创新设计 高考总复习高考数学 全国专用一轮复习第八篇 空间几何体的表面积与体积 8页

第 2 讲 空间几何体的表面积与体积 A 级 基础演练 (时间：30 分钟 满分：55 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 20 分) 1．(2013·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为 ( )． A．2＋ 3 B．1＋ 3 C．2＋2 3 D．4＋ 3 解析 依题意得，该几何体的侧视图的面积等于 22＋1 2 ×2× 3＝4＋ 3. 答案 D 2．(2011·湖南)设右图是某几何体的三视图，则该几 何体的体积为 ( )． A.9 2π＋12 B.9 2π＋18 C．9π＋42 D．36π＋18 解析 该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为 3，长方 体的底面是边长为 3 的正方形，高为 2，故所求体积为 2×32＋4 3π 3 2 3＝9 2π＋ 18. 答案 B 3．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积(单位：cm2)为 ( )． A．48 B．64 C．80 D．120 解析 据三视图知，该几何体是一个正四棱 锥(底面边长为 8)，直观图如图，PE 为侧面 △PAB 的边 AB 上的高，且 PE＝5.∴此几何 体的侧面积是 S＝4S △ PAB ＝4×1 2 ×8×5＝ 80(cm2)． 答案 C 4．(2012·新课标全国)已知三棱锥 S－ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，△ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC＝2，则此棱锥的体积为 ( )． A. 2 6 B. 3 6 C. 2 3 D. 2 2 解析 在直角三角形 ASC 中，AC＝1，∠SAC＝90°，SC＝2，∴SA＝ 4－1＝ 3；同理 SB＝ 3.过 A 点作 SC 的垂线交 SC 于 D 点，连接 DB，因△SAC≌ △SBC，故 BD⊥SC，故 SC⊥平面 ABD，且平面 ABD 为等腰三角形，因∠ASC ＝30°，故 AD＝1 2SA＝ 3 2 ，则△ABD 的面积为1 2 ×1× AD2－ 1 2 2 ＝ 2 4 ，则三棱锥的体积为1 3 × 2 4 ×2＝ 2 6 . 答案 A 二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 5．已知 S、A、B、C 是球 O 表面上的点，SA⊥平面 ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝ 1，BC＝ 2，则球 O 的表面积等于________． 解析 将三棱锥 S－ABC 补形成以 SA、AB、BC 为棱的长方体，其对角线 SC 为球 O 的直径，所以 2R＝SC＝2，R＝1，∴表面积为 4πR2＝4π. 答案 4π 6．(2012·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为 ________ m3. 解析 由三视图可知，该几何体是组合体，上面是长、宽、高分别是 6,3,1 的 长方体，下面是两个半径均为3 2 的球，其体积为 6×3×1＋2×4 3 ×π× 3 2 3＝18 ＋9π(m3)． 答案 18＋9π 三、解答题(共 25 分) 7．(12 分)如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)： (1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积． 解 (1)这个几何体的直观图如图所示． (2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－ A1D1P 的组合体．由 PA1＝PD1＝ 2，A1D1＝AD＝2，可 得 PA1 ⊥ PD1. 故 所 求 几 何 体 的 表 面 积 S ＝ 5×22 ＋ 2×2× 2＋2×1 2 ×( 2)2＝22＋4 2(cm2)， 体积 V＝23＋1 2 ×( 2)2×2＝10 (cm3)． 8．(13 分)在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，底面为直角三角 形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝ 2，P 是 BC1 上一动点，如图所示，求 CP＋PA1 的最小值． 解 PA1 在平面 A1BC1 内，PC 在平面 BCC1 内，将其 铺平后转化为平面上的问题解决．