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  • 2021-05-13 发布

打印高考数学一轮总复习阶段性测试题三角函数与三角形

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阶段性测试题四(三角函数与三角形) 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.(2014·威海期中)角 α 的终边经过点 P(sin10°,-cos10°),则 α 的可能取值 为(  ) A.10° B.80° C.-10° D.-80° [答案] D [解析] 由条件知 tanα= -cos10° sin10° =-tan80° =tan(-80°),故选 D. 2.(文)(2014·北京海淀期中)在△ABC 中,若 tanA=-2,则 cosA=(  ) A. 5 5 B.- 5 5 C.2 5 5 D.-2 5 5 [答案] B [解析] 在△ABC 中,若 tanA=-2,则 A∈(π 2,π), cosA=- 1 1+tan2A =- 1 5 =- 5 5 , 故选 B. (理)(2014·三亚市一中月考)若 tanα=2,则 cos2α+sin2α 的值为(  ) A.0 B.1 5 C.1 D.5 4 [答案] B [解析] ∵tanα=2, ∴cos2α+sin2α=cos2α-sin2α+2sinαcosα sin2α+cos2α =1-tan2α+2tanα tan2α+1 =1 5. 3.(文)(2014·江西临川十中期中)已知 sin(θ+π 2)=3 5,则 cos2θ 等于(  ) A.12 25 B.-12 25 C.- 7 25 D. 7 25 [答案] C [解析] ∵sin(θ+π 2)=cosθ=3 5, ∴cos2θ=2cos2θ-1=- 7 25. (理)(2014·枣庄市期中)化简 cos(π+α)cos(π 2+α)cos(11π 2 -α) cos(π-α)sin(-π-α)sin(9π 2 +α) 的结果是(  ) A.-1 B.1 C.tanα D.-tanα [答案] C [解析] 原式= -cosα·(-sinα)·(-sinα) -cosα·sinα·cosα =tanα,故选 C. 4.(2014·山东省菏泽市期中)要得到 y=sin(2x-2π 3 )的图象,只要将函数 y= sin(2x+π 3)的图象向右平移(  )个单位即可(  ) A.π 3 B.π C.2π 3 D.π 2 [答案] D [解析] ∵sin[2(x-π 2)+π 3]=sin(2x-2π 3 ), ∴只需将 y=sin(2x+π 3)的图象向右平移π 2个单位可得到 y=sin(2x-2π 3 )的图 象. 5.(2014·九江市七校联考)在△ABC 中,AC=7,∠B=2π 3 ,△ABC 的面积 S= 15 3 4 ,则 AB=(  ) A.5 或 3 B.5 C.3 D.5 或 6 [答案] A [解析] 设 AB=x,BC=y,则 x>0,y>0, 由条件得,Error!即Error! 则Error!或Error!∴AB=3 或 5. 6.(2014·山东省菏泽市期中)已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2,则 这个圆心角所对的弧长是(  ) A.2 B.2sin1 C.2sin-11 D.sin2 [答案] C [解析] 设圆半径为 R,由条件知 sin1=1 R, ∴R= 1 sin1,∴l=2R= 2 sin1,故选 C. 7.(文)(2014·辽宁师大附中期中)在△ABC 中,角 A、B 均为锐角,且 cosA>sinB,则△ABC 的形状是(  ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 [答案] C [解析] ∵cosA=sin(π 2-A)>sinB,0<π 2-A<π 2,0B,∴A+B<π 2,∴ C>π 2,故选 C. (理)(2014·安徽程集中学期中)在△ABC 中,“sin(A-B)cosB+cos(A- B)sinB≥1”是“△ABC 是直角三角形”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] 由条件式得 sinA≥1,∴sinA=1,∴A 为直角,但△ABC 为直角三角 形时,不一定 A 为直角,故选 A. 8.(2014·浙江省五校联考)函数 y=2sin(π 4-x 2)sin(π 4+x 2)的图象的一条对称轴为 (  ) A.x=-π 2 B.x=π 2 C.x=π D.x=3π 2 [答案] C [解析] y=2sin(π 4-x 2)sin(π 4+x 2)=2sin(π 4-x 2)cos(π 4-x 2)=sin(π 2-x)=cosx,其对 称轴方程为 x=kπ,k∈Z. 9.