高考真题数学理江苏卷答案解析版 15页

‎、2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 注　意　事　项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：‎ ‎1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用‎0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。‎ ‎3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。‎ ‎4．作答试题必须用‎0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。‎ ‎5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。‎ 数学Ⅰ 参考公式：‎ 棱锥的体积，其中为底面积，为高．‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．已知集合，，则 ▲ ．‎ ‎【解析】由已知，集合，，所以{1,2,4,6}.‎ 答案：{1,2,4,6},‎ ‎2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生．‎ ‎【解析】由已知，高二人数占总人数的，所以抽取人数为.‎ ‎3．设，（i为虚数单位），则的值为 ▲ ．‎ 结束 k←k +1‎ 开始 k←1‎ k2－5k+4>0‎ N 输出k ‎ Y ‎【解析】由已知，.‎ ‎.‎ ‎4．右图是一个算法流程图，则输出的k的值是 ▲ ．‎ ‎【解析】将带入0=0不满足，‎ ‎ 将带入不满足，‎ ‎ 将带入不满足，‎ ‎ 将带入不满足，‎ ‎ 将带入满足，‎ ‎ 所以.‎ ‎5．函数的定义域为 ▲ ．‎ ‎【解析】由题意，所以.‎ ‎6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ．‎ D A B C ‎【解析】满足条件的数有1，-3，，，，；所以.‎ ‎7．如图，在长方体中，，，‎ 则四棱锥的体积为 ▲ cm3．‎ ‎（第7题）‎ ‎【解析】.‎ ‎8．在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则m的值为 ▲ ．‎ ‎【解析】，解得.‎ A B C E F D ‎9．如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，‎ 点F在边CD上，若，则的值是 ▲ ．‎ ‎【解析】以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x轴和y轴建立 平面直角坐标系，‎ 则由题意知：点B，点E,设点F，‎ ‎（第9题）‎ 所以，；‎ 由条件解得点，‎ 所以，；‎ 所以.‎ ‎10．设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，‎ 其中．若，则的值为 ▲ ．‎ ‎【解析】因为，所以，求得.‎ 由，得，解得.‎ 联立，解得 所以.‎ ‎11．设为锐角，若，则的值为 ▲ ．‎ ‎【解析】为锐角，，，；‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎12．在平面直角坐标系中，圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 ▲ ．‎ ‎【解析】圆C的圆心为，半径为1；由题意，直线上至少存在一点，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点；故存在，使得成立，即；而即为点C到直线的距离，故，解得，即k的最大值是.‎ ‎13．已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为 ▲ ．‎ ‎【解析】由值域为得，即；‎ ‎，‎ 解得；‎ 不等式的解集为，，解得.‎ ‎14．已知正数满足：则的取值范围是 ▲ ．‎ ‎【解析】题中条件可转化为：，令，，‎ 则题目转化为：已知，满足，求的取值范围.‎ 作出（，）所在平面区域如图所示，以求出的切线为，且易判断切点P（1，）在区域顶点A，B之间，故易求出的取值范围为[,7].‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 在中，已知．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若求A的值．‎ ‎【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积、三角函数的基本关系式、两角和的正切公式、解三角形，考查运算求解能力和推理论证能力.‎ ‎【解析】(1) ∵=，∴，即，‎ 由正弦定理，∴，‎ 又∵，∴,，∴，‎ ‎（2）∵，∴==，∴=2，∴=2，‎ ‎∴，即，由（1）得，解得=1或，‎ ‎∵，∴，∴.‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点D 不同于点C），且为的中点．‎ 求证：（1）平面平面；‎ ‎ （2）直线平面ADE．