高考数学高频易错题举例解析 51页

高考数学高频易错题举例解析 高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。‎ ● 忽视等价性变形，导致错误。‎ Û ，但 与 不等价。‎ ‎【例1】已知f(x) = ax + ，若求的范围。‎ 错误解法 由条件得 ‎ ‎②×2－① ‎ ‎①×2－②得 ‎ ‎+得 ‎ 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数，其值是同时受制约的。当取最大（小）值时，不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。‎ 正确解法 由题意有, 解得：‎ ‎ 把和的范围代入得 ‎ 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。‎ ‎●忽视隐含条件，导致结果错误。‎ ‎ 【例2】‎ (1) 设是方程的两个实根，则的最小值是 思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。‎ 利用一元二次方程根与系数的关系易得：‎ 有的学生一看到，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。‎ ‎ 原方程有两个实根，∴ Þ ‎ 当时，的最小值是8；‎ 当时，的最小值是18。‎ 这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。‎ ‎(2) 已知(x+2)2+ =1, 求x2+y2的取值范围。‎ 错解 由已知得 y2=－4x2－16x－12，因此 x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+)2+ ，‎ ‎∴当x=－时，x2+y2有最大值，即x2+y2的取值范围是(－∞, ]。‎ 分析 没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。‎ 事实上，由于(x+2)2+ =1 Þ (x+2)2=1－ ≤1 Þ －3≤x≤－1，‎ 从而当x=－1时x2+y2有最小值1。∴ x2+y2的取值范围是[1, ]。‎ 注意有界性：偶次方x2≥0，三角函数－1≤sinx≤1，指数函数ax>0，圆锥曲线有界性等。‎ ‎●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。‎ ‎【例3】已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值。‎ 错解 (a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8,‎ ‎∴(a+)2+(b+)2的最小值是8.‎ 分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。‎ 事实上，原式= a2+b2+++4=( a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2－2ab]+[(+)2－]+4‎ ‎ = (1－2ab)(1+)+4，‎ 由ab≤()2= 得：1－2ab≥1－=, 且≥16，1+≥17，‎ ‎∴原式≥×17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立)，‎ ‎∴(a + )2 + (b + )2的最小值是。‎ ‎●不进行分类讨论，导致错误 ‎【例4】(1)已知数列的前项和，求 错误解法 ‎ 错误分析 显然，当时，。‎ 错误原因：没有注意公式成立的条件是。‎ 因此在运用时，必须检验时的情形。即：。‎ ‎(2)实数为何值时，圆与抛物线有两个公共点。‎ 错误解法 将圆与抛物线 联立，消去，‎ 得 ①‎ 因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得 ， 解之得 错误分析 （如图2－2－1；2－2－2）显然，当时，圆与抛物线有两个公共点。‎ x y O 图2－2－2‎ x y O 图2－2－1‎ 要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。‎ 当方程①有一正根、一负根时，得解之，得 因此，当或时，圆与抛物线有两个公共点。‎ 思考题：实数为何值时，圆与抛物线，‎ (1) 有一个公共点；(2)有三个公共点；(3)有四个公共点；(4)没有公共点。‎ ‎●以偏概全，导致错误 以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。‎ ‎【例5】(1)设等比数列的全项和为.若，求数列的公比.‎ 错误解法 ，‎ ‎。‎ 错误分析 在错解中，由，‎ 时，应有。