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  • 2021-05-13 发布

2015年高考广东理科数学试题及答案(word解析版)

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‎2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)‎ 数学(理科)‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎(1)【2015年广东,理1,5分】若集合,,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】,,故选D.‎ ‎(2)【2015年广东,理2,5分】若复数(是虚数单位),则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】,,故选A. ‎ ‎(3)【2015年广东,理3,5分】下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】A和C选项为偶函数,B选项为奇函数,D选项为非奇非偶函数,故选B.‎ ‎(4)【2015年广东,理4,5分】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球,从袋中任取2个球,所取的2个球中恰好有1个白球,1个红球的概率为( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【解析】,故选B.‎ ‎(5)【2015年广东,理5,5分】平行于直线且与圆相切的直线的方程是( )‎ ‎ (A) (B) ‎ ‎(C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】设所求直线为,因为圆心坐标为,则由直线与圆相切可得,‎ 解得,所求直线方程为,故选A.‎ ‎(6)【2015年广东,理6,5分】若变量满足约束条件,则的最小值为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图所示,阴影部分为可行域,虚线表示目标函数,则当目标函数过点,取最小值为,故选B.‎ ‎(7)【2015年广东,理7,5分】已知双曲线的离心率,且其右焦点为,则双曲线的方程为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】由双曲线右焦点为,则,.‎ ‎,所以双曲线方程为,故选C.‎ ‎(8)【2015年广东,理8,5分】若空间中个不同的点两两距离都相等,则正整数的取值( )‎ ‎(A)至多等于3 (B)至多等于4 (C)等于5 (D)大于5‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时,正三角形的三个顶点符合条件;当时,正四面体的四个顶点符合条件,故可排除A,C,D四个选项,故选B.‎ 二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.‎ ‎(一)必做题(9~13)‎ ‎(9)【2015年广东,理9,5分】在的展开式中,的系数为 .‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】,则当时,的系数为.‎ ‎(10)【2015年广东,理10,5分】在等差数列中,若,则 .‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】由等差数列性质得,,解得,所以.‎ ‎(11)【2015年广东,理11,5分】设的内角,,的对边分别为,,,若,,,则= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,又,故,所以,由正弦定理得,,所以.‎ ‎(12)【2015年广东,理12,5分】某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了 条毕业留言(用数字作答).‎ ‎【答案】1560‎ ‎【解析】.‎ ‎(13)【2015年广东,理13,5分】已知随机变量服从二项分布,,,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,,解得.‎ ‎(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)‎ ‎(14)【2015年广东,理14,5分】(坐标系与参数方程选做题)已知直线的极坐标方程为,点的极坐标为,则点到直线的距离为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】.即直线的直角坐标方程为 ‎,点的直角坐标为,到直线的距离为.‎ ‎(15)【2015年广东,理15,5分】(几何证明选讲选做题)如图1,已知是圆的直径,,是圆的切线,切点为,,过圆心作的平行线,分别交和于点和点,则= .‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】如图所示,连结 , 两点,则,‎ ‎,,所以,‎ 所以.‎ ‎ 三、解答题:本大题共6题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎(16)【2015年广东,理16,12分】在平面直角坐标系中,已知向量,,. ‎(1)若,求的值;‎ ‎(2)若与的夹角为,求的值.‎ 解:(1),,,即,‎ ‎,又,,.即,.‎ ‎ (2)依题意,‎ ‎ ,又,,即.‎ ‎(17)【2015年广东,理17,12分】某工厂36名工人的年龄数据如下表:‎ 工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄 1 ‎40‎ 2 ‎44‎ 3 ‎40‎ 4 ‎41‎ 5 ‎33‎ 6 ‎40‎ 7 ‎45‎ 8 ‎42‎ 9 ‎43‎ 10 ‎36‎ 11 ‎31‎ 12 ‎38‎ 13 ‎39‎ 14 ‎43‎ 15 ‎45‎ 16 ‎39‎ 17 ‎38‎ 18 ‎36‎ 19 ‎27‎ 20 ‎43‎ 21 ‎41‎ 22 ‎37‎ 23 ‎34‎ 24 ‎42‎ 25 ‎37‎ 26 ‎44‎ 27 ‎42‎ 28 ‎34‎ 29 ‎39‎ 30 ‎43‎ 31 ‎38‎ 32 ‎42‎ 33 ‎53‎ 34 ‎37‎ 35 ‎49‎ 36 ‎39‎ ‎(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里采用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;‎ ‎(2)计算(1)中样本的均值和方差;‎ ‎(3)36名工人中年龄在与之间有着多少人?所占的百分比是多少(精确到0.01%)?‎ 解:(1)由题意得,通过系统抽样分别抽取编号为2,6,10,14,18,22,26,30,34的年龄数据为样本.‎ 则样本的年龄数据为:44,40,36,43,36,37,44,43,37.‎ ‎(2)由(1)中的样本年龄数据可得, ,则 ‎ = .‎ ‎(3)由题意知年龄在之间,即年龄在之间,‎ 由(1)中容量为9的样本中年龄、在之间的有5人,‎ 所以在36人中年龄在之间的有(人),则所占百分比为.‎ ‎(18)【2015年广东,理18,14分】如图,三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直,,,,点是边的中点,点,分别在线段,上,且,.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)求二面角的正切值;‎ ‎(3)求直线与直线所成角的余弦值.‎ 解:(1)为等腰三角形,为边的中点,所以,‎ ‎ ,,‎ 且,∴,.‎ ‎(2)由长方形知, ,,,‎ 且 , ‎ ‎.,‎ ‎ 由长方形得,为边的中点,则,‎ ‎ 即二面角的正切值为.‎ ‎(3)如图,连结,,‎ ‎,,为直线与直线所成角.‎ 由长方形中得:‎ 由(2)知, ,由题意知,‎ ‎,所以,直线与直线所成角的余弦值为.‎ ‎(19)【2015年广东,理19,14分】设,函数.‎ ‎(1)求的单调区间;‎ ‎(2)证明:在上仅有一个零点;‎ ‎(3)若曲线在点处的切线与轴平行,且在点的切线与直线平行(是坐标原点),证明:.‎ 解:(1),,时,恒成立.‎ 的单调递增区间为.‎ ‎(2)由(1)可知在R上为单调递增函数,当,,‎ ‎ ,,在仅有一个零点.‎ ‎(3)令点为,曲线在点处的切线与轴平行,,‎ ‎,,直线斜率为,‎ 在点处的切线与直线平行,.‎ 要证明,即证.‎ ‎ 要证明,需证明,设,,‎ ‎ 令,在上单调递减,在上单调递增,,‎ ‎ ,,命题得证.‎ ‎(20)【2015年广东,理20,14分】已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点,.‎ ‎(1)求圆的圆心坐标;‎ ‎(2)求线段的中点的轨迹的方程;‎ ‎(3)是否存在实数,使得直线与曲线只有一个交点?若存在,求出的取值范围;若不 存在,说明理由.‎ 解:(1)由题意知:圆方程为:,∴圆的圆心坐标为.‎ ‎(2)由图可知,令,,‎ ‎ ,,,‎ ‎ ∵直线与圆交于、两点,∴直线与圆的距离:‎ ‎ ,,‎ ‎ 轨迹的方程为:.‎ ‎(3)∵直线:与曲线仅有1个交点, 联立方程:‎ 得:,在区间有且仅有1个解. ‎ 当时,,此时,,仅有一个交点,符合题意.‎ 当时,令,则有:‎ 解得: ,∴的取值范围为:或.‎ ‎(21)【2015年广东,理21,14分】数列满足:.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)设求数列的前项和;‎ ‎(3)令,证明:数列的前项和满足.‎ 解:(1)由题意知:,当时,;‎ ‎ 当时,,,.‎ ‎(2), ,,‎ ‎∴是首相为1,公比为的等边数列,∴.‎ ‎(3)由(2)得:,已知不等式:‎ 设,在单调递增,‎ ‎,在上恒成立.‎ 令,,‎ ‎,‎ ‎.‎