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阶段性测试题四(三角函数与三角形)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四
个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(2014·威海期中)角 α 的终边经过点 P(sin10°,-cos10°),则 α 的可能取值
为( )
A.10° B.80° C.-10° D.-80°
[答案] D
[解析] 由条件知 tanα=
-cos10°
sin10° =-tan80°
=tan(-80°),故选 D.
2.(文)(2014·北京海淀期中)在△ABC 中,若 tanA=-2,则 cosA=( )
A.
5
5 B.- 5
5 C.2 5
5 D.-2 5
5
[答案] B
[解析] 在△ABC 中,若 tanA=-2,则 A∈(π
2,π),
cosA=- 1
1+tan2A
=- 1
5
=- 5
5 ,
故选 B.
(理)(2014·三亚市一中月考)若 tanα=2,则 cos2α+sin2α 的值为( )
A.0 B.1
5 C.1 D.5
4
[答案] B
[解析] ∵tanα=2,
∴cos2α+sin2α=cos2α-sin2α+2sinαcosα
sin2α+cos2α
=1-tan2α+2tanα
tan2α+1 =1
5.
3.(文)(2014·江西临川十中期中)已知 sin(θ+π
2)=3
5,则 cos2θ 等于( )
A.12
25 B.-12
25 C.- 7
25 D. 7
25
[答案] C
[解析] ∵sin(θ+π
2)=cosθ=3
5,
∴cos2θ=2cos2θ-1=- 7
25.
(理)(2014·枣庄市期中)化简
cos(π+α)cos(π
2+α)cos(11π
2 -α)
cos(π-α)sin(-π-α)sin(9π
2 +α)
的结果是( )
A.-1 B.1
C.tanα D.-tanα
[答案] C
[解析] 原式=
-cosα·(-sinα)·(-sinα)
-cosα·sinα·cosα =tanα,故选 C.
4.(2014·山东省菏泽市期中)要得到 y=sin(2x-2π
3 )的图象,只要将函数 y=
sin(2x+π
3)的图象向右平移( )个单位即可( )
A.π
3 B.π
C.2π
3 D.π
2
[答案] D
[解析] ∵sin[2(x-π
2)+π
3]=sin(2x-2π
3 ),
∴只需将 y=sin(2x+π
3)的图象向右平移π
2个单位可得到 y=sin(2x-2π
3 )的图
象.
5.(2014·九江市七校联考)在△ABC 中,AC=7,∠B=2π
3 ,△ABC 的面积 S=
15 3
4 ,则 AB=( )
A.5 或 3 B.5
C.3 D.5 或 6
[答案] A
[解析] 设 AB=x,BC=y,则 x>0,y>0,
由条件得,Error!即Error!
则Error!或Error!∴AB=3 或 5.
6.(2014·山东省菏泽市期中)已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2,则
这个圆心角所对的弧长是( )
A.2 B.2sin1 C.2sin-11 D.sin2
[答案] C
[解析] 设圆半径为 R,由条件知 sin1=1
R,
∴R= 1
sin1,∴l=2R= 2
sin1,故选 C.
7.(文)(2014·辽宁师大附中期中)在△ABC 中,角 A、B 均为锐角,且
cosA>sinB,则△ABC 的形状是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
[答案] C
[解析] ∵cosA=sin(π
2-A)>sinB,0<π
2-A<π
2,0B,∴A+B<π
2,∴
C>π
2,故选 C.
(理)(2014·安徽程集中学期中)在△ABC 中,“sin(A-B)cosB+cos(A-
B)sinB≥1”是“△ABC 是直角三角形”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 由条件式得 sinA≥1,∴sinA=1,∴A 为直角,但△ABC 为直角三角
形时,不一定 A 为直角,故选 A.
8.(2014·浙江省五校联考)函数 y=2sin(π
4-x
2)sin(π
4+x
2)的图象的一条对称轴为
( )
A.x=-π
2 B.x=π
2
C.x=π D.x=3π
2
[答案] C
[解析] y=2sin(π
4-x
2)sin(π
4+x
2)=2sin(π
4-x
2)cos(π
4-x
2)=sin(π
2-x)=cosx,其对
称轴方程为 x=kπ,k∈Z.
