2020高考数学二轮复习 专题四 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线学案 21页

第2讲　椭圆、双曲线、抛物线 ‎[考情考向分析]　1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).‎ ‎2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)．‎ 热点一　圆锥曲线的定义与标准方程 ‎1.圆锥曲线的定义 ‎(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝‎2a(‎2a>|F‎1F2|)．‎ ‎(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝‎2a(‎2a<|F‎1F2|)．‎ ‎(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于点M.‎ ‎2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”‎ 所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．‎ 例1　(1)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，左、右顶点为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M，N)，△AF1B的周长为4，且直线AM与AN的斜率之积为－，则C的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ 21‎ C.＋＝1 D.＋y2＝1‎ 答案　C 解析　由△AF1B的周长为4，可知|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝‎4a＝4，‎ 解得a＝，则M，N(，0)．‎ 设点A(x0，y0)(x0≠±)，‎ 由直线AM与AN的斜率之积为－，‎ 可得·＝－，‎ 即y＝－(x－3)，①‎ 又＋＝1，所以y＝b2，②‎ 由①②解得b2＝2.‎ 所以C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)已知以圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点，B点是抛物线C2：x2＝8y上任意一点，BM与直线y＝－2垂直，垂足为M，则|BM|－|AB|的最大值为(　　)‎ A．1 B．‎2 C．－1 D．8‎ 答案　A 解析　因为圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为C(1,0)，‎ 所以可得以C(1,0)为焦点的抛物线方程为y2＝4x，‎ 由解得A(1,2)．‎ 抛物线C2：x2＝8y的焦点为F(0,2)，‎ 准线方程为y＝－2，‎ 即有|BM|－|AB|＝|BF|－|AB|≤|AF|＝1，‎ 当且仅当A，B，F(A在B，F之间)三点共线时，可得最大值为1.‎ 思维升华　(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．‎ ‎(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．‎ 跟踪演练1　(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以|F‎1F2‎ 21‎ ‎|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 答案　D 解析　∵点(3,4)在以|F‎1F2|为直径的圆上，‎ ‎∴c＝5，可得a2＋b2＝25.①‎ 又∵点(3,4)在双曲线的渐近线y＝x上，‎ ‎∴＝.②‎ 由①②联立，解得a＝3，b＝4，‎ 可得双曲线的方程为－＝1.‎ ‎(2)(2018·宁波模拟)已知双曲线C的渐近线方程是y＝±2x，右焦点F(3,0)，则双曲线C的方程为________，又若点N(0,6)，M是双曲线C的左支上一点，则△FMN周长的最小值为________．‎ 答案　x2－＝1　6＋2‎ 解析　因为点F(3,0)为双曲线的右焦点，则不妨设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，‎ 所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±2x，‎ 即＝2，①‎ 又因为a2＋b2＝32，②‎ 联立①②，解得a＝1，b＝2，所以双曲线的方程为x2－＝1，设双曲线的左焦点为F′，则△FMN的周长为|NF|＋|MN|＋|MF|＝|NF|＋|MN|＋‎2a＋|MF′|≥|NF|＋‎2a＋|NF′|＝2|NF|＋‎2a＝6＋2，当且仅当点M为直线NF′与双曲线的左支的交点时，等号成立，所以△FMN的周长的最小值为6＋2.‎ 热点二　圆锥曲线的几何性质 ‎1．椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系 ‎(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝.‎ 21‎ ‎(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.‎ ‎2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．‎ 例2　(1)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若△AF‎1F2的面积是△BF‎1F2面积的三倍，cos∠AF2B＝，则椭圆E的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　设|F1B|＝k，‎ 依题意可得|AF1|＝3k，|AB|＝4k，‎ ‎∴|AF2|＝‎2a－3k，|BF2|＝‎2a－k.