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- 2021-05-13 发布
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2018年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)
1.(5分)已知集合A={x|x(x﹣4)<0},B={0,1,5},则A∩B= .
2.(5分)设复数z=a+i(a∈R,i为虚数单位),若(1+i)•z为纯虚数,则a的值为 .
3.(5分)为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间,现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查,所得数据均在区间[50,100]上,其频率分布直方图如图所示,则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位:分钟)内的学生人数为 .
4.(5分)执行如图所示的伪代码,若x=0,则输出的y的值为 .
5.(5分)口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中一次随机摸出2个球,则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 .
6.(5分)若抛物线y2=2px的焦点与双曲线
的右焦点重合,则实数p的值为 .
7.(5分)设函数y=ex﹣a的值域为A,若A⊆[0,+∞),则实数a的取值范围是 .
8.(5分)已知锐角α,β满足(tanα﹣1)(tanβ﹣1)=2,则α+β的值为 .
9.(5分)若函数y=sinωx在区间[0,2π]上单调递增,则实数ω的取值范围是 .
10.(5分)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若{an}的前2017项中的奇数项和为2018,则S2017的值为 .
11.(5分)设函数f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)=,若函数y=f(x)﹣m 有四个不同的零点,则实数m的取值范围是 .
12.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=k(x﹣3)上存在一点P,圆x2+(y﹣1)2=1上存在一点Q,满足=3,则实数k的最小值为 .
13.(5分)如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点”.若A,B,C,D四点均位于图中的“晶格点”处,且A,B的位置所图所示,则的最大值为 .
14.(5分)若不等式ksin2B+sinAsinC>19sinBsinC对任意△ABC都成立,则实数k的最小值为 .
二、解答题(共6小题,满分90分)
15.(14分)如图所示,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,点M,N分别是AB,A1B1的中点.
(1)求证:BN∥平面A1MC;
(2)若A1M⊥AB1,求证:AB1⊥A1C.
16.(14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c 已知c=.
(1)若C=2B,求cosB的值;
(2)若=,求cos(B)的值.
17.(14分)有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计),一边AB长为6分米,另一边足够长.现从中截取矩形ABCD(如图甲所示),再剪去图中阴影部分,用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示,重叠部分忽略不计),其中OEMF是以O为圆心、∠EOF=120°的扇形,且弧,分别与边BC,AD相切于点M,N.
(1)当BE长为1分米时,求折卷成的包装盒的容积;
(2)当BE的长是多少分米时,折卷成的包装盒的容积最大?
18.(16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:(a>b>0)的下顶点为B,点M,N是椭圆上异于点B的动点,直线BM,BN分别与x轴交于点P,Q,且点Q是线段OP的中点.当点N运动到点(
)处时,点Q的坐标为().
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设直线MN交y轴于点D,当点M,N均在y轴右侧,且=2时,求直线BM的方程.
19.(16分)设数列{an}满足a=an+1an﹣1+λ(a2﹣a1)2,其中n≥2,且n∈N,λ为常数.
(1)若{an}是等差数列,且公差d≠0,求λ的值;
(2)若a1=1,a2=2,a3=4,且存在r∈[3,7],使得m•an≥n﹣r对任意的n∈N*都成立,求m的最小值;
(3)若λ≠0,且数列{an}不是常数列,如果存在正整数T,使得an+T=an对任意的n∈N*均成立.求所有满足条件的数列{an}中T的最小值.
20.(16分)设函数f(x)=lnx,g(x)=ax+(a,b,c∈R).
(1)当c=0时,若函数f(x)与g(x)的图象在x=1处有相同的切线,求a,b的值;
(2)当b=3﹣a时,若对任意x0∈(1,+∞)和任意a∈(0,3),总存在不相等的正实数x1,x2,使得g(x1)=g(x2)=f(x0),求c的最小值;
(3)当a=1时,设函数y=f(x)与y=g(x)的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点.求证:x1x2﹣x2<b<x1x2﹣x1.
[选做题](在21.22.23.24四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)[选修4-1:几何证明选讲]图
21.(10分)如图,已知AB为⊙O的直径,直线DE与⊙O相切于点E,AD垂直DE于点D.若DE=4,求切点E到直径AB的距离EF.
