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- 2021-05-13 发布
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判定等差数列的方法
本文介绍判定等差数列的方法,目的在于深刻理解等差数列的定义,灵活运用有关知识,为解有关数列的综合题奠定基础.那么怎样判定等差数列呢?
一、定义法
如果一个数列{an}满足an+1-an=常数,则这个数列叫做等差数列.据此定义,要证数列是等差数列,只需证明an+1-an=常数,这种方法叫做定义法.
例1 已知数列{an}是等差数列,而数列{bk}的通项公式为
证明 设数列{an}的公差为d,则有
二、通项公式法
大家知道,等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d.反之如果数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d,则数列{an}是等差数列.这样,数列{an}为等差数列的充分必要条件是an=a1+(n-1)d.因此通项公式也是判定等差数列的好方法.
求证:数列{bn}是等差数列.
证明 设等比数列{an}的公比是q,由an>0知q>0,于是
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三、等差中项法
三数a,A,b成等差数列,即2A=a+b,A叫a,b等差中项.反之,若2A=a+b,则a,A,b成差数列.因此,我们常用后一结论来判定等差数列.
例3 已知x,y,z成等差数列,求证x2(y+z),y2(x+z),z2(x+y)也成等差数列.
证明 ∵x2(y+z)+z2(x+y)
=x2y+x2z+z2x+z2y
=x2y+z2y+xz(x+z)
=x2y+z2y+2yxz(∵2y=x+z)
=y(x2+z2+2xz)=4y3.
而2y2(x+z)=2y2·(2y)=4y3,
∴x2(y+z)+y2(x+y)=2y2(z+x).
故x2(y+x)、y2(z+x)、z2(x+y)也成等差数列.
有些数列题需要根据上面的方法证明所给数列是等差数列后,再求解.至于证明时选用哪个方法,应因题而异.
解 因为数列的第k项
大,必须前k项非负,而从第k+1项起以后各项都是负数,因此k适合下列条件:
由①得k≤14.2,由②得k>13.2,
所以,13.2<k≤14.2.
由于k为自然数,故k=14,即该数列前14项的和最大.
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