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- 2021-05-13 发布
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匀速圆周运动动力学问题及实例分析
基础知识归纳
1.圆周运动的动力学问题
做匀速圆周运动的物体所受合外力提供向心力，即F合＝F向，或F合＝＝ mω2r ＝.
2.竖直平面内的圆周运动中的临界问题
(1)轻绳模型：一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动.小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是小球的重力恰好提供向心力，即mg＝m，这时的速度是做圆周运动的最小速度vmin＝.
(2)轻杆模型：一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是在最高点的速度 v≥0 .
①当v＝0时，杆对小球的支持力等于小球的重力；
②当0时，杆对小球提供 拉 力.
重点难点突破
一、圆周运动的动力学问题
解决有关圆周运动的动力学问题，首先要正确对做圆周运动的物体进行受力分析，必要时建立坐标系，求出物体沿半径方向的合外力，即物体做圆周运动时所能提供的向心力，再根据牛顿第二定律等规律列方程求解.
二、圆周运动的临界问题
圆周运动中临界问题的分析，首先应考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动的知识，综合解决问题.
1.在竖直面内做圆周运动的物体
竖直面内圆周运动的最高点，当没有支撑面(点)时，物体速度的临界条件：v临＝.绳与小球的情况即为此类临界问题，因为绳只能提供拉力不能提供支持力.
竖直面内圆周运动的最高点，当有支撑面(点)时，物体的临界速度：v临＝0.杆与球的情况为此类临界问题，因为杆既可以提供拉力，也可提供支持力或侧向力.
2.当静摩擦力提供物体做圆周运动的向心力时，常会出现临界值问题.
典例精析
1.圆周运动的动力学问题
【例1】质量为m的物体沿着半径为r的半球形金属球壳滑到最低点时的速度大小为v，如图所示，若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时( )
A.向心加速度为 B.向心力为m(g＋)
C.对球壳的压力为 D.受到的摩擦力为μm(g＋)
【解析】
物体在最低点沿半径方向受重力、球壳对物体的支持力，两力的合力提供物体做圆周运动在此位置的向心力，由牛顿第二定律有FN－mg＝，物体的向心加速度为，向心力为，物体对球壳的压力为m(g＋)，在沿速度方向，物体受滑动摩擦力，有F＝μFN＝μm(g＋)，综上所述，选项A、D正确.
【答案】AD
【思维提升】匀速圆周运动动力学规律是物体所受合外力提供向心力，即F合＝F向，或
F合＝m＝mω2r＝m.这一关系是解答匀速圆周运动的关键规律.
【拓展1】铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内外高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上行驶的速率.下表中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之相对应的轨道的高度差h.
弯道半径r(m)
660
330
220
165
132
110
内外轨高度差h(m)
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
(1)根据表中数据，试导出h与r关系的表达式，并求出当r＝440 m时，h的设计值.
(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内外轨的距离设计值L＝1.435 m，结合表中数据，求出我国火车的转弯速率v.(路轨倾角α很小时，可认为tan α＝sin α)
【解析】(1)分析表中数据可得，每组的h与r之乘积均等于常数C＝660×50×10－3 m＝33 m2，因此h•r＝33(或h＝)
当r＝440 m时，有h＝m＝0.075 m＝75 mm
(2)转弯中，当内外轨对车轮均没有侧向压力时，火车的受力如图所示.
由牛顿第二定律得mgtan α＝m ①
因为α很小，有tan α＝sin α＝ ②
由①②可得v＝
代入数据解得v＝15 m/s＝54 km/h
2.圆周运动的临界问题
【例2】(2009•安徽)过山车是游乐场中常见的设施.下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径R1＝2.0 m、R2＝1.4 m.一个质量为m＝1.0 kg的小球(可视为质点)，从轨道的左侧A点以v0＝12.0 m/s的初速度沿轨道向右运动，A、B间距L1＝6.0 m.小球与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.2，圆形轨道是光滑的.假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠.重力加速度取g＝10 m/s2，计算结果保留小数点后一位数字.试求：
(1)小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；
(2)如果小球恰能通过第二个圆形轨道，B、C间距L应是多少；
(3)在满足(2)的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R3应满足的条件；小球最终停留点与起点A的距离.