(文)(2014·江西白鹭洲中学期中)函数 y=cos2x 在下列哪个区间上是减函数 (  ) A.[0,π 2] B.[π 4,3π 4 ] C.[-π 4,π 4] D.[π 2,π] [答案] A [解析] 由 2kπ≤2x≤2kπ+π 得 kπ≤x≤kπ+π 2(k∈Z),令 k=0 知选 A. (理)(2014·福州市八县联考)已知 ω>0,函数 f(x)=sin(ωx+π 4)在(π 2,π)上单调递 减,则 ω 的取值范围是(  ) A.[1 2,5 4] B.[1 2,3 4] C.(0,1 2] D.(0,2] [答案] A [解析] 由 2kπ+π 2≤ωx+π 4≤2kπ+3π 2 及 ω>0 得, 2kπ ω + π 4ω≤x≤2kπ ω +5π 4ω,k∈Z. ∵f(x)在(π 2,π)上单调递减, ∴(π 2,π)⊆[2kπ ω + π 4ω,2kπ ω +5π 4ω], ∴k=0,Error!∴1 2≤ω≤5 4,故选 A. 10.(2014·营口三中期中)函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π 2)的部分图象如图所 示,如果 x1,x2∈(-π 6,π 3),且 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)=(  ) A.1 2 B. 2 2 C. 3 2 D.1 [答案] C [解析] ∵x1,x2∈(-π 6,π 3)时,f(x1)=f(x2), ∴x1+x2=-π 6+π 3=π 6,∴f(x1+x2)=f(π 6), 由图象知,T 2=π 3-(-π 6)=π 2, ∴T=2π ω=π,∴ω=2, ∴f(x)=sin(2x+φ),由于 f(x)的图象过点( π 12,1), ∴sin(π 6+φ)=1,∴φ=π 3, ∴f(π 6)=sin(2×π 6+π 3)=sin2π 3 = 3 2 ,故选 C. 11.(2014·哈六中期中) 2sin225°-1 sin20°cos20°的值为(  ) A.-1 B.-2 C.1 D.2 [答案] B [解析] 原式= -cos50° 1 2sin40° =-2. 12.(文)(2014·威海期中)函数 f(x)=sinx+cos2x 的图象为(  ) [答案] B [解析] f(0)=sin0+cos0=1,排除 A、D;f(-π)=sin(-π)+cos(-2π)=1, 排除 C,故选 B. (理)(2014·山东省菏泽市期中)函数 f(x)=2x-tanx 在(-π 2,π 2)上的图象大致为 (  ) [答案] C [解析] ∵f(-x)=-2x-tan(-x)=-(2x-tanx)=-f(x), ∴f(x)为奇函数,排除 A、B; f ′(x)=(2x-sinx cosx)′=2- 1 cos2x, 令 f ′(x)≥0 得,cos2x≥1 2, ∴cosx≥ 2 2 或 cosx≤- 2 2 , ∵x∈(-π 2,π 2),∴-π 4≤x≤π 4,故选 C. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中 横线上.) 13.(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)在△ABC 中,三边 a、b、c 所对的角分别为 A、B、C,若 a2+b2-c2+ 2ab=0,则角 C 的 大小为________. [答案] 135° [解析] ∵a2+b2-c2+ 2ab=0, ∴cosC=a2+b2-c2 2ab =- 2 2 , ∵0°0,b>0,∴a+b=5. 20.(本小题满分 12 分)(文)(2014·马鞍山二中期中)已知 A,B,C 的坐标分别 为 A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),α∈(π 2,3π 2 ). (1)若|AC → |=|BC → |,求角 α 的值; (2)若AC → ·BC → =-1,求2sin2α+sin2α 1+tanα 的值. [解析] (1)∵AC → =(cosα-3,sinα),BC → =(cosα,sinα-3), ∴AC → 2=(cosα-3)2+sin2α=10-6cosα, BC → 2=cos2α+(sinα-3)2=10-6sinα, 由|AC → |=|BC → |,可得 AC → 2=BC → 2, 即 10-6cosα=10-6sinα,得 sinα=cosα. 又∵α∈(π 2,3π 2 ),∴α=5π 4 . (2)由AC → ·BC → =-1,得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1,∴sinα+cosα=2 3.① 又2sin2α+sin2α 1+tanα =2sin2α+2sinαcosα 1+sinα cosα =2sinαcosα. 