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  • 2021-05-13 发布

2016全国三卷理科数学高考真题及答案7866

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‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.‎ ‎(1)设集合 S= S x P(x 2)(x 3) 0 ,T x x 0 ,则 SI T=‎ ‎(A) [2 ,3] (B) (- ,2] U [3,+ )‎ ‎(C) [3,+ ) (D) (0,2] U [3,+ )‎ ‎(2)若 z=1+2i ,则 4‎ i zz ‎1‎ ‎(A)1 (B) -1 (C) i (D)-i ‎(3)已知向量 uuv BA ‎1 2‎ ‎( , )‎ ‎2 2‎ ‎,‎ u uuv BC ‎3 1‎ ‎( , ),‎ ‎2 2‎ 则 ABC=‎ ‎(A)30‎ ‎0 (B) 450 (C) 600 (D)1200‎ ‎(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况, 绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。 图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15 0C,B 点表示四月的平均最低气温约为 50C。下面叙述不正确的是 ‎(A) 各月的平均最低气温都在 0 0C 以上 ‎(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 ‎(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 ‎(D) 平均气温高于 20 0C 的月份有 5 个 ‎(5)若 tan ‎3‎ ‎4‎ ‎,则 ‎2‎ cos 2sin 2‎ ‎(A)‎ ‎64‎ ‎25‎ ‎(B)‎ ‎48‎ ‎25‎ ‎(C) 1 (D)‎ ‎16‎ ‎25‎ ‎4 3 1‎ ‎(6)已知 ‎3‎ a 2 ,‎ ‎4‎ b 4 ,‎ ‎3‎ c 25 ,则 ‎(A )b a c (B) a b c(C) b c a(D) c a b ‎(7)执行下图的程序框图,如果输入的 a=4,b=6,那么输出的 n=‎ ‎(A )3‎ ‎(B)4‎ ‎(C)5‎ ‎(D)6‎ ‎1‎ ‎(8)在 △ABC 中, π B = ,BC 边上的高等于 ‎4‎ ‎1‎ ‎3‎ BC ,则cos A =‎ ‎(A)‎ ‎3 10‎ ‎10‎ ‎(B)‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎(C)‎ ‎10‎ ‎- (D)‎ ‎10‎ ‎-‎ ‎3 10‎ ‎10‎ ‎(9) 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实现画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为 ‎(A )18 36 5‎ ‎(B)54 18 5‎ ‎(C)90‎ ‎(D)81‎ ‎(10) 在封闭的直三棱柱 ABC -A1B1C1 内有一个体积为 V 的球,若 AB BC,AB=6,BC=8,AA 1=3,则 V 的最大值是 ‎(A )4π (B) 9‎ ‎2‎ ‎( C ) 6π ‎(D)‎ ‎32‎ ‎3‎ ‎(11)已知 O 为坐标原点, F 是椭圆 C:‎ ‎2 2‎ x y ‎2 2 1(a b 0)‎ a b 的左焦点, A,B 分别为 C 的左,右顶点 .P 为 C 上一点,且 PF⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为 ‎(A )‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎(B)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎(C)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎(D)‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎(12)定义 “规范 01 数列 ”{an} 如下:{an} 共有 2m 项,其中 m 项为 0,m 项为 1,且对任意 k 2m,‎ a a a ‎1, 2, , k 中 0 的个数不少于 1 的个数 .