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  • 2021-05-13 发布

湖北高考理科数学试卷及答案

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绝密★启用前 ‎ ‎2012年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)‎ 数 学(理工类)‎ 本试题卷共5页,共22题,其中第15、16题为选考题。满分150分。考试用时120分钟。‎ ‎★祝考试顺利★‎ 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。‎ ‎2.选择题的作答:每小题选出答案后,用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。‎ ‎3.填空题和解答题的作答:用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。‎ ‎4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑。考生应根据自己选做的题目准确填涂题号,不得多选。答题答在答题卡上对应的答题区域内,答在试题卷、草稿纸上无效。‎ ‎5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.方程的一个根是 A. B. C. D.‎ ‎2.命题“,”的否定是 A., B.,‎ C., D.,‎ ‎3.已知二次函数的图象如图所示,则它与轴所围图形的面积为 y x O 第3题图 A. B. ‎ C. D. ‎ 俯视图 侧视图 ‎2‎ 正视图 第4题图 ‎4‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎4.已知某几何体的三视图如图所示,则该几 何体的体积为 A. B. ‎ C. D.‎ ‎5.设,且,若能被 ‎13整除,则 A.0 B.1 ‎ C.11 D.12‎ ‎6.设是正数,且,‎ ‎,,‎ 则 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7.定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列, 仍 是等比数列,则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函 数:‎ ‎①; ②; ③; ④.‎ 则其中是“保等比数列函数”的的序号为 ‎ A.① ② B.③ ④ C.① ③ D.② ④ ‎ ‎8.如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 A. B.‎ C. D.‎ ‎9.函数在区间上的零点个数为 第8题图 A.4 B.5 ‎ C.6 D.7‎ ‎10.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积,求其直径的一个近似公式. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据判断,下列近似公式中最精确的一个是 A. B. C. D.‎ 二、填空题:本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. ‎ ‎(一)必考题(11—14题)‎ ‎11.设△的内角,,所对的边分别为,,. 若,则角 . ‎ ‎12.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 .‎ A1    A2 ‎ y B2‎ ‎ ‎ B1‎ A O ‎ B C D F1         F2   x 第12题图 第14题图 ‎13.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,…,99.3位回文数有90个:101,111,121,…,191,202,…,999.则 ‎(Ⅰ)4位回文数有 个;‎ ‎(Ⅱ)位回文数有 个.‎ ‎14.如图,双曲线的两顶点为,,虚轴两端点为,,两焦点为,. 若以为直径的圆内切于菱形,切点分别为. 则 ‎(Ⅰ)双曲线的离心率 ;‎ ‎(Ⅱ)菱形的面积与矩形的面积的比值 .‎ C B A D O ‎.‎ 第15题图 ‎(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑. 