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- 2021-05-13 发布
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立体几何
G1 空间几何体的结构
8.G1,G6[2013·北京卷] 如图1-2,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为对角线BD1的三等分点,P到各顶点的距离的不同取值有( )
图1-2
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
8.B [解析] 设棱长为1,∵BD1=,∴BP=,D1P=.联结AD1,B1D1,CD1,得△ABD1≌△CBD1≌△B1BD1,
∴∠ABD1=∠CBD1=∠B1BD1,且cos∠ABD1=,
联结AP,PC,PB1,则有△ABP≌△CBP≌△B1BP,
∴AP=CP=B1P=,同理DP=A1P=C1P=1,
∴P到各顶点的距离的不同取值有4个.
18.G1,G4,G5[2013·广东卷] 如图1-4(1),在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将△ABF沿AF折起,得到如图1-4(2)所示的三棱锥A-BCF,其中BC=.
图1-4
(1)证明:DE∥平面BCF;
(2)证明:CF⊥平面ABF;
(3)当AD=时,求三棱锥F-DEG的体积.
18.解:
G2 空间几何体的三视图和直观图
10.G2,G7[2013·北京卷] 某四棱锥的三视图如图1-3所示,该四棱锥的体积为________.
图1-3
10.3 [解析] 正视图的长为3,侧视图的长为3,因此,该四棱锥底面是边长为3的正方形,且高为1,因此V=×(3×3)×1=3.
18.G2,G4[2013·福建卷] 如图1-3,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°.
(1)当正视方向与向量的方向相同时,画出四棱锥P-ABCD的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);
(2)若M为PA的中点,求证:DM∥平面PBC;
(3)求三棱锥D-PBC的体积.
图1-3
18.解:(1)在梯形ABCD中,过点C作CE⊥AB,垂足为E.
由已知得,四边形ADCE为矩形,AE=CD=3,
在Rt△BEC中,由BC=5,CE=4,依勾股定理得BE=3,从而AB=6.
又由PD⊥平面ABCD得,PD⊥AD.
从而在Rt△PDA中,由AD=4,∠PAD=60°,得PD=4 .
正视图如图所示.
(2)方法一:取PB中点N,联结MN,CN.在△PAB中,∵M是PA中点,∴MN∥AB,MN=AB=3.
又CD∥AB,CD=3,∴MN∥CD,MN=CD,
∴四边形MNCD为平行四边形,∴DM∥CN.
又DM平面PBC,CN平面PBC,
∴DM∥平面PBC.
方法二:取AB的中点E,联结ME,DE.
在梯形ABCD中,BE∥CD,且BE=CD,
∴四边形BCDE为平行四边形,
∴DE∥BC.又DE平面PBC,BC平面PBC,
∴DE∥平面PBC.
又在△PAB中,ME∥PB,
ME平面PBC,PB平面PBC,∴ME∥平面PBC.
又DE∩ME=E,∴平面DME∥平面PBC.
又DM平面DME,∴DM∥平面PBC.
(3)VD-PBC=VP-DBC=S△DBC·PD,
又S△DBC=6,PD=4 ,所以VD-PBC=8 .
6.G2[2013·广东卷] 某三棱锥的三视图如图1-2所示,则该三棱锥的体积是( )
图1-2
A. B.
C. D.1
6.B [解析] 由三视图得三棱锥的高是2,底面是一个腰为1的等腰直角三角形,故体积是××1×1×2=,选B.
5.G2[2013·广东卷] 执行如图1-1所示的程序框图,若输入n的值为3,则输出s的值是( )
图1-1
A.1 B.2
C.4 D.7
5.C [解析] 1≤3,s=1+0=1,i=2;2≤3,s=1+1=2,i=3;s=2+2=4,i=4;4>3,故输出s=4,选C.
7.G2[2013·湖南卷] 已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为的矩形,则该正方体的正视图的面积等于( )
A. B.1
C. D.
7.D [解析] 由题可知,其俯视图恰好是正方形,而侧视图和正视图则应该都是正方体的对角面,故面积为,选D.
8.G2[2013·江西卷] 一几何体的三视图如图1-2所示,则该几何体的体积为( )
图1-2
A.200+9π B.200+18π
C.140+9π D.140+18π
8.A [解析] 该几何体上面是半圆柱,下面是长方体,半圆柱体积为π·32·2=9π,长方体体积为10×5×4=200.故选A.
13.G2[2013·辽宁卷] 某几何体的三视图如图1-3所示,则该几何体的体积是________.
图1-3
13.16π-16 [解析] 由三视图可知该几何体是一个圆柱里面挖去了一个长方体,所以该几何体的体积为V=4π×4-16=16π-16.
9.G2[2013·新课标全国卷Ⅱ] 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为( )
图1-3
9.A [解析] 在空间直角坐标系O-xyz中画出三棱锥,由已知可知三棱锥O-ABC为题中所描叙的四面体,而其在zOx平面上的投影为正方形EBDO,故选A.
图1-4
4.G2[2013·山东卷]
一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图1-1所示,则该四棱锥侧面积和体积分别是( )
图1-1
A.4 ,8 B.4 ,
C.4(+1), D.8,8
4.B [解析] 由正视图知该几何体的高为2,底面边长为2,斜高为=,∴侧面积=4××2×=4 ,体积为×2×2×2=.
12.G2[2013·陕西卷] 某几何体的三视图如图1-2所示,则其表面积为________.
图1-2
12.3π [解析] 由三视图得该几何体为半径为1的半个球,则表面积为半球面+底面圆,代入数据计算为S=×4π×12+π×12=3π.