9.(文)(2014·江西白鹭洲中学期中)函数 y=cos2x 在下列哪个区间上是减函数
( )
A.[0,π
2] B.[π
4,3π
4 ]
C.[-π
4,π
4] D.[π
2,π]
[答案] A
[解析] 由 2kπ≤2x≤2kπ+π 得 kπ≤x≤kπ+π
2(k∈Z),令 k=0 知选 A.
(理)(2014·福州市八县联考)已知 ω>0,函数 f(x)=sin(ωx+π
4)在(π
2,π)上单调递
减,则 ω 的取值范围是( )
A.[1
2,5
4] B.[1
2,3
4]
C.(0,1
2] D.(0,2]
[答案] A
[解析] 由 2kπ+π
2≤ωx+π
4≤2kπ+3π
2 及 ω>0 得,
2kπ
ω + π
4ω≤x≤2kπ
ω +5π
4ω,k∈Z.
∵f(x)在(π
2,π)上单调递减,
∴(π
2,π)⊆[2kπ
ω + π
4ω,2kπ
ω +5π
4ω],
∴k=0,Error!∴1
2≤ω≤5
4,故选 A.
10.(2014·营口三中期中)函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π
2)的部分图象如图所
示,如果 x1,x2∈(-π
6,π
3),且 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)=( )
A.1
2 B.
2
2
C.
3
2 D.1
[答案] C
[解析] ∵x1,x2∈(-π
6,π
3)时,f(x1)=f(x2),
∴x1+x2=-π
6+π
3=π
6,∴f(x1+x2)=f(π
6),
由图象知,T
2=π
3-(-π
6)=π
2,
∴T=2π
ω=π,∴ω=2,
∴f(x)=sin(2x+φ),由于 f(x)的图象过点( π
12,1),
∴sin(π
6+φ)=1,∴φ=π
3,
∴f(π
6)=sin(2×π
6+π
3)=sin2π
3 = 3
2 ,故选 C.
11.(2014·哈六中期中) 2sin225°-1
sin20°cos20°的值为( )
A.-1 B.-2
C.1 D.2
[答案] B
[解析] 原式=
-cos50°
1
2sin40°
=-2.
12.(文)(2014·威海期中)函数 f(x)=sinx+cos2x 的图象为( )
[答案] B
[解析] f(0)=sin0+cos0=1,排除 A、D;f(-π)=sin(-π)+cos(-2π)=1,
排除 C,故选 B.
(理)(2014·山东省菏泽市期中)函数 f(x)=2x-tanx 在(-π
2,π
2)上的图象大致为
( )
[答案] C
[解析] ∵f(-x)=-2x-tan(-x)=-(2x-tanx)=-f(x),
∴f(x)为奇函数,排除 A、B;
f ′(x)=(2x-sinx
cosx)′=2- 1
cos2x,
令 f ′(x)≥0 得,cos2x≥1
2,
∴cosx≥ 2
2 或 cosx≤- 2
2 ,
∵x∈(-π
2,π
2),∴-π
4≤x≤π
4,故选 C.
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中
横线上.)
13.(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)在△ABC
中,三边 a、b、c 所对的角分别为 A、B、C,若 a2+b2-c2+ 2ab=0,则角 C 的
大小为________.
[答案] 135°
[解析] ∵a2+b2-c2+ 2ab=0,
∴cosC=a2+b2-c2
2ab =- 2
2 ,
∵0°0,b>0,∴a+b=5.
20.(本小题满分 12 分)(文)(2014·马鞍山二中期中)已知 A,B,C 的坐标分别
为 A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),α∈(π
2,3π
2 ).
(1)若|AC
→
|=|BC
→
|,求角 α 的值;
(2)若AC
→
·BC
→
=-1,求2sin2α+sin2α
1+tanα 的值.
[解析] (1)∵AC
→
=(cosα-3,sinα),BC
→
=(cosα,sinα-3),
∴AC
→
2=(cosα-3)2+sin2α=10-6cosα,
BC
→
2=cos2α+(sinα-3)2=10-6sinα,
由|AC
→
|=|BC
→
|,可得 AC
→
2=BC
→
2,
即 10-6cosα=10-6sinα,得 sinα=cosα.
又∵α∈(π
2,3π
2 ),∴α=5π
4 .