[选修4-2:矩阵与变换]
22.(10分)已知矩阵M=,求圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
23.在极坐标系中,直线ρcos(θ+)=1与曲线ρ=r(r>0)相切,求r的值.
[选修4-5:不等式选讲]
24.已知实数x,y满足x2+3y2=1,求当x+y取最大值时x的值.
25.(10分)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形,AC与BD交于点O,OP⊥底面ABCD,点M为PC中点,AC=4,BD=2,OP=4.
(1)求直线AP与BM所成角的余弦值;
(2)求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值.
26.(10分)已知n∈N*,nf(n)=Cn0Cn1+2Cn1Cn2+…+nCnn﹣1Cnn.
(1)求f(1),f(2),f(3)的值;
(2)试猜想f(n)的表达式(用一个组合数表示),并证明你的猜想.
2018年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)
1.(5分)已知集合A={x|x(x﹣4)<0},B={0,1,5},则A∩B= {1} .
【解答】解:∵集合A={x|x(x﹣4)<0}={x|0<x<4},B={0,1,5},
∴A∩B={1}.
故答案为:{1}.
2.(5分)设复数z=a+i(a∈R,i为虚数单位),若(1+i)•z为纯虚数,则a的值为 1 .
【解答】解:∵z=a+i,
∴(1+i)•z=(1+i)(a+i)=a﹣1+(a+1)i,
又(1+i)•z为为纯虚数,
∴a﹣1=0即a=1.
故答案为:1.
3.(5分)为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间,现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查,所得数据均在区间[50,100]上,其频率分布直方图如图所示,则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位:分钟)内的学生人数为 1200 .
【解答】解:由频率分布直方图得:
该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位:分钟)内的频率为:
1﹣(0.005+0.035+0.020+0.010)×10=0.3,
∴估计该县小学六年级4000名学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位:分钟)内的学生人数为:
4000×0.3=1200.
故答案为:1200.
4.(5分)执行如图所示的伪代码,若x=0,则输出的y的值为 1 .
【解答】解:根据题意知,执行程序后,输出函数
y=,
当x=0时,y=e0=1.
故答案为:1.
5.(5分)口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中一次随机摸出2个球,则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为
.
【解答】解:口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4,
从袋中一次随机摸出2个球,基本事件总数n==6,
摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有:
(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共4个,
∴摸出的2个球的编号之和大于4的概率为p=.
故答案为:.
6.(5分)若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合,则实数p的值为 6 .
【解答】解:∵双曲线的方程,
∴a2=4,b2=5,可得c==3,
因此双曲线的右焦点为F(3,0),
∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线的右焦点重合,
∴=3,解之得p=6.
故答案为:6.
7.(5分)设函数y=ex﹣a的值域为A,若A⊆[0,+∞),则实数a的取值范围是 (﹣∞,2] .
【解答】解:函数y=ex﹣a的值域为A
∵ex=2,
∴值域为A=[2﹣a,+∞).
又∵A⊆[0,+∞),
∴2﹣a≥0,
即a≤2.
故答案为:(﹣∞,2].
8.(5分)已知锐角α,β满足(tanα﹣1)(tanβ﹣1)=2,则α+β的值为 .
【解答】解:∵(tanα﹣1)(tanβ﹣1)=2,可得:tanα+tanβ+1=tanαtanβ,
∴tan(α+β)=═﹣1,
∵锐角α,β,可得:α+β∈(0,π),
∴α+β=.
故答案为:.
9.(5分)若函数y=sinωx在区间[0,2π]上单调递增,则实数ω的取值范围是 (0,] .
【解答】解:由函数y=sinωx,图象过原点,可得ω>0
在区间[0,2π]上单调递增,
∴,
即.
故答案为:(0,]
10.(5分)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若{an}的前2017项中的奇数项和为2018,则S2017的值为 4034 .
【解答】解:因为 Sn为等差数列{an}的前n项和,且{an}
的前2017项中的奇数项和为2018,
所以S奇=a1+a3+a5+…+a2017=1009×(a1+a2017)×=1009×a1009=2018,得a1009=2.