‎ 在等比数列中，是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比的情况，再在的情况下，对式子进行整理变形。‎ 正确解法 若，则有但，即得与题设矛盾，故.‎ 又依题意 Þ Þ ,即因为，所以所以解得 ‎ 说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。‎ ‎(2)求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点。‎ 错误解法 设所求的过点的直线为，则它与抛物线的交点为 ‎，消去得整理得 ‎ 直线与抛物线仅有一个交点，解得所求直线为 错误分析 此处解法共有三处错误：‎ 第一，设所求直线为时，没有考虑与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。‎ 第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“‎ 只有一个交点”的关系理解不透。‎ 第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。‎ 正确解法 ①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切。‎ ‎②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行轴，它正好与抛物线只有一个交点。‎ ‎③一般地，设所求的过点的直线为,则，‎ 令解得k = ,∴ 所求直线为 综上，满足条件的直线为：‎ ‎《章节易错训练题》‎ ‎1、已知集合M = {直线} ，N = {圆} ，则M∩N中元素个数是 A(集合元素的确定性) (A) 0 (B) 0或1 (C) 0或2 (D) 0或1或2‎ ‎2、已知A = ，若A∩R* = F ，则实数t集合T = ___。(空集)‎ ‎3、如果kx2+2kx－(k+2)<0恒成立，则实数k的取值范围是C(等号)‎ ‎(A) －1≤k≤0 (B) －1≤k<0 (C) －10 , b>0 , a+b=1，则(a + )2 + (b + )2的最小值是_______。(三相等)‎ ‎22、已知x ≠ kp (k Î Z)，函数y = sin2x + 的最小值是______。5（三相等）‎ ‎23、求的最小值。‎ 错解1 ‎ ‎ ‎ 错解2 ‎ 错误分析 在解法1中，的充要条件是 即这是自相矛盾的。‎ 在解法2中，的充要条件是 这是不可能的。‎ 正确解法1 ‎ ‎ ‎ 其中，当 正 确 解 法2 取正常数，易得 其中“”取“＝”的充要条件是 因此，当 ‎24、已知a1 = 1，an = an－1 + 2n－1(n≥2)，则an = ________。2n－1(认清项数)‎ ‎25、已知 －9、a1、a2、－1 四个实数成等差数列，－9、b1、b2、b3、－1 五个实数成等比数列，‎ 则 b2 (a2－a1) = A(符号) (A) －8 (B) 8 (C) － (D) ‎26、已知 {an} 是等比数列，Sn是其前n项和，判断Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比数列吗？‎ 当q = －1，k为偶数时，Sk = 0，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k不成等比数列；‎ 当q≠－1或q = －1且k为奇数时，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比数列。‎ ‎（忽视公比q = －1）‎ ‎27、已知定义在R上的函数和数列满足下列条件：‎ ‎ ，f(an)－f(an－1) = k(an－an－1)(n = ‎ ‎2,3,┄)，其中a为常数，k为非零常数。（1）令，证明数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）当时，求。(2004天津)‎ ‎（等比数列中的0和1，正确分类讨论）‎ ‎28、不等式m2－(m2－‎3m)i< (m2－‎4m + 3)i + 10成立的实数m的取值集合是________。{3}(隐含条件)‎ ‎29、i是虚数单位，的虚部为（ ）C(概念不清) (A) －1 (B) －i (C) －3 (D) －3 i ‎30、实数，使方程至少有一个实根。‎ 错误解法 方程至少有一个实根，‎ ‎ Þ 或 错误分析 实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误。‎ 正确解法 设是方程的实数根，则 由于都是实数，,解得 ‎ ‎31、和a = (3,－4)平行的单位向量是_________；和a = (3,－4)垂直的单位向量是_________。‎ ‎(，－)或(－，)；(，)或(－ ，－ )(漏解)‎ ‎32、将函数y= 4x－8的图象L按向量a平移到L/，L/的函数表达式为y= 4x，则向量a=______。