11.G2[2013·新课标全国卷Ⅰ] 某几何体的三视图如图1-3所示,则该几何体的体积为( )
图1-3
A.16+8π B.8+8π
C.16+16π D.8+16π
11.A [解析] 该空间几何体的下半部分是一个底面半径为2,母线长为4的半圆柱,上半部分是一个底面边长为2、高为4的正四棱柱.这个空间几何体的体积是×π×4×4+2×2×4=16+8π.
5.G2[2013·浙江卷] 已知某几何体的三视图(单位: cm)如图1-1所示,则该几何体的体积是( )
图1-1
A.108 cm3 B.100 cm3
C.92 cm3 D.84 cm3
5.B [解析] 此直观图是由一个长方体挖去一个三棱锥而得,如图所示其体积为3×6×6-××3×4×4=108-8=100(cm3).所以选择B.
19.G2和G5[2013·重庆卷] 如图1-4所示,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=2 ,BC=CD=2,∠ACB=∠ACD=.
(1)求证:BD⊥平面PAC;
(2)若侧棱PC上的点F满足PF=7FC,求三棱锥P-BDF的体积.
图1-4
19.解:(1)证明:因为BC=CD,即△BCD为等腰三角形,又∠ACB=∠ACD,故BD⊥AC.
因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD,从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直,所以BD⊥平面PAC.
(2)三棱锥P-BCD的底面BCD的面积S△BCD=BC·CD·sin∠BCD=·2·2·sin=.
由PA⊥底面ABCD,得
VP-BCD=·S△BCD·PA=××2 =2.
由PF=7FC,得三棱锥F-BCD的高为PA,故VF-BCD=·S△BCD·PA=×××2 =,
所以VP-BDF=VP-BCD-VF-BCD=2-=.
8.G2和G7[2013·重庆卷] 某几何体的三视图如图1-3所示,则该几何体的表面积为( )
图1-3
A.180 B.200 C.220 D.240
8.D [解析] 该几何体为直四棱柱,其高为10,底面是上底为2,下底为8,高为4,其腰为5的等腰梯形,所以底面面积和为(2+8)×4×2=40.四个侧面的面积和为(2+8+5×2)×10=200,所以该直四棱柱的表面积为S=40+200=240,故选D.
G3 平面的基本性质、空间两条直线
G4 空间中的平行关系
17.G4,G5,G7[2013·北京卷] 如图1-5,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点.求证:
(1)PA⊥底面ABCD;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面BEF⊥平面PCD.
图1-5
17.证明:(1)因为平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,
所以AB∥DE,且AB=DE,
所以ABED为平行四边形,
所以BE∥AD.
又因为BE平面PAD,AD平面PAD,
所以BE∥平面PAD.
(3)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形,
所以BE⊥CD,AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD,
所以PA⊥CD.
又因为AD∩PA=A,所以CD⊥平面PAD,
所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点,
所以PD∥EF,
所以CD⊥EF,
所以CD⊥平面BEF,
所以平面BEF⊥平面PCD.
18.G2,G4[2013·福建卷] 如图1-3,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°.
(1)当正视方向与向量的方向相同时,画出四棱锥P-ABCD的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);
(2)若M为PA的中点,求证:DM∥平面PBC;
(3)求三棱锥D-PBC的体积.
图1-3
18.解:(1)在梯形ABCD中,过点C作CE⊥AB,垂足为E.
由已知得,四边形ADCE为矩形,AE=CD=3,
在Rt△BEC中,由BC=5,CE=4,依勾股定理得BE=3,从而AB=6.
又由PD⊥平面ABCD得,PD⊥AD.
从而在Rt△PDA中,由AD=4,∠PAD=60°,得PD=4 .
正视图如图所示.
(2)方法一:取PB中点N,联结MN,CN.在△PAB中,∵M是PA中点,∴MN∥AB,MN=AB=3.
又CD∥AB,CD=3,∴MN∥CD,MN=CD,
∴四边形MNCD为平行四边形,∴DM∥CN.
又DM平面PBC,CN平面PBC,
∴DM∥平面PBC.
方法二:取AB的中点E,联结ME,DE.
在梯形ABCD中,BE∥CD,且BE=CD,
∴四边形BCDE为平行四边形,
∴DE∥BC.又DE平面PBC,BC平面PBC,
∴DE∥平面PBC.
又在△PAB中,ME∥PB,
ME平面PBC,PB平面PBC,∴ME∥平面PBC.
又DE∩ME=E,∴平面DME∥平面PBC.
又DM平面DME,∴DM∥平面PBC.
(3)VD-PBC=VP-DBC=S△DBC·PD,
又S△DBC=6,PD=4 ,所以VD-PBC=8 .
18.G1,G4,G5[2013·广东卷] 如图1-4(1),在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将△ABF沿AF折起,得到如图
1-4(2)所示的三棱锥A-BCF,其中BC=.
图1-4
(1)证明:DE∥平面BCF;
(2)证明:CF⊥平面ABF;
(3)当AD=时,求三棱锥F-DEG的体积.
18.解:
8.G4、G5[2013·广东卷] 设l为直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )
A.若l∥α,l∥β,则α∥β
B.若l⊥α,l⊥β,则α∥β
C.若l⊥α,l∥β,则α∥β
D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
8.B [解析] 根据空间平行、垂直关系的判定和性质,易知选B.
16.G4,G5[2013·江苏卷] 如图1-2,在三棱锥S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.过A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.