若 m=4,则不同的“规范 01 数列”共有 ‎(A )18 个 (B)16 个 (C)14 个 (D)12 个 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分 ‎(13)若 x,y 满足约束条件 错误!未找到引用源。 则 z=x+y 的最大值为 _____________.‎ ‎(14)函数 错误!未找到引用源。 的图像可由函数 错误!未找到引用源。 的图像至少向右平移 _____________‎ 个单位长度得到。‎ ‎(15)已知 f(x)为偶函数,当 错误!未找到引用源。 时, 错误!未找到引用源。 ,则曲线 y=f(x) ,在带你( 1,-3)‎ 处的切线方程是 _______________。‎ ‎(16)已知直线 错误!未找到引用源。 与圆 错误!未找到引用源。 交于 A ,B 两点,过 A,B 分别做 l 的垂线 ‎2‎ 与 x 轴交于 C,D 两点,若 错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 __________________.‎ 三. 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎(17)(本小题满分 12 分)‎ 已知数列 错误!未找到引用源。 的前 n 项和错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 ,其中 错误!未找 到引用源。 0‎ ‎(I)证明 错误!未找到引用源。 是等比数列,并求其通项公式 ‎31‎ ‎(II )若 S5 错误!未找到引用源。 ,求 ‎32‎ ‎(18)(本小题满分 12 分)‎ 下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图 ‎(I)由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请用相关系数加以说明 ‎(II )建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01),预测2016 年我国生活垃圾无害化处理量。‎ ‎(19)(本小题满分 12 分)‎ 如图,四棱锥P-ABCD 中,PA⊥地面 ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC =3,PA=BC =4,M 为线段AD 上一点,AM= 2MD ,‎ N 为 PC 的中点 .‎ ‎(I)证明 MN∥平面 PAB ;‎ ‎(II )求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值.‎ ‎(20)(本小题满分 12 分)‎ 已知抛物线 C:‎ ‎2 2‎ y x 的焦点为 F,平行于 x 轴的两条直 线 l1,l2 分别交 C 于 A, B 两点,交 C 的准线于 P,Q 两点 .‎ ‎(I)若 F 在线段AB 上, R 是 PQ 的中点,证明 AR∥FQ;‎ ‎(II )若△ PQF 的面积是△ ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程 .‎ ‎(21)(本小题满分 12 分)设函数 f( x)= acos2x+(a-1)(cosx+1),其中 a>0,记错误!未找到引用源。 的最 大值为 A.‎ ‎(Ⅰ)求 f'( x);‎ ‎(Ⅱ)求 A;‎ ‎(Ⅲ)证明 错误!未找到引用源。 ≤2A.‎ ‎3‎ 请考生在 [22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如 果多做,则按所做的第一题计分。‎ 22. ‎(本小题满分 10 分)选修4-1:几何证明选讲 如图,⊙O 中 AB 的中点为 P,弦 PC,PD 分别交 AB 于 E,F 两点 .‎ ‎(I)若∠ PFB =2∠PCD,求∠ PCD 的大小;‎ ‎(II )若 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G,证明OG⊥CD.