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  • 2021-05-13 发布

用分离常数法解高考的题

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用分离常数法解2014年高考题 ‎1 用分离常数法讨论方程根的个数 题1 (2014年高考课标全国卷I理科第11题即文科第12题)已知函数,若存在唯一的零点,且,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 答案 C 解 因为函数的零点不为0,所以可得本题的题干等价于“关于的方程有唯一实根,且该实根是正数,求的取值范围”,也等价于“关于的方程有唯一实根,且该实根是正数,求的取值范围”.‎ 用导数容易作出曲线如图1所示:‎ 图1‎ 由图1可得答案C.‎ ‎ 题2 (2014年重庆卷文科第10题)已知函数,且在内有且仅有两个不同的零点,则实数的取值范围是( )‎ ‎ A. B. ‎ C. D.‎ 答案 A 解 设,题意即曲线与直线有两个公共点.‎ 因为,由复合函数单调性的判别法则“同增异减”可得函数在上是减函数,在上均是增函数,从而可作出曲线的草图如图2所示,由此可得答案.‎ 图2‎ 题3 (2014年高考江苏卷第13题)已知是定义在R上且周期为3的函数,当时,,若函数在区间上有10个零点(互不相同),则实数的取值范围是 .‎ 答案 ‎ 解 作出函数的图象如图3所示:‎ 图3‎ 有;当且仅当时,;.‎ 关于方程即在上有10个零点,即曲线与直线在上有10个交点.因为函数的周期为3,所以直线与曲线有4个交点,得所求实数的取值范围是.‎ 题4 (2014年高考天津卷理科第14题)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为________.‎ 答案 (0,1)∪(9,+∞)‎ 解 因为不是原方程的根,所以设后可得本题等价于:‎ 若关于的方程恰有4个互异的实根,则实数a的取值范围为________.‎ ‎ (1)作出对勾函数的图象如图4所示:‎ 图4‎ ‎ (2)再由平移可作出函数的图象如图5所示:‎ 图5‎ ‎ (3)作出函数的图象如图6所示:‎ 图6‎ 因为关于的方程的互异实根个数即两条曲线公共点的个数,所以由图6可得结论:‎ ‎①当时,原方程互异实根的个数是0;‎ ‎②当或时,原方程互异实根的个数是2;‎ ‎③当或9时,原方程互异实根的个数是3;‎ ‎④当或时,原方程互异实根的个数是4.‎ 所以本题的答案是(0,1)∪(9,+∞).‎ 题5 (2014年高考天津卷文科第14题)已知函数f(x)=若函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点,则实数a的取值范围为________.‎ 答案 (1,2)‎ 简解 因为不是函数y=f(x)-a|x|的零点,所以可得本题等价于:‎ 若两条曲线恰有4个公共点,则实数a的取值范围为________.‎ 同题4的解法,可作出曲线如图7所示:‎ 图7‎ 由图7可得结论:‎ ‎①当时,原方程互异实根的个数是0;‎ ‎②当或时,原方程互异实根的个数是3;‎ ‎③当时,原方程互异实根的个数是6;‎ ‎④当时,原方程互异实根的个数是5;‎ ‎⑤当时,原方程互异实根的个数是4.‎ 所以本题的答案是(1,2).‎ 题6 (2014年高考天津卷理科第20(1)题)设f(x)=x-aex(a∈R),x∈R.已知函数y=f(x)有两个零点x1,x2,且x10,讨论曲线公共点的个数. ‎ ‎ 2.(2013年高考新课标卷I理科第21题)已知函数.若曲线和曲线都过点,且在点处有相同的切线.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若时,,求的取值范围.‎ ‎3.(2013年高考福建卷文科第22题)已知函数R,e为自然对数的底数).‎ ‎(1)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;‎ ‎(2)求函数的极值;‎ ‎(3)当时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.‎ 答案:‎ ‎1.当时,有0个公共点;当 时,有1个公共点;当有2个公共点.‎ ‎2.(1).‎ ‎(2)题设即恒成立.‎ 设,可得题设即恒成立.‎ 得,所以:‎ 当时,恒成立,是增函数,所以恒成立即.‎ 当时,可得,所以恒成立即.‎ 所以所求的取值范围是.‎ ‎3.(1)e.(2)略.‎ ‎(3)题意即方程也即无解,满足.‎ 当时,即方程无解.用导数可求得函数的值域是,所以,即.‎ 总之,的取值范围是,所以的最大值是1.‎