求证:(1)平面EFG∥平面ABC;
(2)BC⊥SA.
图1-2
16.证明:(1)因为AS=AB,AF⊥SB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EF∥AB.
因为EF平面ABC,AB平面ABC,
所以EF∥平面ABC.
同理EG∥平面ABC.又EF∩EG=E,
所以平面EFG∥平面ABC.
(2)因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB,
又AF平面SAB,AF⊥SB,
所以AF⊥平面SBC.
因为BC平面SBC,所以AF⊥BC.
又因为AB⊥BC,AF∩AB=A,AF,AB平面SAB,所以BC⊥平面SAB.
因为SA平面SAB,所以BC⊥SA.
15.G4[2013·江西卷] 如图1-5所示,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.
图1-5
15.4 [解析] 直线EF与正方体左右两个面平行,与其他四个面相交.
图1-4
18.G4,G5[2013·辽宁卷] 如图1-4,AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点.
(1)求证:BC⊥平面PAC;
(2)设Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证:QG∥平面PBC.
18.证明:(1)由AB是圆O的直径,得AC⊥BC.
由PA⊥平面ABC,BC平面ABC,得PA⊥BC.
又PA∩AC=A,PA平面PAC,AC平面PAC,
所以BC⊥平面PAC.
(2)联结OG并延长交AC于M,联结QM,QO,
由G为△AOC的重心,得M为AC中点,
由Q为PA中点,得QM∥PC.
又O为AB中点,得OM∥BC.
因为QM∩MO=M,QM平面QMO.
MO平面QMO,
BC∩PC=C,BC平面PBC,PC平面PBC,
所以平面QMO∥平面PBC.
因为QG平面QMO,
所以QG∥平面PBC.
18.G4,G7,G11[2013·新课标全国卷Ⅱ] 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.
(1)证明:BC1∥平面A1CD;
(2)设AA1=AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C-A1DE的体积.
图1-7
18.解:(1)证明:联结AC1交A1C于点F,则F为AC1中点.又D是AB中点,联结DF,则BC1∥DF.因为DF平面A1CD,BC1平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.
图1-8
(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥CD.由已知AC=CB,D为AB的中点,所以CD⊥AB.又AA1∩AB=A,于是CD⊥平面ABB1A1.
由AA1=AC=CB=2,AB=2 得∠ACB=90°,CD=,A1D=,DE=,A1E=3,
故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D.
所以VC-A1DE=××××=1.
19.G4,G5[2013·山东卷] 如图1-5,四棱锥P—ABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.
(1)求证:CE∥平面PAD;
(2)求证:平面EFG⊥平面EMN.
图1-6
19.证明:(1)证法一:取PA的中点H,联结EH,DH.
因为E为PB的中点,
所以EH∥AB,EH=AB.
又AB∥CD,CD=AB,
所以EH∥CD,EH=CD.
因此四边形DCEH是平行四边形.
所以CE∥DH.
又DH平面PAD,CE平面PAD,
因此CE∥平面PAD.
证法二:联结CF.
因为F为AB的中点,
所以AF=AB.
又CD=AB,
所以AF=CD.
又AF∥CD,
所以四边形AFCD为平行四边形.
因此CF∥AD.
又CF平面PAD,
所以CF∥平面PAD.
因为E,F分别为PB,AB的中点,
所以EF∥PA.
又EF平面PAD,
所以EF∥平面PAD.
因为CF∩EF=F,
故平面CEF∥平面PAD.
又CE平面CEF,
所以CE∥平面PAD.
(2)因为E,F分别为PB,AB的中点,
所以EF∥PA.
又AB⊥PA,
所以AB⊥EF.
同理可证AB⊥FG.
又EF∩FG=F,EF平面EFG,FG平面EFG,
因此AB⊥平面EFG.
又M,N分别为PD,PC的中点,
所以MN∥CD.
又AB∥CD,
所以MN∥AB,
因此MN⊥平面EFG.
又MN平面EMN,
所以平面EFG⊥平面EMN.
18.G4,G11[2013·陕西卷] 如图1-5,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O是底面中心,A1O⊥底面ABCD,AB=AA1=.
图1-5
(1)证明:平面A1BD∥平面CD1B1;
(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.
18.解: (1)证明:由题设知,BB1
瘙綊DD1,
∴四边形BB1D1D是平行四边形,
∴BD∥B1D1.
又BD平面CD1B1,
∴BD∥平面CD1B1.
∵A1D1
瘙綊B1C1
瘙綊BC,
∴四边形A1BCD1是平行四边形,
∴A1B∥D1C.
又A1B平面CD1B1,
∴A1B∥平面CD1B1.
又∵BD∩A1B=B,
∴平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)∵A1O⊥平面ABCD,
∴A1O是三棱柱ABD-A1B1D1的高.
又∵AO=AC=1,AA1=,
∴A1O==1,
又∵S△ABD=××=1,
∴VABD-A1B1D1=S△ABD·A1O=1.
19.G4,G5,G7,G11[2013·四川卷]
图1-8
如图1-8,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1=2,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD上异于端点的点.
(1)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1;
(2)设(1)中的直线l交AC于点Q,求三棱锥A1-QC1D的体积.(锥体体积公式:V=Sh,其中S为底面面积,h为高)
19.解:(1)如图,在平面ABC内,过点P作直线l∥BC,因为l在平面A1BC外,BC在平面A1BC内,由直线与平面平行的判定定理可知,l∥平面A1BC.
