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- 2021-05-13 发布
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绝密★启用前
2012年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)
数 学(理工类)
本试题卷共5页,共22题,其中第15、16题为选考题。满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。
3.填空题和解答题的作答:用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。
4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑。考生应根据自己选做的题目准确填涂题号,不得多选。答题答在答题卡上对应的答题区域内,答在试题卷、草稿纸上无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.方程的一个根是
A. B. C. D.
2.命题“,”的否定是
A., B.,
C., D.,
3.已知二次函数的图象如图所示,则它与轴所围图形的面积为
y
x
O
第3题图
A. B.
C. D.
俯视图
侧视图
2
正视图
第4题图
4
2
4
2
4.已知某几何体的三视图如图所示,则该几
何体的体积为
A. B.
C. D.
5.设,且,若能被
13整除,则
A.0 B.1
C.11 D.12
6.设是正数,且,
,,
则
A. B.
C. D.
7.定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列, 仍
是等比数列,则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函
数:
①; ②; ③; ④.
则其中是“保等比数列函数”的的序号为
A.① ② B.③ ④ C.① ③ D.② ④
8.如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB
内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是
A. B.
C. D.
9.函数在区间上的零点个数为
第8题图
A.4 B.5
C.6 D.7
10.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积,求其直径的一个近似公式. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据判断,下列近似公式中最精确的一个是
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.
(一)必考题(11—14题)
11.设△的内角,,所对的边分别为,,. 若,则角 .
12.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 .
A1 A2
y
B2
B1
A
O
B
C
D
F1 F2 x
第12题图
第14题图
13.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,…,99.3位回文数有90个:101,111,121,…,191,202,…,999.则
(Ⅰ)4位回文数有 个;
(Ⅱ)位回文数有 个.
14.如图,双曲线的两顶点为,,虚轴两端点为,,两焦点为,. 若以为直径的圆内切于菱形,切点分别为. 则
(Ⅰ)双曲线的离心率 ;
(Ⅱ)菱形的面积与矩形的面积的比值 .
C
B
A
D
O
.
第15题图
(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑. 如果全选,则按第15题作答结果计分.)
15.(选修4-1:几何证明选讲)
如图,点D在的弦AB上移动,,连接OD,过点D
作的垂线交于点C,则CD的最大值为 .
16.(选修4-4:坐标系与参数方程)
在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴
建立极坐标系. 已知射线与曲线(t为参数)
相交于A,B两点,则线段AB的中点的直角坐标为 .
三、解答题:本大题共6小题,共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知向量,,设函数的图象关于直线对称,其中,为常数,且.
(Ⅰ)求函数的最小正周期;
(Ⅱ)若的图象经过点,求函数在区间上的取值范围.
18.(本小题满分12分)
已知等差数列前三项的和为,前三项的积为.
(Ⅰ)求等差数列的通项公式;
(Ⅱ)若,,成等比数列,求数列的前项和.
19.(本小题满分12分)
如图1,,,过动点A作,垂足D在线段BC上且异于点B,连接AB,沿将△折起,使(如图2所示).
(Ⅰ)当的长为多少时,三棱锥的体积最大;
(Ⅱ)当三棱锥的体积最大时,设点,分别为棱,的中点,试在
D
A
B
C
A
C
D
B
图2
图1
M
E
.
·
棱上确定一点,使得,并求与平面所成角的大小.
第19题图
20.(本小题满分12分)
根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:
降水量X
工期延误天数
0
2
6
10
历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9. 求:
(Ⅰ)工期延误天数的均值与方差;
(Ⅱ)在降水量X至少是的条件下,工期延误不超过6天的概率.
21.(本小题满分13分)
设是单位圆上的任意一点,是过点与轴垂直的直线,是直线与 轴的交点,点在直线上,且满足. 当点在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线.
(Ⅰ)求曲线的方程,判断曲线为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;
(Ⅱ)过原点且斜率为的直线交曲线于,两点,其中在第一象限,它在轴上的射影为点,直线交曲线于另一点. 是否存在,使得对任意的,都有?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
22.(本小题满分14分)
(Ⅰ)已知函数,其中为有理数,且. 求的
最小值;
(Ⅱ)试用(Ⅰ)的结果证明如下命题:
设,为正有理数. 若,则;
(Ⅲ)请将(Ⅱ)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.
注:当为正有理数时,有求导公式.
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2012年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)
数学(理工类)试题参考答案
一、选择题
A卷:1.A 2.D 3.B 4.B 5.D 6.C 7.C 8.A 9.C 10.D
二、填空题
11. 12.9 13.(Ⅰ)90;(Ⅱ)
14.(Ⅰ);(Ⅱ) 15.2 16.
三、解答题
17.解:
(Ⅰ)因为
.
