专题08+函数与导数小题-冲刺高考最后一个月之2019高考数学（理）名师押题高端精品 16页

专题 08 函数与导数小题（理） 一.函数小题 （一）命题特点和预测：分析近 9 年的高考题发现 9 年 10 考，每年至少 1 题，主要考查函数 的奇偶性、单调性、周期性、对称性、函数图象及应用这些性质比较大小、解函数不等式、识 别函数图象、研究函数零点或方程的解，考查分段函数求值等，函数单调性与奇偶性及其应用、 分段函数问题的考查为基础题，图象、综合利用函数图象性质比较大小或研究函数零点与方程 解得个数多为中档题或压轴小题.2019 年仍将至少 1 个函数小题，主要考查函数的图象性质、 分段函数或函数的综合应用，难度可能为基础题或中档题或压轴小题． （二）历年试题比较： 年份 题目 答案 2018 年 （9）已知函数 ．若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） C 2017 年 (5) 函 数 在 单 调 递 减 ， 且 为 奇 函 数 ． 若 ， 则 满 足 的 的取值范围是 A． B． C． D． D (11)设 x、y、z 为正数，且 ，则 A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z <2x D．3y<2x<5z D 2016 年 （8）若 ，则 （A） （B） （C） （D） C 2015 年 （13）若函数 f(x)=xln（x+ ）为偶函数，则 a= 1 2014 年 (3)设函数 ， 的定义域都为 R，且 时奇函数， 是偶函数，则下列 结论正确的是 . 是偶函数 .| | 是奇函数 . | |是奇函数 .| |是奇函数 C 2013 年 (11)已知函数 = ，若| |≥ ，则 的取值范围是 . . .[-2,1] .[-2,0] D ( )f x ( , )−∞ +∞ ( 11)f = − x [ 2,2]− [ 1,1]− [0,4] [1,3] 2 3 5x y z= = c ca b< c cab ba< 2a x+ ( )f x ( )g x ( )f x ( )g x A ( )f x ( )g x B ( )f x ( )g x C ( )f x ( )g x D ( )f x ( )g x ( )f x ( )f x ax a A ( ,0]−∞ B ( ,1]−∞ C D 2012 年 (10)已知函数 = ，则 = 的图像大致为 B 2011 年 （2）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是 （A） (B ) (C) (D) B (12)函数 的图像与函数 （－2≤ ≤4）的图像所有交点的横坐标 之和等于 （A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8 D 【解析与点睛】 （2018 年）（9）【解析】画出函数 的图像， 在 y 轴右侧的去掉，再画出直线 ，之后上下 移动，可以发现当直线过点 A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线 与函数的图像有两个交点，即方程 有两个解，也就是函数 有两个零点，此时满足 ， 即 ，故选 C. （ 2017 年 ） (5) 【 解 析 】 因 为 ， 为 奇 函 数 ， 所 以 , 所 以 ， 因 为 函 数 在 单 调 递 减 ， 所 以 ， 解 得 ，故选 D. (11)【解析】取对数： ，所以 ，所以 ＞1， ，则 ，∴ , ， ，故选 D. （2016 年）【解析】因为 ，由幂函数性质知 ，故 A 错，由不等式性质知 ，故 B 错，由对数函数的图像知， ，故 D 错，故选 C. ( )f x 1 ln( 1)x x+ − y ( )f x 3y x= | | 1y x= + 2 1y x= − + | |2 xy −= 1 1y x = − 2siny xπ= x ( 11)f = − ( )f x ( )f x ( , )−∞ +∞ 1 3x≤ ≤ ln3 ln 2 x y = ∴ 2 3x y> ln5 ln 2 x z = ∴ 2 5x z< ∴ 3 2 5y x z< < 0>> cc ba cc bbaa > 对 C： 要比较 和 ，只需比较 和 ，只需比较 和 ，只需 和 构 造 函 数 ， 则 ， 在 上 单 调 递 增 ， 因 此 又由 得 ，∴ ，C 正确 对 D： 要比较 和 ，只需比较 和 而函数 在 上单调递增，故 又由 得 ，∴ ，D 错误 故选 C． （2015 年）【解析】由题知 是奇函数，所以 = ，解得 =1. （2014 年）(3）【解析】∵函数 , 的定义域为 ，且 是奇函数， 是偶函数，∴ =- 是奇函数，故 A 错， = = 是偶函数， 故 B 错； = 是奇函数，故选 C （ 2013 年 ）【 解 析 】 ∵ | |= ， ∴ 由 | | ≥ 得 ， 且 ， 由 可得 ，则 ≥-2，排除Ａ，Ｂ，当 =1 时，易证 对 恒成立， 故 =1 不适合，排除 C，故选 D. （2012 年）(10)【解析】定义域为（－1,0）∪(0,+∞)， = ∴ 在(－1,0)是减函数，在（0，+∞）是增函数，结合选项，只有 B 符合，故选 B. 【解析 2】 logba c logab c ln ln a c b ln ln b c a ln ln c b b ln ln c a a lnb b lna a ( )f x ( )1,+∞ 0 1c< < ln 0c < loga c logb c ln ln c a ln ln c b lny x= ( )1,+∞ 0 1c< < ln 0c < a ( )f x ( )g x R )(xf )(xg )()( xgxf | ( ) | ( )f x g x ( )f x ( )f x ax 2a x≥ − a a ln( 1)x x+ < 0x > a ( )f x′ ( )f x 得： 或 均有 排除 （2011 年）（2）【解析】先考查奇偶性，显然 是奇函数，排除 A， ∵ = ，显然在（0，+∞）是单调增函数，故选 B. (12)【解析】作出 与 （－2≤ ≤4），由图像知这两个函数都关于（1,0）对称，故其 8 个交点关于（1,0）对称，∴所有交点的横坐标之和等于 2+2+2+2=8，故选 D. （三）命题专家押题 题号 试 题 1. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是 (　 ) A． B． C． D． 2. 设 ，若 ，则实数 是（ ） A．1 B．-1 C． D．0 3 已知函数 是定义在 上的奇函数，对任意的 都有 ，当 时， ，则 （ ） A． B． C． D． 4 函数 的大致图像是（ ） 0x > 1 0x− < < ( ) 0f x < , ,A C D 3y x= | | 1y x= + 1 1y x = − 2siny xπ= x A． B． C． D． 5 已知 是定义在 R 上的偶函数，且在 上是增函数，设 则 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 6 已知 是定义在 上的奇函数，且满足 ，当 时， ，则在 上， 的解集是（） A． B． C． D． 7 在区间 中任取一个实数 ，使函数 ，在 上是增函数的概率 为（ ） A． B． C． D． 8 若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 9 已知函数 且函数 在 内有且仅有 两个不同的零点，则实数 的取值范围是_____________________. 10 已知函数 ，若存在实数 ，满足 ，且 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详细解析】 1.【答案】B 【解析】对于 A 选项， ，故函数为非奇非偶函数.对于 B 选项， ，函数为奇函数，当 时， 为递增函数，根据奇函数图像关于 原点对称可知函数在 时也是增函数，且 ，故函数在 上为递增函数，符合题意，B 选项正确.