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- 2021-05-13 发布
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2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的.
(1)设集合 S= S x P(x 2)(x 3) 0 ,T x x 0 ,则 SI T=
(A) [2 ,3] (B) (- ,2] U [3,+ )
(C) [3,+ ) (D) (0,2] U [3,+ )
(2)若 z=1+2i ,则 4
i
zz
1
(A)1 (B) -1 (C) i (D)-i
(3)已知向量
uuv
BA
1 2
( , )
2 2
,
u uuv
BC
3 1
( , ),
2 2
则 ABC=
(A)30
0 (B) 450 (C) 600 (D)1200
(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况, 绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。 图中
A 点表示十月的平均最高气温约为 15 0C,B 点表示四月的平均最低气温约为 50C。下面叙述不正确的是
(A) 各月的平均最低气温都在 0 0C 以上
(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大
(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同
(D) 平均气温高于 20 0C 的月份有 5 个
(5)若
tan
3
4
,则
2
cos 2sin 2
(A)
64
25
(B)
48
25
(C) 1 (D)
16
25
4 3 1
(6)已知
3
a 2 ,
4
b 4 ,
3
c 25 ,则
(A )b a c (B) a b c(C) b c a(D) c a b
(7)执行下图的程序框图,如果输入的 a=4,b=6,那么输出的 n=
(A )3
(B)4
(C)5
(D)6
1
(8)在 △ABC 中, π
B = ,BC 边上的高等于
4
1
3
BC ,则cos A =
(A)
3 10
10
(B)
10
10
(C)
10
- (D)
10
-
3 10
10
(9) 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实现画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为
(A )18 36 5
(B)54 18 5
(C)90
(D)81
(10) 在封闭的直三棱柱 ABC -A1B1C1 内有一个体积为 V 的球,若
AB BC,AB=6,BC=8,AA 1=3,则 V 的最大值是
(A )4π (B) 9
2
( C ) 6π
(D)
32
3
(11)已知 O 为坐标原点, F 是椭圆 C:
2 2
x y
2 2 1(a b 0)
a b
的左焦点, A,B 分别为 C 的左,右顶点 .P 为
C 上一点,且 PF⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则
C 的离心率为
(A )
1
3
(B)
1
2
(C)
2
3
(D)
3
4
(12)定义 “规范 01 数列 ”{an} 如下:{an} 共有 2m 项,其中 m 项为 0,m 项为 1,且对任意 k 2m,
a a a
1, 2, , k
中 0 的个数不少于 1 的个数 .若 m=4,则不同的“规范 01 数列”共有
(A )18 个 (B)16 个 (C)14 个 (D)12 个
二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分
(13)若 x,y 满足约束条件 错误!未找到引用源。 则 z=x+y 的最大值为 _____________.
(14)函数 错误!未找到引用源。 的图像可由函数 错误!未找到引用源。 的图像至少向右平移 _____________
个单位长度得到。
(15)已知 f(x)为偶函数,当 错误!未找到引用源。 时, 错误!未找到引用源。 ,则曲线 y=f(x) ,在带你( 1,-3)
处的切线方程是 _______________。
(16)已知直线 错误!未找到引用源。 与圆 错误!未找到引用源。 交于 A ,B 两点,过 A,B 分别做 l 的垂线
2
与 x 轴交于 C,D 两点,若 错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 __________________.
三. 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分 12 分)
已知数列 错误!未找到引用源。 的前 n 项和错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 ,其中 错误!未找
到引用源。 0
(I)证明 错误!未找到引用源。 是等比数列,并求其通项公式
31
(II )若 S5 错误!未找到引用源。 ,求
32
(18)(本小题满分 12 分)
下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图
(I)由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请用相关系数加以说明
(II )建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01),预测2016 年我国生活垃圾无害化处理量。
(19)(本小题满分 12 分)
如图,四棱锥P-ABCD 中,PA⊥地面 ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC =3,PA=BC =4,M 为线段AD 上一点,AM= 2MD ,
N 为 PC 的中点 .
