2015高考数学人教A版本（5-4向量的应用及向量与其他知识的综合问题）一轮复习学案 16页

‎【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 5-4向量的应用及向量与其他知识的综合问题课后强化作业 新人教A版 基础巩固强化 一、选择题 ‎1．(文)如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，且O是△ABC的外心，则·＝(　　)‎ A．6　　　　B．－‎6 ‎　　　C．8　　　　D．－8‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵AB2＝AC2＋BC2，∴∠ACB为直角，‎ ‎∵O为△ABC外心，‎ ‎∴·＝－·＝－(＋)· ‎＝－||2－·＝－8.‎ ‎(理)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则·＝(　　)‎ A．1　　　　B．‎2　‎　　　C．3　　　　D．4‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由条件知AB＝2，CD＝1，BC＝，‎ ‎∴MB＝MC＝，‎ ‎∴·＝||·||·cos45°＝×2×＝1，‎ ·＝||·||·cos135°‎ ‎＝×1×＝－，‎ ‎∴·＝(＋)·(＋)‎ ‎＝·＋·＋·＋· ‎＝－2＋＋1＋2×1＝2，故选B.‎ ‎2．(文)已知A、B、C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(sinA,1)，q＝(1，－cosB)，则p与q的夹角是(　　)‎ A．锐角 B．钝角 C．直角 D．不确定 ‎[答案]　A ‎[解析]　解法1：p·q＝sinA－cosB，若p与q夹角为直角，则p·q＝0，∴sinA＝cosB，∵A、B∈，∴A＝B＝，则C＝，与条件矛盾；若p与q夹角为钝角，则p·q<0，∴sinA这与条件矛盾，∴p与q的夹角为锐角．‎ 解法2：由题意可知A＋B>⇒A>－B⇒sinA>sin(－B)＝cosB⇒p·q＝sinA－cosB>0，又显然p、q不同向，故p与q夹角为锐角．‎ ‎(理)(2013·乌鲁木齐第一次诊断)△ABC中，若(＋)·＝||2，则的值为(　　)‎ A．2 B．‎4 C. D．2 ‎[答案]　B ‎[解析]　设△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，由(＋)·＝||2得，·＋·＝||2，即bccos(π－A)＋accosB＝c2，∴acosB－bcosA＝c，由正弦定理得sinAcosB－cosAsinB＝sinC＝sin(A＋B)＝(sinAcosB＋cosAsinB)，即sinAcosB＝4cosAsinB，∴＝4.‎ ‎3．(文)如果A是抛物线x2＝4y的顶点，过点D(0,4)的直线l交抛物线x2＝4y于B、C两点，那么·等于(　　)‎ A. B．‎0 C．－3 D．－ ‎[答案]　B ‎[解析]　由题意知A(0,0)，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，直线l：y＝kx＋4，‎ 由消去y得，x2－4kx－16＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－16，‎ ‎∴y1·y2＝(kx1＋4)(kx2＋4)＝k2x1x2＋4k(x1＋x2)＋16＝－16k2＋16k2＋16＝16，‎ ‎∴·＝x1x2＋y1y2＝0.‎ ‎(理)(2014·襄阳一中检测)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，且与另一条渐近线交于点B，若＝2，则此双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D．2‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　设∠FOA＝α，∵OA⊥FB，且＝2，∴OA为FB的中垂线，∴∠FOB＝2α，∵tanα＝，tan2α＝－，‎ ‎∴＝－，∴()2＝3，∴＝3，‎ ‎∴e＝＝2.‎ ‎4．(2012·河北郑口中学模拟)已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　如图，＋＝＝2，∵＋＋2＝0，∴＋＝0，∴P为AD的中点，‎ ‎∴所求概率为P＝＝.‎ ‎5．(文)已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则P点坐标为(　　)‎ A．(－3,0) B．(3,0)‎ C．(2,0) D．(4,0)‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　设P(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，∴当x＝3时·有最小值，‎ ‎∴P(3,0)．