由已知,AB=AC,D是BC的中点,
所以,BC⊥AD,则直线l⊥AD.
因此AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥直线l.
又因为AD,AA1在平面ADD1A1内,且AD与AA1相交,
所以直线l⊥平面ADD1A1.
(2)过D作DE⊥AC于E.
因为AA1⊥平面ABC,所以DE⊥AA1.
又因为AC,AA1在平面AA1C1C内,且AC与AA1相交,
所以DE⊥平面AA1C1C.
由AB=AC=2,∠BAC=120°,有AD=1,∠DAC=60°,
所以在△ACD中,DE=AD=.
又S△A1QC1=A1C1·AA1=1,所以
VA1-QC1D=VD-A1QC1=DE·S△A1QC1=××1=.
因此三棱锥A1-QC1D的体积是.
17.G4,G5、G11[2013·天津卷] 如图1-3所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等,D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1的中点.
(1)证明EF∥平面A1CD;
(2)证明平面A1CD⊥平面A1ABB1;
(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.
图1-3
17.解:(1)证明:如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC∥A1C1,且AC=A1C1,联结ED,在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE=AC且DE∥AC,又因为F为A1C1的中点,可得A1F=DE,且A1F∥DE,即四边形A1DEF为平行四边形,所以EF∥DA1.又EF平面A1CD,DA1平面A1CD,所以,EF∥平面A1CD.
(2)证明:由于底面ABC是正三角形,D为AB的中点,故CD⊥AB,又由于侧棱AA1⊥底面ABC,CD平面ABC,所以A1A⊥CD,又A1A∩AB=A,因此CD⊥平面A1ABB1,而CD平面A1CD,所以平面A1CD⊥平面A1ABB1.
(3)在平面A1ABB1内,过点B作BG⊥A1D交直线A1D于点G,联结CG,由于平面A1CD⊥平面A1ABB1,而直线A1D是平面A1CD与平面A1ABB1的交线,故BG⊥平面A1CD,由此得∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角.
设三棱柱各棱长为a,可得A1D=,由△A1AD∽△BGD,易得BG=.在Rt△BGC中,sin∠BCG==.
所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.
4.G4,G5[2013·浙江卷] 设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m∥α,m∥β,则α∥β
C.若m∥n,m⊥α,则n⊥α
D.若m∥α,α⊥β,则m⊥β
4.C [解析] 对于选项C,若m∥n,m⊥α,易得n⊥α.所以选择C.
G5 空间中的垂直关系
图1-5
18.G5[2013·安徽卷] 如图1-5,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,已知PB=PD=2,PA=.
(1)证明:PC⊥BD;
(2)若E为PA的中点,求三棱锥P-BCE的体积.
18.解:(1)证明:联结AC,交BD于O点,联结PO.
因为底面ABCD是菱形,所以AC⊥BD,BO=DO.
由PB=PD知,PO⊥BD.再由PO∩AC=O知,BD⊥面APC,又PC平面APC,因此BD⊥PC.
(2)因为E是PA的中点,所以VP-BCE=VC-PEB=
VC-PAB=VB-APC.
由PB=PD=AB=AD=2知,△ABD≌△PBD.
因为∠BAD=60°,
所以PO=AO=,AC=2,BO=1.又PA=,故PO2+AO2=PA2,即PO⊥AC.
故S△APC=PO·AC=3.
由(1)知,BO⊥面APC,因此VP-BCE=VB-APC=··S△APC·BO=.
17.G4,G5,G7[2013·北京卷] 如图1-5,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点.求证:
(1)PA⊥底面ABCD;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面BEF⊥平面PCD.
图1-5
17.证明:(1)因为平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,
所以AB∥DE,且AB=DE,
所以ABED为平行四边形,
所以BE∥AD.
又因为BE平面PAD,AD平面PAD,
所以BE∥平面PAD.
(3)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形,
所以BE⊥CD,AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD,
所以PA⊥CD.
又因为AD∩PA=A,所以CD⊥平面PAD,
所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点,
所以PD∥EF,
所以CD⊥EF,
所以CD⊥平面BEF,
所以平面BEF⊥平面PCD.
19.G5、G11[2013·全国卷] 如图1-3所示,四棱锥P—ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB和△PAD都是边长为2的等边三角形.
图1-3
(1)证明:PB⊥CD;
(2)求点A到平面PCD的距离.
19.解:(1)证明:取BC的中点E,联结DE,则四边形ABED为正方形.过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O.联结OA,OB,OD,OE.由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA=PB=PD,
所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点.故OE⊥BD,从而PB⊥OE.因为O是BD的中点,E是BC的中点,所以OE∥CD.
因此PB⊥CD.
(2)取PD的中点F,联结OF,则OF∥PB.
由(1)知,PB⊥CD,故OF⊥CD.
又OD=BD=,OP==,
故△POD为等腰三角形,因此OF⊥PD.
又PD∩CD=D,所以OF⊥平面PCD.
因为AE∥CD,CD平面PCD,AE平面PCD,所以AE∥平面PCD.
因此O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离,而OF=PB=1,
所以点A到平面PCD的距离为1.
18.G1,G4,G5[2013·广东卷] 如图1-4(1),在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将△ABF沿AF折起,得到如图1-4(2)所示的三棱锥A-BCF,其中BC=.
图1-4
(1)证明:DE∥平面BCF;
(2)证明:CF⊥平面ABF;
(3)当AD=时,求三棱锥F-DEG的体积.