(2)由AC
→
·BC
→
=-1,得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1,∴sinα+cosα=2
3.①
又2sin2α+sin2α
1+tanα =2sin2α+2sinαcosα
1+sinα
cosα
=2sinαcosα.
由①式两边分别平方,得 1+2sinαcosα=4
9,
∴2sinαcosα=-5
9.∴2sin2α+sin2α
1+tanα =-5
9.
(理)(2014·辽宁师大附中期中)已知向量 a=(2sinx,sinx-cosx),b=(cosx, 3
(cosx+sinx)),函数 f(x)=a·b+1.
(1)当 x∈[π
4,π
2]时,求 f(x)的最大值和最小值;
(2)求 f(x)的单调区间.
[解析] (1)f(x)=sin2x- 3cos2x+1=2sin(2x-π
3)+1.
∵π
4≤x≤π
2,∴π
2≤2x≤π,∴π
6≤2x-π
3≤2π
3 ,
∴1
2≤sin(2x-π
3)≤1,∴1≤2sin(2x-π
3)≤2,
于是 2≤2sin(2x-π
3)+1≤3,
∴f(x)的最大值是 3,最小值是 2.
(2)由 2kπ-π
2≤2x-π
3≤2kπ+π
2,k∈Z 得 2kπ-π
6≤2x≤2kπ+5π
6 ,k∈Z,
∴kπ- π
12≤x≤kπ+5π
12,k∈Z,
即 f(x)的单调递增区间为[kπ- π
12,kπ+5π
12],k∈Z,
同理由 2kπ+π
2≤2x-π
3≤2kπ+3π
2 ,k∈Z 得,
f(x)的单调递减区间为[kπ+5π
12,kπ+11π
12 ],k∈Z.
21.(本小题满分 12 分)(2014·马鞍山二中期中)如图 A、B 是海面上位于东西方
向相距 5(3+ 3)n mile 的两个观测点,现位于 A 点北偏东 45°,B 点北偏西 60°的
D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3n mile 的
C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30n mile/h,该救援船到达 D 点需要多
长时间?
[解析] 由题意知 AB=5(3+ 3)n mile,∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°
-45°=45°,
∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°,
在△DAB 中,由正弦定理得,
DB
sin∠DAB= AB
sin∠ADB
∴DB=AB·sin∠DAB
sin∠ADB
=5(3+ 3)·sin45°
sin105°
= 5(3+ 3)·sin45°
sin45°·cos60°+sin60°·cos45°
=5 3( 3+1)
3+1
2
=10 3(n mile).
又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,
BC=20 3(n mile),
在△DBC 中,由余弦定理得,
CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC
=300+1200-2×10 3×20 3×1
2=900,
∴CD=30(n mile),则需要的时间 t=30
30=1(h).
答:救援船到达 D 点需要 1h.
22.(本小题满分 14 分)(文)(2014·安徽程集中学期中)已知函数 f(x)=Acos(ωx+
φ)(A>0,ω>0,0<φ<π
2)的图象过点(0,1
2),最小正周期为2π
3 ,且最小值为-1.
(1)求函数 f(x)的解析式;
(2)若 x∈[π
6,m],f(x)的值域是[-1,- 3
2 ],求 m 的取值范围.
[解析] (1)由函数的最小值为-1,可得 A=1,因为最小正周期为2π
3 ,所以 ω
=3.可得 f(x)=cos(3x+φ),
又因为函数的图象过点(0,1
2),所以 cosφ=1
2,而 0<φ<π
2,所以 φ=π
3,故 f(x)=
cos(3x+π
3).
(2)由 x∈[π
6,m],可知5π
6 ≤3x+π
3≤3m+π
3,因为 f(π
6)=cos5π
6 =- 3
2 ,且 cosπ
=-1,cos7π
6 =- 3
2 ,
由余弦曲线的性质知,π≤3m+π
3≤7π
6 ,得2π
9 ≤m≤5π
18,即 m∈[2π
9 ,5π
18].
(理)(2014·浙江省五校联考)已知函数 f(x)=( 3sinωx+cosωx)cosωx-1
2,其中
ω>0,f(x)的最小正周期为 4π.
(1)求函数 f(x)的单调递增区间;
(2)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且满足(2a-c)cosB=
bcosC,求函数 f(A)的取值范围.