对 于 C 选项，函数的定义域为 ，函数在这个区间上没有单调性，C 选项不符合题意.对于 D 选项，由于函数定义域是 ，且 ，所以函数为偶函数，不符合题意.综上所述， 故选 B. 2.【答案】B 【解析】 解得 a=-1,故选 B 3.【答案】A 【解析】根据题意，函数 满足任意的 都有 ，则 ，则函数 是周 期为 的周期函数， ， ，又由函数 是定义在 上的奇函数，则 ，当 时， ，则 ，则 ，故 ，故选 A． 4.【答案】A 【解析】由 ，得 ， ，又 ， ，结合选项中图像，可 直接排除 B，C，D，故选 A 5.【答案】D 【解析】注意到 ， ，且 ，据此可得： ，函数 为偶函数，则： ，由偶函数的性质可知：函数在区间 上单调递减， 故 ，即 ，故选 D. 6.【答案】C 【解析】函数满足 ，则函数关于直线 对称，结合函数为奇函数绘制函数的图像如图所示， 的解集即函数位于直线 下方点的横坐标，当 时，由 可得 ，结合 可得函数 与函数 交点的横坐标为 ，据此可得： 的解集是 ，故选 C. 7.【答案】A 【解析】∵函数 f（x） 是增函数，∴ ，解得 1＜a≤2，∴由几何概 型得从区间（0，6）中任取一个值 a，则函数 f（x） 是增函数的概率为 p ，故选 A． 8.【答案】C 【解析】当 时， ，对称轴为 ， ， ；当 时 ， ， 当 时， ， ，令 ，解得 ， 在 上单调递增，在 上单调递减，又 ，当 时， ， ，故选 9.【答案】 【解析】函数 在 内有且仅有两个不同的零点，即函数 与函数 在 内有且仅有两个不同的交点， 表示过点 ，斜率为 的直线，绘制函数 的图像 如图所示，考查临界情况，首先考查经过点 且与 相切的直线方程的斜率，由 可得 ， 故切点坐标为 ，切线的斜率 ， 切线方程为： , 切线过点 ，故 ，解得： ， 故切线的斜率 ， 由 可得 ， 由 可得 ， 结合图形可得实数 取值范围是 . 10.【答案】A 【解析】函数的图象如图所示， ， ， ， ， ， ， ，又 ， ，设 ，当 时， 单调递增， ， ，又 ， ， 的取值范围是 ，故选 二.导数小题 （一）命题特点和预测：分析近 8 年的高考题发现，8 年 8 考，每年 1 题，主要考查利用定积 分计算曲边梯形面积、先利用导数研究函数的图象与性质再利用函数图象与性质解不等式、研 究函数零点的个数、比较大小或求最值，难度为中档题或压轴小题.2019 年高考仍会考 1 个导 数试题，可能考查定积分，也可能考查利用导数研究函数的图象与性质及研究函数零点或方程 解的个数问题或函数的最值问题，难度仍为中档题或难题. （二）历年试题比较： 年份 题目 答案 2018 年 （5）设函数 ，若 为奇函数，则曲线 在点 处的 切线方程为 A. B. C. D. D （16）已知 函数 ，则 的最小值是_____________． 2016 年 （7）函数 |在[–2,2]的图像大致为 D 2015 年 （12）设函数 = ,其中 a 1，若存在唯一的整数 x0，使 得 0，则 的取值范围是（ ） A.[- ，1） B. [- ， ） C. [ ， ） D. [ ，1） D 2014 年 (11).已知函数 = ， 若 存在唯一的零点 ，且 ＞0，则 的取 值范围为 .（2，+∞） .（-∞，-2） .（1，+∞） .（-∞，-1） B 2013 年 (16)若函数 = 的图像关于直线 =－2 对称，则 的最大值 是______. 16 2012 年 (12)设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 的最小值为 . . . . B 2011 年 (9)由曲线 ，直线 及 轴围成的图形的面积为 （A） (B)4 (C) (D)6 C 【解析与点睛】 （2018 年）（5）【解析】 因为函数 是奇函数，所以 ，解得 ，所以 ， ( )f x 0( )f x a ( )f x ( )f x 0x 0x a A B C D ( )f x x ( )f x P 1 2 xy e= Q ln(2 )y x= | |PQ A 1 ln 2− B 2(1 ln 2)− C 1 ln 2+ D 2(1 ln 2)− y x= 2y x= − y 10 3 16 3 ，所以 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ， 化简可得 ，故选 D. （16）【解析】 ，所以当 时函数单 调减，当 时函数单调增，从而得到函数的减区间为 ，函数的增区间为 ，所以当 时，函数 取得最小值，此时 ， 所以 ，故答案是 . （2016 年）【解析】由题知该函数是偶函数，当 时， ，所以 ，因 为 ，由零点存在性定理知，存在 ，使得 ，当 时， ，当 时， ，所以 在 是减函数，在 上是增函数，故选 D. （2015 年）【解析】设 = ， ，由题知存在唯一的整数 ，使得 在 直线 的下方. 因为 ，所以当 时， ＜0，当 时， ＞0，所以当 时， = ， 当 时， =-1， ，直线 恒过（1,0）斜率且 ，故 ， 且 ，解得 ≤ ＜1，故选 D. （2014 年）【解析 1】由已知 ， ，令 ，得 或 ， 当 时， ； 且 ， 有小于零的零点，不符合题意。 当 时， 0>x )1,0(0 ∈x 0)( 0 =′ xf 00 xx << 0)( <′ xf 10 << xx 0)( >′ xf )(xf ],0[ 0x ]1,[ 0x ( )g x (2 1)xe x − y ax a= − 0x 0( )g x y ax a= − 1 2x < − ( )g x′ 1 2x > − ( )g x′ 1 2x = − min[ ( )]g x 1 2-2e − 0x = (0)g y ax a= − a 3 2e a 0a ≠ ( ) 0f x′ = 0x = 2x a = 0a > (0) 1 0f = > ( )f x 0a < 要使 有唯一的零点 且 ＞0，只需 ，即 ， ．选 B 【解析 2】由已知 ， = 有唯一的正零点，等价于 有唯一的正零根，令 ，则问题又等价于 有唯一的正零根，即 与 有唯一 的交点且交点在在 y 轴右侧记 ， ，由 ， ， ， ，要使 有唯一的正零根，只需 ，选 B （2013 年）【解析】由 图像关于直线 =－2 对称，则 0= = ， 0= = ，解得 =8， =15， ∴ = ， ∴ = = = 当 ∈(－∞, )∪(－2, )时， ＞0， 当 ∈( ,－2)∪( ,+∞)时， ＜0， ∴ 在（－∞， ）单调递增，在（ ，－2）单调递减，在（－2， ）单调递增， 在（ ，+∞）单调递减，故当 = 和 = 时取极大值， = =16. （2012 年）【解析 1】函数 与 互为反函数，其图像关于 对称，有图像知， 的 最 小 值 ，P 、Q 也 关 于 对 称 ，此 时 P 点 的 切 线 与 平 行 ， = =1，∴ = ，∴P( ,1) ∴P 到 的距离为 = ，∴ = = ，故选 B. 【解析 2】 函数 与函数 互为反函数，图象关于 对称 ( )f x 0x 0x 2( ) 0f a > 2 4a > 2a < − 0a ≠ ( )f x 1t x = 3 3a t t= − + y a= 3 3y t t= − + ( ) 0f t′ = 1t = ± 3 3a t t= − + ( )f x x a b ( )f x ( )f x′ x 2 5− − 2 5− + ( )f x′ x 2 5− − 2 5− + ( )f x′ ( )f x 2 5− − 2 5− − 2 5− + 2 5− + x 2 5− − x 2 5− + ( 2 5)f − − ( 2 5)f − + 1 2 xy e= ln(2 )y x= y x= | |PQ y x= y x= 1 2 Pxe Px ln 2 ln 2 y x= d | ln 2 1| 2 − | |PQ 2d 2(1 ln 2)− 1 2 xy e= ln(2 )y x= y x= 函数 上的点 到直线 的距离为 设函数 由图象关 于 对称得： 最小值为 （2011 年）(9)【解析】解 得（4,2），由图知，由曲线 ，直线 及 轴围成的图 形的面积为 = = ，故选 C. （三）命题专家押题 题号 试 题 1. 