如果全选,则按第15题作答结果计分.)‎ ‎15.(选修4-1:几何证明选讲)‎ 如图,点D在的弦AB上移动,,连接OD,过点D ‎ 作的垂线交于点C,则CD的最大值为 . ‎ ‎16.(选修4-4:坐标系与参数方程)‎ 在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴 建立极坐标系. 已知射线与曲线(t为参数)‎ 相交于A,B两点,则线段AB的中点的直角坐标为 .‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 已知向量,,设函数的图象关于直线对称,其中,为常数,且. ‎ ‎(Ⅰ)求函数的最小正周期; ‎ ‎(Ⅱ)若的图象经过点,求函数在区间上的取值范围.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 已知等差数列前三项的和为,前三项的积为.‎ ‎(Ⅰ)求等差数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若,,成等比数列,求数列的前项和.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 如图1,,,过动点A作,垂足D在线段BC上且异于点B,连接AB,沿将△折起,使(如图2所示). ‎ ‎(Ⅰ)当的长为多少时,三棱锥的体积最大;‎ ‎(Ⅱ)当三棱锥的体积最大时,设点,分别为棱,的中点,试在 D A B C A C D B 图2‎ 图1‎ M E ‎.‎ ‎·‎ 棱上确定一点,使得,并求与平面所成角的大小.‎ 第19题图 ‎20.(本小题满分12分)‎ 根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:‎ 降水量X 工期延误天数 ‎0‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎10‎ 历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9. 求:‎ ‎(Ⅰ)工期延误天数的均值与方差; ‎ ‎(Ⅱ)在降水量X至少是的条件下,工期延误不超过6天的概率. ‎ ‎21.(本小题满分13分)‎ 设是单位圆上的任意一点,是过点与轴垂直的直线,是直线与 轴的交点,点在直线上,且满足. 当点在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的方程,判断曲线为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标; ‎ ‎(Ⅱ)过原点且斜率为的直线交曲线于,两点,其中在第一象限,它在轴上的射影为点,直线交曲线于另一点. 是否存在,使得对任意的,都有?若存在,求的值;若不存在,请说明理由. ‎ ‎22.(本小题满分14分)‎ ‎(Ⅰ)已知函数,其中为有理数,且. 求的 最小值;‎ ‎(Ⅱ)试用(Ⅰ)的结果证明如下命题:‎ 设,为正有理数. 若,则;‎ ‎(Ⅲ)请将(Ⅱ)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.‎ 注:当为正有理数时,有求导公式.‎ 绝密★启用前 ‎ ‎2012年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)‎ 数学(理工类)试题参考答案 一、选择题 A卷:1.A 2.D 3.B 4.B 5.D 6.C 7.C 8.A 9.C 10.D 二、填空题 ‎11. 12.9 13.(Ⅰ)90;(Ⅱ)‎ ‎14.(Ⅰ);(Ⅱ) 15.2 16.‎ 三、解答题 ‎17.解:‎ ‎(Ⅰ)因为 ‎. 由直线是图象的一条对称轴,可得, ‎ 所以,即. ‎ 又,,所以,故. ‎ 所以的最小正周期是. ‎ ‎(Ⅱ)由的图象过点,得,‎ 即,即. ‎ 故, ‎ 由,有,‎ 所以,得,‎ 故函数在上的取值范围为. ‎ ‎18.解:‎ ‎(Ⅰ)设等差数列的公差为,则,,‎ 由题意得 解得或 ‎ 所以由等差数列通项公式可得 ‎,或.‎ 故,或. ‎ ‎(Ⅱ)当时,,,分别为,,,不成等比数列;‎ 当时,,,分别为,,,成等比数列,满足条件.‎ 故 ‎ 记数列的前项和为.‎ 当时,;当时,;‎ 当时,‎ ‎ ‎ ‎. 当时,满足此式.‎ 综上, ‎ ‎19.解:‎ ‎(Ⅰ)解法1:在如图1所示的△中,设,则.‎ 由,知,△为等腰直角三角形,所以.‎ 由折起前知,折起后(如图2),,,且,‎ 所以平面.又,所以.