18.解:
8.G4、G5[2013·广东卷] 设l为直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )
A.若l∥α,l∥β,则α∥β
B.若l⊥α,l⊥β,则α∥β
C.若l⊥α,l∥β,则α∥β
D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
8.B [解析] 根据空间平行、垂直关系的判定和性质,易知选B.
16.G4,G5[2013·江苏卷] 如图1-2,在三棱锥S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.过A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.
求证:(1)平面EFG∥平面ABC;
(2)BC⊥SA.
图1-2
16.证明:(1)因为AS=AB,AF⊥SB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EF∥AB.
因为EF平面ABC,AB平面ABC,
所以EF∥平面ABC.
同理EG∥平面ABC.又EF∩EG=E,
所以平面EFG∥平面ABC.
(2)因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB,
又AF平面SAB,AF⊥SB,
所以AF⊥平面SBC.
因为BC平面SBC,所以AF⊥BC.
又因为AB⊥BC,AF∩AB=A,AF,AB平面SAB,所以BC⊥平面SAB.
因为SA平面SAB,所以BC⊥SA.
19.G5,G7[2013·江西卷] 如图1-7所示,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2,AD=,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3.
(1)证明:BE⊥平面BB1C1C;
(2)求点B1到平面EA1C1的距离.
图1-7
19.解:(1)证明:过B作CD的垂线交CD于F,则BF=AD=,EF=AB-DE=1,FC=2.
在Rt△BEF中,BE=.
在Rt△CFB中,BC=.
在△BEC中,因为BE2+BC2=9=EC2,故BE⊥BC.
由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1.
所以BE⊥平面BB1C1C.
(2)三棱锥E-A1B1C1的体积V=·AA1·S△A1B1C1=.
在Rt△A1D1C1中,A1C1==3 .
同理,EC1==3 ,A1E==2 .
故S△A1C1E=3 .
设点B1到平面EA1C1的距离为d,则三棱锥B1-A1C1E的体积
V=·d·S△A1C1E=d,
从而d=,d=.
图1-4
18.G4,G5[2013·辽宁卷] 如图1-4,AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点.
(1)求证:BC⊥平面PAC;
(2)设Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证:QG∥平面PBC.
18.证明:(1)由AB是圆O的直径,得AC⊥BC.
由PA⊥平面ABC,BC平面ABC,得PA⊥BC.
又PA∩AC=A,PA平面PAC,AC平面PAC,
所以BC⊥平面PAC.
(2)联结OG并延长交AC于M,联结QM,QO,
由G为△AOC的重心,得M为AC中点,
由Q为PA中点,得QM∥PC.
又O为AB中点,得OM∥BC.
因为QM∩MO=M,QM平面QMO.
MO平面QMO,
BC∩PC=C,BC平面PBC,PC平面PBC,
所以平面QMO∥平面PBC.
因为QG平面QMO,
所以QG∥平面PBC.
19.G4,G5[2013·山东卷] 如图1-5,四棱锥P—ABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.
(1)求证:CE∥平面PAD;
(2)求证:平面EFG⊥平面EMN.
图1-6
19.证明:(1)证法一:取PA的中点H,联结EH,DH.
因为E为PB的中点,
所以EH∥AB,EH=AB.
又AB∥CD,CD=AB,
所以EH∥CD,EH=CD.
因此四边形DCEH是平行四边形.
所以CE∥DH.
又DH平面PAD,CE平面PAD,
因此CE∥平面PAD.
证法二:联结CF.
因为F为AB的中点,
所以AF=AB.
又CD=AB,
所以AF=CD.
又AF∥CD,
所以四边形AFCD为平行四边形.
因此CF∥AD.
又CF平面PAD,
所以CF∥平面PAD.
因为E,F分别为PB,AB的中点,
所以EF∥PA.
又EF平面PAD,
所以EF∥平面PAD.
因为CF∩EF=F,
故平面CEF∥平面PAD.
又CE平面CEF,
所以CE∥平面PAD.
(2)因为E,F分别为PB,AB的中点,
所以EF∥PA.
又AB⊥PA,
所以AB⊥EF.
同理可证AB⊥FG.
又EF∩FG=F,EF平面EFG,FG平面EFG,
因此AB⊥平面EFG.
又M,N分别为PD,PC的中点,
所以MN∥CD.
又AB∥CD,
所以MN∥AB,
因此MN⊥平面EFG.
又MN平面EMN,
所以平面EFG⊥平面EMN.
19.G4,G5,G7,G11[2013·四川卷]
图1-8
如图1-8,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1=2,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD上异于端点的点.
(1)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1;
(2)设(1)中的直线l交AC于点Q,求三棱锥A1-QC1D的体积.(锥体体积公式:V=Sh,其中S为底面面积,h为高)
19.解:(1)如图,在平面ABC内,过点P作直线l∥BC,因为l在平面A1BC外,BC在平面A1BC内,由直线与平面平行的判定定理可知,l∥平面A1BC.
由已知,AB=AC,D是BC的中点,
所以,BC⊥AD,则直线l⊥AD.
因此AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥直线l.
又因为AD,AA1在平面ADD1A1内,且AD与AA1相交,
所以直线l⊥平面ADD1A1.
(2)过D作DE⊥AC于E.
因为AA1⊥平面ABC,所以DE⊥AA1.
又因为AC,AA1在平面AA1C1C内,且AC与AA1相交,
所以DE⊥平面AA1C1C.
由AB=AC=2,∠BAC=120°,有AD=1,∠DAC=60°,
所以在△ACD中,DE=AD=.