设曲线 ，在曲线 上一点 处的切线记为 ，则切线 与曲线 的公共点个数为（ ） A． B． C． D． 2. 已知定义在 R 上的可导函数 的导函数为 ，满足 ，且 为偶函数， ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 3 若函数 为偶函数，则 __________． 4 函数 在 上的最大值是________. 5 已知函数 对于任意实数 都有 ，且当 时， ，若实数 满足 ，则 的取值范围是________． 6 已知函数 的单调减区间为 ，则 的值为____． 7 已知函数 ，若对 ， ， 且 ，使得 1 2 xy e= 1( , )2 xP x e y x= y x= PQ 2 y x y x  = = − y x= 2y x= − y 16 3 ，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8 已知函数 与 的图像上存在关于 轴对称的点，则实数 的取值范 围为（ ） A． B． C． D． 9 设函数 ， 有且仅有一个零点，则实数 的值为（ ） A． B． C． D． 10 已知函数 恰有两个极值点 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详细解析】 1.【答案】C 【解析】∵ ， 斜率 ， 方程为： ，即 ，由 得： ，即 ， ， ， ， 曲线 与 的公共点个数为 个，故选 2.【答案】B 【解析】设 ，则 ，∵ ，∴ ，所以函数 是 R 上的减函 数，∵函数 是偶函数，∴函数 ，∴函数关于 对称，∴ ，原不等 式等价为 ，∴不等式 等价 ， ．∵ 在 R 上单调递减， ∴ ，故选 B． 3.【答案】 【解析】 为偶函数， ，∴ ，解得 ，∴ . 4.【答案】 【解析】由题意，函数 ，可得函数的定义域为 ，又由 ，当 时， ，函数 单调递增；当 时， ，函数 单调递减，所以当 时，函数取得最大值，最大值为 . 5.【答案】 【解析】由题得，当 x≥0 时， ，因为 x≥0，所以 ， 所以函数在[0,+∞ 上单调递增，因为 ，所以函数是偶函数，所以函数在 上单调递减， 因为 ，所以| |＜1，所以-1＜ ＜1，所以 . 6.【答案】e 【解析】由题知 ， 单调递减区间为 且 ， 为 方程 的两根，由韦达定理可知： ， ，∴ 当 ，即 时， 当 ，即 时， ，即 此时 ， ，即 无解 综上所述： 7.【答案】D 【解析】当 时，函数 的值域为 .由 可知：当 时， ，与题 意不符，故 .令 ，得 ，则 ，所以 ，作出函数 在 上 的大致图象如图所示，观察可知 解得 ，故选 D. 8.【答案】C 【解 析】若函数 与 的图象上存在关于 轴对称的点，则方程 在 上有解，即 在 上有解，令 ， 则 ，所以当 时， ，当 时， ，所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 在 处取得最大值 ，所以 的值 域为 ，所以 的取值范围是 ，故选 C. 9.【答案】B 【解析】∵函数 ，有且只有一个零点，∴方程 ， ，有且只有一个 实数根，令 g（x）= ，则 g′（x）= ，当 时，g′（x） 0，当 时，g′（x） 0，∴g（x）在 上单调递增，在 上单调递减，当 x= 时，g（x）取得极大值 g（ ）= ，又 g（0）= g（ ）=0，∴若方程 ， ，有且只有一个实数根，则 a= ，故选 B. 10.【答案】A 【解析】 函数 ， ，由于函数 的两个极值点为 ， ，即 ， 是方程 的两个不等实根，即方程 有两个不等式实根，且 ， ， 设 ， ，在同一坐标系内画出这两个函数的图象，如图所示；要使这两个函数有 个 不同的交点 ，应满足如图所示的位置关系，临界状态为图中虚线所示切线， 恒过 ， 设与曲线 切于点 ，则 ，若有 个不同的 交点，则 ，解得： ，所以 的取值范围是 ，故选