则 S偶=a2+a4+a6+…+a2016=1008×(a2+a2016)×=1008×a1009=1008×2=2016
则S2017=S奇+S偶=2018+2016=4034.
故答案为:4034.
11.(5分)设函数f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)=,若函数y=f(x)﹣m 有四个不同的零点,则实数m的取值范围是 [1,) .
【解答】解:由0≤x≤3可得f(x)∈[0,],
x>3时,f(x)∈(0,1).
画出函数y=f(x)与y=m的图象,如图所示,
∵函数y=f(x)﹣m有四个不同的零点,
∴函数y=f(x)与y=m的图象有4个交点,
由图象可得m的取值范围为[1,),
故答案为:[1,).
12.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=k(x﹣3)上存在一点P,圆x2+(y﹣1)2=1上存在一点Q,满足=3,则实数k的最小值为
﹣ .
【解答】解:设P(x1,y1),Q(x2,y2);
则y1=k(x1﹣3)①,
+(y2﹣1)2=1②;
由=3,得,
即,
代入②得+=9;
此方程表示的圆心(0,3)到直线kx﹣y﹣3k=0的距离为d≤r;
即≤3,
解得﹣≤k≤0.
∴实数k的最小值为﹣.
故答案为:﹣.
13.(5分)如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点”.若A,B,C,D四点均位于图中的“晶格点”处,且A,B的位置所图所示,则的最大值为 24 .
【解答】解:建立如图的直角坐标系,则A(,),B(0,0),
那么容易得到C(0,5)时,D的位置可以有三个位置,其中D1(﹣,
),D2(﹣,0),D3(﹣,),
此时=(﹣,﹣),=(﹣,﹣),=(﹣,﹣5),=(﹣,﹣),
则•=21,•=24,•=22.5,
则的最大值为24,
故答案为:24.
14.(5分)若不等式ksin2B+sinAsinC>19sinBsinC对任意△ABC都成立,则实数k的最小值为 100 .
【解答】解:∵ksin2B+sinAsinC>19sinBsinC,由正弦定理可得:kb2+ac>19bc,
∴k>,
只需k大于右侧表达式的最大值即可,显然c>b时,表达式才能取得最大值,
又∵c﹣b<a<b+c,
∴﹣b﹣c<﹣a<b﹣c,
∴<19+()=20﹣()2=100﹣(﹣10)2,
当=10时,20﹣()2取得最大值20×10﹣102=100.
∴k≥100,即实数k的最小值为100.
故答案为:100
二、解答题(共6小题,满分90分)
15.(14分)如图所示,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1
中,CA=CB,点M,N分别是AB,A1B1的中点.
(1)求证:BN∥平面A1MC;
(2)若A1M⊥AB1,求证:AB1⊥A1C.
【解答】证明:(1)因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,所以AB∥A1B1,且AB=A1B1,
又点M,N分别是AB、A1B1的中点,所以MB=A1N,且MB∥A1N.
所以四边形A1NBM是平行四边形,从而A1M∥BN.
又BN⊄平面A1MC,A1M⊂平面A1MC,所以BN∥平面A1MC;
(2)因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥底面ABC,而AA1⊂侧面ABB1A1,
所以侧面ABB1A1⊥底面ABC.
又CA=CB,且M是AB的中点,所以CM⊥AB.
则由侧面ABB1A1⊥底面ABC,侧面ABB1A1∩底面ABC=AB,
CM⊥AB,且CM⊂底面ABC,得CM⊥侧面ABB1A1.
又AB1⊂侧面ABB1A1,所以AB1⊥CM.
又AB1⊥A1M,A1M、MC平面A1MC,且A1M∩MC=M,
所以AB1⊥平面A1MC.
又A1C⊂平面A1MC,所以AB⊥A1C.
16.(14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c 已知c=.
(1)若C=2B,求cosB的值;
(2)若=,求cos(B)的值.