‎ ‎【命题意图】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.‎ ‎【证明】（1）∵是直棱柱， ∴⊥面ABC， ‎ ‎∵AD面ABC， ∴⊥AD，‎ ‎∵AD⊥DE，面，DE面，，‎ ‎∴AD⊥面， ∵AD面ADE， ∴面ADE⊥面.‎ ‎(2) ∵=，F为的中点， ∴⊥，‎ ‎∵⊥面，且面， ∴⊥，‎ ‎∵面，面，∩=，‎ ‎∴⊥面， 由（1）知，AD⊥面， ∴∥AD.‎ ‎∵AD面ADE，面ADE， ∴∥面ADE..‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为‎1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．‎ ‎（1）求炮的最大射程；‎ ‎（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为‎3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．‎ ‎【命题意图】本题主要考查函数、方程和基本不等式基础知识，考察数学阅读能力和解决实际问题能力.‎ ‎【解析】（1）令，得，由实际意义和题设条件知，，‎ 故=≤=10，当且仅当=1时取等号.‎ ‎(2) ∵＞0，∴炮弹可击中目标存在＞0，使3.2=成立 ‎ 关于的方程有正根 ‎ 判别式.‎ ‎ ∴当不超过6（千米）时，可击中目标.‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点.‎ 已知a，b是实数，1和是函数的两个极值点．‎ ‎（1）求a和b的值；‎ ‎（2）设函数的导函数，求的极值点；‎ ‎（3）设，其中，求函数的零点个数．‎ ‎【命题意图】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查运算求解能力、运用数形结合思想、分类讨论思想方法分析与解决问题的能力.‎ ‎【解析】（1）由题设知=，且=，，‎ 解得=0，.‎ ‎(2)由（1）知=，∵，‎ ‎∴的根为，‎ 于是的极值点只可能是1或－2.‎ 当时，＜0，当－2＜＜1时，＞0，故－2是的极值点，当－2＜＜1或＞1时，＞0，故1不是的极值点. ∴的极值点为－2.‎ ‎(3)令，则，先讨论关于的方程=的根的情况，∈[‎ ‎－2,2].‎ 当||=2时，由（2）可知，=－2的两个不同的根为1和－2，注意到是奇函数，‎ ‎∴=2的两个不同的根为－1和2.‎ 当||＜2时，∵，，‎ ‎∴－2，－1，1，2都不是=的根，由（1）知=.‎ ① 当∈（2，+∞）时，，于是是单调增函数，∴＞=2，‎ 此时=无实根，同理，=在（－∞，－2）上无实根.‎ ② 当∈（1,2）时，＞0，于是是单调增函数，‎ ‎∵，，的图像不间断，‎ ‎∴=在（1,2）内唯一实根，同理，=在（―2，―1）内有唯一实根.‎ ③ 当∈（－1,1）时，＜0，故是单调减函数，‎ 又∵，，的图像不间断，‎ ‎∴=在（－1,1）内唯一实根，‎ 由上可知：当||=2时，=有两个不同的根，满足||=1，||=2；‎ 当||＜2时，=有三个不同的根，，满足||＜2，=3,4,5，‎ 现考虑函数的零点.‎ ‎(ⅰ)当||=2时，有两个不同根，满足，，而有三个不同的根，=有两个不同的根，故有5个零点.‎ ‎(ⅱ)当||＜2时，有三个不同根满足＜2，=3,4,5，而=（=3,4,5）有三个不同根，故有9个零点.‎ 综上可知，当||=2时，函数有5个零点；当||＜2时，故有9个零点.‎ A B P O x y ‎（第19题）‎ ‎19．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线 与直线平行，与交于点P．‎ ‎（i）若，求直线的斜率；‎ ‎（ii）求证：是定值．‎ ‎【命题意图】本题主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质、直线方程、两点间的距离公式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力.‎ ‎【解析】(1)设题设知，，由点（1，）在椭圆上，‎ 得=1，解得=1，于是，‎ 又点（，）在椭圆上，∴=1，即，解得=2，‎ ‎∴所求椭圆方程的方程是=1；‎ ‎（2）由（1）知(－1,0),(1,0), ∵∥， ‎ ‎ ∴可设直线的方程为：，直线的方程为：，‎ 设，，‎ 由，得，解得，‎ 故===， ①‎ 同理，=， ②‎ ‎（ⅰ）由①②得－=，解得=得=2，‎ ‎∵，∴，∴直线的斜率为.‎ ‎（ⅱ）∵∥， ∴, ∴, ∴,‎ 由B点在椭圆知,∴,同理 ‎,‎ ‎∴==‎ 由①②知，+=，×=，‎ ‎∴==，∴是定值.‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ ‎ 已知各项均为正数的两个数列和满足：．‎ ‎（1）设，求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）设，且是等比数列，求和的值．‎ ‎【命题意图】本题主要考查等比数列、等差数列的基本性质、基本不等式等基础知识，考查考生分析探究及逻辑推理的能力.‎ ‎【解析】(1)有题设知，==，∴，∴=1，‎ ‎∴数列是公差为1的等差数列；‎ ‎（2）∵＞0，＞0，∴≤＜，∴1＜=≤， ①‎ 设等比数列{}的公比为，由＞0知＞0，下面证=1，‎ 当＞1时，则=＜≤，故当＞时，=＞，与①矛盾；‎ 当0＜＜1时，则=＞＞1，故当＞时，=＜1，与①矛盾，‎ 综上，=1，故=（∈），所以1＜≤.