2018高考数学解题技巧极坐标与参数方程 3页

‎2018高考数学解题技巧 解答题模板3：极坐标与参数方程 1、 题型与考点（1）‎ ‎ （2） ‎ ‎ (3) ‎ ‎2、【知识汇编】‎ 参数方程：直线参数方程： 为直线上的定点， 为直线上任一点到定点的数量；‎ 圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：(a,b)为圆心，r为半径；‎ 椭圆的参数方程是；‎ 双曲线的参数方程是；‎ 抛物线的参数方程是 极坐标与直角坐标互化公式：‎ 若以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，点P的极坐标为，直角坐标为，则, , , 。‎ 解题方法及步骤 ‎（1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数，先确定一个关系（或，再代入普通方程，求得另一关系（或）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）‎ 例1、方程（为参数）表示的曲线是（ ）‎ A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到t与互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含的项，，即有，又注意到 ，，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为，显然它表示焦点在轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B.‎ ‎（2）、极坐标与直角坐标的互化 利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点P的直角坐标为，它的极坐标为，则或；若把直角坐标化为极坐标，求极角时，应注意判断点所在的象限（即角的终边的位置），以便正确地求出角.‎ 例2、极坐标方程表示的曲线是（ ）‎ ‎ A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线 分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.‎ 解析：由，化为直角坐标系方程为，化简得.显然该方程表示抛物线，故选D.‎ ‎（3）、参数方程与直角坐标方程互化 例3：已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．‎ ‎ （1）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎ （2）曲线，是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．‎ 解：（1）由得，‎ ‎ ∴曲线的普通方程为，‎ ‎ ∵，，‎ ‎ ∵，，，‎ ‎ ∴，即，‎ ‎ ∴曲线的直角坐标方程为；‎ ‎ （2）∵圆的圆心为，圆的圆心为，‎ ‎∴‎ ‎ ∴两圆相交，设相交弦长为，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段 ‎ ∴， ∴，∴公共弦长为 ‎（4）利用参数方程求值域 例题4、在曲线：上求一点，使它到直线：的距离最小，并求出该点坐标和最小距离.‎ 解：直线化成普通方程是，设所求的点为，‎ 则C到直线的距离，‎ 当时，即时，取最小值1 ，此时，点的坐标是.‎ ‎5）直线参数方程中的参数的几何意义 例5、已知直线经过点，倾斜角，‎ ‎①写出直线的参数方程;‎ ‎②设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积.‎ ‎ 解 （1）直线的参数方程为，即． ‎ ‎ （2）把直线代入，‎ 得，，‎ 则点到两点的距离之积为．‎