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- 2021-05-13 发布
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专题02 函数
一.基础题组
1. 【2014上海,理4】设若,则的取值范围为_____________.
【答案】
【考点】分段函数.
2. 【2014上海,理9】若,则满足的取值范围是 .
【答案】
【考点】幂函数的性质.
3. 【2013上海,理6】方程=3x-1的实数解为______.
【答案】log34
4. 【2013上海,理12】设a为实常数,y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=9x++7.若f(x)≥a+1对一切x≥0成立,则a的取值范围为______.
【答案】(-∞,]
5. 【2013上海,理14】对区间I上有定义的函数g(x),记g(I)={y|y=g(x),x∈I}.已知定义域为[0,3]的函数y=f(x)有反函数y=f-1(x),且f-1([0,1))=[1,2),f-1((2,4])=[0,1).若方程f(x)-x=0有解x0,则x0=______.
【答案】2
6. 【2012上海,理7】已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数),若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是__________.
【答案】(-∞,1]
7. 【2012上海,理9】已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=__________.
【答案】-1
8. 【2011上海,理1】函数的反函数为f-1(x)=______.
【答案】
9. 【2011上海,理13】设g(x)是定义在R上,以1为周期的函数.若函数f(x)=x+g(x)在区间[3,4]上的值域[-2,5],则f(x)在区间[-10,10]上的值域为______.
【答案】[-15,11]
10. 【2011上海,理16】下列函数中,既是偶函数,又是在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( )
A. B.y=x3 C.y=2|x| D.y=cosx
【答案】A
11. 【2010上海,理8】对任意不等于1的正数,函数的反函数的图像都过点P,则点P的坐标是 ;
【答案】
【点评】反函数是高考常考的知识点,一般难度都不大.当与反函数图像有关时,要注意反函数与原函数的图象关于直线对称.
12. 【2010上海,理17】若是方程的解,则属于区间 [答]( )
(A)(). (B)(). (C)() (D)()
【答案】C
【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系,隐含着对指数函数的性质、分数指数幂、连续函数的性质等知识的考查,把对方程的根的研究转化为对函数零点的考察是解题的关键.
13. (2009上海,理20)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
有时可用函数
描述学习某学科知识的掌握程度.其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N*),f(x)表示对该学科知识的掌握程度,正实数a与学科知识有关.
(1)证明:当x≥7时,掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是下降;
(2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121],(121,127],(127,133].当学习某学科知识6次时,掌握程度是85%,请确定相应的学科.
【答案】(1) 参考解析;(2) 乙学科
14. 【2008上海,理4】若函数f(x)的反函数为f -1(x)=x2(x>0),则f(4)= .
15. 【2008上海,理8】设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足f(x)>0的x的取值范围是 .
16. 【2008上海,理11】方程x2+x-1=0的解可视为函数y=x+的图像与函数y=的图像交点的横坐标,若x4+ax-4=0的各个实根x1,x2,…,xk (k≤4)所对应的点(xi ,)(i=1,2,…,k)均在直线y=x的同侧,则实数a的取值范围是 .
17. 【2007上海,理1】函数的定义域为
18. 【2007上海,理3】函数的反函数
19.【2007上海,理4】方程的解是
20. 【2006上海,理3】若函数=(>0,且≠1)的反函数的图像过点(2,-1),则= .
【答案】
21. 【2006上海,理11】若曲线=||+1与直线=+没有公共点,则、分别应满足的条件是 .
【答案】=0、∈(-1,1)
22. 【2005上海,理1】函数的反函数=__________.
【答案】
23. 【2005上海,理2】方程的解是__________
【答案】x=0
24. 【2005上海,理10】函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点,则的取值范围是__________
【答案】
25. 【2005上海,理13】若函数,则该函数在上是( )
A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值
C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值
【答案】A
26. 【2005上海,理16】设定义域为R的函数,则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是( )
A.且B.且C.且D.且
【答案】C
二.能力题组
1. 【2014上海,理12】设常数a使方程在闭区间[0,2]上恰有三个解,则 .