‎ ‎ a = (h，4h+8) (其中h Î R)(漏解)‎ ‎33、已知 ||＝1，||＝，若//，求·。‎ ‎①若，共向，则 ·＝||•||＝，‎ ‎ ②若，异向，则·＝－||•||＝－。(漏解)‎ ‎34、在正三棱锥A－BCD中，E、F是AB、BC的中点，EF⊥DE，若BC = a，则正三棱锥A－BCD的体积为____________。a3 (隐含条件)‎ ‎35、在直二面角 a－AB－b 的棱 AB 上取一点 P，过 P 分别在 a、b 两个平面内作与棱成 45° 的斜线 PC、PD，那么∠CPD的大小为D(漏解) (A) 45° (B) 60° (C) 120° (D) 60° 或 120° ‎36、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。‎ ‎ （1）证明PA//平面EDB；‎ ‎（2）证明PB⊥平面EFD；‎ ‎（3）求二面角C—PB—D的大小。(2004天津)‎ ‎(条件不充分(漏PA Ë 平面EDB，平面PDC，DE∩EF = E等)；运算错误，锐角钝角不分。)‎ ‎37、若方程 + y 2 = 1表示椭圆，则m 的范围是_______。(0，1)∪(1，+ ¥)(漏解)‎ ‎38、已知椭圆 + y 2 = 1的离心率为 ，则 m 的值为 ____ 。4 或 (漏解)‎ ‎39、椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点 B 与两焦点 F1、F2 组成的三角形的周长为 4 + 2且∠F1BF2 = ，则椭圆的方程是 。+ y 2 = 1或x 2 + = 1(漏解)‎ ‎40、椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。‎ ‎ （1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线PQ的方程；‎ ‎（3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明。(2004天津)‎ ‎(设方程时漏条件a>，误认短轴是b = 2；要分析直线PQ斜率是否存在(有时也可以设为x = ky + b)先；对一元二次方程要先看二次项系数为0否，再考虑△>0，后韦达定理。)‎ ‎41、求与轴相切于右侧，并与⊙也相切的圆的圆心 的轨迹方程。‎ 错误解法 如图3－2－1所示，已知⊙C的方程为 设点为所求轨迹上任意一点，并且⊙P与轴相切于M点，‎ 与⊙C相切于N点。根据已知条件得 ‎，即，化简得 错误分析 本题只考虑了所求轨迹的纯粹性（即所求的轨迹上的点都满足条件），而没有考虑所求轨迹的完备性（即满足条件的点都在所求的轨迹上）。事实上，符合题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程。从动圆与已知圆内切，可以发现以轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径（不等于3）的圆也符合条件，所以也是所求的方程。即动圆圆心的轨迹方程是y2 = 12x(x>0)和。因此，在求轨迹时，一定要完整的、细致地、周密地分析问题，这样，才能保证所求轨迹的纯粹性和完备性。‎ O ‎·‎ 图3－2－2‎ ‎42、（如图3－2－2），具有公共轴的两个直角坐标平面和所成的二面角等于.已知内的曲线的方程是，求曲线在内的射影的曲线方程。‎ 错误解法 依题意，可知曲线是抛物线，‎ 在内的焦点坐标是 因为二面角等于，‎ 且所以 设焦点在内的射影是，那么，位于轴上，‎ 从而 所以所以点是所求射影的焦点。依题意，射影是一条抛物线，开口向右，顶点在原点。所以曲线在内的射影的曲线方程是 错误分析 上述解答错误的主要原因是，凭直观误认为F是射影(曲线)的焦点，其次，没有证明默认C/在a 内的射影(曲线)是一条抛物线。‎ O ‎·‎ 图3－2－3‎ M N H 正确解法 在内，设点是曲线上任意一点 ‎（如图3－2－3）过点作，垂足为，‎ 过作轴，垂足为连接，‎ 则轴。所以是二面角 的平面角，依题意，.‎ 在 又知轴（或与重合），‎ 轴（或与重合），设，‎ 则 ‎ 因为点在曲线上，所以 即所求射影的方程为 ‎ 数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。‎ 二、选择题：‎ ‎1．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）‎ ‎ A 向右平移 B 向右平移 C 向左平移 D向左平移 错误分析:审题不仔细,把目标函数搞错是此题最容易犯的错误.‎ 答案: B ‎2．函数的最小正周期为 ( )‎ A B C D 错误分析:将函数解析式化为后得到周期,而忽视了定义域的限制,导致出错.‎ 答案: B ‎3． 曲线y=2sin(x+cos(x-)和直线y=在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1、P2、P3……，则|P2P4|等于 （ ） A．