又S△A1QC1=A1C1·AA1=1,所以
VA1-QC1D=VD-A1QC1=DE·S△A1QC1=××1=.
因此三棱锥A1-QC1D的体积是.
17.G4,G5、G11[2013·天津卷] 如图1-3所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等,D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1的中点.
(1)证明EF∥平面A1CD;
(2)证明平面A1CD⊥平面A1ABB1;
(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.
图1-3
17.解:(1)证明:如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC∥A1C1,且AC=A1C1,联结ED,在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE=AC且DE∥AC,又因为F为A1C1的中点,可得A1F=DE,且A1F∥DE,即四边形A1DEF为平行四边形,所以EF∥DA1.又EF平面A1CD,DA1平面A1CD,所以,EF∥平面A1CD.
(2)证明:由于底面ABC是正三角形,D为AB的中点,故CD⊥AB,又由于侧棱AA1⊥底面ABC,CD平面ABC,所以A1A⊥CD,又A1A∩AB=A,因此CD⊥平面A1ABB1,而CD平面A1CD,所以平面A1CD⊥平面A1ABB1.
(3)在平面A1ABB1内,过点B作BG⊥A1D交直线A1D于点G,联结CG,由于平面A1CD⊥平面A1ABB1,而直线A1D是平面A1CD与平面A1ABB1的交线,故BG⊥平面A1CD,由此得∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角.
设三棱柱各棱长为a,可得A1D=,由△A1AD∽△BGD,易得BG=.在Rt△BGC中,sin∠BCG==.
所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.
19.G5[2013·新课标全国卷Ⅰ] 如图1-5所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.
(1)证明:AB⊥A1C;
(2)若AB=CB=2,A1C=,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
图1-5
19.解:(1)取AB的中点O,联结OC,OA1,A1B,
因为CA=CB,所以OC⊥AB.
由于AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.
又A1C平面OA1C,故AB⊥A1C.
(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形,所以OC=OA1=.
又A1C=,则A1C2=OC2+OA,故OA1⊥OC.
因为OC∩AB=O,所以OA1⊥平面ABC,OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高.
又△ABC的面积S△ABC=,故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC·OA1=3.
4.G4,G5[2013·浙江卷] 设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m∥α,m∥β,则α∥β
C.若m∥n,m⊥α,则n⊥α
D.若m∥α,α⊥β,则m⊥β
4.C [解析] 对于选项C,若m∥n,m⊥α,易得n⊥α.所以选择C.
19.G2和G5[2013·重庆卷] 如图1-4所示,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=2 ,BC=CD=2,∠ACB=∠ACD=.
(1)求证:BD⊥平面PAC;
(2)若侧棱PC上的点F满足PF=7FC,求三棱锥P-BDF的体积.
图1-4
19.解:(1)证明:因为BC=CD,即△BCD为等腰三角形,又∠ACB=∠ACD,故BD⊥AC.
因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD,从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直,所以BD⊥平面PAC.
(2)三棱锥P-BCD的底面BCD的面积S△BCD=BC·CD·sin∠BCD=·2·2·sin=.
由PA⊥底面ABCD,得
VP-BCD=·S△BCD·PA=××2 =2.
由PF=7FC,得三棱锥F-BCD的高为PA,故VF-BCD=·S△BCD·PA=×××2 =,
所以VP-BDF=VP-BCD-VF-BCD=2-=.
G6 三垂线定理
8.G1,G6[2013·北京卷] 如图1-2,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为对角线BD1的三等分点,P到各顶点的距离的不同取值有( )
图1-2
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
8.B [解析] 设棱长为1,∵BD1=,∴BP=,D1P=.联结AD1,B1D1,CD1,得△ABD1≌△CBD1≌△B1BD1,
∴∠ABD1=∠CBD1=∠B1BD1,且cos∠ABD1=,
联结AP,PC,PB1,则有△ABP≌△CBP≌△B1BP,
∴AP=CP=B1P=,同理DP=A1P=C1P=1,
∴P到各顶点的距离的不同取值有4个.
G7 棱柱与棱锥
17.G4,G5,G7[2013·北京卷] 如图1-5,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点.求证:
(1)PA⊥底面ABCD;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面BEF⊥平面PCD.
图1-5
17.证明:(1)因为平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,
所以AB∥DE,且AB=DE,
所以ABED为平行四边形,
所以BE∥AD.
又因为BE平面PAD,AD平面PAD,
所以BE∥平面PAD.
(3)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形,
所以BE⊥CD,AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD,
所以PA⊥CD.
又因为AD∩PA=A,所以CD⊥平面PAD,
所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点,
所以PD∥EF,
所以CD⊥EF,
所以CD⊥平面BEF,
所以平面BEF⊥平面PCD.
10.G2,G7[2013·北京卷] 某四棱锥的三视图如图1-3所示,该四棱锥的体积为________.
图1-3
10.3 [解析] 正视图的长为3,侧视图的长为3,因此,该四棱锥底面是边长为3的正方形,且高为1,因此V=×(3×3)×1=3.
8.G7[2013·江苏卷] 如图1-1,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1∶V2=________.
图1-1
8.1∶24 [解析] 设三棱柱的底面积为S,高为h,则V2=Sh,又D,E,F分别为AB,AC,AA1的中点,所以S△AED=S,且三棱锥F-ADE的高为h,故V1=S△AED·h=·S·h=Sh,所以V1∶V2=1∶24.
19.G5,G7[2013·江西卷] 如图1-7所示,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2,AD=,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3.
