在（-∞，+∞）内无极值点”等价于“在（-∞，+∞）内恒成立”。‎ 由（*）式得。‎ 又 解 得 即的取值范围 ‎【方法技巧】（1）当在的左侧为正，右侧为负时，为极大值点；当在的左侧为负，右侧为正时，为极小值点 ‎（2）二次函数恒成立问题可利用开口方向与判别式来解决。恒大于0，则；恒小于0，则；‎ ‎13.（2010·安徽高考理科·Ｔ17）设为实数，函数。‎ ‎ (1)求的单调区间与极值；‎ ‎(2)求证：当且时，。‎ ‎【命题立意】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间、求函数的极值、证明函数不等式，考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力。‎ ‎【思路点拨】‎ ‎(1)先分析的导数的符号情况，从而确定的单调区间和极值；‎ ‎(2) 设，把问题转化为：求证：当且时，。‎ ‎【规范解答】（1），‎ 令，得，‎ 极小值 在上单调递减，在上单调递增；‎ 当时，取得极小值为 ‎（2）设，‎ 由（1）问可知，恒成立，‎ 当时，则0恒成立，所以在上单调递增，‎ 所以当时，，‎ 即当且时，。‎ ‎【方法技巧】‎ ‎1、利用导数研究函数的单调性是解决函数单调性问题的常用方法，简单易行；‎ ‎2、证明函数不等式问题，如证，通常令，转化为证明：。‎ ‎14.（2010·天津高考文科·Ｔ20）已知函数f（x）=，其中a>0. ‎ ‎（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.‎ ‎【命题立意】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。‎ ‎【思路点拨】应用导数知识求解曲线的切线方程及函数最值。‎ ‎【规范解答】‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f’(x)=, f’(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.‎ ‎（Ⅱ）f’(x)=.令f’(x)=0，解得x=0或x=.‎ 以下分两种情况讨论：‎ 若，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表：‎ X ‎0‎ f’(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ 极大值 ‎ 当等价于 ‎ 解不等式组得-52，则.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表：‎ X ‎0‎ f’(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ 极大值 极小值 当时，f（x）>0等价于即 解不等式组得或.因此20，此时，函数单调递减；‎ 当时，<0，此时，函数单调递增.‎ 当时，由，‎ 即 ，解得.‎ ‎① 当时， ， 恒成立，此时，函数在（0，+∞）上单调递减;‎ ‎② 当时， ，‎ 时，,此时,函数单调递减 时，<0,此时,函数单调递增 时，，此时，函数单调递减 ‎③ 当时，由于,‎ 时，,此时,函数单调递减：‎ 时，<0,此时,函数单调递增.‎ 综上所述：‎ 当时，函数在上单调递减;函数在上单调递增 当时,函数在上单调递减 当时，函数在上单调递减；函数 在上单调递增；‎ ‎ 函数在上单调递减.‎ ‎【方法技巧】1、分类讨论的原因 ‎(1)某些概念、性质、法则、公式分类定义或分类给出；‎ ‎(2)数的运算：如除法运算中除式不为零，在实数集内偶次方根的被开方数为非负数，对数中真数与底数的要求，不等式两边同乘以一个正数还是负数等；‎ ‎(3)含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的不同而导致结果发生改变；‎ ‎(4)在研究几何问题时，由于图形的变化(图形位置不确定或形状不确定)，引起问题的结果有多种可能.‎ ‎2、分类讨论的原则 ‎(1)要有明确的分类标准；‎ ‎(2)对讨论对象分类时要不重复、不遗漏；‎ ‎(3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行.‎ ‎3、分类讨论的一般步骤 ‎(1)明确讨论对象，确定对象的范围；‎ ‎(2)确定统一的分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；‎ ‎(3)逐段逐类讨论，获得阶段性结果；‎ ‎(4)归纳总结，得出结论.‎ ‎16. （2010·陕西高考文科·Ｔ2１）已知函数 ‎（Ⅰ）若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求的值及该切线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设函数,当存在最小值时，求其最小值的解析式；‎ ‎（Ⅲ）对（Ⅱ）中的，证明：当时，‎ ‎【命题立意】本题将导数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值问题，考查了分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。‎ ‎【思路点拨】曲线与在交点处有相同的切线交点坐标的值及该切线的方程；利用导数法求的最小值的解析式利用基本不等式证明（Ⅲ）‎ ‎【规范解答】（Ⅰ）‎ ‎ ‎ 两条曲线交点的坐标为（e2,e），切线的斜率为 所以切线的方程为 ‎（Ⅱ）由已知条件知 当>0时，令,解得=,‎ 所以当0 < < 时，，h(x)在（0，）上递减；‎ 当x>时，，在上递增。‎ 所以x=是在（0， +∞ ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是的最小值点。‎ ‎（2）当a  ≤   0时，在（0，+∞）递增，无最小值。‎ 故 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知 由 由 所以 所以 又 所以当时，‎ ‎17.