由直线是图象的一条对称轴,可得,
所以,即.
又,,所以,故.
所以的最小正周期是.
(Ⅱ)由的图象过点,得,
即,即.
故,
由,有,
所以,得,
故函数在上的取值范围为.
18.解:
(Ⅰ)设等差数列的公差为,则,,
由题意得 解得或
所以由等差数列通项公式可得
,或.
故,或.
(Ⅱ)当时,,,分别为,,,不成等比数列;
当时,,,分别为,,,成等比数列,满足条件.
故
记数列的前项和为.
当时,;当时,;
当时,
. 当时,满足此式.
综上,
19.解:
(Ⅰ)解法1:在如图1所示的△中,设,则.
由,知,△为等腰直角三角形,所以.
由折起前知,折起后(如图2),,,且,
所以平面.又,所以.于是
,
当且仅当,即时,等号成立,
故当,即时, 三棱锥的体积最大.
解法2:
同解法1,得.
令,由,且,解得.
当时,;当时,.
所以当时,取得最大值.
故当时, 三棱锥的体积最大.
(Ⅱ)解法1:以为原点,建立如图a所示的空间直角坐标系.
由(Ⅰ)知,当三棱锥的体积最大时,,.
于是可得,,,,,,
且.
设,则. 因为等价于,即
,故,.
所以当(即是的靠近点的一个四等分点)时,.
设平面的一个法向量为,由 及,
得 可取.
设与平面所成角的大小为,则由,,可得
,即.
C
A
D
B
图a
E
M
x
y
z
图b
C
A
D
B
E
F
M
N
图c
B
D
P
C
F
N
E
B
G
M
N
E
H
图d
第19题解答图
N
故与平面所成角的大小为
解法2:由(Ⅰ)知,当三棱锥的体积最大时,,.
如图b,取的中点,连结,,,则∥.
由(Ⅰ)知平面,所以平面.
如图c,延长至P点使得,连,,则四边形为正方形,
所以. 取的中点,连结,又为的中点,则∥,
所以. 因为平面,又面,所以.
又,所以面. 又面,所以.
因为当且仅当,而点F是唯一的,所以点是唯一的.
即当(即是的靠近点的一个四等分点),.
连接,,由计算得,
所以△与△是两个共底边的全等的等腰三角形,
如图d所示,取的中点,连接,,
则平面.在平面中,过点作于,
则平面.故是与平面所成的角.
在△中,易得,所以△是正三角形,
故,即与平面所成角的大小为
20.解:
(Ⅰ)由已知条件和概率的加法公式有:
,
.
.
所以的分布列为:
0
2
6
10
0.3
0.4
0.2
0.1
于是,;
.
故工期延误天数的均值为3,方差为.
(Ⅱ)由概率的加法公式,
又.
由条件概率,得.
故在降水量X至少是mm的条件下,工期延误不超过6天的概率是.
21.解:
(Ⅰ)如图1,设,,则由,
可得,,所以,. ①
因为点在单位圆上运动,所以. ②
将①式代入②式即得所求曲线的方程为.
因为,所以
当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,
两焦点坐标分别为,;
当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,
两焦点坐标分别为,.
(Ⅱ)解法1:如图2、3,,设,,则,,
直线的方程为,将其代入椭圆的方程并整理可得
.
依题意可知此方程的两根为,,于是由韦达定理可得
,即.
因为点H在直线QN上,所以.
于是,.
而等价于,
即,又,得,
故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有.
图2
图3
图1
O D x
y
A
M
第21题解答图
解法2:如图2、3,,设,,则,
,
因为,两点在椭圆上,所以 两式相减可得
. ③
依题意,由点在第一象限可知,点也在第一象限,且,不重合,
故. 于是由③式可得
. ④
又,,三点共线,所以,即.
于是由④式可得.
而等价于,即,又,得,
故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有.
22.解:
(Ⅰ),令,解得.
当时,,所以在内是减函数;
当 时,,所以在内是增函数.
故函数在处取得最小值.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当时,有,即 ①
若,中有一个为0,则成立;
若,均不为0,又,可得,于是
在①中令,,可得,
即,亦即.
综上,对,,为正有理数且,总有. ②
(Ⅲ)(Ⅱ)中命题的推广形式为:
设为非负实数,为正有理数.
若,则. ③
用数学归纳法证明如下:
(1)当时,,有,③成立.
(2)假设当时,③成立,即若为非负实数,为正有理数,
且,则.
当时,已知为非负实数,为正有理数,
且,此时,即,于是
=.
因,由归纳假设可得
,
从而.
又因,由②得
,
从而.
故当时,③成立.
由(1)(2)可知,对一切正整数,所推广的命题成立.
说明:(Ⅲ)中如果推广形式中指出③式对成立,则后续证明中不需讨论的情况.