(1)证明:BE⊥平面BB1C1C;
(2)求点B1到平面EA1C1的距离.
图1-7
19.解:(1)证明:过B作CD的垂线交CD于F,则BF=AD=,EF=AB-DE=1,FC=2.
在Rt△BEF中,BE=.
在Rt△CFB中,BC=.
在△BEC中,因为BE2+BC2=9=EC2,故BE⊥BC.
由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1.
所以BE⊥平面BB1C1C.
(2)三棱锥E-A1B1C1的体积V=·AA1·S△A1B1C1=.
在Rt△A1D1C1中,A1C1==3 .
同理,EC1==3 ,A1E==2 .
故S△A1C1E=3 .
设点B1到平面EA1C1的距离为d,则三棱锥B1-A1C1E的体积
V=·d·S△A1C1E=d,
从而d=,d=.
18.G4,G7,G11[2013·新课标全国卷Ⅱ] 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.
(1)证明:BC1∥平面A1CD;
(2)设AA1=AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C-A1DE的体积.
图1-7
18.解:(1)证明:联结AC1交A1C于点F,则F为AC1中点.又D是AB中点,联结DF,则BC1∥DF.因为DF平面A1CD,BC1平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.
图1-8
(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥CD.由已知AC=CB,D为AB的中点,所以CD⊥AB.又AA1∩AB=A,于是CD⊥平面ABB1A1.
由AA1=AC=CB=2,AB=2 得∠ACB=90°,CD=,A1D=,DE=,A1E=3,
故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D.
所以VC-A1DE=××××=1.
19.G4,G5,G7,G11[2013·四川卷]
图1-8
如图1-8,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1=2,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD上异于端点的点.
(1)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1;
(2)设(1)中的直线l交AC于点Q,求三棱锥A1-QC1D的体积.(锥体体积公式:V=Sh,其中S为底面面积,h为高)
19.解:(1)如图,在平面ABC内,过点P作直线l∥BC,因为l在平面A1BC外,BC在平面A1BC内,由直线与平面平行的判定定理可知,l∥平面A1BC.
由已知,AB=AC,D是BC的中点,
所以,BC⊥AD,则直线l⊥AD.
因此AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥直线l.
又因为AD,AA1在平面ADD1A1内,且AD与AA1相交,
所以直线l⊥平面ADD1A1.
(2)过D作DE⊥AC于E.
因为AA1⊥平面ABC,所以DE⊥AA1.
又因为AC,AA1在平面AA1C1C内,且AC与AA1相交,
所以DE⊥平面AA1C1C.
由AB=AC=2,∠BAC=120°,有AD=1,∠DAC=60°,
所以在△ACD中,DE=AD=.
又S△A1QC1=A1C1·AA1=1,所以
VA1-QC1D=VD-A1QC1=DE·S△A1QC1=××1=.
因此三棱锥A1-QC1D的体积是.
8.G2和G7[2013·重庆卷] 某几何体的三视图如图1-3所示,则该几何体的表面积为( )
图1-3
A.180 B.200 C.220 D.240
8.D [解析] 该几何体为直四棱柱,其高为10,底面是上底为2,下底为8,高为4,其腰为5的等腰梯形,所以底面面积和为(2+8)×4×2=40.四个侧面的面积和为(2+8+5×2)×10=200,所以该直四棱柱的表面积为S=40+200=240,故选D.
G8 多面体与球
10.G8[2013·天津卷] 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若球的体积为,则正方体的棱长为________.
10. [解析] 设正方体的棱长为a,则π=π,解之得a=.
15.G8[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知正四棱锥O-ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为________.
15.24π [解析] 设O到底面的距离为h,则×3×h=h=,OA==,故球的表面积为4π×()2=24π.
16.G8[2013·湖北卷] 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水,天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是________寸.
(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)
16.3 [解析] 积水深度为盆深的一半,故此时积水部分的圆台上底面直径为二尺,圆台的高为九寸,故此时积水的体积是π(102+62+10×6)×9=196×3π(立方寸),盆口的面积是π×142=196π,所以平均降雨量是=3寸.
15.G8[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为________.
15. [解析] 截面为圆,由已知得该圆的半径为1.设球的半径为r,则AH=r,所以OH=r,所以r2+12=r2,r2=,所以球的表面积是4πr2=.
G9 空间向量及运算
G10 空间向量解决线面位置关系
G11 空间有与距离的求法
19.G5、G11[2013·全国卷] 如图1-3所示,四棱锥P—ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB和△PAD都是边长为2的等边三角形.
图1-3
(1)证明:PB⊥CD;
(2)求点A到平面PCD的距离.
19.解:(1)证明:取BC的中点E,联结DE,则四边形ABED为正方形.过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O.联结OA,OB,OD,OE.由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA=PB=PD,
所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点.故OE⊥BD,从而PB⊥OE.因为O是BD的中点,E是BC的中点,所以OE∥CD.
因此PB⊥CD.
(2)取PD的中点F,联结OF,则OF∥PB.
由(1)知,PB⊥CD,故OF⊥CD.
又OD=BD=,OP==,
故△POD为等腰三角形,因此OF⊥PD.
又PD∩CD=D,所以OF⊥平面PCD.
因为AE∥CD,CD平面PCD,AE平面PCD,所以AE∥平面PCD.
因此O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离,而OF=PB=1,
所以点A到平面PCD的距离为1.