‎ ‎(理)直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝9相交于两点M、N，若c2＝a2＋b2，则·(O为坐标原点)等于(　　)‎ A．－7 B．－‎14 C．7 D．14‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　记、的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于＝1，∴cosθ＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝2×()2－1＝－，∴·＝3×3cos2θ＝－7，选A.‎ ‎6．(2013·荆州市质检)在△ABC中，AB＝2，AC＝4，若点P为△ABC的外心，则·的值为(　　)‎ A．2 B．‎4 C．6 D．8‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　∵cos∠BAP＝＝＝，∴·＝||·||cos∠BAP＝，同理·＝，∵＝－，∴·＝·－·＝－＝－＝6.‎ 二、填空题 ‎7．(文)‎ ‎(2012·宁夏三市联考)在平行四边形ABCD中，已知AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则·＝________.‎ ‎[答案]　－ ‎[解析]　·＝(＋)·(－)＝||2－||2－·＝1－2－×1×2·cos60°＝－.‎ ‎(理)‎ 如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值为________．‎ ‎[答案]　－ ‎[解析]　设PC＝x，则0≤x≤3.(＋)·＝2·＝－2x×(3－x)＝2x2－6x＝2(x－)2－，所以(＋)·的最小值为－.‎ ‎8．(2013·山西诊断)已知△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且tanB＝，·＝，则tanB＝________.‎ ‎[答案]　2－ ‎[解析]　依题意及余弦定理得(a2＋c2－b2)tanB＝2accosB·tanB＝2acsinB＝2－，又·＝accosB＝，于是有＝2－，即tanB＝2－.‎ ‎9．(2013·云南文山一模)在△ABC中，AB＝2，AC＝1，＝，则·的值为________．‎ ‎[答案]　－ ‎[解析]　∵＝，∴D为BC的中点，∴＝(＋)，＝＝(－)，·＝(2－2)＝－.‎ 三、解答题 ‎10．(文)(2014·树德中学检测)已知向量＝(2cosx＋1，cos2x－sinx＋1)，＝(cosx，－1)，f(x)＝·.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)当x∈[0，]时，求函数f(x)的最大值及取得最大值时的x值．‎ ‎[解析]　(1)∵＝(2cosx＋1，cos2x－sinx＋1)，＝(cosx，－1)，‎ ‎∴f(x)＝·＝(2cosx＋1)cosx－(cos2x－sinx＋1)‎ ‎＝2cos2x＋cosx－cos2x＋sinx－1‎ ‎＝cosx＋sinx＝sin(x＋)，‎ ‎∴函数f(x)最小正周期T＝2π.‎ ‎(2)∵x∈[0，]，‎ ‎∴x＋∈[，]，‎ ‎∴当x＋＝，‎ 即x＝时，f(x)＝sin(x＋)取到最大值.‎ ‎(理)(2014·漳县二中月考)已知向量a＝(sinθ，cosθ)与b＝(，1)，其中θ∈(0，)．‎ ‎(1)若a∥b，求sinθ和cosθ的值；‎ ‎(2)若f(θ)＝(a＋b)2，求f(θ)的值域．‎ ‎[解析]　(1)∵a∥b，∴sinθ·1－cosθ＝0，‎ 求得tanθ＝.‎ 又∵θ∈(0，)，∴θ＝.∴sinθ＝，cosθ＝.‎ ‎(注：本问也可以结合sin2θ＋cos2θ＝1或化为2sin(θ－)＝0来求解)‎ ‎(2)f(θ)＝(sinθ＋)2＋(cosθ＋1)2‎ ‎＝2sinθ＋2cosθ＋5＝4sin(θ＋)＋5，‎ 又∵θ∈(0，)，θ＋∈(，)，‎ 0)的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，||＋||＋||＝3，则该抛物线的方程是(　　)‎ A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝6x D．y2＝8x ‎[答案]　A ‎[解析]　∵F(，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，‎ 由＋＋＝0得，‎ ‎(x1－)＋(x2－)＋(x3－)＝0，‎ ‎∴x1＋x2＋x3＝p.‎ 又由抛物线定义知，‎ ‎||＋||＋||＝(x1＋)＋(x2＋)＋(x3＋)＝3p＝3，∴p＝1，‎ 因此，所求抛物线的方程为y2＝2x，故选A.‎ ‎(理)设F1、F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，·的值等于(　　)‎ A．0　　　　B．‎2　‎　　　C．4　　　　D．