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  • 2021-05-13 发布

2015高考数学人教A版本(10-7二项式定理)一轮复习学案

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‎【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 10-7二项式定理课后强化作业 新人教A版 基础巩固强化 一、选择题 ‎1.(x+)5(x∈R)展开式中x3的系数为10,则实数a等于(  )‎ A.-1     B.    ‎ C.1     D.2‎ ‎[答案] D ‎[解析] Tr+1=Cx5-r()r=C·ar·x5-2r 令5-2r=3,得r=1,∴Ca=10,∴a=2.‎ ‎2.(2013·山东济南一模)二项式(-)8的展开式中的常数项是(  )‎ A.28 B.-7 ‎ C.7 D.-28‎ ‎[答案] C ‎[解析] 二项式(-)8展开式中的通项为Tr+1=C()8-r(-)r=(-1)rC2r-8x8-,令8-=0得r=6,∴常数项是(-1)6=7,故选C.‎ ‎3.若(x+1)5=a5(x-1)5+…+a1(x-1)+a0,则a1的值为(  )‎ A.80 B.40 ‎ C.20 D.10‎ ‎[答案] A ‎[解析] 由于x+1=x-1+2,因此(x+1)5=[(x-1)+2]5,故展开式中x-1的系数为C24=80.‎ ‎4.在(3-2)11的展开式中任取一项,设所取项为有理项的概率为α,则xαdx=(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎[答案] B ‎[解析] 因为展开式一共12项,‎ 其通项公式为Tr+1=C·(3)11-r·(-2)r ‎=C·311-r·(-2)r·x,r=0,1,…,11.‎ 其中只有第4项和第10项是有理项,‎ 故概率α==,∴xdx=x|=.‎ ‎5.在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中,含x4项的系数是首项为-2,公差为3的等差数列的(  )‎ A.第11项 B.第13项 C.第18项 D.第20项 ‎[答案] D ‎[解析] (1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中,含x4项的系数为C+C+C=C+C+C=5++=55,以-2为首项,3为公差的等差数列的通项公式an=-2+3(n-1)=3n-5,令an=55,即3n-5=55,n=20,故选D.‎ ‎6.(2013·辽宁理,7)使(3x+)n(n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的n为(  )‎ A.4     B.5     ‎ C.6     D.7‎ ‎[答案] B ‎[解析] (3x+)n展开式中的第r+1项为Tr+1=C(3x)n-rx-r=C3n-rxn-r,若展开式中含常数项,则存在n∈N+,r∈N,使n-r=0,∴r=2k,k∈N*,n=5k.‎ 故最小的n值为5,故选B.‎ 二、填空题 ‎7.(2012·沈阳市二模)若(-)n展开式中二项式系数之和是1024,常数项为45,则实数a的值是________.‎ ‎[答案] ±1‎ ‎[解析] 由条件知,2n=1024,∴n=10,二项展开式的通项Tr+1=C()10-r·(-)r=(-a)r·C·x,令=0得r=2,∴常数项为T3=(-a)2·C=‎45a2=45,∴a=±1.‎ ‎8.若(2x+3)3=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a3(x+2)3,则a0+a1+‎2a2+‎3a3=________.‎ ‎[答案] 5‎ ‎[解析] 法1:令x=-2得a0=-1.‎ 令x=0得27=a0+‎2a1+‎4a2+‎8a3.‎ 因此a1+‎2a2+‎4a3=14.‎ ‎∵C(2x)3·30=a3·x3.‎ ‎∴a3=8.‎ ‎∴a1+‎2a2+‎3a3=14-a3=6.‎ ‎∴a0+a1+‎2a2+‎3a3=-1+6=5.‎ 法2:由于2x+3=2(x+2)-1,故(2x+3)3=[2(x+2)-1]3‎ ‎=8(x+2)3-‎4C(x+2)2+‎2C(x+2)-1,‎ 故a3=8,a2=-12,a1=6,a0=-1.‎ 故a0+a1+‎2a2+‎3a3=-1+6-24+24=5.‎ ‎9.若a=(sinx+cosx)dx,则二项式(a+)8展开式中含x项的系数是________.‎ ‎[答案] 1792‎ ‎[解析] a=(sinx+cosx)dx=(-cosx+sinx)|=2.‎ ‎∵(2+)8展开式的通项公式为 Tr+1=C(2)8-r·()r=28-r·C·x4-,‎ 令4-=1得,r=2,∴T3=26·Cx=1792x,‎ 故所求系数为1792.‎ ‎10.(2013·深圳模拟)已知等比数列{an}的第5项是二项式(-)6展开式的常数项,则a‎3a7=________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] (-)6的展开式的通项是Tr+1=C·()6-r·(-)r=C·(-)r·x3-.