(I)证明 MN∥平面 PAB ;
(II )求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值.
(20)(本小题满分 12 分)
已知抛物线 C:
2 2
y x 的焦点为 F,平行于 x 轴的两条直 线 l1,l2 分别交 C 于
A, B 两点,交 C 的准线于 P,Q 两点 .
(I)若 F 在线段AB 上, R 是 PQ 的中点,证明 AR∥FQ;
(II )若△ PQF 的面积是△ ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程 .
(21)(本小题满分 12 分)设函数 f( x)= acos2x+(a-1)(cosx+1),其中 a>0,记错误!未找到引用源。 的最
大值为 A.
(Ⅰ)求 f'( x);
(Ⅱ)求 A;
(Ⅲ)证明 错误!未找到引用源。 ≤2A.
3
请考生在 [22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如
果多做,则按所做的第一题计分。
22. (本小题满分 10 分)选修4-1:几何证明选讲
如图,⊙O 中 AB 的中点为 P,弦 PC,PD 分别交 AB 于 E,F 两点 .
(I)若∠ PFB =2∠PCD,求∠ PCD 的大小;
(II )若 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G,证明OG⊥CD.
23. (本小题满分 10 分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中, 曲线
C 的参数方程为
1
x
y
3 cos
sin
( 为参数 )
,以坐标原点为极点, 以 x 轴的正半轴为极
轴,,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 sin( ) 2 2
4
.
(I)写出
C 的普通方程和 C2 的直角坐标方程;
1
(II )设点 P 在 C1 上,点 Q 在 C2 上,求 |PQ |的最小值及此时 P 的直角坐标 .
24. (本小题满分 10 分)选修4-5:不等式选讲
已知函数 f ( x) | 2x a | a
(I)当 a=2 时,求不等式 f (x) 6 的解集;
(II )设函数 g( x) | 2x 1|, 当 x R 时, f(x)+g(x)≥ 3,求 a 的取值范围.
4
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试题类型:新课标Ⅲ
2016 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学正式答案
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的。
(1)D (2)C (3)A (4)D (5)A (6)A (7)B
(8)C (9)B (10)B (11)A (12)C
【11】
【12】解:由题意可知, “规范 01 数列”有偶数项 2m 项,且所含 0 与 1 的个数相等,首项为 0,末项为 1,若
m=4,说明数列有 8 项,满足条件的数列有:
0,0,0,0,1,1,1,1; 0,0,0,1,0,1,1,1; 0,0,0,1,1,0,1,1; 0,0,0,1,1,1,0,1;
0,0,1,0,0,1,1,1;
0,0,1,0,1,0,1,1; 0,0,1,0,1,1,0,1; 0,0,1,1,0,1,0,1; 0,0,1,1,0,0,1,1;
0,1,0,0,0,1,1,1;
0,1,0,0,1,0,1,1; 0,1,0,0,1,1,0,1; 0,1,0,1,0,0,1,1; 0,1,0,1,0,1,0,1.共
14 个.
5
故选: C.
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第( 13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第(22)题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分
(13)
3
2
(14)
3
(15) y 2x 1
(16)4
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分 12 分)
解:(Ⅰ)由题意得
a1 S 1 a ,故 1,
1 1
1
a , a1 0.
1
1
由Sn 1 an , Sn 1 1 an 1 得an 1 an 1 an ,即 an 1( 1) an . 由a1 0, 0 得 an 0 ,所
以
a
n
a
n
1
1
.
1
因此{an} 是首项为
,公比为 的等比数列,于是
1 1
1 n
1
a ( ) .
n
1 1
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
n
S 1 ( ) ,由
n
1
31
S 得
5
32
1
(
)
1
5
31
32
,即
(
5
)
1
1
32
,
解得 1.
(18)(本小题满分 12 分)
6
解:(Ⅰ)由折线图这数据和附注中参考数据得
7 7
2 2
t 4 , (ti t) 28 , (yi y) 0.55,
i 1 i 1
7 7 7
(ti t)( y y) t y t y 40.17 4 9.32 2.89,
i i i i
i 1 i 1 i 1
2. 89
r 0.99.