【解答】解:(1)因为c=,则由正弦定理,得sinC=sinB. …(2分)
又C=2B,所以sin2B=sinB,即2sinBcosB=sinB. …(4分)
又B是△ABC的内角,所以sinB>0,故cosB=. …(6分)
(2)因为=,所以cbcosA=bacosC,则由余弦定理,
得b2+c2﹣a2=b2+a2﹣c2,得a=c. …(10分)
从而cosB==,…(12分)
又0<B<π,所以sinB==.
从而cos(B+)=cosBcos﹣sinBsin=. …(14分)
17.(14分)有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计),一边AB长为6分米,另一边足够长.现从中截取矩形ABCD(如图甲所示),再剪去图中阴影部分,用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示,重叠部分忽略不计),其中OEMF是以O为圆心、∠EOF=120°的扇形,且弧,分别与边BC,AD相切于点M,N.
(1)当BE长为1分米时,求折卷成的包装盒的容积;
(2)当BE的长是多少分米时,折卷成的包装盒的容积最大?
【解答】解:(1)在图甲中,连接MO交EF于点T.设OE=OF=OM=R,
在Rt△OET中,因为∠EOT=∠EOF=60°,
所以OT=,则MT=0M﹣OT=.
从而BE=MT=,即R=2BE=2.
故所得柱体的底面积S=S扇形OEF﹣S△OEF=πR2﹣R2sin120°=﹣,
又所得柱体的高EG=4,
所以V=S×EG=﹣4.
答:当BE长为1(分米)时,折卷成的包装盒的容积为﹣4立方分米.
(2)设BE=x,则R=2x,所以所得柱体的底面积
S=S扇形OEF﹣S△OEF=πR2﹣R2sin120°=(﹣)x2,
又所得柱体的高EG=6﹣2x,
所以V=S×EG=(﹣2)(﹣x3+3x2),其中0<x<3.
令f(x)=﹣x3+3x2,0<x<3,
则由f′(x)=﹣3x2+6x=﹣3x(x﹣2)=0,
解得x=2.
列表如下:
x
(0,2)
2
(2,3)
f′(x)
+
0
﹣
f(x)
增
极大值
减
所以当x=2时,f(x)取得最大值.
答:当BE的长为2分米时,折卷成的包装盒的容积最大.
18.(16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:(a>b>0)的下顶点为B,点M,N是椭圆上异于点B的动点,直线BM,BN分别与x轴交于点P,Q,且点Q是线段OP的中点.当点N运动到点()处时,点Q的坐标为().
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设直线MN交y轴于点D,当点M,N均在y轴右侧,且=2时,求直线BM的方程.
【解答】解:(1)由N(),点Q的坐标为(),得直线NQ的方程为y=x﹣,
令x=0,得点B的坐标为(0,﹣).
所以椭圆的方程为+=1.
将点N的坐标(,)代入,得+=1,解得a2=4.
所以椭圆C的标准方程为+=1.
(2):设直线BM的斜率为k(k>0),则直线BM的方程为y=x﹣.
在y=kx﹣中,令y=0,得xP=,
而点Q是线段OP的中点,所以xQ=.
所以直线BN的斜率kBN=kBQ==2k.
联立,消去y,得(3+4k2)x2﹣8kx=0,解得xM=.
用2k代k,得xN=.
又=2,
所以xN=2(xM﹣xN),得2xM=3xN,
故2×==3×,又k>0,解得k=.
所以直线BM的方程为y=x﹣
19.(16分)设数列{an}满足a=an+1an﹣1+λ(a2﹣a1)2,其中n≥2,且n∈N,λ为常数.
(1)若{an}是等差数列,且公差d≠0,求λ的值;
(2)若a1=1,a2=2,a3=4,且存在r∈[3,7],使得m•an≥n﹣r对任意的n∈N*都成立,求m的最小值;
(3)若λ≠0,且数列{an}不是常数列,如果存在正整数T,使得an+T=an对任意的n∈N*均成立.求所有满足条件的数列{an}中T的最小值.
【解答】解:(1)由题意,可得a=(an+d)(an﹣d)+λd2,
化简得(λ﹣1)d2=0,又d≠0,所以λ=1.
