高考数学复习题库83空间点、直线、平面之间的位置关系更多关注高中学习资料库 7页

‎8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系 一、选择题 ‎1．下列命题正确的个数为(　　)．‎ ‎①经过三点确定一个平面；‎ ‎②梯形可以确定一个平面；‎ ‎③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；‎ ‎④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 解析　①④错误，②③正确．‎ 答案　C ‎2．设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是 (　　)‎ A．若AC与BD共面，则AD与BC共面 B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线 C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC D．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC 解析A中，若AC与BD共面，则A、B、C、D四点共面，则AD与BC共面；‎ B中，若AC与BD是异面直线，则A、B、C、D四点不共面，则AD与BC是异面直线；‎ C中，若AB＝AC，DB＝DC，AD不一定等于BC；‎ D中，若AB＝AC，DB＝DC，可以证明AD⊥BC.‎ 答案C ‎3．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分为(　　)‎ A．5部分 B．6部分 C．7部分 D．8部分 解析 垂直于交线的截面如图，把空间分为7部分．‎ 答案 C ‎ ‎4．正方体ABCDA1B‎1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为(　　)．‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ 解析　依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行的棱有AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合条件的棱共有5条．‎ 答案　C ‎5．已知正方体ABCDA1B‎1C1D1中，O是BD1的中点，直线A‎1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是(　　)．‎ A．A1、M、O三点共线 B．M、O、A1、A四点共面 C．A、O、C、M四点共面 D．B、B1、O、M四点共面 解析　因为O是BD1的中点．由正方体的性质知，O也是A‎1C的中点，所以点O在直线A‎1C上，又直线A‎1C交平面AB1D1于点M，则A1、M、O三点共线，又直线与直线外一点确定一个平面，所以B、C正确．‎ 答案　D ‎6．如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是(　　)．‎ A．AC⊥SB B．AB∥平面SCD C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 解析　选项A正确，因为SD垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD中，所以AC垂直于SD；再由ABCD为正方形，所以AC垂直于BD；而BD与SD相交，所以，AC垂直于平面SBD，进而垂直于SB.选项B正确，因为AB平行于CD，而CD在平面SCD内，AB不在平面SCD内，所以AB平行于平面SCD.选项C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等．选项D错误，AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．‎ 答案　D ‎7．在底面为正方形的长方体上任意选择4个顶点，则以这4个顶点为顶点构成的几何形体可能是：①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．则其中正确结论的序号是(　　)．‎ A．①③④⑤B．①②④⑤‎ C．①②③⑤D．①②③④‎ 解析　由长方体的性质知①正确，②不正确；对于③，长方体ABCDA1B‎1C1D1中的四面体A1ABD符合条件，③正确；对于④，长方体ABCDA1B‎1C1D1中的四面体A1BC1D符合条件，④正确；对于⑤，长方体ABCDA1B‎1C1D1中的四面体A1ABC符合条件．‎ 答案　A 二、填空题 ‎8．下列四个命题中，真命题为_______(写出所有正确结论的编号)．‎ ‎①若两个平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；④空间中，相交于同一点的三条直线必在同一个平面内．‎ 解析 根据公理容易判断①③是正确的．故选B.‎ 答案　①③‎ ‎9．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成________部分．‎ 解析　如图所示，三个平面α、β、γ两两相交，‎ 交线分别是a、b、c且a∥b∥c.‎ 观察图形，可得α、β、γ把空间分成7部分．‎ 答案　7‎ ‎10．以下四个命题中，正确命题的序号是________．‎ ‎①不共面的四点中，任意三点不共线；‎ ‎②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；‎ ‎③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；‎ ‎④依次首尾相接的四条线段必共面．‎ 解析①可以用反证法证明，假设有三点共线，则由直线和直线外一点确定一个平面，得这四点共面；②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．‎ 答案　①‎ ‎11．已知线段AB、CD分别在两条异面直线上，M、N分别是线段AB、CD的中点，则MN____________(AC＋BD)(填“＞”，“＜”或“＝”)．‎ 解析　如图所示，四边形ABCD是空间四边形，‎ 而不是平面四边形，要想求MN与AB、CD的关系，‎ 必须将它们转化到平面来考虑．我们可以连接AD，‎ 取AD的中点为G，再连接MG、NG，在△ABD中，‎ M、G分别是线段AB、AD的中点，则MG∥BD，且MG＝BD，同理，在△ADC中，NG∥AC，且NG＝AC，又根据三角形的三边关系知，MN＜MG＋NG，即MN＜BD＋AC＝(AC＋BD)．‎ 答案　＜‎ ‎12．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，将△ABD沿对角线BD折起到△A′BD的位置，使点A′在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线A′B与CD所成角的大小为________．‎ 解析如题图所示，‎ 由A′O⊥平面ABCD，‎ 可得平面A′BC⊥平面ABCD，‎ 又由DC⊥BC可得DC⊥平面A′BC，DC⊥A′B，‎ 即得异面直线A′B与CD所成角的大小为90°.‎ 答案90°‎ 三、解答题 ‎13．如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．‎ 证明∵梯形ABCD中，AD∥BC，‎ ‎∴AB，CD是梯形ABCD的两腰．‎ ‎∴AB，CD必定相交于一点．‎ 设AB∩CD＝M.‎ 又∵AB⊂α，CD⊂β，∴M∈α，且M∈β.‎ ‎∴M∈α∩β.‎ 又∵α∩β＝l，∴M∈l.‎ 即AB，CD，l共点．‎ ‎14．如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綉AD，BE綉FA，G、H分别为FA、FD的中点．‎ ‎(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；‎ ‎(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？‎ 解析 (1)证明　由题设知，FG＝GA，FH＝HD，‎ 所以GH綉AD.又BC綉AD，故GH綉BC.‎ 所以四边形BCHG是平行四边形．‎ ‎(2)C、D、F、E四点共面．理由如下：‎ 由BE綉AF，G是FA的中点知，BE綉GF，‎ 所以EF綉BG.‎ 由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面．又点D在直线FH上，所以C、D、F、E四点共面．‎ ‎15．如图所示，正方体ABCDA1B‎1C1D1中，A‎1C与截面DBC1交于O点，AC，BD交于M点，求证：C1，O，M三点共线．‎ 证明　∵C1∈平面A1ACC1，‎ 且C1∈平面DBC1，‎ ‎∴C1是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点．‎ 又∵M∈AC，∴M∈平面A1ACC1.‎ ‎∵M∈BD，∴M∈平面DBC1，‎ ‎∴M也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点，‎ ‎∴C‎1M是平面A1ACC1与平面DBC1的交线．‎ ‎∵O为A‎1C与截面DBC1的交点，‎ ‎∴O∈平面A1ACC1，O∈平面DBC1，‎ 即O也是两平面的公共点，‎ ‎∴O∈直线C‎1M，即C1，O，M三点共线．‎ ‎16.如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AD、AB的中点，G、H分别在BC、CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.‎ ‎(1)求证：E、F、G、H四点共面；‎ ‎(2)设FG与HE交于点P，求证：P、A、C三点共线．‎ 证明　(1)△ABD中，E、F为AD、AB中点，‎ ‎∴EF∥BD.‎ ‎△CBD中，BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，‎ ‎∴GH∥BD，∴EF∥GH(平行线公理)，‎ ‎∴E、F、G、H四点共面．‎ ‎(2)∵FG∩HE＝P，P∈FG，P∈HE，‎ ⇒P∈直线AC.‎ ‎∴P、A、C三点共线．‎