高考解析几何万能解题套路模版 9页

圆锥曲线 解题套路综述 高考解析几何解题套路及各步骤操作规则：‎ 步骤一：（一表）把题目中的点、直线、曲线这三大类基础几何元素用代数形式表示出来；‎ 口诀：见点化点、见直线化直线、见曲线化曲线。‎ ‎1、见点化点：“点”用平面坐标系上的坐标表示，只要是题目中提到的点都要加以坐标化；‎ ‎2、见直线化直线：“直线”用二元一次方程表示，只要是题目中提到的直线都要加以方程化；‎ ‎3、见曲线化曲线：“曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）”用二元二次方程表示，只要是题目中提到的曲线都要加以方程化。‎ 步骤二：（二代）把题目中的点与直线、曲线从属关系用代数形式表示出来；如果某个点在某条直线或曲线上，那么这个点的坐标就可代入这条直线或曲线的方程。‎ 口诀：点代入直线、点代入曲线。‎ ‎1、点代入直线：如果某个点在某条直线上，将点的坐标代入这条直线的方程；‎ ‎2、点代入曲线：如果某个点在某条曲线上，将点的坐标代入这条曲线的方程；‎ 这样，每代入一次就会得到一个新的方程，方程逐一列出后，这些方程都是获得最后答案的基础，最后就是解方程组的问题了。‎ 在方程组的求解中，我们发现一个特殊情况，即如果题目中有两个点在同一条曲线上，将它们的坐标代入曲线方程后能够直接求解的可以直接求解，如果不能直接求解的，则采用下面这套等效规则来处理可以达到同样的处理效果，并让方程组的求解更简单，具体过程：‎ ‎1、点代入这两个点共同所在的直线：把这两个点共同所在直线用点斜式方程（如）表示出来，将这两个点的坐标分别代入这条直线的方程；‎ ‎2、将这条直线的方程代入这条曲线的方程，获得一个一元二次方程；‎ ‎3、把这个一元二次方程的二次项系数不等于零的条件列出来；‎ ‎4、把这个一元二次方程的判别式列出来；‎ ‎5、把这个一元二次方程的根用韦达定理来表示（这里表示出来的实际上就是这两个点的坐标之间的相互关系式）。‎ 步骤三：（三译）图形构成特点的代数化，或者说其它附加条件的代数化。‎ 前面两个步骤都是高度模式化的，他们构成了解决所有问题的基础。在解析几何题目里，事实上就是附加了一些特殊条件的问题，如我们可以附加两条直线垂直的条件，也可以附加一条直线与一条曲线相切的条件，等等，当然，我们不用太担心，这些条件都是与我们教材上的基本数学概念相对应的，它们分别与一个或一组固定模式的方程相对应，而且，通过少数几条通用规则就可以把所有这些方程罗列出来。而我们要做的，就是针对这些特定条件选择合适的通用规则来列方程。这个步骤涉及的主要通用规则：‎ ‎1、两点的距离 ‎2、两个点的对称点 ‎3、条直线垂直 ‎4、两条直线平行 ‎5、两条直线的夹角 ‎6、点到直线的距离 ‎7、正余弦定理及面积公式 ‎8、向量规则 ‎9、直线与曲线的位置关系 把直线方程代入曲线方程，得形如的一元二次方程：‎ ‎①当时，直线与曲线有一个交点；‎ ‎②当时，直线与曲线相切；‎ ‎③当时，直线与曲线有两个交点；‎ ‎④当时，或当时，直线与曲线无交点；‎ 这个步骤的处理关键是根据条件的特点选择适当的通用规则组合。‎ 步骤四：（四处理）按答案的要求解方程组，把结果转化成答案要求的形式。‎ 一般情况步骤1、2、3 完成后，会得到一组方程，而答案就是这组方程组的解。这个步骤就是方程组的求解了，解方程组实际上就是用加减乘除四则混合运算以及乘方、开方等来消除方程的参数。不过，这里我们也给出三条消参的原则：‎ ‎1、把方程中的所有未知量都视为参数。比如，如果某个点的坐标为，而都是未知的，我们把它们都视为方程组的参数。‎ ‎2、消参的原则是，把与答案无关的参数消去，留下与答案有关的参数。或者说在解方程组的时候，用与答案有关的参数来表示与答案无关的参数。‎ ‎3、消参完成后，把结果表示成答案要求的形式。‎ 例题1：全国卷Ⅱ理（21）年高文科（22）（本小题满分12分）‎ 已知为坐标原点，为椭圆在轴正半轴上的焦点，过且斜率为的直线与交与两点，点满足. (I)证明：点在上；‎ ‎(II)设点关于点的对称点为，证明：四点在同一圆上.‎ 例题2：（理数北京卷）已知椭圆：，过点作圆的切线交椭圆于、两点 ⑴ 求椭圆的焦点坐标和离心率； ⑵ 将表示为的函数，并求的最大值。‎ 例题3.（新课标卷第20题）在平面直角坐标系中，已知点，点在直线上，点满足，，点的轨迹为曲线。 ⑴ 求的方程。‎ ‎⑵ 为上的动点，为在点处的切线，求点到距离的最小值 例题4、（理数四川卷）椭圆有两顶点、，过其焦点的直线与椭圆交于、两点，并与轴交于点。直线与直线交于点。⑴ 当时，求直线的方程；‎ ‎⑵ 当点异于、两点时，求证：为定值。‎ 例题5.（理数全国卷第21题）已知为坐标原点，为椭圆：在轴正半轴上的焦点，过且斜率为的直线与交与、两点，点满足 ‎⑴ 证明：点在上；‎ ‎⑵ 设点关于点的对称点为，证明：、、、四点在同一圆上。‎ 答案例题5.理数全国卷第21题 解：由已知有 由已知有直线的方程为：‎ 设、‎ ‎∴ ……①‎ ‎ ……②‎ 将直线的方程代入椭圆方程，整理得 ‎∴ ……③‎ ‎ ……④‎ 其中，恒成立 设 由已知 ‎⑴ ∴在上 ‎⑵ 由已知有 则的中垂线为：‎ 设、的中点为 ‎∴‎ ‎∴‎ 则的中垂线为：‎ 则的中垂线与的中垂线的交点为 ‎∴‎ 到直线的距离为 ‎∴‎ 即 ‎∴、、、四点在同一圆上。‎ 例6、理数山东卷第22题 已知动直线与椭圆：交于、两不同点，且的面积，其中为坐标原点。‎ ‎⑴ 证明：和均为定值。‎ ‎⑵ 设线段的中点为，求的最大值；‎ ‎⑶ 椭圆上是否存在三点、、，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由。‎ 解：设直线的方程为：‎ ‎∴ ……①‎ ‎ ……②‎ 将直线的方程代入椭圆方程，整理得 ‎∴ ……③‎ ‎ ……④‎ 其中，‎ 到直线的距离 由已知有的面积 ‎∴‎ ‎⑴ ∴，恒为定值 ‎，恒为定值 ‎⑵ 由已知有线段的中点，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴的最大值为 ‎⑶ 设存在满足题意的三点、、‎ 则由“⑴”有 ‎ ……⑤‎ ‎ ……⑥‎ ‎ ……⑦‎ ‎⑤-⑥，得 同理有，‎ 不妨令，则 即直线垂直于轴，直线或直线平行于轴 ‎∴为直角三角形。‎