高中数学 高考中数列和不等式证明的交叉论文 5页

‎ 高考中数列和不等式证明的交叉 ‎ ‎ 数列和不等式是高考的两大热点也是难点，数列是高中数学中一个重要的内容，在高等数学也有很重要的地位，不等式是高中数学培养学生思维能力的一个突出的内容，它可以体现数学思维中的很多方法，当两者结合在一起的时候，问题会变得非常的灵活。所以在复习时，我们在分别复习好两类知识的同时，一定要注意它们的相互渗透和交叉，培养灵活的思维能力。‎ ‎ 数列和证明不等式的交叉，是这两大块知识的主要交叉点，它在数列的特殊情景下，巧妙的融合了不等式的证明，它所涉及的问题往往是灵活的应用了数列和不等式的知识，把这两者完美的结合在了一起。‎ 例1 设和分别是等差数列和等比数列，且，，若，试比较和的大小。‎ 分析：这两个通项大小的比较，它们的未知量比较多，比容易直接完成。因通过它们的项数把他们组合在一起。设的公差为，的公比为。‎ 显然，因为，所以有，，即。‎ ‎。又因为，所以。若时，=‎ ‎=。因为，，所以有：。若时，，，所以也有：‎ ‎。综上所述，当，且时，。在证明过程，对等比数列求和公式的逆用，是本题证明的一个转折点，它避免了一些不必要的分类讨论，时问题得以简化。‎ 例2 已知递增的等比数列前三项之积为，且这三项分别减去，，后成等差数列，求证：。‎ 分析：要想证明这个不等式，首先要求出左边的和式。根据题意，是等比数列，所以左边的和式可以利用错位相减法来求和。先确定这个等比数列。由 可得，，所以。再设等比数列的公比为。则根据条件可得：，解得，或（舍去）。所以，因此，。令=----------①，则--------------②，‎ 由①-②得，‎ ‎，即，‎ ‎=‎ 例3 在某两个正数，之间，若插入一个数，使，，成等差数列；若另插入两个数，，使，，，成等比数列，求证：‎ 分析：不等式左边有字母，右边有不同字母、，要比较两边的大小，必须寻找、、三者之间的联系，利用数列的关系可得：，，。为计算方便，我们再令，，则，，，那么，=‎ ‎=，得。‎ 例4 设，且，求证：对一切自然数，都有。‎ 分析：因为，所以，由已知，所以有，，即。又因为，‎ 则有，，所以。‎ 在上式中取，得个不等式，把它们相加得，，于是，，因此，‎ ‎。在此题的证明过程中，我们巧妙的利用了数列求和的累加法，时问题的解决有一种全新的感觉。本题由于和自然数有关，也可以利用数学归纳法来证明。‎ 例5 设，给定数列，其中，且满足。‎ 求证：且。‎ 分析：这是1984年的高考题，当时难倒了绝大部分的学生，大家觉得无从着手。它给定的是数列，求证的是不等式，而且都是和通项有关，所以我们可以考虑求出数列的通项再来观察。‎ ‎ 因为，又因为，所以有，，则。而，则有，‎ ‎，所以，那么，因此，且。‎ 例6 求证：。‎ 分析：这是一道不等式的证明题，若我们总是在不等式的圈子里转悠，问题不能圆满的解决。跳出这个圈子，我们不难发现这是一个自然数有关的命题，那么，解决它的方法不外乎两种，一是利用数学归纳法；二是构造数列。我们来构造一个数列。令，则=‎ ‎=。所以，，从而有，。因此原不等式得证。‎ 例7 设是正项的等比数列，是其前项的和.证明：。‎ 分析：这是在数列情景下的不等式证明，所以要交叉使用数列的性质和不等式的证明技巧。要证不等式等价于，因为，所以。‎ 由等比数列的定义可得：。‎ 再用等比定理得：，因此有：。‎ 例8 数列和都是正项数列，对任意的自然数都有，，成等差数列，，，成等比数列。‎ ‎(1)问：是不是等差数列？为什么？‎ ‎(2)求证：对任意的自然数和（），≥。‎ 分析：对于第(1)题，我们不难证明它一定是等差数列。问题(2)的证明方法很多，我们可以直接利用等差数列的通项公式，通过作差比较来完成。但是若我们仔细分析题意，观察，，的特点，我们不难发现它们三者之间有等量关系：‎ ‎ ，所以≥。此题充分体现了数列和不等式知识的交叉运用。‎ 例9 数列中，前项之和为，其中和为常数，且，，。‎ ‎(1)求数列的通项公式；并证明。‎ ‎(2)若，试判断数列中任意两项的大小。‎ 分析：此题的已知条件，前项之和为 告诉我们，数列是一个等差数列，要证明成立，只要证明该数列是一个递增的数列，且即可。 (1)由可知，，，‎ 所以，即数列是一个单调递增的数列，那么。‎ ‎ (2)由(1)可知，数列各项都为正。则=‎ ‎≤=‎ ‎=，所以.‎ 例10 已知数列中，对一切自然数，都有且。‎ 求证：(1)；‎ ‎ (2)若表示数列的前项之和，则。‎ 分析：从题目的结构可以看出，条件是解决问题的关键，必须从中找出和 的关系。(1)由已知，可得，又因为，所以有，,因此，即。‎ ‎(2)由结论(1)可知， ，即，于是有，‎ ‎，即。‎ ‎ 从上面的一系列问题中，我们可以看出，数列和不等式证明是紧密相连互相渗透的，在复习中我们一定要注意它们的联系，在知识的交叉点上思考分析，达到知识的融会贯通，培养分析问题和解决问题的能力。‎