‎ 23. ‎(本小题满分 10 分)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C 的参数方程为 ‎1‎ x y ‎3 cos sin ‎( 为参数 )‎ ‎,以坐标原点为极点, 以 x 轴的正半轴为极 轴,,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 sin( ) 2 2‎ ‎4‎ ‎.‎ ‎(I)写出 C 的普通方程和 C2 的直角坐标方程;‎ ‎1‎ ‎(II )设点 P 在 C1 上,点 Q 在 C2 上,求 |PQ |的最小值及此时 P 的直角坐标 .‎ 24. ‎(本小题满分 10 分)选修4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) | 2x a | a ‎(I)当 a=2 时,求不等式 f (x) 6 的解集;‎ ‎(II )设函数 g( x) | 2x 1|, 当 x R 时, f(x)+g(x)≥ 3,求 a 的取值范围.‎ ‎4‎ 绝密★启封并使用完毕前 试题类型:新课标Ⅲ ‎2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学正式答案 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。‎ ‎(1)D (2)C (3)A (4)D (5)A (6)A (7)B ‎(8)C (9)B (10)B (11)A (12)C ‎【11】‎ ‎【12】解:由题意可知, “规范 01 数列”有偶数项 2m 项,且所含 0 与 1 的个数相等,首项为 0,末项为 1,若 m=4,说明数列有 8 项,满足条件的数列有:‎ ‎0,0,0,0,1,1,1,1; 0,0,0,1,0,1,1,1; 0,0,0,1,1,0,1,1; 0,0,0,1,1,1,0,1;‎ ‎0,0,1,0,0,1,1,1;‎ ‎0,0,1,0,1,0,1,1; 0,0,1,0,1,1,0,1; 0,0,1,1,0,1,0,1; 0,0,1,1,0,0,1,1;‎ ‎0,1,0,0,0,1,1,1;‎ ‎0,1,0,0,1,0,1,1; 0,1,0,0,1,1,0,1; 0,1,0,1,0,0,1,1; 0,1,0,1,0,1,0,1.共 ‎14 个.‎ ‎5‎ 故选: C.‎ 第II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第( 13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。‎ 第(22)题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答。‎ 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分 ‎(13)‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎(14)‎ ‎3‎ ‎(15) y 2x 1‎ ‎(16)4‎ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎(17)(本小题满分 12 分)‎ 解:(Ⅰ)由题意得 a1 S 1 a ,故 1,‎ ‎1 1‎ ‎1‎ a , a1 0.‎ ‎1‎ ‎1‎ 由Sn 1 an , Sn 1 1 an 1 得an 1 an 1 an ,即 an 1( 1) an . 由a1 0, 0 得 an 0 ,所 以 a n a n ‎1‎ ‎1‎ ‎.‎ ‎1‎ 因此{an} 是首项为 ‎,公比为 的等比数列,于是 ‎1 1‎ ‎1 n ‎1‎ a ( ) .‎ n ‎1 1‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得 n S 1 ( ) ,由 n ‎1‎ ‎31‎ S 得 ‎5‎ ‎32‎ ‎1‎ ‎(‎ ‎)‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎31‎ ‎32‎ ‎,即 ‎(‎ ‎5‎ ‎)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎32‎ ‎,‎ 解得 1.‎ ‎(18)(本小题满分 12 分)‎ ‎6‎ 解:(Ⅰ)由折线图这数据和附注中参考数据得 ‎7 7‎ ‎2 2‎ t 4 , (ti t) 28 , (yi y) 0.55,‎ i 1 i 1‎ ‎7 7 7‎ ‎(ti t)( y y) t y t y 40.17 4 9.32 2.89,‎ i i i i i 1 i 1 i 1‎ 2. ‎ 89‎ r 0.99.