【解析】(1)设小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v1，根据动能定理
－μmgL1－2mgR1＝ ①
小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F，根据牛顿第二定律
F＋mg＝m ②
由①②式解得F＝10.0 N ③
(2)设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v1，由题意知mg＝m ④
－μmg(L1＋L)－2mgR2＝ ⑤
由④⑤式解得L＝12.5 m ⑥
(3)要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：
Ⅰ.轨道半径较小时，小球恰好能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v3，应满足
mg＝m ⑦
－μmg(L1＋2L)－2mgR3＝ ⑧
由⑥⑦⑧式解得R3＝0.4 m
Ⅱ.轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R3，根据动能定理有
－μmg(L1＋2L)－2mgR3＝0－
解得R3＝1.0 m
为了保证圆轨道不重叠，R3最大值应满足
(R2＋R3)2＝L2＋(R3－R2)2
解得R3＝27.9 m
综合Ⅰ、Ⅱ，要使球不脱离轨道，则第三个圆轨道半径需满足0，细杆为拉力，如果v<，细杆为推力，B对，D错.
【例3】如图所示，两绳系一质量为m＝0.1 kg的小球，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，上面绳长l＝2 m，两绳拉直时与轴的夹角分别为30°和45°，问球的角速度在什么范围内两绳始终有张力(取g＝10 m/s2)？
【解析】设两细绳都被拉直时，A、B绳的拉力分别为TA、TB，小球的质量为m，A绳与竖直方向的夹角为θ＝30°，B绳与竖直方向的夹角为α＝45°，经受力分析，由牛顿第二定律得：
当B绳中恰无拉力时
FAsin θ＝mωlsin θ ①
FAcos θ＝mg ②
由①②式解得ω1＝rad/s
当A绳中恰无拉力时，FBsin α＝mωlBsin θ ③
FBcos α＝mg ④
由③④式解得ω2＝rad/s
所以，两绳始终有张力，角速度的范围是
rad/s<ω< rad/s
【思维提升】此类问题中，往往是两根绳子恰无拉力时为角速度出现极大值和极小值的临界条件，抓住临界条件、分析小球在临界位置的受力情况是解决此类问题的关键.
【拓展3】如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线的夹角θ＝30°，一条长为l的绳，一端固定在圆锥体的顶点O，另一端系一个质量为m的小球(可视为质点)，小球以速率v绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动.试分析讨论v从零开始逐渐增大的过程中，球受圆锥面的支持力及摆角的变化情况.
【解析】(1)临界条件：小球刚好对锥面没有压力时的速率为v0，小球受重力和绳子的拉力的合力提供向心力，则有F向＝mgtan 30° ＝m，解得v0＝
(2)当vv0时，小球离开锥面飘起来，设绳与轴线夹角为φ，则FTsins φ＝m
速度越大，绳与轴线夹角φ越大.
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【例4】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R(比细管的半径大得多)，圆管中有两个直径与细管内径相同的小球(可视为质点).A球的质量为m1，B球的质量为m2.它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0.设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R与v0应满足的关系式是 .
【错解】依题意可知在A球通过最低点时，圆管给A球向上的弹力N1为向心力，则有
N1＝m1 ①
B球在最高点时，圆管对它的作用力N2为m2的向心力，方向向下，则有
N2＝m2 ②
因为m2由最高点到最低点机械能守恒，则有
m2g2R＋ ③
N1＝N2
由①②③式解得v0＝
【错因】错解形成的主要原因是向心力的分析中缺乏规范的解题过程.没有作受力分析，导致漏掉重力，表面上分析出了N1＝N2，但实际并没有真正明白为什么圆管给m2向下的力.总之从根本上看还是解决力学问题的基本功——受力分析不过关.
【正解】首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图所示.A球在圆管最低点必受向上的弹力N1，此时两球对圆管的合力为零，m2必受圆管向下的弹力N2，且N1＝N2
据牛顿第二定律A球在圆管的最低点有
N1－m1g＝m1 ①
同理B球在最高点有m2g＋N2＝m2 ②
B球由最高点到最低点机械能守恒
2m2gR＋ ③
又N1＝N2
由①②③式解得v0＝
【思维提升】比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会变为简单问题.找出其中的联系就能很好地解决问题.
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