导数的应用一练习题高考总复习 8页

第十二节　导数的应用(一)‎ 时间：45分钟　分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)‎ ‎1．函数f(x)＝x＋elnx的单调递增区间为(　　)‎ A．(0，＋∞) B．(－∞，0)‎ C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．R 解析　函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋>0，故单调增区间是(0，＋∞)．‎ 答案　A ‎2．设函数f(x)＝＋lnx，则(　　)‎ A．x＝为f(x)的极大值点 B．x＝为f(x)的极小值点 C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点 解析　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，‎ f′(x)＝－＋＝，‎ 当x＝2时，f′(x)＝0；当x>2时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数；‎ 当0)，g′(x)＝－－2<0，故g(x)在(，＋∞)上为减函数，所以a≥g()＝3.故选D.‎ 答案　D ‎5．(2013·浙江卷)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则(　　)‎ A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值 B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值 C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值 D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值 解析　当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，f′(1)＝xex－1，x＝1不是f′(x)＝0的根，所以不是极值点，排除A、B；当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，当x＝1时f′(x)＝0且x>1时f′(x)>0，结合选项，故选C.‎ 答案　C ‎6．(2013·湖北卷)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，0) B. C．(0,1) D．(0，＋∞)‎ 解析　f′(x)＝lnx－ax＋x＝lnx－2ax＋1，假设函数f(x)只有1个极值点，则方程lnx－2ax＋1＝0(x>0)只有一根，数形结合，即直线y＝2ax－1与曲线y＝lnx相切．设切点为(x0，lnx0)，则切线方程为 y－lnx0＝(x－x0)，即y＝x＋lnx0－1.又切线方程为y＝2ax－1，对比得解得a＝，x0＝1.故若要使直线y＝2ax－1与曲线y＝lnx相交，即函数f(x)＝x(lnx－ax)有2个极值点，需满足00.所以m>6或m<－3.‎ 答案　(－∞，－3)∪(6，＋∞)‎ ‎9．已知函数f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，函数g(x)＝－x3＋2x2＋mx＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m＝________.‎ 解析　若f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，‎ 则m2－4＝0，m＝±2.‎ 若g′(x)＝－3x2＋4x＋m≤0恒成立，‎ 则Δ＝16＋4×‎3m≤0，解得m≤－，故m＝－2.‎ 答案　－2‎ 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)‎ ‎10．已知函数f(x)＝ax2＋blnx在x＝1处有极值.‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)求函数y＝f(x)的单调区间．‎ 解　(1)f′(x)＝2ax＋.又f(x)在x＝1处有极值.‎ 得即 解之得a＝，b＝－1.‎ ‎(2)由(1)可知f(x)＝x2－lnx，其定义域是(0，＋∞)，‎ 且f′(x)＝x－＝.‎ 由f′(x)<0，得00，得x>1.‎ 所以函数y＝f(x)的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，＋∞)．‎ ‎11．(2013·福建卷)已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．‎ ‎(Ⅰ)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；‎ ‎(Ⅱ)求函数f(x)的极值．‎ 解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.‎ ‎(Ⅰ)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－(x>0)，‎ 因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，‎ 所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x ‎－1)，即x＋y－2＝0.‎ ‎(Ⅱ)由f′(x)＝1－＝，x>0知：‎ ‎①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；‎ ‎②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，‎ 又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，‎ 从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．‎ 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；‎ 当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值. ‎ ‎12．(2014·石家庄质检)已知函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax(a∈R)．‎ ‎(1)当a＝2时，求函数y＝f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若a＞0时，函数y＝f(x)在闭区间[0，a＋1]上的最大值为f(a＋1)，求a的取值范围．‎ 解　(1)当a＝2时，f(x)＝2x3－9x2＋12x，‎ f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x2－3x＋2)‎ ‎＝6(x－1)(x－2)．‎ 由f′(x)＞0，得x＜1或x＞2.‎ 由f′(x)＜0，得1＜x＜2.‎ 所以，f(x)的递增区间为(－∞，1)，(2，＋∞)，递减区间为(1,2)．‎ ‎(2)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋‎6a＝6[x2－(a＋1)x＋a]＝6(x－1)(x－a)．‎ 当a＝1时，f′(x)≥0，f(x)在[0，a＋1]上单调递增，最大值为f(a＋1)．‎ 当0＜a＜1时，x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎0‎ ‎(0，a)‎ a ‎(a,1)‎ ‎1‎ ‎(1,1＋a)‎ ‎1＋a f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ↗‎ 极大值 ‎↘ 极小值 ‎↗ 由上表可知，f(x)在[0，a＋1]上的最大值只有可能是f(a)或f(a＋1)．‎ 故只需f(a＋1)－f(a)＝(－a3＋‎3a2＋‎3a－1)－(－a3＋‎3a2)＝‎3a－1≥0.‎ 解得a≥，此时≤a＜1.‎ 当a＞1时，x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎0‎ ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1，a)‎ a ‎(a，a＋1)‎ a＋1‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎↗ 极大值 ‎↘ 极小值 ‎↗ 由上表可知，f(x)在[0，a＋1]上的最大值只有可能是f(1)或f(a＋1)．‎ 故只需f(a＋1)－f(1)＝(－a3＋‎3a2＋‎3a－1)－(‎3a－1)＝－a3＋‎3a2≥0.‎ 解得a≤3，此时1＜a≤3.‎ 综上，a的取值范围是.‎