由①式两边分别平方,得 1+2sinαcosα=4 9, ∴2sinαcosα=-5 9.∴2sin2α+sin2α 1+tanα =-5 9. (理)(2014·辽宁师大附中期中)已知向量 a=(2sinx,sinx-cosx),b=(cosx, 3 (cosx+sinx)),函数 f(x)=a·b+1. (1)当 x∈[π 4,π 2]时,求 f(x)的最大值和最小值; (2)求 f(x)的单调区间. [解析] (1)f(x)=sin2x- 3cos2x+1=2sin(2x-π 3)+1. ∵π 4≤x≤π 2,∴π 2≤2x≤π,∴π 6≤2x-π 3≤2π 3 , ∴1 2≤sin(2x-π 3)≤1,∴1≤2sin(2x-π 3)≤2, 于是 2≤2sin(2x-π 3)+1≤3, ∴f(x)的最大值是 3,最小值是 2. (2)由 2kπ-π 2≤2x-π 3≤2kπ+π 2,k∈Z 得 2kπ-π 6≤2x≤2kπ+5π 6 ,k∈Z, ∴kπ- π 12≤x≤kπ+5π 12,k∈Z, 即 f(x)的单调递增区间为[kπ- π 12,kπ+5π 12],k∈Z, 同理由 2kπ+π 2≤2x-π 3≤2kπ+3π 2 ,k∈Z 得, f(x)的单调递减区间为[kπ+5π 12,kπ+11π 12 ],k∈Z. 21.(本小题满分 12 分)(2014·马鞍山二中期中)如图 A、B 是海面上位于东西方 向相距 5(3+ 3)n mile 的两个观测点,现位于 A 点北偏东 45°,B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3n mile 的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30n mile/h,该救援船到达 D 点需要多 长时间? [解析] 由题意知 AB=5(3+ 3)n mile,∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90° -45°=45°, ∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°, 在△DAB 中,由正弦定理得, DB sin∠DAB= AB sin∠ADB ∴DB=AB·sin∠DAB sin∠ADB =5(3+ 3)·sin45° sin105° = 5(3+ 3)·sin45° sin45°·cos60°+sin60°·cos45° =5 3( 3+1) 3+1 2 =10 3(n mile). 又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°, BC=20 3(n mile), 在△DBC 中,由余弦定理得, CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC =300+1200-2×10 3×20 3×1 2=900, ∴CD=30(n mile),则需要的时间 t=30 30=1(h). 答:救援船到达 D 点需要 1h. 22.(本小题满分 14 分)(文)(2014·安徽程集中学期中)已知函数 f(x)=Acos(ωx+ φ)(A>0,ω>0,0<φ<π 2)的图象过点(0,1 2),最小正周期为2π 3 ,且最小值为-1. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若 x∈[π 6,m],f(x)的值域是[-1,- 3 2 ],求 m 的取值范围. [解析] (1)由函数的最小值为-1,可得 A=1,因为最小正周期为2π 3 ,所以 ω =3.可得 f(x)=cos(3x+φ), 又因为函数的图象过点(0,1 2),所以 cosφ=1 2,而 0<φ<π 2,所以 φ=π 3,故 f(x)= cos(3x+π 3). (2)由 x∈[π 6,m],可知5π 6 ≤3x+π 3≤3m+π 3,因为 f(π 6)=cos5π 6 =- 3 2 ,且 cosπ =-1,cos7π 6 =- 3 2 , 由余弦曲线的性质知,π≤3m+π 3≤7π 6 ,得2π 9 ≤m≤5π 18,即 m∈[2π 9 ,5π 18]. (理)(2014·浙江省五校联考)已知函数 f(x)=( 3sinωx+cosωx)cosωx-1 2,其中 ω>0,f(x)的最小正周期为 4π. (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且满足(2a-c)cosB= bcosC,求函数 f(A)的取值范围. [解析] f(x)= 3sinωx·cosωx+cos2ωx-1 2 = 3 2 sin2ωx+1 2cos2ωx=sin(2ωx+π 6). (1)∵2π 2ω=4π,∴ω=1 4,f(x)=sin(x 2+π 6). 