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  • 2021-05-13 发布

高考数学一轮复习函数的概念与基本初等函数Ⅰ课时跟踪检测十二函数模型及其应用

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课时跟踪检测(十二) 函数模型及其应用 一抓基础,多练小题做到眼疾手快 ‎1.某种商品进价为4元/件,当日均零售价为6元/件,日均销售100件,当单价每增加1元,日均销量减少10件,试计算该商品在销售过程中,若每天固定成本为20元,则预计单价为________元/件时,利润最大.‎ 解析:设单价为6+x,日均销售量为100-10x,‎ 则日利润y=(6+x-4)(100-10x)-20‎ ‎=-10x2+80x+180‎ ‎=-10(x-4)2+340(0<x<10).‎ 所以当x=4时,ymax=340.‎ 即单价为10元/件,利润最大.‎ 答案:10‎ ‎2.(2018·盐城中学检测)“好酒也怕巷子深”,许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=a(a为常数),广告效应为D=R-A.那么精明的商人为了取得最大广告效应,投入广告费应为________.(用常数a表示)‎ 解析:D=R-A=a-A,令t=(t>0),则A=t2,‎ 所以D=at-t2=-2+a2.所以当t=a,即A=a2时,D取得最大值.‎ 答案:a2‎ ‎3.某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费);超过3 km但不超过8 km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8 km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了________km.‎ 解析:设出租车行驶x km时,付费y元,‎ 则y= 由y=22.6,解得x=9.‎ 答案:9‎ ‎4.(2019·盐城调研)一批货物随17列货车从A市以v km/h匀速直达B市,已知两地铁路线长400 km,为了安全,两列货车间距离不得小于2 km,那么这批物资全部运到B市,最快需要________ h(不计货车的身长).‎ 解析:设这批物资全部运到B市用的时间为y,‎ 因为不计货车的身长,所以设列车为一个点,‎ 可知最前的点与最后的点之间距离最小值为16×2时,时间最快.‎ 则y==+≥2 =8,‎ 当且仅当=,即v=100时等号成立,ymin=8.‎ 答案:8‎ ‎5.(2019·南通模拟)用长度为24的材料围成一个矩形场地,中间有两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为________.‎ 解析:设矩形场地的宽(即隔墙的长度)为x,则长为,其面积S=·‎ x=12x-2x2=-2(x-3)2+18,当x=3时,S有最大值18,所以隔墙的长度为3.‎ 答案:3‎ ‎6.有一位商人,从北京向上海的家中打电话,通话m分钟的电话费由函数f(m)=1.06×(0.5[m]+1)(元)决定,其中m>0,[m]是大于或等于m的最小整数.则从北京到上海通话时间为5.5分钟的电话费为________元.‎ 解析:因为m=5.5,所以[5.5]=6.代入函数解析式,得f(5.5)=1.06×(0.5×6+1)=4.24.‎ 答案:4.24‎ 二保高考,全练题型做到高考达标 ‎1.某电信公司推出两种手机收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月租0元.一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示,当通话150分钟时,这两种方式电话费相差________元.‎ 解析:依题意可设sA(t)=20+kt,sB(t)=mt,‎ 又sA(100)=sB(100),‎ 所以100k+20=100m,‎ 得k-m=-0.2,于是sA(150)-sB(150)=20+150k-150m=20+150×(-0.2)=-10,‎ 即两种方式电话费相差10元.‎ 答案:10‎ ‎2.某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件,根据市场预测,销售价为每件100元时可全部售完,定价每提高1元时销售量就减少5件,若要获得最大利润,销售价应定为每件________元.‎ 解析:设售价提高x元,利润为y元,则依题意得y=(1 000-5x)×(100+x)-80×1 000=-5x2+500x+20 000=-5(x-50)2+32 500,故当x=50时,ymax=32‎ ‎ 500,此时售价为每件150元.‎ 答案:150‎ ‎3.(2019·海安中学检测)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2017年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是________.‎ ‎(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)‎ 解析:设2017年后的第n年,该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,由130(1+12%)n>200,得1.12n>,两边取常用对数,得n>≈=3.8,所以n≥4,所以从2021年开始,该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.‎ 答案:2021年 ‎4.(2019·启东中学检测)某公司租地建仓库,已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.据测算,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1,y2分别是2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站________千米处.‎ 解析:由题意设仓库在离车站x千米处,则y1=,y2=k2x,其中x>0,‎ 由得,即y1+y2=+x≥2 =8,‎ 当且仅当=x,即x=5时等号成立.‎ 答案:5‎ ‎5.