（2010·陕西高考理科·Ｔ2１）已知函数 ‎ ‎（Ⅰ）若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求的值及该切线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设函数,当存在最小值时，求其最小值的解析式；‎ ‎（Ⅲ）对（Ⅱ）中的和任意的，证明：‎ ‎【命题立意】本题将导数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值问题，考查了分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。‎ ‎【思路点拨】曲线与在交点处有相同的切线交点坐标的值及该切线的方程；由利用导数法求的最小值的解析式利用基本不等式证明（Ⅲ）‎ ‎【规范解答】（Ⅰ）‎ ‎ ‎ 两条曲线交点的坐标为（e2,e），切线的斜率为 所以切线的方程为 ‎（Ⅱ）由已知条件知 当>0时，令,解得=,‎ 所以当0 < < 时，，h(x)在（0，）上递减；‎ 当x>时，，在上递增。‎ 所以x=是在（0， +∞ ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是的最小值点。‎ ‎（2）当a  ≤   0时，在（0，+∞）递增，无最小值。‎ 故 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知 综上可得：‎ ‎【方法技巧】不等式的证明方法 ‎1．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．‎ ‎2．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的．‎ ‎18.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）已知函数对任意的，恒有。‎ ‎（Ⅰ）证明：当时，；‎ ‎（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值.‎ 知识点检索号新课标：4‎ ‎【命题立意】以二次函数为载体，考查导数，不等式的证明，消元等知识。认真的考查了等价转化的思想.‎ ‎【思路点拨】（1）在对任意的，恒有下可以得到b,c的关系，目标是证明当时，，其实是寻找条件和目标的关系，连接的纽带是b和c的关系.（2）恒成立，转化为求函数的最值，而且是二元函数的最值的求法，没有等式的条件下常常用整体消元.‎ ‎【规范解答】（1）易知f’(x)=2x+b.由题设，对任意的x恒成立，所以(b-2)2+-4(c-b)≤0,从而c≥‎ 于是c≥1，且c≥|b|,因此‎2c-b=c+(c-b)>0.‎ 故当x≥0时，有(x+c)2-f(x)=(‎2c-b)x+c(c-1)≥0.‎ 即当x≥0时，.‎ ‎(2)由（1）知，c≥|b|时，有M≥‎ 当c=|b|时，由（1）知，b=±2,c=2.此时f(c)-f(b)=-8或0，c2-b2=0,‎ 从而f(c)-f(b)≤.综上所述，M的最小值为.‎ ‎【方法技巧】求最值是高考中重点也是难点。解题的思路是，首先看变量的个数，如果是三个变量常有三条路，一是利用柯西不等式、均值不等式和排序不等式，二是消元转化为二元再转化为一元，三是有时利用几何背景解题。如果是两个变量常常有三条路可走，一是利用柯西不等式、均值不等式，二是消元转化为一元函数，三是如果条件是不等式，常常也可以数学规划.如果是一个变量，常用方法：基本函数模型，单调性法和导数法.‎ ‎19.（2010·辽宁高考文科·Ｔ21） 已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.‎ ‎ (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；‎ ‎ (Ⅱ)设a≤-2，证明：对任意x2,x2(0,+∞)，|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|.‎ ‎【命题立意】本题考查了函数的单调性与导数，求参数的取值范围，考查了分类讨论、转化等思想方法以及运算推理能力。‎ ‎【思路点拨】（I）求导数，对参数分类，讨论导数的符号，判断单调性，‎ ‎ （II）转化为等价命题，构造新函数g(x)=f(x)+4x,通过g(x)r的单调性证明。‎ ‎【规范解答】‎ ‎【方法技巧】讨论函数的单调性首先要明确函数的定义域，一般用导数的方法，对参数分类做到不重不漏。‎ ‎2、直接证明一个命题，不好证时可考虑证明它的等价命题。‎ ‎20.（2010·辽宁高考理科·Ｔ21）已知函数 ‎（I）讨论函数的单调性；‎ ‎（II）设.如果对任意，，求的取值范围。‎ ‎【命题立意】本题考查了函数的单调性与导数，求参数的取值范围，考查了分类讨论、转化等思想方法以及运算能力。‎ ‎【思路点拨】（I）求导数，对参数分类，讨论导数的符号，判断单调性，‎ ‎ （II）转化为等价命题，构造新函数g(x)=f(x)+4x,分离参数，求a的范围。‎ ‎【规范解答】‎ ‎【方法技巧】‎ 讨论函数的单调性首先要明确函数的定义域，一般用导数的方法，对参数分类做到不重不漏。‎ 求参数的取值范围往往要分离变量，分离时一定要使分离后的式子有意义，如分母不为0等。‎ 直接证明一个命题，不好证时可考虑证明它的等价命题。‎ ‎21.（2010·天津高考理科·Ｔ2１）已知函数 ‎（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，‎ ‎（III）如果，且，证明 ‎【命题立意】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力。‎ ‎【思路点拨】利用导数及函数的性质解题。