铺平平面 A1BC1、 平面 BCC1，如图所示．计算 A1B＝AB1＝ 40，BC1＝2，又 A1C1＝6，故△A1BC1 是∠A1C1B＝90°的直角三角形． CP＋PA1≥A1C.在△AC1C 中，由余弦定理，得 A1C＝ 62＋ 22－2·6· 2·cos 135°＝ 50＝5 2， 故(CP＋PA1)min＝5 2. B 级 能力突破 (时间：30 分钟 满分：45 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 10 分) 1．(2012·哈尔滨模拟)某品牌香水瓶的三视图如下(单位：cm)，则该几何体的表 面积为 ( )． A. 95－π 2 cm2 B. 94－π 2 cm2 C. 94＋π 2 cm2 D. 95＋π 2 cm2 解析 该几何体的上下为长方体，中间为圆柱． S 表面积＝S 下长方体＋S 上长方体＋S 圆柱侧－2S 圆柱底＝2×4×4＋4×4×2＋2×3×3＋ 4×3×1＋2π×1 2 ×1－2×π 1 2 2＝94＋π 2. 答案 C 2．(2013·福州模拟)如图所示，已知三棱柱 ABC－A1B1C1 的所有棱长均为 1，且 AA1⊥底面 ABC，则三棱锥 B1－ABC1 的体积为 ( )． A. 3 12 B. 3 4 C. 6 12 D. 6 4 解析 三棱锥 B1－ABC1 的体积等于三棱锥 A－B1BC1 的体积，三棱锥 A－ B1BC1 的高为 3 2 ，底面积为1 2 ，故其体积为1 3 ×1 2 × 3 2 ＝ 3 12. 答案 A 二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 3．(2013·江西盟校二联)已知某几何体的直观图及三 视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几 何体的表面积为________． 解析 借助常见的正方体模型解决．由三视图 知，该几何体由正方体沿面 AB1D1 与面 CB1D1 截去两个角所得，其表面由两个等边三角形、 四个直角三角形和一个正方形组成．计算得其 表面积为 12＋4 3. 答案 12＋4 3 4．(2012·长春二模)如图所示，正方体 ABCD－ A1B1C1D1 的棱 长为 6，则 以正方体 ABCD－ A1B1C1D1 的中心为顶点，以平面 AB1D1 截正方 体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为 ________． 解析 设 O 为正方体外接球的球心，则 O 也是 正方体的中心，O 到平面 AB1D1 的距离是体对角线长的1 6 ，即为 3.又球的半 径是正方体对角线长的一半，即为 3 3，由勾股定理可知，截面圆的半径为 3 32－ 32＝2 6，圆锥底面面积为 S1＝π·(2 6)2＝24π，圆锥的母线即为 球的半径 3 3，圆锥的侧面积为 S2＝π×2 6×3 3＝18 2π.因此圆锥的全面积 为 S＝S2＋S1＝18 2π＋24π＝(18 2＋24)π. 答案 (18 2＋24)π 三、解答题(共 25 分) 5．(12 分)(2013·杭州模拟)如图，在四边形 ABCD 中， ∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2 2， AD＝2，求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何 体的表面积及体积． 解 由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5， S 表面＝S 圆台侧＋S 圆台下底＋S 圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2 2＝(60＋4 2)π， V＝V 圆台－V 圆锥＝1 3(π·22＋π·52＋ 22·52π2)×4－1 3π×22×2＝148 3 π. 6．(13 分)如图(a)，在直角梯形 ABCD 中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD ＝CD＝2，将△ADC 沿 AC 折起，使平面 ADC⊥平面 ABC，得到几何体 D－ ABC，如图(b)所示． (1)求证：BC⊥平面 ACD； (2)求几何体 D－ABC 的体积． (1)证明 在图中，可得 AC＝BC＝2 2， 从而 AC2＋BC2＝AB2， 故 AC⊥BC， 又平面 ADC⊥平面 ABC，平面 ADC∩平面 ABC＝AC，BC⊂平面 ABC，∴BC ⊥平面 ACD. (2)解 由(1)可知，BC 为三棱锥 B－ACD 的高，BC＝2 2，S△ACD＝2， ∴VB－ACD＝1 3S△ACD·BC＝1 3 ×2×2 2＝4 2 3 ， 由等体积性可知，几何体 D－ABC 的体积为4 2 3 .