－2‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由题意得c＝＝，‎ 又S四边形PF1QF2＝2S△PF‎1F2＝2××F‎1F2·h　(h为F‎1F2边上的高)，所以当h＝b＝1时，S四边形PF1QF2取最大值，此时∠F1PF2＝120°.‎ 所以·＝||·||·cos120°‎ ‎＝2×2×(－)＝－2.‎ ‎13．(2012·浙江省样本学校测试)如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝3，AC＝5，BC＝，则·等于(　　)‎ A．－8 B．－‎1 C．1 D．8‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　‎ 取BC的中点M，连接AM、OM，‎ ·＝(＋)·＝· ‎＝·(－)＝＝8，故选D.‎ 二、填空题 ‎14．(2013·兰州名校检测)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积a⊗b＝(a1b1，a2b2)，已知向量m＝(2，)，n＝(，0)，点P(x，y)在y＝sinx的图象上运动．Q是函数y＝f(x)图象上的点，且满足＝m⊗＋n(其中O为坐标原点)，则函数y＝f(x)的值域是________．‎ ‎[答案]　[－，]‎ ‎[解析]　令Q(c，d)，由新的运算可得＝m⊗＋n＝(2x，sinx)＋(，0)＝(2x＋，sinx)，，消去x得d＝sin(c－)，所以y＝f(x)＝sin(x－)，易知y＝f(x)的值域是[－，]．‎ ‎15．(文)已知M是△ABC内的一点，且·＝2，∠BAC＝30°，若△MBC、△MCA和△MAB的面积分别为、x、y，则＋的最小值是________．‎ ‎[答案]　18‎ ‎[解析]　∵·＝2，∴bccosA＝2，‎ ‎∵∠BAC＝30°，∴bc＝4，‎ ‎∴S△ABC＝1，∴x＋y＝，‎ ＋＝＋＝(＋)＋10≥18.‎ 等号成立时，∴x＝，y＝，‎ ‎∴在时，＋取得最小值18.‎ ‎(理)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c,0)(c>0)，作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若＝(＋)，则双曲线的离心率为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　∵PF与圆x2＋y2＝相切，∴OE⊥PF，且OE＝，∵＝(＋)，∴E为PF的中点，又O为FF2的中点，∴|PF2|＝2|OE|＝a，由双曲线定义知，|PF|＝|PF2|＋‎2a＝‎3a，在Rt△PFF2中，|PF|2＋|PF2|2＝|FF2|2，∴a2＋‎9a2＝‎4c2，∴e2＝，‎ ‎∵e>1，∴e＝.‎ 三、解答题 ‎16．(文)(2013·衡水中学六模)在平面直角坐标系中，已知点A(，0)，向量e＝(0,1)，点B为直线x＝－上的动点，点C满足2＝＋，点M满足·e＝0，·＝0.‎ ‎(1)试求动点M的轨迹E的方程；‎ ‎(2)设点P是轨迹E上的动点，点R、N在y轴上，圆(x－1)2＋y2＝1内切于△PRN，求△PRN的面积的最小值．‎ ‎[解析]　(1)设M(x，y)，B(－，m)，则＝(x＋，y－m)，‎ ‎∵2＝＋＝(，0)＋(－，m)＝(0，m)，‎ ‎∴C(0，)，‎ e＝(0,1)，＝(x，y－)，＝(－1，m)，‎ 由·e＝0，·＝0得消去m得y2＝2x.‎ 所以动点M的轨迹E的方程为y2＝2x.‎ ‎(2)设P(x0，y0)，R(0，b)，N(0，c)，且b>c，‎ ‎∴lPR：y＝x＋b，‎ 即lPR：(y0－b)x－x0y＋x0b＝0，‎ 由直线PR与圆相切得，＝1，注意到x0>2，化简得(x0－2)b2＋2y0b－x0＝0，‎ 同理得(x0－2)c2＋2y‎0c－x0＝0，‎ 所以b，c是方程(x0－2)x2＋2y0x－x0＝0的两根，‎ 所以|b－c|＝＝，‎ 有S△PRN＝··x0＝(x0－2)＋＋4≥8，当x0＝4时△PRN的面积的最小值为8.‎ ‎(理)(2013·哈尔滨九中月考)如图，已知直线l与抛物线x2＝4y相切于点P(2,1)，且与x轴交于点A，O为坐标原点，定点B的坐标为(2,0)．‎ ‎(1)若动点M满足·＋||＝0，求点M的轨迹C；‎ ‎(2)若过点B的直线l′(斜率不等于零)与(1)中的轨迹C交于不同的两点E、F(E在B、F之间)，试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)由x2＝4y得y＝x2，∴y′＝x.‎ ‎∴直线l的斜率为y′|x＝2＝1，‎ 故直线l的方程为y＝x－1，∴点A坐标为(1,0)．‎ 设M(x，y)，则＝(1,0)，＝(x－2，y)，＝(x－1，y)，‎ 由·＋||＝0得(x－2)＋y·0＋·＝0，‎ 整理，得＋y2＝1.‎ ‎∴动点M的轨迹C为以原点为中心，焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2的椭圆．‎ ‎(2)由题意知直线l′的斜率存在且不为零，‎ 设l′的方程为y＝k(x－2)(k≠0)①，‎ 将①代入＋y2＝1中，整理得(2k2＋1)x2－8k2x＋(8k2－2)＝0，‎ 由Δ>0得0