‎ ‎∵cos∠AF2B＝，‎ 在△ABF2中，由余弦定理可得 ‎|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2||BF2|cos∠AF2B，‎ ‎∴(4k)2＝(‎2a－3k)2＋(‎2a－k)2－(‎2a－3k)(‎2a－k)，‎ 化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，‎ 而a＋k>0，故a－3k＝0，a＝3k，‎ ‎∴|AF2|＝|AF1|＝3k，|BF2|＝5k，‎ ‎∴|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，‎ ‎∴AF1⊥AF2，∴△AF‎1F2是等腰直角三角形．‎ ‎∴c＝a，椭圆的离心率e＝＝.‎ ‎(2)已知双曲线M：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，＝‎2c.若双曲线M的右支上存在点P，使＝，则双曲线M的离心率的取值范围为(　　)‎ A. B. C．(1,2) D. 答案　A 21‎ 解析　根据正弦定理可知＝，‎ 所以＝，即|PF2|＝|PF1|，‎ ＝‎2a，‎ 所以＝‎2a，解得＝，‎ 而>a＋c，即>a＋c，‎ 整理得3e2－4e－1<0，解得1，所以10，b>0)的一条渐近线截椭圆＋y2＝1所得弦长为，则此双曲线的离心率等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，由椭圆的对称性不妨取渐近线为y＝x，设渐近线与椭圆的交点为，‎ 则有解得＝2，则c2＝a2＋b2＝‎3a2，则此双曲线的离心率e＝＝，故选B.‎ ‎(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为‎2c，直线l过点且与双曲线C的一条渐近线垂直，以双曲线C的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l交于M，N两点，若|MN|＝c，则双曲线C的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±4x 答案　B 21‎ 解析　方法一　由题意可设渐近线方程为y＝x，‎ 则直线l的斜率kl＝－，‎ 直线l的方程为y＝－，‎ 整理可得ax＋by－a2＝0.‎ 焦点(c,0)到直线l的距离 d＝＝，‎ 则弦长为2＝2＝c，‎ 整理可得c4－‎9a2c2＋‎12a3c－‎4a4＝0，‎ 即e4－9e2＋12e－4＝0，‎ 分解因式得＝0.‎ 又双曲线的离心率e>1，则e＝＝2，‎ 所以＝ ＝＝，‎ 所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.‎ 方法二　圆心到直线l的距离为＝，‎ ‎∴＝，∴c2－‎3ac＋‎2a2＝0，‎ ‎∴c＝‎2a，b＝a，∴渐近线方程为y＝±x.‎ 热点三　直线与圆锥曲线 判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法 ‎(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．‎ ‎(2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．‎ 例3　(2018·浙江教育绿色评价联盟适应性考试)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：‎ 21‎ ＋＝1(a>b>0)的离心率为，其右顶点A到上顶点的距离为，过点A的直线l：y＝k(x－a)(k<0)与椭圆E交于另一点B，点C为y轴上一点．‎ ‎(1)求椭圆E的标准方程；‎ ‎(2)若△ABC是等边三角形，求直线l的方程．‎ 解　(1)由题意可知，椭圆E的离心率e＝＝，‎ ＝，a2＝b2＋c2，‎ 所以所以椭圆E的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)设AB的中点为M(x0，y0)，连接CM，则由△ABC为等边三角形可知MC⊥AB，且|MC|＝|AB|.‎ 联立 可得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0.‎ 设B(x1，y1)，则2x1＝，‎ 所以x1＝，x0＝＝，‎ 将x0代入y＝k(x－2)，得y0＝－，‎ 所以M，‎ ‎|AB|＝|x1－2|＝·，‎ ‎|MC|＝|x0|＝·.‎ 由|MC|＝|AB|，‎ 得·＝··，‎ 解得|k|＝，‎ 又因为k<0，所以k＝－，‎ 21‎ 所以直线l的方程为y＝－(x－2)，‎ 即3x＋4y－6＝0.‎ 思维升华　解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．‎ 跟踪演练3　(2018·杭州质检)如图，过抛物线M：y＝x2上一点A(点A不与原点O重合)作抛物线M的切线AB交y轴于点B，点C是抛物线M上异于点A的点，设G为△ABC的重心(三条中线的交点)，直线CG交y轴于点D.设点A(x0，x)(x0≠0)．‎ ‎(1)求直线AB的方程；‎ ‎(2)求的值．‎ 解　(1)因为y′＝2x，‎ 所以直线AB的斜率k＝y′＝2x0.‎ 所以直线AB的方程y－x＝2x0(x－x0)，‎ 即y＝2x0x－x，‎ 即直线AB的方程为2x0x－y－x＝0.‎ ‎(2)由题意得，点B的纵坐标yB＝－x，‎ 所以AB的中点坐标为.‎ 设C(x1，y1)，G(x2，y2)，‎ 直线CG的方程为x＝my＋x0(m≠0)．‎ 由 联立得m2y2＋(mx0－1)y＋x＝0.‎ Δ＝(mx0－1)2－4×m2×＝1－2mx0>0，‎ 即mx0<.‎ 因为G为△ABC的重心，所以y1＝3y2.‎ 由根与系数的关系，得 21‎ y1＋y2＝4y2＝，y1y2＝3y＝.‎ 所以＝，‎ 解得mx0＝－3±2，满足Δ>0.‎ 所以点D的纵坐标yD＝－＝，‎ 故＝＝4±6.‎ 真题体验 ‎1．