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y=aent.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m分钟甲桶中的水只有,则m=________.‎ 解析:根据题意知=e5n,‎ 令a=aent,即=ent,‎ 因为=e5n,故=e15n,‎ 比较知t=15,m=15-5=10.‎ 答案:10‎ ‎6.一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比,且比例系数为k,除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里 ‎/小时时,每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里,当这艘轮船的速度为________海里/小时时,总费用最小.‎ 解析:设每小时的总费用为y元,则y=kv2+96,‎ 又当v=10时,k×102=6,解得k=0.06,‎ 所以每小时的总费用y=0.06v2+96,匀速行驶10海里所用的时间为小时,故总费用为W=y=(0.06v2+96)=0.6v+≥2=48,当且仅当0.6v=,‎ 即v=40时等号成立.故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时.‎ 答案:40‎ ‎7.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图),为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用,则截取的矩形面积的最大值为________.‎ 解析:依题意知:=,即x=(24-y),‎ 所以阴影部分的面积S=xy=(24-y)·y=(-y2+24y)=-(y-12)2+180.‎ 所以当y=12时,S有最大值为180.‎ 答案:180‎ ‎8.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为8万元时,奖励1万元.销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为______(万元).‎ 解析:依题意得 即解得a=2,b=-2.‎ 所以y=2log4x-2,当y=8时,即2log4x-2=8.‎ x=1 024(万元).‎ 答案:1 024‎ ‎9.某科研小组研究发现:一棵水蜜桃树的产量w(单位:百千克)与肥料费用x(单位:百元)满足如下关系:w=4-,且投入的肥料费用不超过5百元,此外,还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x百元.已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克),且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为L(x)(单位:百元).‎ ‎(1)求L(x)的函数关系式,并写出定义域;‎ ‎(2)当投入的肥料费用为多少时,该水蜜桃树获得的利润最大?最大利润是多少?‎ 解:(1)L(x)=16-x-2x=64--3x,x∈(0,5].‎ ‎(2)法一:L(x)=64--3x=67-≤67-2=43,当且仅当=3(x+1),即x=3时取等号.‎ 故L(x)max=43.‎ 答:当投入的肥料费用为300元时,该水密桃树获得的利润最大,为4 300元.‎ 法二:L′(x)=-3,令L′(x)=0,得x=3.‎ 故当x∈(0,3)时,L′(x)>0,L(x)在(0,3)上单调递增;‎ 当x∈(3,5]时,L′(x)<0,L(x)在(3,5]上单调递减.‎ 故L(x)max=L(3)=43.‎ 答:当投入的肥料费用为300元时,该水蜜桃树获得的利润最大,为4 300元.‎ ‎10.(2019·镇江调研)如图,政府有一个边长为400 m的正方形公园ABCD,在以四个角的顶点为圆心,以150 m为半径的四分之一圆内都种植了花卉.现在中间修建一块长方形的活动广场PQMN,其中P,Q,M,N四点都在相应的圆弧上,并且活动广场边界与公园边界对应平行,记∠QBC=α,长方形活动广场的面积为S.‎ ‎(1)请把S表示成关于α的函数关系式;‎ ‎(2)求S的最小值.‎ 解:(1)过Q作QE⊥BC于E,连结BQ(图略).‎ 在Rt△BQE中,BE=150cos α,QE=150sin α,0≤α≤,‎ 可得矩形PQMN的PQ=400-300sin α,QM=400-300cos α,‎ 则S=PQ·QM=(400-300sin α)(400-300cos α)‎ ‎=10 000(4-3sin α)(4-3cos α),α∈.‎ ‎(2)由(1)知,S=10 000[16-12(sin α+cos α)+9sin αcos α],‎ 设t=sin α+cos α=sin ,则≤α+≤,‎ 可得1≤t≤,sin αcos α=,‎ ‎∴S=10 000 ‎=5 000.‎ ‎∴当t=时,S取得最小值5 000×7=35 000 m2.‎ 三上台阶,自主选做志在冲刺名校 某辆汽车以x千米/时的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120)时,每小时的耗油量(所需要的汽油量)为升,其中k为常数,且60≤k≤100.‎ ‎(1)若汽车以120千米/时的速度行驶时,每小时的耗油量为11.5升,欲使每小时的耗油量不超过9升,求x的取值范围;‎ ‎(2)求该汽车行驶100千米的耗油量的最小值.‎ 解:(1)由题意知,当x=120时,‎ =11.5,∴k=100,‎ 由≤9,‎ 得x2-145x+4 500≤0,∴45≤x≤100.‎ 又60≤x≤120,∴60≤x≤100.‎ 故x的取值范围为[60,100].‎ ‎(2)设该汽车行驶100千米的耗油量为y升,则 y=·=20-+(60≤x≤120).‎ 令t=,则t∈,‎ ‎∴y=90 000t2-20kt+20=90 0002+20-,‎ ‎∴该函数图象的对称轴为直线t=.‎ ‎∵60≤k≤100,∴∈.‎ ‎①若≥,即75≤k≤100,‎ 则当t=,即x=时,ymin=20-.‎ ‎②若<,即60≤k<75,‎ 则当t=,即x=120时,ymin=-.‎ 答:当75≤k≤100时,该汽车行驶100千米的耗油量的最小值为升;当60≤k<75时,该汽车行驶100千米的耗油量的最小值为升.‎