(2)将a1=1,a2=2,a3=4,代入条件,
可得4=1×4+λ,解得λ=0,
所以a=an+1an﹣1,所以数列{an}是首项为1,公比q=2的等比数列,
所以an=2n﹣1.
欲存在r∈[3,7],
使得m•2n﹣1≥n﹣r,即r≥n﹣m•2n﹣1对任意n∈N*都成立,
则7≥n﹣m•2n﹣1,所以m≥对任意n∈N*都成立.
令bn=,则bn+1﹣bn=﹣=,
所以当n>8时,bn+1<bn;当n=8时,b9=b8;当n<8时,bn+1>bn.
所以bn的最大值为b9=b8=,所以m的最小值为;
(3)因为数列{an}不是常数列,所以T≥2,
①若T=2,则an+2=an恒成立,从而a3=a1,a4=a2,
所以,
所以λ(a2﹣a1)2=0,又λ≠0,所以a2=a1,可得{an}是常数列,矛盾.
所以T=2不合题意.
②若T=3,取an=(*),满足an+3=an恒成立.
由a22=a1a3+λ(a2﹣a1)2,得λ=7.
则条件式变为an2=an+1an﹣1+7.
由22=1×(﹣3)+7,知a3k﹣12=a3k﹣2a3k+λ(a2﹣a1)2;
由(﹣3)2=2×1+7,知a3k2=a3k﹣1a3k+1+λ(a2﹣a1)2;
由12=2×(﹣3)+7,知a3k+12=a3ka3k+2+λ(a2﹣a1)2;
所以,数列(*)适合题意.
所以T的最小值为3.
20.(16分)设函数f(x)=lnx,g(x)=ax+(a,b,c∈R).
(1)当c=0时,若函数f(x)与g(x)的图象在x=1处有相同的切线,求a,b的值;
(2)当b=3﹣a时,若对任意x0∈(1,+∞)和任意a∈(0,3),总存在不相等的正实数x1,x2,使得g(x1)=g(x2)=f(x0),求c的最小值;
(3)当a=1时,设函数y=f(x)与y=g(x)的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点.求证:x1x2﹣x2<b<x1x2﹣x1.
【解答】解:(1)由f(x)=lnx,得f(1)=0,又f′(x)=,所以f′(1)=1,
当c=0时,g(x)=ax+,所以g′(x)=a﹣,
所以g′(1)=a﹣b,
因为函数f(x)与g(x)的图象在x=1处有相同的切线,
所以,即,
解得a=,b=﹣;
(2)当x0>1时,则f(x0)>0,又b=3﹣a,设t=f(x0),
则题意可转化为方程ax+﹣c=t(t>0)在(0,+∞)上有相异两实根x1,x2.
即关于x的方程ax2﹣(c+t)x+(3﹣a)=0(t>0)
在(0,+∞)上有相异两实根x1,x2.
所以,得,
所以c>2﹣t对t∈(0,+∞),a∈(0,3)恒成立.
因为0<a<3,所以2≥2•=3(当且仅当a=时取等号),
又﹣t<0,所以2﹣t的取值范围是(﹣∞,3),所以c≥3.
故c的最小值为3.
(3)当a=1时,因为函数f(x)与g(x)的图象交于A,B两点,
所以,两式相减,得b=x1x2(1﹣),
要证明x1x2﹣x2<b<x1x2﹣x1,
即证x1x2﹣x2<x1x2(1﹣)<x1x2﹣x1,
即证<<,
即证1﹣<ln<﹣1
令=t,则t>1,此时即证1﹣<lnt<t﹣1.
令φ(t)=lnt+﹣1,所以φ′(t)=﹣=>0,
所以当t>1时,函数φ(t)单调递增.
又φ(1)=0,所以φ(t)=lnt+﹣1>0,即1﹣<lnt成立;
再令m(t)=lnt﹣t+1,所以m′(t)=﹣1=<0,
所以当t>1时,函数m(t)单调递减,
又m(1)=0,所以m(t)=lnt﹣t+1<0,即lnt<t﹣1也成立.
综上所述,实数x1,x2满足x1x2﹣x2<b<x1x2﹣x1.