0.55 2 2.646
因为 y 与 t的相关系数近似为 0.99 ,说明 y 与t 的线性相关相当高, 从而可以用线性回归模型拟合 y 与t 的关系 .
7
(t t)( y y)
i i
9.32 2.89
?
(Ⅱ)由 1.331
i 1
y 及(Ⅰ)得 b 0.103 ,
7
7 28
2
(t t)
i i 1
?
a? y bt 1.331 0.103 4 0.92 .
所以, y 关于 t的回归方程为: y? 0.92 0.10t .
将 2016 年对应的 t 9代入回归方程得: y? 0.92 0.10 9 1 .82 .
所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨.
(19)(本小题满分 12 分)
2
解:(Ⅰ)由已知得 AM 2 ,取 BP 的中点 T ,连接 AT ,TN ,由 N 为 PC 中点知 TN // BC ,
AD
3
1
TN BC 2 .
2
又 AD // BC ,故 TN 平行且等于 AM ,四边形 AMNT 为平行四边形,于是 MN // AT .
因为 AT 平面 PAB , MN 平面 PAB ,所以 MN // 平面 PAB .
( Ⅱ ) 取 BC 的 中 点 E , 连 结 AE , 由 AB AC 得 AE BC , 从 而 AE AD , 且
2 BC
2 2 2
AE AB BE AB ( ) 5.
2
以 A为坐标原点, AE 的方向为 x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz ,由题意知,
5
P (0,0,4) ,M (0,2,0) ,C( 5, 2, 0) , N( ,1, 2) ,
2
5 5
PM ( 0,2, 4) , PN ( ,1, 2) , AN ( ,1, 2) .
2 2
设n ( x, y, z) 为平面 PMN 的法向量,则
n
n
PM
PN
0
,即
0
2x
5
2
4z
x
y
0
2z
,可取 n ( 0,2,1) ,
0
7
于是
| cos
| n AN | 8 5
n, AN | .
25
| n|| AN |
1
(20)解:由题设 F ,0) . 设l1 : y a, l2 : y b,则 ab 0,且
(
2
2 a b
2
a b 1 1 1
A( ,0), B( ,b), P( , a), Q( , b), R( , ) .
2 2 2 2 2 2
记过 A, B 两点的直线为 l ,则 l 的方程为 2x (a b)y ab 0. .....3 分
(Ⅰ)由于 F 在线段 AB 上,故 1 ab 0 .
记 AR 的斜率为
k , FQ 的斜率为 k2 ,则
1
a b a b 1 ab
k b k .
1 2 2 2
1 a a ab a a
所以 AR∥ FQ . ......5 分
(Ⅱ)设 l 与 x 轴的交点为 D(x ,0) ,
1
则
a b
1 1 1
S ABF b a FD b a x ,S PQF .
1
2 2 2 2
由题设可得
1
2
a b
1
b a x ,所以 x1 0 (舍去), x1 1.
1
2 2
设满足条件的 AB 的中点为 E (x, y) .
当 AB 与 x轴不垂直时,由
2 y
kAB k 可得 (x 1)
DE
a b x 1
.
a b
而 y
2 x x
,所以 y 1( 1) .
2
2 x
当 AB 与 x轴垂直时, E 与 D 重合. 所以,所求轨迹方程为 y 1. ....12 分
(21)(本小题满分 12 分)
8
解:(Ⅰ)
f x a x a x. ' ( ) 2 sin 2 ( 1)sin
' ( ) 2 sin 2 ( 1)sin
(Ⅱ)当 a 1时,
'
| f (x) | | a sin 2x (a 1)(cosx 1)| a 2(a 1) 3a 2 f (0)
因此, A 3a 2 . ,,, 4 分
当0 a 1时,将 f (x) 变形为 f ( x) 2a cos2 x (a 1)cos x 1.
