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  • 2021-05-13 发布

高考数学经典题题精选平面向量解答题精选

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平面向量解答题精选 1. 设x , y ∈R,、为直角坐标系内x、y轴正方向上的单位向量,若=x+(y+2),=x+(y-2) 且2+2=16.‎ ‎ (1)求点M(x, y )的轨迹C 的方程;‎ ‎ (2)过定点(0,3)作直线l与曲线C交于A、B两点,设,是否存在直线l使四边形OAPB为正方形?若存在,求出l的方程,若不存在说明理由.‎ 解:(1)由2+2=16得x2+y2=4…………………………4分 ‎ (2)假设直线l存在,显然l的斜率存在 ‎ 设A(x1,y1) B(x2, y2)‎ ‎ 由………………6分 ‎ ‎ ‎∴若OAPB为正方形 只有即x1x2+y1y2=0‎ y1y2=(kx1+3)(kx2+3)=k2x1x2+3k(x1+x2)+9……………………8分 ‎……10分 ‎∴存在l且l的方程为y=x+3…………………………12分 1. ‎(1)已知||=4,||=3,(2-3)·(2+)=61,求与的夹角θ;‎ ‎ (2)设=(2,5),=(3,1),=(6,3),在上是否存在点M,使 ‎ ,若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)∵(2-3)·(2+)=61,∴…(12分)‎ ‎ 又||=4,||=3,∴·=-6.…………………………………………(4分).‎ ‎ ………………………………………………(5分)‎ ‎ ∴θ=120°.………………………………………………………………(6分)‎ ‎ (2)设存在点M,且 ‎ ‎ ‎ …………………………(8分)‎ ‎ ‎ ‎∴存在M(2,1)或满足题意.……………………(12分)‎ 2. 设、是两个不共线的非零向量()‎ ‎ (1)记那么当实数t为何值时,A、B、C三点共线?‎ ‎(2)若,那么实数x为何值时的值最小?‎ 解:(1)A、B、C三点共线知存在实数 ‎ 即,…………………………………………………4分 ‎ 则………………………………………………………………6分 ‎ (2)‎ ‎ ……………………………9分 ‎ 当…………………………………………12分 1. 设平面内的向量, , ,点P是直线OM上的一个动点,求当取最小值时,的坐标及ÐAPB的余弦值.‎ 解 设.‎ ‎∵ 点P在直线OM上,‎ ‎∴ 与共线,而,‎ ‎∴ x-2y=0即x=2y,有. ……………… 4分 ‎∵ ,,‎ ‎∴ ‎ ‎= 5y2-20y+12‎ ‎= 5(y-2)2-8. ……………… 8分 从而,当且仅当y=2,x=4时,取得最小值-8,此时,,.‎ 于是,,,‎ ‎∴ .…………… 12分 2. 已知向量向量与向量夹角为,且.‎ ‎ (1)求向量;‎ ‎ (2)若向量与向量=(1,0)的夹角为,求|2+|的值.‎ 解:(1)设,有 ① ………………2分 由夹角为,有.‎ ‎∴②………………4分 由①②解得 ∴即或…………6分 ‎ (2)由垂直知…………7分 ‎…………10分 ‎∴…………12分 1. 已知定点 ‎(Ⅰ)求动点P的轨迹方程。‎ ‎(Ⅱ)当的最大值和最小值.‎ 解:(I)设动点的坐标为P(x,y),则 ‎(3分)‎ ‎ ‎ ‎ 若k=1,则方程为x=1,表示过点(1,0)是平行于y轴的直线.(4分)‎ ‎ 若k≠1,则方程化为:为半径的圆. (5分)‎ ‎ (II)当k=0时,方程化为x2+y2=1 .‎ ‎ ‎ 1. 在平行四边形ABCD中,A(1,1),,点M是线段AB的中点,线段CM与BD交于点P.‎ ‎ (1)若,求点C的坐标; (2)当时,求点P的轨迹.‎ 解:(1)设点C坐标为(……1分 ‎ 又……3分 ‎ 即……4分 即点C(0,6)…5分 ‎ (2)解一:设,则 ‎ ……6分 ‎……8分 ‎ ABCD为菱形……9分 ‎……11分 故点P的轨迹是以(5,1)为圆心,2为半圆去掉与直线的两个交点……12分 ‎ 解法二:‎ ‎ D的轨迹方程为……7分 M为AB中点 的比为 ‎ 设……9分 的轨迹方程 ‎ 整理得……11分 故点P的轨迹是以(5,1)为圆心,2为半径的圆去掉与直线的两个交点……12分 1. 已知向量=(2,2),向量与向量的夹角为,且·=-2,‎ ‎ (1)求向量;‎ ‎ (2)若,其中A、C是△ABC的内角,若三角形的三内角A、B、C依次成等差数列,试求|+|的取值范围.‎ 解:(1)设=(x,y),则 ‎∴解得 ‎ (2). ∴‎ ‎∴‎ ‎=1+‎ ‎∴ ∴‎