(2017·北京)若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________.‎ 答案　2‎ 解析　由双曲线的标准方程知，‎ a＝1，b2＝m，c＝，‎ 故双曲线的离心率e＝＝＝，‎ ‎∴1＋m＝3，解得m＝2.‎ ‎2．(2017·全国Ⅱ改编)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为________．‎ 答案　2‎ 解析　设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，‎ 圆的圆心为(2,0)，半径为2，‎ 由弦长为2，得圆心到渐近线的距离为＝.‎ 由点到直线的距离公式，得＝，解得b2＝‎3a2.所以双曲线C的离心率e＝＝＝＝2.‎ ‎3．(2017·全国Ⅱ改编)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为________．‎ 答案　2 解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由直线方程的点斜式，可得直线 21‎ MF的方程为y＝(x－1)．‎ 联立方程组 解得 或 ‎∵点M在x轴的上方，∴M(3,2)．‎ ‎∵MN⊥l，∴N(－1,2)．‎ ‎∴|NF|＝＝4，‎ ‎|MF|＝|MN|＝3－(－1)＝4.‎ ‎∴△MNF是边长为4的等边三角形．‎ ‎∴点M到直线NF的距离为2.‎ ‎4．(2017·山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．‎ 答案　y＝±x 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由消去x，得 a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，‎ ‎∴y1＋y2＝.‎ 又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，‎ ‎∴y1＋＋y2＋＝4×，‎ 即y1＋y2＝p，‎ ‎∴＝p，即＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.‎ 21‎ 押题预测 ‎1．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且＝，则该双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D．2‎ 押题依据　圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点．‎ 答案　A 解析　由F2(c,0)到渐近线y＝x的距离为d＝＝b，即＝b，则＝3b.‎ 在△AF2O中，＝c，‎ tan∠F2OA＝，‎ tan∠AOB＝＝，‎ 化简可得a2＝2b2，即c2＝a2＋b2＝a2，‎ 即e＝＝，故选A.‎ ‎2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且点在该椭圆上．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AOB的面积为，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程．‎ 押题依据　椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注．‎ 解　(1)由题意可得e＝＝，‎ 又a2＝b2＋c2，所以b2＝a2.‎ 因为椭圆C经过点，‎ 21‎ 所以＋＝1，解得a2＝4，所以b2＝3，‎ 故椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由(1)知F1(－1,0)，设直线l的方程为x＝ty－1，‎ 由消去x，得 ‎(4＋3t2)y2－6ty－9＝0，‎ 显然Δ>0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则y1＋y2＝，y1y2＝－，‎ 所以|y1－y2|＝ ‎＝＝，‎ 所以S△AOB＝·|F1O|·|y1－y2|＝＝，‎ 化简得18t4－t2－17＝0，‎ 即(18t2＋17)(t2－1)＝0，‎ 解得t＝1，t＝－(舍去)．‎ 又圆O的半径r＝＝，‎ 所以r＝，故圆O的方程为x2＋y2＝.‎ A组　专题通关 ‎1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 答案　B 解析　由y＝x，可得＝.①‎ 21‎ 由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，‎ 可得a2＋b2＝9.②‎ 由①②可得a2＝4，b2＝5.‎ 所以C的方程为－＝1.故选B.‎ ‎2．(2018·嘉兴市、丽水市教学测试)若双曲线C：x2－y2＝1的右顶点为A，过点A的直线l与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，且＝2，则直线l的斜率为(　　)‎ A．± B．± C．±2 D．±3‎ 答案　D 解析　由题意得双曲线的渐近线方程为x±y＝0，点A的坐标为(1,0)．当直线l的斜率不存在或斜率为±1或0时，显然不符合题意；当直线l的斜率存在且不等于±1和0时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，分别与双曲线的两条渐近线联立，解得或 则由＝2，得yP＝－2yQ，‎ 即＝－2×或－＝－2×，‎ 解得k＝3或k＝－3，故选D.‎ ‎3．(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|等于(　　)‎ A. B．‎3 C．2 D．4‎ 答案　B 解析　由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝± x.