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- 2021-05-13 发布
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2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(理科)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)【2015年广东,理1,5分】若集合,,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】,,故选D.
(2)【2015年广东,理2,5分】若复数(是虚数单位),则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】,,故选A.
(3)【2015年广东,理3,5分】下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】A和C选项为偶函数,B选项为奇函数,D选项为非奇非偶函数,故选B.
(4)【2015年广东,理4,5分】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球,从袋中任取2个球,所取的2个球中恰好有1个白球,1个红球的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】,故选B.
(5)【2015年广东,理5,5分】平行于直线且与圆相切的直线的方程是( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】A
【解析】设所求直线为,因为圆心坐标为,则由直线与圆相切可得,
解得,所求直线方程为,故选A.
(6)【2015年广东,理6,5分】若变量满足约束条件,则的最小值为( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】如图所示,阴影部分为可行域,虚线表示目标函数,则当目标函数过点,取最小值为,故选B.
(7)【2015年广东,理7,5分】已知双曲线的离心率,且其右焦点为,则双曲线的方程为( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】由双曲线右焦点为,则,.
,所以双曲线方程为,故选C.
(8)【2015年广东,理8,5分】若空间中个不同的点两两距离都相等,则正整数的取值( )
(A)至多等于3 (B)至多等于4 (C)等于5 (D)大于5
【答案】B
【解析】当时,正三角形的三个顶点符合条件;当时,正四面体的四个顶点符合条件,故可排除A,C,D四个选项,故选B.
二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.
(一)必做题(9~13)
(9)【2015年广东,理9,5分】在的展开式中,的系数为 .
【答案】6
【解析】,则当时,的系数为.
(10)【2015年广东,理10,5分】在等差数列中,若,则 .
【答案】10
【解析】由等差数列性质得,,解得,所以.
(11)【2015年广东,理11,5分】设的内角,,的对边分别为,,,若,,,则= .
【答案】
【解析】,又,故,所以,由正弦定理得,,所以.
(12)【2015年广东,理12,5分】某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了 条毕业留言(用数字作答).
【答案】1560
【解析】.
(13)【2015年广东,理13,5分】已知随机变量服从二项分布,,,则 .
【答案】
【解析】,,解得.
(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)
(14)【2015年广东,理14,5分】(坐标系与参数方程选做题)已知直线的极坐标方程为,点的极坐标为,则点到直线的距离为 .
【答案】
【解析】.即直线的直角坐标方程为
,点的直角坐标为,到直线的距离为.
(15)【2015年广东,理15,5分】(几何证明选讲选做题)如图1,已知是圆的直径,,是圆的切线,切点为,,过圆心作的平行线,分别交和于点和点,则= .
【答案】8
【解析】如图所示,连结 , 两点,则,
,,所以,
所以.
三、解答题:本大题共6题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(16)【2015年广东,理16,12分】在平面直角坐标系中,已知向量,,.
(1)若,求的值;
(2)若与的夹角为,求的值.
解:(1),,,即,
,又,,.即,.
(2)依题意,
,又,,即.
(17)【2015年广东,理17,12分】某工厂36名工人的年龄数据如下表:
工人编号年龄
工人编号年龄
工人编号年龄
工人编号年龄
1 40
2 44
3 40
4 41
5 33
6 40
7 45
8 42
9 43
10 36
11 31
12 38
13 39
14 43
15 45
16 39
17 38
18 36
19 27
20 43
21 41
22 37
23 34
24 42
25 37
26 44
27 42
28 34
29 39
30 43
31 38
32 42
33 53
34 37
35 49
36 39
(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里采用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;
(2)计算(1)中样本的均值和方差;
(3)36名工人中年龄在与之间有着多少人?所占的百分比是多少(精确到0.01%)?
解:(1)由题意得,通过系统抽样分别抽取编号为2,6,10,14,18,22,26,30,34的年龄数据为样本.
则样本的年龄数据为:44,40,36,43,36,37,44,43,37.
(2)由(1)中的样本年龄数据可得, ,则
= .
(3)由题意知年龄在之间,即年龄在之间,
由(1)中容量为9的样本中年龄、在之间的有5人,
所以在36人中年龄在之间的有(人),则所占百分比为.
(18)【2015年广东,理18,14分】如图,三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直,,,,点是边的中点,点,分别在线段,上,且,.
(1)证明:;
(2)求二面角的正切值;
(3)求直线与直线所成角的余弦值.
解:(1)为等腰三角形,为边的中点,所以,
,,
且,∴,.
(2)由长方形知, ,,,
且 ,
.,
由长方形得,为边的中点,则,
即二面角的正切值为.
(3)如图,连结,,
,,为直线与直线所成角.
由长方形中得:
由(2)知, ,由题意知,
,所以,直线与直线所成角的余弦值为.
(19)【2015年广东,理19,14分】设,函数.
(1)求的单调区间;
(2)证明:在上仅有一个零点;
(3)若曲线在点处的切线与轴平行,且在点的切线与直线平行(是坐标原点),证明:.
解:(1),,时,恒成立.
的单调递增区间为.
(2)由(1)可知在R上为单调递增函数,当,,
,,在仅有一个零点.
(3)令点为,曲线在点处的切线与轴平行,,
,,直线斜率为,
在点处的切线与直线平行,.
要证明,即证.
要证明,需证明,设,,
令,在上单调递减,在上单调递增,,
,,命题得证.
(20)【2015年广东,理20,14分】已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点,.
(1)求圆的圆心坐标;
(2)求线段的中点的轨迹的方程;
(3)是否存在实数,使得直线与曲线只有一个交点?若存在,求出的取值范围;若不
存在,说明理由.
解:(1)由题意知:圆方程为:,∴圆的圆心坐标为.
(2)由图可知,令,,
,,,
∵直线与圆交于、两点,∴直线与圆的距离:
,,
轨迹的方程为:.
(3)∵直线:与曲线仅有1个交点, 联立方程:
得:,在区间有且仅有1个解.
当时,,此时,,仅有一个交点,符合题意.
当时,令,则有:
解得: ,∴的取值范围为:或.
(21)【2015年广东,理21,14分】数列满足:.
(1)求的值;
(2)设求数列的前项和;
(3)令,证明:数列的前项和满足.
解:(1)由题意知:,当时,;
当时,,,.
(2), ,,
∴是首相为1,公比为的等边数列,∴.
(3)由(2)得:,已知不等式:
设,在单调递增,
,在上恒成立.
令,,
,
.