p B．‎2p C．3p D．4p 正确答案：A 错因：学生对该解析式不能变形，化简为Asin(x+)的形式，从而借助函数图象和函数的周期性求出|P2P|。‎ ‎4．下列四个函数y=tan2x，y=cos2x，y=sin4x，y=cot(x+),其中以点(,0)为中心对称的三角函数有（ ）个 ‎ A．1 B．‎2 ‎ C．3 D．4‎ 正确答案：D 错因：学生对三角函数图象的对称性和平移变换未能熟练掌握。‎ ‎5．函数y=Asin(wx+j)(w>0,A¹0)的图象与函数y=Acos(wx+j)(w>0, A¹0)的图象在区间(x0,x0+)上（ ）‎ ‎ A．至少有两个交点 B．至多有两个交点 C．至多有一个交点 D．至少有一个交点 正确答案：C 错因：学生不能采用取特殊值和数形结合的思想方法来解题。‎ ‎6． 在DABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=，则ÐC的大小应为( )‎ ‎ A． B． C．或 D．或 正确答案：A 错因：学生求ÐC有两解后不代入检验。‎ ‎7．已知tana tanb是方程x2+3x+4=0的两根，若a，bÎ(-)，则a+b=（ ）‎ ‎ A． B．或- C．-或 D．-‎ 正确答案：D 错因：学生不能准确限制角的范围。‎ ‎8． 若，则对任意实数的取值为（ ）‎ ‎ A. 1 B. 区间（0，1）‎ ‎ C. D. 不能确定 ‎ 解一：设点，则此点满足 ‎ ‎ ‎ 解得或 ‎ 即 ‎ ‎ ‎ 选A ‎ 解二：用赋值法，‎ ‎ 令 ‎ 同样有 ‎ 选A ‎ 说明：此题极易认为答案A最不可能，怎么能会与无关呢？其实这是我们忽略了一个隐含条件，导致了错选为C或D。‎ ‎ 9． 在中，，则的大小为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 解：由平方相加得 ‎ ‎ ‎ 若 ‎ 则 ‎ 又 ‎ ‎ ‎ 选A ‎ 说明：此题极易错选为，条件 比较隐蔽，不易发现。这里提示我们要注意对题目条件的挖掘。‎ ‎10． 中,、、C对应边分别为、、.若,,,且此三角形有两解,则的取值范围为 ( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 正确答案：A 错因：不知利用数形结合寻找突破口。‎ ‎11．已知函数 y=sin(x+)与直线y＝的交点中距离最近的两点距离为，那么此函数的周期是（ ）‎ A B C 2 D 4‎ 正确答案：B 错因：不会利用范围快速解题。‎ ‎12．函数为增函数的区间是………………………… ( )‎ A. B. C. D. ‎ 正确答案：C 错因：不注意内函数的单调性。‎ ‎13．已知且，这下列各式中成立的是（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ 正确答案(D)‎ 错因:难以抓住三角函数的单调性。‎ ‎14．函数的图象的一条对称轴的方程是（）‎ 正确答案A 错因：没能观察表达式的整体构造，盲目化简导致表达式变繁而无法继续化简。‎ ‎15．ω是正实数，函数在上是增函数，那么（ ） ‎ ‎ A． B． C． D．‎ 正确答案A 错因：大部分学生无法从正面解决，即使解对也是利用的特殊值法。‎ ‎16．在(0，2π)内，使cosx＞sinx＞tanx的成立的x的取值范围是 （ ）‎ A、 () B、 () C、（） D、()‎ 正确答案：C ‎17．设，若在上关于x的方程有两个不等的实根，则为 A、或 B、 C、 D、不确定 正确答案：A ‎18．△ABC中，已知cosA=，sinB=，则cosC的值为（ ）‎ ‎ A、 B、 C、或 D、‎ ‎ 答案：A ‎ 点评：易误选C。忽略对题中隐含条件的挖掘。‎ ‎19．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为（ ）‎ ‎ A、 B、 C、或 D、或 ‎ 答案：A ‎ 点评：易误选C，忽略A+B的范围。‎ ‎20．设cos1000=k，则tan800是（ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎ 答案：B ‎ 点评：误选C，忽略三角函数符号的选择。‎ ‎21．已知角的终边上一点的坐标为（），则角的最小值为（ ）。‎ A、 B、 C、 D、‎ 正解：D ‎，而 所以，角的终边在第四象限，所以选D，‎ 误解：,选B ‎22．将函数的图像向右移个单位后，再作关于轴的对称变换得到的函数 的图像，则可以是（ ）。‎ A、 B、 C、 D、‎ 正解：B ‎,作关于x轴的对称变换得,然后向左平移个单位得函数 可得 误解：未想到逆推，或在某一步骤时未逆推，最终导致错解。