‎ 设两渐近线的夹角为2α，则有tan α＝＝，‎ 所以α＝30°.所以∠MON＝2α＝60°.‎ 又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，‎ 21‎ 不妨设MN⊥ON，如图所示．‎ 在Rt△ONF中，|OF|＝2，‎ 则|ON|＝.‎ 则在Rt△OMN中，‎ ‎|MN|＝|ON|·tan 2α ‎＝·tan 60°＝3.故选B.‎ ‎4．(2018·浙江省衢州二中模拟)设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F(2,0)，点A(－2,1)为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|＋|PF|＝8，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　设椭圆的左焦点为F2(－2,0)，则|PA|－|AF2|≤|PF2|≤|PA|＋|AF2|，即|PA|－1≤|PF2|≤|PA|＋1，当且仅当P，A，F2三点共线时，等号成立，则‎2a＝|PF|＋|PF2|∈[7,9]，则椭圆的离心率e＝∈，故选A.‎ ‎5．抛物线C：y2＝8x的焦点F的坐标为________，若点P(，m)在抛物线C上，则线段PF的长度为________．‎ 答案　(2,0)　＋2‎ 解析　抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，则抛物线的准线方程为x＝－2，因为点P(，m)在抛物线上，所以PF的长度等于点P(，m)到抛物线的准线的距离，即|PF|＝＋2.‎ ‎6．(2018·北京)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．‎ 答案　－1　2‎ 解析　方法一　双曲线N的渐近线方程为y＝±x，则＝tan 60°＝，∴双曲线N的离心率e1满足e＝1＋＝4，∴e1＝2.‎ 由得x2＝.‎ 21‎ 如图，设D点的横坐标为x，‎ 由正六边形的性质得|ED|＝2x＝c，∴4x2＝c2.‎ ‎∴＝a2－b2，得‎3a4－‎6a2b2－b4＝0，‎ ‎∴3－－2＝0，解得＝2－3.‎ ‎∴椭圆M的离心率e2满足e＝1－＝4－2.‎ ‎∴e2＝－1.‎ 方法二　双曲线N的渐近线方程为y＝±x，‎ 则＝tan 60°＝.‎ 又c1＝＝‎2m，∴双曲线N的离心率为＝2.‎ 如图，连接EC，由题意知，F，C为椭圆M的两焦点，设正六边形的边长为1，则|FC|＝‎2c2＝2，即c2＝1.‎ 又E为椭圆M上一点，则|EF|＋|EC|＝‎2a，‎ 即1＋＝‎2a，∴a＝.‎ ‎∴椭圆M的离心率为＝＝－1.‎ ‎7．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且直线l与圆x2－px＋y2－p2＝0交于C，D两点，若|AB|＝3|CD|，则直线l的斜率为________．‎ 答案　± 解析　由题意得F，由x2－px＋y2－p2＝0，‎ 配方得2＋y2＝p2，‎ 所以直线l过圆心，可得|CD|＝2p，‎ 21‎ 若直线l的斜率不存在，则l：x＝，‎ ‎|AB|＝2p，|CD|＝2p，不符合题意，‎ ‎∴直线l的斜率存在．‎ ‎∴可设直线l的方程为y＝k，‎ A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 联立化为x2－x＋＝0，‎ 所以x1＋x2＝p＋，‎ 所以|AB|＝x1＋x2＋p＝2p＋，‎ 由|AB|＝3|CD|，所以2p＋＝6p，‎ 可得k2＝，所以k＝±.‎ ‎8．已知A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，若椭圆C上存在点P，使得直线PA，PB斜率的绝对值之和为1，则椭圆C的离心率的取值范围是________．‎ 答案　 解析　不妨设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，P(x，y)，A(x1，y1)，则B，‎ 所以＋＝1，＋＝1，‎ 两式相减得＝－，所以＝－，‎ 所以直线PA，PB斜率的绝对值之和为＋≥2＝，‎ 由题意得≤1，所以a2≥4b2＝‎4a2－‎4c2，即‎3a2≤‎4c2，‎ 所以e2≥，又因为00)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.‎ ‎(1)求l的方程；‎ ‎(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．‎ 解　(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．‎ 21‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.‎ Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.‎ 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.‎ 由题意知＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1.‎ 因此l的方程为x－y－1＝0.‎ ‎(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.‎ 设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，‎ 则 解得或 因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.‎ ‎10．(2018·天津)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，点A的坐标为(b,0)，且|FB|·|AB|＝6.