于是 ‎ ‎ ‎,‎ 当且仅当,即时,等号成立,‎ 故当,即时, 三棱锥的体积最大. ‎ 解法2:‎ 同解法1,得. ‎ 令,由,且,解得.‎ 当时,;当时,. ‎ 所以当时,取得最大值.‎ 故当时, 三棱锥的体积最大. ‎ ‎(Ⅱ)解法1:以为原点,建立如图a所示的空间直角坐标系.‎ 由(Ⅰ)知,当三棱锥的体积最大时,,.‎ 于是可得,,,,,,‎ 且.‎ 设,则. 因为等价于,即 ‎,故,.‎ 所以当(即是的靠近点的一个四等分点)时,. ‎ 设平面的一个法向量为,由 及,‎ 得 可取. ‎ 设与平面所成角的大小为,则由,,可得 ‎,即.‎ C A D B 图a E M x y z 图b C A D B E F M N ‎ 图c B D P C F N E B G M N E H 图d 第19题解答图 N ‎ 故与平面所成角的大小为 ‎ 解法2:由(Ⅰ)知,当三棱锥的体积最大时,,.‎ 如图b,取的中点,连结,,,则∥.‎ 由(Ⅰ)知平面,所以平面.‎ 如图c,延长至P点使得,连,,则四边形为正方形,‎ 所以. 取的中点,连结,又为的中点,则∥,‎ 所以. 因为平面,又面,所以. ‎ 又,所以面. 又面,所以.‎ 因为当且仅当,而点F是唯一的,所以点是唯一的.‎ 即当(即是的靠近点的一个四等分点),. ‎ 连接,,由计算得,‎ 所以△与△是两个共底边的全等的等腰三角形,‎ 如图d所示,取的中点,连接,,‎ 则平面.在平面中,过点作于,‎ 则平面.故是与平面所成的角. ‎ 在△中,易得,所以△是正三角形,‎ 故,即与平面所成角的大小为 ‎ ‎20.解:‎ ‎(Ⅰ)由已知条件和概率的加法公式有:‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎.‎ 所以的分布列为:‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎ ‎ 于是,;‎ ‎.‎ ‎ 故工期延误天数的均值为3,方差为. ‎ ‎(Ⅱ)由概率的加法公式,‎ 又. ‎ ‎ 由条件概率,得.‎ 故在降水量X至少是mm的条件下,工期延误不超过6天的概率是. ‎ ‎21.解:‎ ‎(Ⅰ)如图1,设,,则由,‎ 可得,,所以,. ①‎ 因为点在单位圆上运动,所以. ②‎ 将①式代入②式即得所求曲线的方程为. ‎ 因为,所以 当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,‎ 两焦点坐标分别为,;‎ 当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,‎ 两焦点坐标分别为,. ‎ ‎(Ⅱ)解法1:如图2、3,,设,,则,,‎ 直线的方程为,将其代入椭圆的方程并整理可得 ‎.‎ 依题意可知此方程的两根为,,于是由韦达定理可得 ‎,即.‎ 因为点H在直线QN上,所以.‎ 于是,. ‎ 而等价于,‎ 即,又,得,‎ 故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有. ‎ 图2 ‎ 图3 ‎ 图1‎ O D x y A M 第21题解答图 ‎ ‎ ‎ ‎ 解法2:如图2、3,,设,,则,‎ ‎,‎ 因为,两点在椭圆上,所以 两式相减可得 ‎. ③ ‎ 依题意,由点在第一象限可知,点也在第一象限,且,不重合,‎ 故. 于是由③式可得 ‎. ④‎ 又,,三点共线,所以,即. ‎ 于是由④式可得.‎ 而等价于,即,又,得,‎ 故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有. ‎ ‎22.解:‎ ‎(Ⅰ),令,解得.‎ 当时,,所以在内是减函数;‎ 当 时,,所以在内是增函数.‎ 故函数在处取得最小值. ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当时,有,即 ①‎ 若,中有一个为0,则成立;‎ 若,均不为0,又,可得,于是 在①中令,,可得,‎ 即,亦即.‎ 综上,对,,为正有理数且,总有. ②‎ ‎ ‎ ‎(Ⅲ)(Ⅱ)中命题的推广形式为:‎ 设为非负实数,为正有理数. ‎ 若,则. ③ ‎ 用数学归纳法证明如下:‎ ‎(1)当时,,有,③成立. ‎ ‎(2)假设当时,③成立,即若为非负实数,为正有理数,‎ 且,则. ‎ 当时,已知为非负实数,为正有理数,‎ 且,此时,即,于是 ‎=.‎ 因,由归纳假设可得 ‎,‎ 从而. ‎ 又因,由②得 ‎,‎ 从而.‎ 故当时,③成立.‎ 由(1)(2)可知,对一切正整数,所推广的命题成立. ‎ 说明:(Ⅲ)中如果推广形式中指出③式对成立,则后续证明中不需讨论的情况.‎