‎ ‎23． A，B，C是ABC的三个内角，且是方程的两个实数根，则ABC是（ ）‎ A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形 正解：A 由韦达定理得： ‎ 在中，‎ 是钝角，是钝角三角形。‎ ‎24．曲线为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ）。‎ A、 B、 C、1 D、‎ 正解：D。‎ 由于所表示的曲线是圆，又由其对称性，可考虑的情况，即 则∴‎ 误解：计算错误所致。‎ ‎25．在锐角⊿ABC中，若，，则的取值范围为（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ 错解: B.‎ 错因:只注意到而未注意也必须为正.‎ 正解: A.‎ ‎26．已知，（），则 （C）‎ A、 B、 C、 D、‎ 错解：A 错因：忽略，而不解出 正解：C ‎27．先将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象作关于y轴的对称变换，则所得函数图象对应的解析式为 （ ）‎ A．y=sin(－2x+ ) B． y=sin(－2x－)‎ C．y=sin(－2x+ ) D． y=sin(－2x－)‎ 错解：B 错因：将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度时，写成了 正解：D ‎28．如果，那么的取值范围是（ 　）‎ A．， B．， C．，， D．，，‎ 错解: D．‎ 错因:只注意到定义域,而忽视解集中包含.‎ 正解: B．‎ ‎29．函数的单调减区间是（ ）‎ ‎ A、 （） B、‎ ‎ C、 D、‎ ‎ 答案：D ‎ 错解：B ‎ 错因：没有考虑根号里的表达式非负。‎ ‎30．已知的取值范围是（ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、 ‎ ‎ 答案：A设，可得sin2x sin2y=2t,由。‎ ‎ 错解：B、C ‎ 错因：将由 选B，相减时选C，没有考虑上述两种情况均须满足。‎ ‎31．在锐角ABC中，若C=2B，则的范围是（ ）‎ ‎ A、（0，2） B、 C、 D、‎ ‎ 答案：C ‎ 错解：B ‎ 错因：没有精确角B的范围 ‎32．函数 （ ）‎ A、3 B、‎5 C、7 D、9‎ 正确答案：B 错误原因：在画图时，0＜＜时，＞意识性较差。‎ ‎33．在△ABC中，则∠C的大小为 （　　）‎ A、30° B、150° C、30°或150° D、60°或150°‎ 正确答案：A 错误原因：易选C，无讨论意识，事实上如果C=150°则A=30°∴，∴＜＜6和题设矛盾 ‎34． （ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ 正确答案：C 错误原因：利用周期函数的定义求周期，这往往是容易忽视的，本题直接检验得 ‎35． （ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ 正确答案：B 错误原因：忽视三角函数定义域对周期的影响。‎ ‎36．已知奇函数等调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（ ）‎ A、f(cosα)＞ f(cosβ) B、f(sinα)＞ f(sinβ)‎ C、f(sinα)＜f(cosβ) D、f(sinα)＞ f(cosβ)‎ 正确答案：（C）‎ 错误原因：综合运用函数的有关性质的能力不强。‎ ‎37．设那么ω的取值范围为（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ 正确答案：(B)‎ 错误原因：对三角函数的周期和单调性之间的关系搞不清楚。‎ 二填空题：‎ ‎1．已知方程（a为大于1的常数）的两根为，，‎ 且、，则的值是_________________.‎ 错误分析：忽略了隐含限制是方程的两个负根，从而导致错误.‎ 正确解法： ，‎ ‎ 是方程的两个负根 ‎ 又 即 ‎ 由===可得 答案: -2 .‎ ‎2．已知,则 的取值范围是_______________.错误分析:由得代入中,化为关于的二次函数在上的范围,而忽视了的隐含限制,导致错误.‎ 答案: .‎ 略解: 由得 ‎ ‎ ‎ ‎ 将（1）代入得=.‎ ‎3．若,且,则_______________.‎ 错误分析:直接由,及求的值代入求得两解,忽略隐含限制出错.‎ 答案: .‎ ‎4．函数的最大值为3，最小值为2，则______，_______。‎ ‎ 解：若 ‎ 则 ‎ ‎ 若 ‎ 则 ‎ 说明：此题容易误认为，而漏掉一种情况。这里提醒我们考虑问题要周全。‎ ‎5．若Sin cos，则α角的终边在第_____象限。‎ ‎ 正确答案：四 ‎ 错误原因：注意角的范围，从而限制α的范围。‎ ‎6．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则的值为_________.