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- 2021-05-13 发布
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【高考试题】2019年全国高考理科数学试题(全国I卷)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,则()
A. B. C. D.
2.设复数,在复平面内对应的点为,则()
A. B. C. D.
3.已知,则()
A. B. C. D.
4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶到肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为(,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此。此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是。若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是()
A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm
5.函数在上的图像大致为()
A. B.
C. D.
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“”,右图就是一重卦。在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是()
A. B. C. D.
7.已知非零向量,满足,且,则和的夹角为()
A. B. C. D.
8.右图是求的程序框图,图中空白框中应填入()
A.
B.
C.
D.
9.记为等差数列的前项和。已知,则()
A. B. C. D.
10.已知椭圆的焦点为,过点的直线与交于两点,
若,则的方程为()
A. B. C. D.
11.关于函数有下述四个结论:
①是偶函数 ②在区间单调递增
③在有4个零点 ④的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③
12.已知三棱锥的四个顶点在球的球面上,,是边长为2的正三角形,分别是的中点,,则球的体积为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.曲线在点处的切线方程为---------------------------------------。
14.记为等比数列的前项和。若,,则---------------。
15.甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束)。根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”。设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4:1获胜的概率是。
16.已知双曲线的左右焦点分别为,过的直线与的两条渐近线分别交于两点。若,,则的离心率为-----------------------。
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.的内角的对边分别为,设。
(1)求;
(2)若,求。
18.如图,直四棱柱底面是菱形,,,,分别是的中点。
(1)证明:平面; (2)求二面角的正弦值。
19.已知抛物线的焦点为,斜率为的直线与的交点分别为,与轴的交点为。
(1)若,求直线的方程; (2)若,求。
20.已知函数,为的导数。证明:
(1)在区间存在唯一极大值点;
(2)有且仅有2个零点。
21.为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验。试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验,对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药。一轮治疗结果得出后,再进行下一轮试验。当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效。为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得分,乙药得分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得分,甲药得分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分。甲、乙两种药的治愈率分别记为、,一轮试验中甲药的得分记为。
(1)求的分布列;
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,表示“甲药的累计得分为时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则,
其中。假设、。
(ⅰ)证明:为等比数列;
(ⅱ)求,并根据的值解释这种试验方案的合理性。
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数)。以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为。
(1)求和的直角坐标方程;
(2)求上的点到距离的最小值。