【答案】
【考点】解三角方程,方程的解与函数图象的交点.
2. 【2014上海,理18】若是的最小值,则的取值范围为( ).
(A)[-1,2] (B)[-1,0] (C)[1,2] (D)
【答案】D
【考点】分段函数的单调性与最值问题.
3. 【2013上海,理20】甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每一小时可获得的利润是元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,求x的取值范围;
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.
【答案】(1) 3≤x≤10 ;(2) 6千克/小时, 最大利润为457 500元
4. 【2012上海,理20】已知函数f(x)=lg(x+1).
(1)若0<f(1-2x)-f(x)<1,求x的取值范围;
(2)若g(x)是以2为周期的偶函数,且当0≤x≤1时,有g(x)=f(x),求函数y=g(x)(x∈[1,2])的反函数.
【答案】(1) ; (2) y=3-10x ,x∈[0,lg 2]
5. 【2012上海,理21】海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处,如图.现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发t小时后,失事船所在位置的横坐标为7t.
(1)当t=0.5时,写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;
(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?
【答案】(1) 海里,北偏东弧度 (2) 时速至少是25海里才能追上失事船
因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.
6. 【2011上海,理20】已知函数f(x)=a·2x+b·3x,其中常数a,b满足ab≠0.
(1)若ab>0,判断函数f(x)的单调性;
(2)若ab<0,求f(x+1)>f(x)时的x的取值范围.
【答案】(1) 单调递减;(2)
7. (2009上海,理22)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
已知函数y=f-1(x)是y=f(x)的反函数.定义:若对给定的实数a(a≠0),函数y=f(x+a)与y=f-1(x+a)互为反函数,则称y=f(x)满足“a和性质”;若函数y=f(ax)与y=f-1(ax)互为反函数,则称y=f(x)满足“a积性质”.
(1)判断函数g(x)=x2+1(x>0)是否满足“1和性质”,并说明理由;
(2)求所有满足“2和性质”的一次函数;
(3)设函数y=f(x)(x>0)对任何a>0,满足“a积性质”.求y=f(x)的表达式.
【答案】(1)不满足; (2) k=-1,f(x)=-x+b(b∈R) ;(3) 参考解析
三.拔高题组
1. 【2014上海,理20】(本题满分14分)本题有2个小题,第一小题满分6分,第二小题满分1分.
设常数,函数
(1) 若=4,求函数的反函数;
(2) 根据的不同取值,讨论函数的奇偶性,并说明理由.
【答案】(1),;(2)时为奇函数,当时为偶函数,当且时为非奇非偶函数.
【考点】反函数,函数奇偶性.
2. 【2008上海,理19】(8’+8’)已知函数f(x)=2x-
⑴ 若f(x)=2,求x的值
⑵ 若2t f(2t)+m f(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围
3. 【2007上海,理18】近年来,太阳能技术运用的步伐日益加快,已知2002年全球太阳能年生产量为670兆瓦,年增长率为34%。在此后的四年里,增长率以每年2%的速度增长(例如2003年的年生产量增长率为36%)
(1)求2006年的太阳能年生产量(精确到0.1兆瓦)
(2)已知2006年太阳能年安装量为1420兆瓦,在此后的4年里年生产量保持42%的增长率,若2010年的年安装量不少于年生产量的95%,求4年内年安装量的增长率的最小值(精确到0.1%)
4. 【2007上海,理19】已知函数
(1)判断的奇偶性 (2)若在是增函数,求实数的范围
5. 【2006上海,理22】(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分)
已知函数=+有如下性质:如果常数>0,那么该函数在0,上是减函数,在,+∞上是增函数.
(1)如果函数=+(>0)的值域为6,+∞,求的值;
(2)研究函数=+(常数>0)在定义域内的单调性,并说明理由;
(3)对函数=+和=+(常数>0)作出推广,使它们都是你所推广的函数的特例.研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明),并求函数=+(是正整数)在区间[,2]上的最大值和最小值(可利用你的研究结论).
【答案】(1)b=log29;(2)参考解析;(3)参考解析