‎ 正确答案：‎ 错因：看不出是两角和的正切公式的变形。‎ ‎7．函数的值域是 ．‎ 正确答案：‎ ‎8．若函数的最大值是1，最小值是，则函数的最大值是　　　　　　　　　．正确答案：5‎ ‎9．定义运算为:例如，,则函数f(x)=的值域为 ．正确答案：‎ ‎10．若，α是第二象限角，则=__________‎ ‎ 答案：5‎ ‎ 点评：易忽略的范围，由得=5或。‎ ‎11．设ω>0，函数f(x)=2sinωx在上为增函数，那么ω的取值范围是_____‎ ‎ 答案：0<ω≤‎ ‎ 点评：‎ ‎12．在△ABC中，已知a=5，b=4，cos(A－B)=，则cosC=__________‎ ‎ 答案：‎ ‎ 点评：未能有效地运用条件构造三角形运用方程思想实施转化。‎ ‎13．在中，已知，b，c是角A、B、C的对应边，则①若，则在R上是增函数；②若，则ABC是；③的最小值为；④若，则A=B；⑤若 ‎，则，其中错误命题的序号是_____。‎ 正解：错误命题③⑤。‎ ‎① ‎ ‎②。‎ ‎③‎ 显然。‎ ‎④‎ ‎ (舍) ，。‎ ‎⑤‎ 错误命题是③⑤。‎ 误解：③④⑤中未考虑，④中未检验。‎ ‎14．已知，且为锐角，则的值为_____。‎ 正解：，令得代入已知，可得 误解：通过计算求得计算错误.‎ ‎15．给出四个命题：①存在实数，使；②存在实数，使；③是偶函数；④是函数的一条对称轴方程；⑤若是第一象限角，且，则。其中所有的正确命题的序号是_____。‎ 正解：③④‎ ① 不成立。‎ ② 不成立。‎ ③ 是偶函数，成立。‎ ① 将代入得,是对称轴，成立。‎ ② 若，但，不成立。‎ 误解：①②没有对题目所给形式进行化简，直接计算，不易找出错误。‎ ‎⑤没有注意到第一象限角的特点，可能会认为是的角，从而根据做出了错误的判断。‎ ‎16．函数的最小正周期是 ‎ 错解：‎ 错因：与函数的最小正周期的混淆。‎ 正解：‎ ‎17．设=tan成立，则的取值范围是_______________‎ 错解：‎ 错因：由tan不考虑tan不存在的情况。‎ 正解：‎ ‎18．①函数在它的定义域内是增函数。‎ ‎②若是第一象限角，且。‎ ‎③函数一定是奇函数。‎ ‎④函数的最小正周期为。‎ 上述四个命题中，正确的命题是 ④ ‎ 错解：①②‎ 错因：忽视函数是一个周期函数 正解：④‎ ‎19函数f(x)=的值域为______________。‎ 错解： ‎ 错因：令后忽视,从而 正解：‎ ‎20．若2sin2α的取值范围是 ‎ 错解：‎ 错因：由其中，得错误结果；由 得或结合（1）式得正确结果。‎ 正解：[0 , ]‎ ‎21.关于函数有下列命题，y=f(x)图象关于直线对称 y=f(x)的表达式可改写为 y=f(x)的图象关于点对称 由必是的整数倍。其中正确命题的序号是 。‎ ‎ 答案： ‎ 错解： ‎ 错因：忽视f(x) 的周期是，相邻两零点的距离为。‎ ‎22．函数的单调递增区间是 。‎ ‎ 答案：‎ ‎ 错解：‎ ‎ 错因：忽视这是一个复合函数。‎ ‎23．‎ ‎ 。‎ 正确答案：‎ 错误原因：两角和的正切公式使用比较呆板。‎ ‎24． 是 。‎ 正确答案：‎ 错误原因：如何求三角函数的值域，方向性不明确 三、解答题：‎ ‎1．已知定义在区间[-p，] 上的函数y=f(x)的图象关于直线x= -对称，当xÎ[-，]时，函数f(x)=Asin(wx+j)(A>0, w>0,-40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.‎ 过点E作EP BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.‎ 在Rt中，PE=QE·sin ‎=‎ 所以船会进入警戒水域.‎ ‎20．某地区有荒山2200亩，从2002年开始每年年初在荒山上植树造林，‎ 第一年植树100亩，以后每年比上一年多植树50亩．‎ ‎（1）若所植树全部成活，则到哪一年可以将荒山全部绿化？‎ ‎（2）右图是某同学设计的解决问题（１）的程序框图，则框图中ｐ，ｑ，‎ ｒ处应填上什么条件？‎ ‎（3）若每亩所植树苗木材量为‎2立方米，每年树木木材量的自然增长率 为20％，那么到全部绿化后的那一年年底，该山木材总量是多少？‎ ‎（精确到‎１立方米, ）‎ 解：（1）设植树ｎ年后可将荒山全部绿化，记第ｎ年初植树量为，‎ 依题意知数列是首项，公差的等差数列，‎ 则即 ‎∵ ∴‎ ‎∴到2009年初植树后可以将荒山全部绿化． ‎ ‎（２）ｐ处填,ｑ处填，（或ｐ处填，ｑ处填）‎ ｒ处填．(或) ‎ ‎（３）2002年初木材量为，到2009年底木材量增加为,‎ ‎2003年初木材量为，到2009年底木材量增加为,……‎ ‎2009年初木材量为，到2009年底木材量增加为.‎ 则到2009年底木材总量 ‎----------①‎ ‎---------②‎ ‎②-①得 ‎∴ｍ2‎ 答：到全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为9060ｍ2‎