令
2
g(t ) 2at (a 1)t 1,则 A是| g(t) |在[ 1,1]上的最大值, g( 1) a ,g(1) 3a 2 ,且当
t
1
a
4a
时,
g(t ) 取得极小值,极小值为 g
2 2
1 a (a 1) a 6a 1
( ) 1
4a 8a 8a
.
令
1 a
1 1
4a
,解得
1
a (舍去),
3
1
a .
5
(ⅰ)当
0
1
a 时, g(t) 在 ( 1,1) 内无极值点, | g( 1)| a , | g (1)| 2 3a ,| g( 1) | | g(1) | ,所以
5
A 2 3a.
(ⅱ)当
1
5
a 1时,由 g( 1) g (1) 2(1 a) 0,知
1 a
g( 1) g (1) g( )
4a
.
又
1 a (1 a)(1 7a)
| g( ) | | g( 1)| 0
4a 8a
,所以
2
1 a a 6a 1
A | g( ) |
4a 8a
.
2 3a ,0 a
1
5
综上,
2
a 6a 1 1
A , a 1
8a 5
3a 2,a 1
. ,,, 9 分
(Ⅲ)由(Ⅰ)得
'
| f (x) | | 2asin 2x (a 1)sin x| 2a | a 1|.
当
0
1
a 时,
5
'
| f (x) | 1 a 2 4a 2(2 3a) 2A.
当
1
5
a 1时, A
a 1 3
8 8a 4
1
,所以
'
| f ( x) | 1 a 2A.
当a 1时,
'
| f (x) | 3a 1 6a 4 2A ,所以
'
| f (x) | 2A.
请考生在 [22] 、[23] 、[24] 题中任选一题作答。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。
如果多做,则按所做的第一题计分。
22. (本小题满分 10 分)选修 4-1 :几何证明选讲
解:(Ⅰ)连结 PB, BC ,则 BFD PBA BPD, PCD PCB BCD .
9
因为 AP BP ,所以 PBA PCB ,又 BPD BCD ,所以 BFD PCD .
又 PFD BFD 180 , PFB 2 PCD ,所以 3 PCD 180 , 因此 PCD 60 .
(Ⅱ)因为 PCD BFD ,所以 PCD EFD 180 ,由此知 C,D, F ,E 四点共圆,其圆心既在 CE 的
垂直平分线上,又在 DF 的垂直平分线上,故 G 就是过 C, D,F , E 四点的圆的圆心,所以 G 在CD 的垂直平分
线上,因此 OG CD .
22. (本小题满分 10 分)选修 4-4 :坐标系与参数方程
解:(Ⅰ)
C 的普通方程为
1
2
x
3
2 1
y , C2 的直角坐标方程为 x y 4 0 . ,, 5 分
(Ⅱ)由题意,可设点 P 的直角坐标为 ( 3cos ,sin ) ,因为
C 是直线,所以 | PQ |的最小值,
2
即为 P 到
C 的距离 d( ) 的最小值,
2
| 3 cos sin 4|
d( ) 2 | sin( ) 2|. ,,,,,, 8 分
2 3
当 且 仅 当 2k (k Z)时 , d( ) 取 得 最 小 值 , 最 小 值 为 2 , 此 时 P 的 直 角 坐 标 为
6
3 1
( , )
2 2
. ,,,,,, 10 分
23. (本小题满分 10 分)选修 4-5 :不等式选讲
解:(Ⅰ)当 a 2时, f (x) | 2x 2 | 2 .
解不等式 | 2x 2 | 2 6 ,得 1 x 3 .
因此, f ( x) 6的解集为 { x | 1 x 3} . ,,,,,, 5 分
(Ⅱ)当 x R时, f (x) g( x) | 2x a | a |1 2x|
|2x a 1 2x | a
|1 a | a ,
当
1
x 时等号成立,
2
所以当 x R时, f (x) g( x) 3等价于 |1 a | a 3. ① ,, 7 分
当a 1时,①等价于 1 a a 3,无解 .
10
当a 1时,①等价于 a 1 a 3,解得 a 2 .
所以 a的取值范围是 [2, ) . ,,,,,, 10 分
11