‎ ‎∵==(∈)，∴{}是公比为的等比数列，若≠，则＞1，‎ 于是＜＜， 又由=得=，∴，，至少有两项相同，矛盾，故=，∴==，∴=.‎ 绝密★启用前 ‎ ‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数学Ⅱ(附加题)‎ 注　意　事　项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：‎ ‎1．本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题）。本卷满分为40分。考试时间为30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用‎0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。‎ ‎3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。‎ ‎4．作答试题必须用‎0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。‎ ‎5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。‎ ‎21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作 答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）‎ ‎ 如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD = DC，连结AC，AE，DE．‎ 求证：．‎ ‎【命题意图】本题主要考查三角形和圆的基础知识，考查推理论证能力.‎ ‎【解析】连结OD，∵BD=DC，O是AB的中点， ∴OD∥AC， ∴∠ODC=∠C，‎ ‎∵OB=OD， ∴∠ODB=∠B，∴∠B=∠C， ‎ ‎ ∵点A,E,B,D都在圆O上，且D,E为圆O上位于AB异侧的两点，‎ ‎∴∠B和∠E是同弧所对的圆周角，‎ ‎∴∠B=∠E, ∴∠E=∠C.‎ B．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）‎ 已知矩阵A的逆矩阵，求矩阵A的特征值．‎ ‎【命题意图】本题主要考查矩阵的基础知识，考查运算求解能力.‎ ‎【解析】∵,∴, ∵=， ∴=，‎ ‎∴矩阵的特征多项式为==，‎ 令=0，解得得特征值=－1，=4.‎ C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 在极坐标中，已知圆C经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．‎ ‎【命题意图】本题主要考查直线和圆的极坐标方程等基础知识，考查转化问题的能力.‎ ‎【解析】在中令=0，得=1，∴圆C的圆心坐标为（1,0）.‎ ‎∵圆C经过点, ∴圆C的半径PC==1，‎ ‎∴圆C过极点，∴圆C的极坐标方程为.‎ D．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）‎ 已知实数x，y满足：求证：．‎ ‎【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的基础知识，考查推理论证能力.‎ ‎【证明】∵≤，‎ ‎∵∴＜， ∴.‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，．‎ ‎ （1）求概率；‎ ‎ （2）求的分布列，并求其数学期望．‎ ‎【命题意图】本题主要考查概率分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力.‎ ‎【解析】（1）若两条棱相交，则交点必为正方形8个顶点中的一个，过任意一个顶点恰有3条棱，‎ ‎∴共有对相交棱， ∴==.‎ ‎(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，故==,‎ ‎==.‎ ‎∴随机变量的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ P ‎ ∴.‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 设集合，．记为同时满足下列条件的集合A的个数：‎ ‎①；②若，则；③若，则．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求的解析式（用n表示）．‎ ‎【命题意图】本题主要考查集合概念和运算、计数原理等基础知识，考查探究能力.‎ ‎【解析】(1)当=4时，符合条件的集合A为：{2}，{1,4}，{2,3}，{1,3,4}，故.‎ ‎(2)任取偶数，将除以2，若商仍为偶数，再除以2，…，经过次以后，商必为奇数，此时记商为，于是=，其中是奇数，∈.‎ 由条件知，若∈A，则∈A为偶数；‎ ‎ 若A，则∈A为奇数；‎ 于是是否属于A由是否属于A确定，设是中所有奇数的集合，因此等于的子集的个数，当为偶数（或奇数）时，中奇数的个数是（或），∴.‎ www.7caiedu.cn