‎ ‎【规范解答】‎ ‎（Ⅰ）解：f’，令f’(x)=0,解得x=1，‎ 当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表 x ‎()‎ ‎1‎ ‎()‎ f’(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ 极大值 所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。‎ 函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=‎ ‎（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)‎ 令F(x)=f(x)-g(x),即 于是 当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。‎ 又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).‎ ‎(Ⅲ)证明：（1）‎ 若 ‎（2）若 根据（1）（2）得 由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内是增函数，所以>,即>2。‎ ‎22.（2010·江苏高考·Ｔ20）设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质。‎ ‎(1)设函数，其中为实数。‎ ‎(i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。‎ ‎(2)已知函数具有性质，给定设为实数，‎ ‎，，且，‎ 若||<||，求的取值范围。‎ ‎【命题立意】本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。‎ ‎【思路点拨】(1)求出，并将其表示为的形式，注意.‎ ‎(2)利用一的结论求解。‎ ‎【规范解答】‎ ‎（1）(i)‎ ‎∵时，恒成立，‎ ‎∴函数具有性质；‎ ‎(ii)（方法一）设，与的符号相同。‎ 当时，，，故此时在区间上递增；‎ 当时，对于，有，所以此时在区间上递增；‎ 当时，图像开口向上，对称轴，而，所以当x>1时，所以此时在区间上递增；‎ 当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而 ‎ 当时，，，故此时在区间 上递减；同理得：在区间上递增。‎ 综上所述，当时，在区间上递增；‎ ‎ 当时，在上递减；在上递增。‎ ‎（方法二）当时，对于，‎ ‎ 所以，故此时在区间上递增；‎ 当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而 ‎ 当时，，，故此时在区间 上递减；同理得：在区间上递增。‎ 综上所述，当时，在区间上递增；‎ ‎ 当时，在上递减；在上递增。‎ ‎(2)（方法一）由题意，得：‎ 又对任意的都有>0，‎ 所以对任意的都有，在上递增。‎ 又。‎ 当时，，且，‎ 若，∴，（不合题意）。‎ 综合以上讨论，得所求的取值范围是（0，1）。‎ ‎（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，，从而在区间上单调递增。‎ ‎①当时，有，‎ ‎，得，同理可得，所以由的单调性知、，‎ 从而有||<||，符合题设。‎ ‎②当时，，‎ ‎，于是由及的单调性知，所以||≥||，与题设不符。‎ ‎③当时，同理可得，进而得||≥||，与题设不符。‎ 因此综合①、②、③得所求的的取值范围是（0，1）‎ ‎23.（2010·浙江高考文科·Ｔ21）已知函数（-b）0）.‎ ‎（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；‎ ‎（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－‎2a ln x＋1.‎ 历届高考中的“导数及其应用”试题精选(理科)‎ 参考答案 一、选择题：（每小题5分，计50分）‎ 二、填空题：(每小题5分,计20分)‎ ‎11. 3 ； 12．； 13. 2 ； 14. ,球的体积函数的导数等于球的表面积函数 三、解答题：(15,16小题各12分,其余各小题各14分)‎ ‎15. 解：每月生产x吨时的利润为 ‎ ‎ ‎ ，故它就是最大值点，且最大值为：‎ ‎ 答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.‎ ‎16. 解：(Ⅰ)因为, 所以 ‎ 即当 ‎ 因斜率最小的切线与平行，即该切线的斜率为-12，‎ ‎ 所以 解得 ‎ (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ‎ ‎ ‎17．解：（1） 求导：‎ 当时，，, 在上递增 当，求得两根为 即在递增, 递减, 递增 ‎（2）要使f(x)在在区间内是减函数，当且仅当，在恒成立，‎ 由的图像可知，只需，即, 解得。a≥2。‎ 所以，的取值范围。‎ ‎18.解：（Ⅰ）因为 所以切线的斜率为 故切线的方程为即。‎ ‎（Ⅱ）令y= 0得x=t+1, x=0得 所以S（t）==‎ 从而 ‎∵当（0，1）时，>0, 当（1,+∞）时,<0,‎ 所以S(t)的最大值为S(1)=。‎ ‎19．解：的定义域为．‎ ‎（Ⅰ）．‎ 当时，；当时，；当时，．‎ 从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间的最小值为．‎ 又．‎ 所以在区间的最大值为．‎ ‎20.（Ⅰ）解：根据求导法则得 故 于是 列表如下：‎ x ‎ (0,2)‎ ‎ 2‎ ‎ (2,+∞)‎ F′（x）‎ ‎ -‎ ‎ 0‎ ‎ +‎ F(x)‎ ‎　　　　↓‎ ‎ 极小值F（2）‎ ‎ ↑‎ 故知F（x）在（0，2）内是减函数，在（2，+∞）内是增函数，所以，在x＝2处取得极小值F（2）＝2‎-2In2+‎2a.‎ ‎（Ⅱ）证明：由 于是由上表知，对一切 从而当 所以当 故当 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ www.ks5u.com