令3-=0得r=2,因此(-)6的展开式中的常数项是C·(-)2=,即有a5=,‎ a‎3a7=(a5)2=()2=.‎ 能力拓展提升 一、选择题 ‎11.(2013·新课标Ⅰ理,9)设m为正整数,(x+y)‎2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)‎2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,若‎13a=7b,则m=(  )‎ A.5     B.6     ‎ C.7     D.8‎ ‎[答案] B ‎[解析] 由题意可知,a=C,b=C,‎ 又∵‎13a=7b,∴13·=7·,‎ 即=.解得m=6.故选B.‎ ‎12.(2013·新课标Ⅱ理,5)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=(  )‎ A.-4 B.-3 ‎ C.-2 D.-1‎ ‎[答案] D ‎[解析] 因为(1+x)5的二项展开式的通项为Cxr(0≤r≤5,r∈Z),则含x2的项为Cx2+ax·Cx=(10+‎5a)x2,所以10+‎5a=5,a=-1.‎ ‎13.若(x+y)9按x的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且x+y=1,xy<0,则x的取值范围是(  )‎ A.(-∞,) B.[,+∞)‎ C.(-∞,-] D.(1,+∞)‎ ‎[答案] D ‎[解析] 二项式(x+y)9的展开式的通项是Tr+1=C·x9-r·yr.依题意有由此得由此解得x>1,即x的取值范围是(1,+∞),选D.‎ 二、填空题 ‎14.(2013·山东烟台质检)若(x2-)n的展开式中含x的项为第6项,设(1-3x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则a1+a2+…+an的值为________.‎ ‎[答案] 255‎ ‎[解析] T6=C(x2)n-5(-)5=-Cx2n-15,令2n-15=1得,n=8,‎ 令x=1,a0+a1+…+an=(-2)8=256,‎ 令x=0得,a0=1,‎ ‎∴a1+a2+…+an=255.‎ ‎15.设a为函数y=sinx+cosx(x∈R)的最大值,则二项式(a-)6的展开式中含x2项的系数是________.‎ ‎[答案] -192‎ ‎[解析] y=sinx+cosx=2sin的最大值为a=2,二项式6的展开式中第r+1项Tr+1=C(2)6-r·r=(-1)r·26-r·Cx3-r,令3-r=2,则r=1,∴x2项的系数为(-1)1×25×C=-192.‎ ‎16.(2013·陕西榆林期末)若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,则a2+a4+…+a12=________.‎ ‎[答案] 364‎ ‎[解析] 令x=1,则a0+a1+a2+…+a12=36;‎ 令x=-1,则a0-a1+a2-…+a12=1,‎ ‎∴a0+a2+a4+…+a12=;‎ 令x=0,则a0=1,‎ ‎∴a2+a4+…+a12=-1=364.‎ 考纲要求 ‎1.能用计数原理证明二项式定理.‎ ‎2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.‎ 补充说明 ‎1.赋值法:在某些二项式定理的有关求“系数和”的问题中,常用对字母取特值的方法解题.‎ ‎2.求二项展开式中的指定项要牢牢抓住通项公式,代入求解或列方程求解,要特别注意项数与指数都是整数.‎ ‎3.求展开式系数最大项:如求(a+bx)n(a,b∈R*)的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k项系数最大,应用从而解出k来,即为所求.‎ 对于(a-bx)x(a,b∈R+),求展开式中系数最大的项,还要考虑符号.‎ ‎4.关于组合式的证明,常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种解法.‎ 备选习题 ‎1.(2013·广东江门调研)二项式(ax-)3的展开式的第二项的系数为-,则-2x2dx的值为(  )‎ A.3 B. ‎ C.3或 D.3或- ‎[答案] C ‎[解析] 二项式(ax-)3的展开式的第二项为 T2=C(ax)2(-)=-a2x2,‎ ‎∴a2=1,即a=±1.‎ 则x2dx=x3|=,-2x2dx=x3|=3,故选C.‎ ‎2.(2012·湖北,5)设a∈Z,且0≤a<13,若512012+a能被13整除,则a=(  )‎ A.0 B.1 ‎ C.11 D.12‎ ‎[答案] A ‎[解析] 本题考查二项展开式的应用.‎ ‎512012=(52-1)2012=C522012-C522011+C522010+…+C×52×(-1)2011+C×(-1)2012,若想被13整除需加12,∴a=12.‎ ‎3.若(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,则a0+a1+a2+…+a11的值为(  )‎ A.2 B.-1 ‎ C.-2 D.1‎ ‎[答案] C ‎[解析] 令x+2=1,则x=-1,∴a0+a1+a2+…+a11=(1+1)×(-2+1)9=-2,故选C.‎