‎ 0.55 ‎ 2 2.646‎ 因为 y 与 t的相关系数近似为 0.99 ,说明 y 与t 的线性相关相当高, 从而可以用线性回归模型拟合 y 与t 的关系 .‎ ‎7‎ ‎(t t)( y y)‎ i i 9.32 ‎ 2.89 ?‎ ‎(Ⅱ)由 1.331‎ i 1‎ y 及(Ⅰ)得 b 0.103 ,‎ ‎7‎ ‎7 28‎ ‎2‎ ‎(t t)‎ i i 1‎ ‎?‎ a? y bt 1.331 0.103 4 0.92 .‎ 所以, y 关于 t的回归方程为: y? 0.92 0.10t .‎ 将 2016 年对应的 t 9代入回归方程得: y? 0.92 0.10 9 1 .82 .‎ 所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨.‎ ‎(19)(本小题满分 12 分)‎ ‎2‎ 解:(Ⅰ)由已知得 AM 2 ,取 BP 的中点 T ,连接 AT ,TN ,由 N 为 PC 中点知 TN // BC ,‎ AD ‎3‎ ‎1‎ TN BC 2 .‎ ‎2‎ 又 AD // BC ,故 TN 平行且等于 AM ,四边形 AMNT 为平行四边形,于是 MN // AT .‎ 因为 AT 平面 PAB , MN 平面 PAB ,所以 MN // 平面 PAB .‎ ‎( Ⅱ ) 取 BC 的 中 点 E , 连 结 AE , 由 AB AC 得 AE‎ ‎BC , 从 而 AE AD , 且 ‎2 BC ‎2 2 2‎ AE AB BE AB ( ) 5. 2‎ 以 A为坐标原点, AE 的方向为 x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz ,由题意知,‎ ‎5‎ P (0,0,4) ,M (0,2,0) ,C( 5, 2, 0) , N( ,1, 2) ,‎ ‎2‎ ‎5 5‎ PM ( 0,2, 4) , PN ( ,1, 2) , AN ( ,1, 2) .‎ ‎2 2‎ 设n ( x, y, z) 为平面 PMN 的法向量,则 n n PM PN ‎0‎ ‎,即 ‎0‎ ‎2x ‎5‎ ‎2‎ ‎4z x y ‎0‎ ‎2z ‎,可取 n ( 0,2,1) ,‎ ‎0‎ ‎7‎ 于是 ‎| cos ‎| n AN | 8 5‎ n, AN | .‎ ‎25‎ ‎| n|| AN |‎ ‎1‎ ‎(20)解:由题设 F ,0) . 设l1 : y a, l2 : y b,则 ab 0,且 ‎(‎ ‎2‎ ‎2 a b ‎2‎ a b 1 1 1‎ A( ,0), B( ,b), P( , a), Q( , b), R( , ) . 2 2 2 2 2 2‎ 记过 A, B 两点的直线为 l ,则 l 的方程为 2x (a b)y ab 0. .....3 分 ‎(Ⅰ)由于 F 在线段 AB 上,故 1 ab 0 .‎ 记 AR 的斜率为 k , FQ 的斜率为 k2 ,则 ‎1‎ a b a b 1 ab k b k .‎ ‎1 2 2 2‎ ‎1 a a ab a a 所以 AR∥ FQ . ......5 分 ‎(Ⅱ)设 l 与 x 轴的交点为 D(x ,0) ,‎ ‎1‎ 则 a b ‎1 1 1‎ S ABF b a FD b a x ,S PQF .‎ ‎1‎ ‎2 2 2 2‎ 由题设可得 ‎1‎ ‎2‎ ‎ a b ‎1‎ b a x ,所以 x1 0 (舍去), x1 1.‎ ‎1‎ ‎2 2‎ 设满足条件的 AB 的中点为 E (x, y) .‎ 当 AB 与 x轴不垂直时,由 ‎2 y kAB k 可得 (x 1)‎ DE a b x 1‎ ‎.‎ a b 而 y ‎2 x x ‎,所以 y 1( 1) .‎ ‎2‎ ‎2 x 当 AB 与 x轴垂直时, E 与 D 重合. 所以,所求轨迹方程为 y 1. ....12 分 ‎(21)(本小题满分 12 分)‎ ‎8‎ 解:(Ⅰ)‎ f x a x a x. ' ( ) 2 sin 2 ( 1)sin ‎' ( ) 2 sin 2 ( 1)sin ‎(Ⅱ)当 a 1时,‎ ‎'‎ ‎| f (x) | | a sin 2x (a 1)(cosx 1)| a 2(a 1) 3a 2 f (0)‎ 因此, A 3a 2 . ,,, 4 分 当0 a 1时,将 f (x) 变形为 f ( x) 2a cos2 x (a 1)cos x 1.