[解析] f(x)= 3sinωx·cosωx+cos2ωx-1
2
= 3
2 sin2ωx+1
2cos2ωx=sin(2ωx+π
6).
(1)∵2π
2ω=4π,∴ω=1
4,f(x)=sin(x
2+π
6).
由 2kπ-π
2≤x
2+π
6≤2kπ+π
2(k∈Z)得:
4kπ-4π
3 ≤x≤4kπ+2π
3 .
∴f(x)的单调递增区间是[4kπ-4π
3 ,4kπ+2π
3 ](k∈Z).
(2)由正弦定理得,(2sinA-sinC)cosB=sinB·cosC,
∴2sinAcosB=sin(B+C),
∵sin(B+C)=sin(π-A)=sinA>0,
∴cosB=1
2,∵0sinB,则△ABC 的形状是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
(理)(2014·安徽程集中学期中)在△ABC 中,“sin(A-B)cosB+cos(A-
B)sinB≥1”是“△ABC 是直角三角形”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.(2014·浙江省五校联考)函数 y=2sin(π
4-x
2)sin(π
4+x
2)的图象的一条对称轴为
( )
A.x=-π
2 B.x=π
2 C.x=π D.x=3π
2
9.(文)(2014·江西白鹭洲中学期中)函数 y=cos2x 在下列哪个区间上是减函数
( )
A.[0,π
2] B.[π
4,3π
4 ]
C.[-π
4,π
4] D.[π
2,π]
(理)(2014·福州市八县联考)已知 ω>0,函数 f(x)=sin(ωx+π
4)在(π
2,π)上单调递
减,则 ω 的取值范围是( )
A.[1
2,5
4] B.[1
2,3
4]
C.(0,1
2] D.(0,2]
10.(2014·营口三中期中)函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π
2)的部分图象如图所
示,如果 x1,x2∈(-π
6,π
3),且 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)=( )
A.1
2 B.
2
2 C.
3
2 D.1
11.(2014·哈六中期中) 2sin225°-1
sin20°cos20°的值为( )
A.-1 B.-2 C.1 D.2
12.(文)(2014·威海期中)函数 f(x)=sinx+cos2x 的图象为( )
(理)(2014·山东省菏泽市期中)函数 f(x)=2x-tanx 在(-π
2,π
2)上的图象大致为
( )
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中
横线上.)
13.(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)在△ABC
中,三边 a、b、c 所对的角分别为 A、B、C,若 a2+b2-c2+ 2ab=0,则角 C 的
大小为________.
14.(文)(2014·甘肃临夏中学期中)函数 f(x)=3sin(2x-π
3)的图象为 C,则如下结
论中正确的序号是________.
①图象 C 关于直线 x=11
12π 对称;
②图象 C 关于点(2π
3 ,0)对称;
③函数 f(x)在区间(- π
12,5π
12)内是增函数;
④由 y=3sin2x 的图象向右平移π
3个单位长度可以得到图象 C.
(理)(2014·威海期中)将函数 y=sin(x-π
3),x∈[0,2π]的图象上各点的纵坐标不变
横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平移π
6个单位,所得函数的单调递增区间为
____________.
15.(文)(2014·吉林省实验中学一模)设 α 为锐角,若 cos(α+π
6)=4
5,则 sin(2α+
π
3)=________.
(理)(2014·吉林延边州质检)设△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的三边分别为
a、b、c,若△ABC 的面积为 S=a2-(b-c)2,则 sinA
1-cosA=________.
16.(2014·浙江省五校联考)已知 O(0,0),A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),
C(cosγ,sinγ),若 kOA
→
+(2-k)OB
→
+OC
→
=0(00,ω>0,0<φ<π
2)的图象过点(0,1
2),最小正周期为2π
3 ,且最小值为-1.
(1)求函数 f(x)的解析式;
(2)若 x∈[π
6,m],f(x)的值域是[-1,- 3
2 ],求 m 的取值范围.
(理)(2014·浙江省五校联考)已知函数 f(x)=( 3sinωx+cosωx)cosωx-1
2,其中
ω>0,f(x)的最小正周期为 4π.
(1)求函数 f(x)的单调递增区间;
(2)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且满足(2a-c)cosB=
bcosC,求函数 f(A)的取值范围.
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