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  • 2021-05-13 发布

高考数学题型全归纳判定等差数列的方法

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判定等差数列的方法 ‎  本文介绍判定等差数列的方法,目的在于深刻理解等差数列的定义,灵活运用有关知识,为解有关数列的综合题奠定基础.那么怎样判定等差数列呢?‎ ‎  一、定义法 ‎  如果一个数列{an}满足an+1-an=常数,则这个数列叫做等差数列.据此定义,要证数列是等差数列,只需证明an+1-an=常数,这种方法叫做定义法.‎ ‎  例1 已知数列{an}是等差数列,而数列{bk}的通项公式为 ‎  ‎ ‎  证明 设数列{an}的公差为d,则有 ‎  ‎ ‎  ‎ ‎  ‎ ‎  二、通项公式法 ‎  大家知道,等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d.反之如果数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d,则数列{an}是等差数列.这样,数列{an}为等差数列的充分必要条件是an=a1+(n-1)d.因此通项公式也是判定等差数列的好方法.‎ ‎  ‎ ‎  求证:数列{bn}是等差数列.‎ ‎  证明 设等比数列{an}的公比是q,由an>0知q>0,于是 ‎  ‎ ‎  ‎ ‎  ‎ - 2 -‎ ‎  三、等差中项法 ‎  三数a,A,b成等差数列,即‎2A=a+b,A叫a,b等差中项.反之,若‎2A=a+b,则a,A,b成差数列.因此,我们常用后一结论来判定等差数列.‎ ‎  例3 已知x,y,z成等差数列,求证x2(y+z),y2(x+z),z2(x+y)也成等差数列.‎ ‎  证明 ∵x2(y+z)+z2(x+y)‎ ‎  =x2y+x2z+z2x+z2y ‎  =x2y+z2y+xz(x+z)‎ ‎  =x2y+z2y+2yxz(∵2y=x+z)‎ ‎  =y(x2+z2+2xz)=4y3.‎ ‎  而2y2(x+z)=2y2·(2y)=4y3,‎ ‎  ∴x2(y+z)+y2(x+y)=2y2(z+x).‎ ‎  故x2(y+x)、y2(z+x)、z2(x+y)也成等差数列.‎ ‎  有些数列题需要根据上面的方法证明所给数列是等差数列后,再求解.至于证明时选用哪个方法,应因题而异.‎ ‎  ‎ ‎  ‎ ‎  解 因为数列的第k项 ‎  ‎ ‎  ‎ ‎  大,必须前k项非负,而从第k+1项起以后各项都是负数,因此k适合下列条件:‎ ‎  由①得k≤14.2,由②得k>13.2,‎ ‎  所以,13.2<k≤14.2.‎ ‎  由于k为自然数,故k=14,即该数列前14项的和最大.‎ ‎  ‎ ‎ ‎ - 2 -‎