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- 2021-05-13 发布
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第二章 圆周运动
解题模型:
一、水平方向的圆盘模型
1. 如图1.01所示,水平转盘上放有质量为m的物块,当物块到转轴的距离为r时,连接物块和转轴的绳刚好被拉直(绳上张力为零)。物体和转盘间最大静摩擦力是其正压力的μ倍,求:
(1)当转盘的角速度时,细绳的拉力。
(2)当转盘的角速度时,细绳的拉力。
图2.01
解析:设转动过程中物体与盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为,则,解得。
(1)因为,所以物体所需向心力小于物体与盘间的最大摩擦力,则物与盘间还未到最大静摩擦力,细绳的拉力仍为0,即。
(2)因为,所以物体所需向心力大于物与盘间的最大静摩擦力,则细绳将对物体施加拉力,由牛顿的第二定律得:,解得。
2. 如图2.02所示,在匀速转动的圆盘上,沿直径方向上放置以细线相连的A、B两个小物块。A的质量为,离轴心,B的质量为,离轴心,A、B
与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的0.5倍,试求:
(1)当圆盘转动的角速度为多少时,细线上开始出现张力?
(2)欲使A、B与盘面间不发生相对滑动,则圆盘转动的最大角速度为多大?()
图2.02
解析:(1)较小时,A、B均由静摩擦力充当向心力,增大,可知,它们受到的静摩擦力也增大,而,所以A受到的静摩擦力先达到最大值。再增大,AB间绳子开始受到拉力。
由,得:
(2)达到后,再增加,B增大的向心力靠增加拉力及摩擦力共同来提供,A增大的向心力靠增加拉力来提供,由于A增大的向心力超过B增加的向心力,再增加,B所受摩擦力逐渐减小,直到为零,如再增加,B所受的摩擦力就反向,直到达最大静摩擦力。如再增加,就不能维持匀速圆周运动了,A、B就在圆盘上滑动起来。设此时角速度为,绳中张力为,对A、B受力分析:
对A有 对B有
联立解得:
1. 如图2.03所示,两个相同材料制成的靠摩擦传动的轮A和轮B水平放置,两轮半径,当主动轮A匀速转动时,在A轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A轮边缘上。若将小木块放在B轮上,欲使木块相对B轮也静止,则木块距B轮转轴的最大距离为( )
A. B. C. D.
答案:C
二、行星模型
1. 已知氢原子处于基态时,核外电子绕核运动的轨道半径,则氢原子处于量子数1、2、3,核外电子绕核运动的速度之比和周期之比为:( )
A. ;
B.
C.
D. 以上答案均不对
解析:根据经典理论,氢原子核外电子绕核作匀速率圆周运动时,由库仑力提供向心力。
即,从而得线速度为周期为
又根据玻尔理论,对应于不同量子数的轨道半径与基态时轨道半径r1有下述关系式:。
由以上几式可得v的通式为:
所以电子在第1、2、3不同轨道上运动速度之比为:
而周期的通式为:
所以,电子在第1、2、3不同轨道上运动周期之比为:
由此可知,只有选项B是正确的。
2. 卫星做圆周运动,由于大气阻力的作用,其轨道的高度将逐渐变化(由于高度变化很缓慢,变化过程中的任一时刻,仍可认为卫星满足匀速圆周运动的规律),下述卫星运动的一些物理量的变化正确的是:( )
A. 线速度减小 B. 轨道半径增大 C. 向心加速度增大 D. 周期增大
解析:假设轨道半径不变,由于大气阻力使线速度减小,因而需要的向心力减小,而提供向心力的万有引力不变,故提供的向心力大于需要的向心力,卫星将做向心运动而使轨道半径减小,由于卫星在变轨后的轨道上运动时,满足,故增大而T减小,又,故a增大,则选项C正确。
1. 经过用天文望远镜长期观测,人们在宇宙中已经发现了许多双星系统,通过对它们的研究,使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识,双星系统由两个星体组成,其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离,一般双星系统距离其他星体很远,可以当作孤立系统来处理。现根据对某一双星系统的光度学测量确定;该双星系统中每个星体的质量都是M,两者相距L,它们正围绕两者连线的中点做圆周运动。
(1)试计算该双星系统的运动周期;
(2)若实验中观测到的运动周期为,且。
为了理解与的不同,目前有一种流行的理论认为,在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质。作为一种简化模型,我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布这种暗物质。若不考虑其他暗物质的影响,请根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。
答案:(1)双星均绕它们连线的中点做圆周运动,设运动的速率为v,得:
(2)根据观测结果,星体的运动周期:
这种差异是由双星系统(类似一个球)内均匀分布的暗物质引起的,均匀分布双星系统内的暗物质对双星系统的作用,与一个质点(质点的质量等于球内暗物质的总质量且位于中点O处)的作用相同。考虑暗物质作用后双星的速度即为观察到的速度,则有:
因为周长一定时,周期和速度成反比,得:
有以上各式得
设所求暗物质的密度为,则有