11.G11[2013·全国卷] 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )
A. B.
C. D.
11.A [解析] 如图,联结AC,交BD于点O.由于BO⊥OC,BO⊥CC1,可得BO⊥平面OCC1,从而平面OCC1⊥平面BDC1,过点C作OC1的垂线交OC1于点E,根据面面垂直的性质定理可得CE⊥平面BDC1,∠CDE即为所求的线面角.设AB=2,则OC=,OC1==3,所以CE===,所以sin ∠CDE==.
22.G11[2013·江苏卷] 如图1-2所示,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,点D是BC的中点.
(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;
(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值.
图1-2
22.解:(1)以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),A1(0,0,4),
C1(0,2,4),所以=(2,0,-4),=(1,-1,-4).
因为cos〈,〉===,所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.
(2)设平面ADC1的法向量为n1=(x,y,z),因为=(1,1,0),=(0,2,4),所以n1·=0,n1·=0,即x+y=0且y+2z=0,取z=1,得x=2,y=-2,所以,n1=(2,-2,1)是平面ADC1的一个法向量.取平面AA1B的一个法向量为n2=(0,1,0),设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ.
由|cos θ|===,得sin θ=.
因此,平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.
18.G4,G7,G11[2013·新课标全国卷Ⅱ] 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.
(1)证明:BC1∥平面A1CD;
(2)设AA1=AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C-A1DE的体积.
图1-7
18.解:(1)证明:联结AC1交A1C于点F,则F为AC1中点.又D是AB中点,联结DF,则BC1∥DF.因为DF平面A1CD,BC1平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.
图1-8
(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥CD.由已知AC=CB,D为AB的中点,所以CD⊥AB.又AA1∩AB=A,于是CD⊥平面ABB1A1.
由AA1=AC=CB=2,AB=2 得∠ACB=90°,CD=,A1D=,DE=,A1E=3,
故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D.
所以VC-A1DE=××××=1.
18.G4,G11[2013·陕西卷] 如图1-5,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O是底面中心,A1O⊥底面ABCD,AB=AA1=.
图1-5
(1)证明:平面A1BD∥平面CD1B1;
(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.
18.解: (1)证明:由题设知,BB1
瘙綊DD1,
∴四边形BB1D1D是平行四边形,
∴BD∥B1D1.
又BD平面CD1B1,
∴BD∥平面CD1B1.
∵A1D1
瘙綊B1C1
瘙綊BC,
∴四边形A1BCD1是平行四边形,
∴A1B∥D1C.
又A1B平面CD1B1,
∴A1B∥平面CD1B1.
又∵BD∩A1B=B,
∴平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)∵A1O⊥平面ABCD,
∴A1O是三棱柱ABD-A1B1D1的高.
又∵AO=AC=1,AA1=,
∴A1O==1,
又∵S△ABD=××=1,
∴VABD-A1B1D1=S△ABD·A1O=1.
19.G4,G5,G7,G11[2013·四川卷]
图1-8
如图1-8,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1=2,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD上异于端点的点.
(1)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1;
(2)设(1)中的直线l交AC于点Q,求三棱锥A1-QC1D的体积.(锥体体积公式:V=Sh,其中S为底面面积,h为高)
19.解:(1)如图,在平面ABC内,过点P作直线l∥BC,因为l在平面A1BC外,BC在平面A1BC内,由直线与平面平行的判定定理可知,l∥平面A1BC.
由已知,AB=AC,D是BC的中点,
所以,BC⊥AD,则直线l⊥AD.
因此AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥直线l.
又因为AD,AA1在平面ADD1A1内,且AD与AA1相交,
所以直线l⊥平面ADD1A1.
(2)过D作DE⊥AC于E.
因为AA1⊥平面ABC,所以DE⊥AA1.
又因为AC,AA1在平面AA1C1C内,且AC与AA1相交,
所以DE⊥平面AA1C1C.
由AB=AC=2,∠BAC=120°,有AD=1,∠DAC=60°,
所以在△ACD中,DE=AD=.
又S△A1QC1=A1C1·AA1=1,所以
VA1-QC1D=VD-A1QC1=DE·S△A1QC1=××1=.
因此三棱锥A1-QC1D的体积是.
17.G4,G5、G11[2013·天津卷] 如图1-3所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等,D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1的中点.
(1)证明EF∥平面A1CD;
(2)证明平面A1CD⊥平面A1ABB1;
(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.
图1-3
17.解:(1)证明:如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC∥A1C1,且AC=A1C1,联结ED,在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE=AC且DE∥AC,又因为F为A1C1的中点,可得A1F=DE,且A1F∥DE,即四边形A1DEF为平行四边形,所以EF∥DA1.又EF平面A1CD,DA1平面A1CD,所以,EF∥平面A1CD.
(2)证明:由于底面ABC是正三角形,D为AB的中点,故CD⊥AB,又由于侧棱AA1⊥底面ABC,CD平面ABC,所以A1A⊥CD,又A1A∩AB=A,因此CD⊥平面A1ABB1,而CD平面A1CD,所以平面A1CD⊥平面A1ABB1.
(3)在平面A1ABB1内,过点B作BG⊥A1D交直线A1D于点G,联结CG,由于平面A1CD⊥平面A1ABB1,而直线A1D是平面A1CD与平面A1ABB1的交线,故BG⊥平面A1CD,由此得∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角.
设三棱柱各棱长为a,可得A1D=,由△A1AD∽△BGD,易得BG=.在Rt△BGC中,sin∠BCG==.
所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.
G12 单元综合
图1-3
15.G12[2013·安徽卷] 如图1-3,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S,则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号).
①当00,d3-d1>0,故V-V估>0,即V估