‎ 令 ‎2‎ g(t ) 2at (a 1)t 1,则 A是| g(t) |在[ 1,1]上的最大值, g( 1) a ,g(1) 3a 2 ,且当 t ‎1‎ a ‎4a 时,‎ g(t ) 取得极小值,极小值为 g ‎ 2 2‎ ‎ 1 a (a 1) a 6a 1‎ ‎( ) 1‎ ‎4a 8a 8a ‎.‎ 令 ‎1 a ‎1 1‎ ‎4a ‎,解得 ‎1‎ a (舍去),‎ ‎3‎ ‎1‎ a .‎ ‎5‎ ‎(ⅰ)当 ‎0‎ ‎1‎ a 时, g(t) 在 ( 1,1) 内无极值点, | g( 1)| a , | g (1)| 2 3a ,| g( 1) | | g(1) | ,所以 ‎5‎ A 2 3a.‎ ‎(ⅱ)当 ‎1‎ ‎5‎ a 1时,由 g( 1) g (1) 2(1 a) 0,知 ‎1 a g( 1) g (1) g( )‎ ‎4a ‎.‎ 又 ‎1 a (1 a)(1 7a)‎ ‎| g( ) | | g( 1)| 0‎ ‎4a 8a ‎,所以 ‎2‎ ‎1 a a 6a 1‎ A | g( ) |‎ ‎4a 8a ‎.‎ ‎2 3a ,0 a ‎1‎ ‎5‎ 综上,‎ ‎2‎ a 6a 1 1‎ A , a 1‎ ‎8a 5‎ ‎3a 2,a 1‎ ‎. ,,, 9 分 ‎(Ⅲ)由(Ⅰ)得 ‎'‎ ‎| f (x) | | 2asin 2x (a 1)sin x| 2a | a 1|.‎ 当 ‎0‎ ‎1‎ a 时,‎ ‎5‎ ‎'‎ ‎| f (x) | 1 a 2 4a 2(2 3a) 2A.‎ 当 ‎1‎ ‎5‎ a 1时, A a 1 3‎ ‎8 8a 4‎ ‎1‎ ‎,所以 ‎'‎ ‎| f ( x) | 1 a 2A.‎ 当a 1时,‎ ‎'‎ ‎| f (x) | 3a 1 6a 4 2A ,所以 ‎'‎ ‎| f (x) | 2A.‎ 请考生在 [22] 、[23] 、[24] 题中任选一题作答。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。‎ 如果多做,则按所做的第一题计分。‎ 22. ‎ (本小题满分 10 分)选修 4-1 :几何证明选讲 解:(Ⅰ)连结 PB, BC ,则 BFD PBA BPD, PCD PCB BCD .‎ ‎9‎ 因为 AP BP ,所以 PBA PCB ,又 BPD BCD ,所以 BFD PCD .‎ 又 PFD BFD 180 , PFB 2 PCD ,所以 3 PCD 180 , 因此 PCD 60 .‎ ‎(Ⅱ)因为 PCD BFD ,所以 PCD EFD 180 ,由此知 C,D, F ,E 四点共圆,其圆心既在 CE 的 垂直平分线上,又在 DF 的垂直平分线上,故 G 就是过 C, D,F , E 四点的圆的圆心,所以 G 在CD 的垂直平分 线上,因此 OG CD .‎ 22. ‎ (本小题满分 10 分)选修 4-4 :坐标系与参数方程 解:(Ⅰ)‎ C 的普通方程为 ‎1‎ ‎2‎ x ‎3‎ ‎2 1‎ y , C2 的直角坐标方程为 x y 4 0 . ,, 5 分 ‎(Ⅱ)由题意,可设点 P 的直角坐标为 ( 3cos ,sin ) ,因为 C 是直线,所以 | PQ |的最小值,‎ ‎2‎ 即为 P 到 C 的距离 d( ) 的最小值,‎ ‎2‎ ‎| 3 cos sin 4|‎ d( ) 2 | sin( ) 2|. ,,,,,, 8 分 ‎2 3‎ 当 且 仅 当 2k (k Z)时 , d( ) 取 得 最 小 值 , 最 小 值 为 2 , 此 时 P 的 直 角 坐 标 为 ‎6‎ ‎3 1‎ ‎( , )‎ ‎2 2‎ ‎. ,,,,,, 10 分 23. ‎ (本小题满分 10 分)选修 4-5 :不等式选讲 解:(Ⅰ)当 a 2时, f (x) | 2x 2 | 2 .‎ 解不等式 | 2x 2 | 2 6 ,得 1 x 3 .‎ 因此, f ( x) 6的解集为 { x | 1 x 3} . ,,,,,, 5 分 ‎(Ⅱ)当 x R时, f (x) g( x) | 2x a | a |1 2x|‎ ‎|2x a 1 2x | a ‎|1 a | a ,‎ 当 ‎1‎ x 时等号成立,‎ ‎2‎ 所以当 x R时, f (x) g( x) 3等价于 |1 a | a 3. ① ,, 7 分 当a 1时,①等价于 1 a a 3,无解 .‎ ‎10‎ 当a 1时,①等价于 a 1 a 3,解得 a 2 .‎ 所以 a的取值范围是 [2, ) . ,,,,,, 10 分 ‎11‎