[选做题](在21.22.23.24四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)[选修4-1:几何证明选讲]图
21.(10分)如图,已知AB为⊙O的直径,直线DE与⊙O相切于点E,AD垂直DE于点D.若DE=4,求切点E到直径AB的距离EF.
【解答】解:如图,连接AE,OE,
因为直线DE与⊙O相切于点E,所以DE⊥OE,
又因为AD⊥DE于D,所以AD∥OE,所以∠DAE=∠OEA,①
在⊙O中,OE=OA,所以∠OEA=∠OAE,②…(5分)
由①②得∠DAE=∠OAE,即∠DAE=∠FAE,
又∠ADE=∠AFE,AE=AE,
所以△ADE≌△AFE,所以DE=FE,
又DE=4,所以FE=4,
即E到直径AB的距离为4.…(10分)
[选修4-2:矩阵与变换]
22.(10分)已知矩阵M=,求圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程.
【解答】解:设P(x0,y0)是圆x2+y2=1上任意一点,
则=1,
设点P(x0,y0)在矩阵M对应的变换下所得的点为Q(x,y),
则=,
即,解得,…(5分)
代入=1,得=1,
∴圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程为=1.…(10分)
[选修4-4:坐标系与参数方程]
23.在极坐标系中,直线ρcos(θ+)=1与曲线ρ=r(r>0)相切,求r的值.
【解答】解:直线ρcos(θ+)=1,转化为:,
曲线ρ=r(r>0)转化为:x2+y2=r2,
由于直线和圆相切,
则:圆心到直线的距离d=.
所以r=1.
[选修4-5:不等式选讲]
24.已知实数x,y满足x2+3y2=1,求当x+y取最大值时x的值.
【解答】解:由柯西不等式,得[x2+()2][12+()2]≥(x•1+)2,
即≥(x+y)2.
而x2+3y2=1,所以(x+y)2,所以﹣,…(5分)
由,得,所以当且仅当x=,y=时,(x+y)max=.
所以当x+y取最大值时x值为.…(10分)
25.(10分)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形,AC与BD交于点O,OP⊥底面ABCD,点M为PC中点,AC=4,BD=2,OP=4.
(1)求直线AP与BM所成角的余弦值;
(2)求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值.
【解答】解:(1)因为ABCD是菱形,所以AC⊥BD.又OP⊥底面ABCD,
以O为原点,直线OA,OB,OP分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示空间直角坐标系.
则A(2,0,0),B(0,1,0),P(0,0,4),C(﹣2,0,0),M(﹣1,0,2).
=(﹣2,0,4),=(01,﹣1,2),
cos<,>===.
故直线AP与BM所成角的余弦值为.…(5分)
(2)=(﹣2,1,0),=(﹣1,﹣1,2).
设平面ABM的一个法向量为=(x,y,z),
则,令x=2,得=(2,4,3).
又平面PAC的一个法向量为=(0,1,0),
∴cos<>===.
故平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为.…(10分)
26.(10分)已知n∈N*,nf(n)=Cn0Cn1+2Cn1Cn2+…+nCnn﹣1Cnn.
(1)求f(1),f(2),f(3)的值;
(2)试猜想f(n)的表达式(用一个组合数表示),并证明你的猜想.
【解答】解:(1)由条件,nf(n)=CCCC①,
在①中令n=1,得f(1)=1.
在①中令n=2,得2f(2)=6,得f(2)=3.
在①中令n=3,得3f(3)=30,故f(3)=10.
(2)猜想f(n)=.
要证猜想成立,只要证等式n=•+2•+…+n• 成立.
由(1+x)n=+x+x2+…+xn①,
两边同时对x求导数,可得n(1+x)n﹣1=+2x+3x2+nxn﹣1②,
把等式①和②相乘,可得n(1+x)2n﹣1=(+x+x2+…+xn )•(+2x+3x2+nxn﹣1 ) ③.
等式左边xn的系数为n,等式右边xn的系数为•+•2+•3+…+n•n
=•+2•+3•+…+n•=CCCC,
根据等式③恒成立,可得n=CCCC.
故f(n)= 成立.