由 2kπ-π 2≤x 2+π 6≤2kπ+π 2(k∈Z)得: 4kπ-4π 3 ≤x≤4kπ+2π 3 . ∴f(x)的单调递增区间是[4kπ-4π 3 ,4kπ+2π 3 ](k∈Z). (2)由正弦定理得,(2sinA-sinC)cosB=sinB·cosC, ∴2sinAcosB=sin(B+C), ∵sin(B+C)=sin(π-A)=sinA>0, ∴cosB=1 2,∵0sinB,则△ABC 的形状是(  ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 (理)(2014·安徽程集中学期中)在△ABC 中,“sin(A-B)cosB+cos(A- B)sinB≥1”是“△ABC 是直角三角形”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.(2014·浙江省五校联考)函数 y=2sin(π 4-x 2)sin(π 4+x 2)的图象的一条对称轴为 (  ) A.x=-π 2 B.x=π 2 C.x=π D.x=3π 2 9.(文)(2014·江西白鹭洲中学期中)函数 y=cos2x 在下列哪个区间上是减函数 (  ) A.[0,π 2] B.[π 4,3π 4 ] C.[-π 4,π 4] D.[π 2,π] (理)(2014·福州市八县联考)已知 ω>0,函数 f(x)=sin(ωx+π 4)在(π 2,π)上单调递 减,则 ω 的取值范围是(  ) A.[1 2,5 4] B.[1 2,3 4] C.(0,1 2] D.(0,2] 10.(2014·营口三中期中)函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π 2)的部分图象如图所 示,如果 x1,x2∈(-π 6,π 3),且 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)=(  ) A.1 2 B. 2 2 C. 3 2 D.1 11.(2014·哈六中期中) 2sin225°-1 sin20°cos20°的值为(  ) A.-1 B.-2 C.1 D.2 12.(文)(2014·威海期中)函数 f(x)=sinx+cos2x 的图象为(  ) (理)(2014·山东省菏泽市期中)函数 f(x)=2x-tanx 在(-π 2,π 2)上的图象大致为 (  ) 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中 横线上.) 13.(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)在△ABC 中,三边 a、b、c 所对的角分别为 A、B、C,若 a2+b2-c2+ 2ab=0,则角 C 的 大小为________. 14.(文)(2014·甘肃临夏中学期中)函数 f(x)=3sin(2x-π 3)的图象为 C,则如下结 论中正确的序号是________. ①图象 C 关于直线 x=11 12π 对称; ②图象 C 关于点(2π 3 ,0)对称; ③函数 f(x)在区间(- π 12,5π 12)内是增函数; ④由 y=3sin2x 的图象向右平移π 3个单位长度可以得到图象 C. (理)(2014·威海期中)将函数 y=sin(x-π 3),x∈[0,2π]的图象上各点的纵坐标不变 横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平移π 6个单位,所得函数的单调递增区间为 ____________. 15.(文)(2014·吉林省实验中学一模)设 α 为锐角,若 cos(α+π 6)=4 5,则 sin(2α+ π 3)=________. (理)(2014·吉林延边州质检)设△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的三边分别为 a、b、c,若△ABC 的面积为 S=a2-(b-c)2,则 sinA 1-cosA=________. 16.(2014·浙江省五校联考)已知 O(0,0),A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ), C(cosγ,sinγ),若 kOA → +(2-k)OB → +OC → =0(00,ω>0,0<φ<π 2)的图象过点(0,1 2),最小正周期为2π 3 ,且最小值为-1. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若 x∈[π 6,m],f(x)的值域是[-1,- 3 2 ],求 m 的取值范围. (理)(2014·浙江省五校联考)已知函数 f(x)=( 3sinωx+cosωx)cosωx-1 2,其中 ω>0,f(x)的最小正周期为 4π. (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且满足(2a-c)cosB= bcosC,求函数 f(A)的取值范围.