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设直线l：y＝kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若＝sin∠AOQ(O为原点)，求k的值．‎ 解　(1)设椭圆的焦距为‎2c，由已知有 ＝，‎ 又由a2＝b2＋c2，可得‎2a＝3b.‎ 由已知可得|FB|＝a，|AB|＝b，‎ 由|FB|·|AB|＝6，可得ab＝6，从而a＝3，b＝2.‎ 所以椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)．‎ 由已知有y1>y2>0，故|PQ|sin∠AOQ＝y1－y2.‎ 又因为|AQ|＝，而∠OAB＝，‎ 所以|AQ|＝y2.‎ 21‎ 由＝sin∠AOQ，可得5y1＝9y2.‎ 由方程组消去x，可得y1＝ .‎ 由题意求得直线AB的方程为x＋y－2＝0，‎ 由方程组消去x，可得y2＝.‎ 由5y1＝9y2，可得5(k＋1)＝3，两边平方，‎ 整理得56k2－50k＋11＝0，解得k＝或k＝.‎ 所以k的值为或.‎ B组　能力提高 ‎11．2000多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线．已知圆锥的高为PH，AB为地面直径，顶角为2θ，那么不过顶点P的平面与PH夹角>a>θ时，截口曲线为椭圆；与PH夹角a＝θ时，截口曲线为抛物线；与PH夹角θ>a>0时，截口曲线为双曲线．如图，底面内的直线AM⊥AB，过AM的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与PB的交点为C，可知AC为长轴．那么当C在线段PB上运动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为(　　)‎ A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 答案　D 解析　如图，因为对于给定的椭圆来说，短轴的端点Q到焦点F的距离等于长半轴a，但短轴的端点Q到直线AM的距离也是a，即说明短轴的端点Q到定点F的距离等于到定直线AM的距离，且点F不在定直线AM上，所以由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分，故选D.‎ ‎12．已知直线MN过椭圆＋y2＝1的左焦点F，与椭圆交于M，N两点，直线PQ过原点O与MN平行，且与椭圆交于P，Q两点，则＝________.‎ 21‎ 答案　2 解析　方法一　特殊化，设MN⊥x轴，则＝＝＝，2＝4, ＝＝2.‎ 方法二　由题意知F(－1,0)，当直线MN的斜率不存在时，|MN|＝＝，|PQ|＝2b＝2，则＝2；当直线MN的斜率存在时，设直线MN的斜率为k，‎ 则MN方程为y＝k(x＋1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 联立方程 整理得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.‎ 由根与系数的关系，得 x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ 则|MN|＝·＝.‎ 直线PQ的方程为y＝kx，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，‎ 则解得x2＝，y2＝，‎ 则|OP|2＝x2＋y2＝，又|PQ|＝2|OP|，‎ 所以|PQ|2＝4|OP|2＝，∴＝2.‎ ‎13．(2018·浙江省杭州二中月考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且斜率为1的直线与x2＋y2＝1相切，点P是椭圆上的点，G，I分别是△F1PF2的重心与内心，且＝λ，则椭圆的方程为________________．‎ 答案　＋＝1‎ 解析　过椭圆的左焦点F1且斜率为1的直线的方程为x－y＋c＝0，因为其与圆x2＋y2＝1相切，所以＝1，解得c＝.设点P的坐标为(x0，y0)，则△F1PF2的重心G的坐标为，即G，又因为＝λ，所以GI平行于x轴，则△F1PF2的内心I的纵坐标为，则△F1PF2的内切圆的半径为，则△F1PF2的面积为××(|F‎1F2|＋|PF1|＋|PF2|)＝×|y0|×|F‎1F2|，即××(‎2c＋‎2a)＝×|y0|×‎2c，化简得a＝‎2c＝2，则b2＝a 21‎ ‎2－c2＝6，所以椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎14．(2018·浙江)已知点P(0,1)，椭圆＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足＝2，则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大．‎ 答案　5‎ 解析　方法一　如图，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由于椭圆具有对称性，不妨设点B在第一象限，则xB>0，yB>0.‎ ‎∵P(0,1)，＝2，‎ ‎∴(－xA,1－yA)＝2(xB，yB－1)．‎ ‎∴－xA＝2xB，即xA＝－2xB.‎ 设直线AB：y＝kx＋1(k>0)．‎ 将y＝kx＋1代入＋y2＝m，‎ 得(1＋4k2)x2＋8kx＋4－‎4m＝0.(*)‎ ‎∴xA＋xB＝－xB＝－，‎ ‎∴xB＝＝≤＝2，‎ 当且仅当＝4k，即k＝时，xB取到最大值2，‎ 此时方程(*)化为x2＋2x＋2－‎2m＝0，‎ xA·xB＝－2x＝－8，即2－‎2m＝－8，解得m＝5.‎ 当点B在其他象限时，同理可解．‎ 方法二　设直线AB：y＝kx＋1(k≠0)，‎ A(xA，yA)，B(xB，yB)．‎ 由P(0,1)，＝2，得xA＝－2xB.‎ 由得(1＋4k2)x2＋8kx＋4－‎4m＝0，‎ 21‎ ‎∴xA＋xB＝－xB＝，xAxB＝－2x＝.消去xB，得m＝1＋.‎ ‎|xB|＝＝≤2，‎ 当且仅当|k|＝时，|xB|max＝2，此时m＝5.‎ 21‎