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- 2021-05-13 发布
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高考数学数列与极限专项训练(02)
一、选择题(本题每小题5分,共60分)
1.在等比数列中,,,则公比的值为 ( )
A.25 B.5 C.-5 D.±5
2.已知等差数列中,,则的值是 ( )
A.5 B. 15 C.20 D.25
3.给定正数,其中,若成等比数列,成等差数列,则一元二次方程 ( )
A.无实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个同号的相异的实数根 D.有两个异号的相异的实数根
4.等差数列的前项和记为,若为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是( )
A. B. C. D.
第1个
第2个
第3个
5.设数列为等差数列,且等于 ( )
A.501 B.±501 C. D.±
6.已知等差数列的前项和为,若,且,则等于( )
A.38 B.20 C.10 D.9
7.设等比数列的前项和为,若,则 ( )
A.1:2 B.2:3 C.3:4 D.1:3
8.某人为了观看2008年奥运会,从2001年起,每年5月10日到银行存入元定期储蓄,若年利率为且保持不变,并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期,到2008年将所有的存款及利息全部取回,则可取回的钱的总数(元)为 ( )
A. B.
C. D.
9.已知为的一次函数,为不等于1的常量,且, 设,则数列为 ( )
A.等差数列 B.等比数列 C.递增数列 D.递减数列
10.已知,则的值为 ( )
A.1 B.-1 C.0 D.不存在
11.北京市为成功举办2008年奥运会,决定从2003年到2007年5年间更新市内现有全部出租车,若每年更新的车辆数比前一年递增10%,则2003年底更新车辆数约为现有总车辆数的(参考数据1.14=1.46 1.15=1.61) ( )
A.10% B.16.4% C.16.8% D.20%
12.已知的值为 ( )
A.-4 B.8 C.0 D.不存在
二、填空题(本题每小题4分,共16分)
13.已知等比数列及等差数列,其中,公差.将这两个数列的对应项相加,得一新数列1,1,2,…,则这个新数列的前10项之和为 .
14.设数列满足,且数列是等差数列,求数列的通项公式 .
15.设,利用课本中推导等差数列前项和方法,求…的值为 .
16.(文)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:
则第个图案中有白色地面砖 块.
(理)已知,把数列的各项排成三角形状;
记表示第行,第列的项,则 .
三、解答题(本大题共6小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤):
17.(本小题满分12分)已知一个数列的各项是1或3.首项为1,且在第个1和第个1之间有个3,即1,3,1,3,3,3,1,3,3,3,3,3,1,….记数列的前项的和为.
(1)试问第2004个1为该数列的第几项?(2)求;(3);
(4)是否存在正整数,使得?如果存在,求出的值;如果不存在,说明理由.
18.(本小题满分12分)如图,曲线上的点与轴的正半轴上的点及原点构成一系列正三角形△,△,…△…设正三角形的边长为,(记为),.
y
O
x
Q1
Q2
P1
P2
P3
(1)求的值;(2)求数列的通项公式;
(3)求证:当时, 有.
19.(本小题满分12分)假设你正在某公司打工,根据表现,老板给你两个加薪的方案:
(Ⅰ)每年年末加1000元; (Ⅱ)每半年结束时加300元。请你选择。
(1)如果在该公司干10年,问两种方案各加薪多少元?
(2)对于你而言,你会选择其中的哪一种?
20.(本小题满分12分)已知数列的前项的“均倒数”为,
(1)求的通项公式;(2)设,试判断并说明的符号;
(3)(理)设函数,是否存在最大的实数,当时,对于一切自然数,都有。
(文)已知,数列的前项为,求的值。
21.(本小题满分12分)若和分别表示数列和的前项和,对任意正整数
,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)在平面直角坐标系内,直线的斜率为.且与曲线有且仅一个交点,与轴交于,记求;
(Ⅲ)若
22.(本小题满分14分)已知数列中,且点在直线上.
(1)求数列的通项公式;
(2)若函数求函数的最小值;
(3)设表示数列的前项和。试问:是否存在关于的整式,使得
对于一切不小于2的自然数恒成立?若存在,写出的解析式,并加以证明;若不存在,试说明理由。
参 考 答 案(二)
一、选择题(每小题5分,共60分):
(1).D (2). C (3).A (4).B (5). A (6). C (7).C (8). D (9).B (10).B (11). B (12).B
提示(9)B
……
二、填空题(每小题4分,共16分)
(13). 978; (14). (n∈N*);(15).5;(16).(文)(理)
提示13.设的公比为q,由题知:解得则,.这个新数列的前10项之和为
14. 由已知∴
≥2时,
==也合适 ∴
15. 设…
三、解答题(共74分,按步骤得分)
17. 解:将第个1与第个1前的3记为第对,即(1,3)为第1对,共1+1=2项;(1,3,3,3)为第2对,共1+(2×2-1)=4项;为第对,共项;….故前对共有项数为. …………2分
(Ⅰ)第2004个1所在的项为前2003对所在全部项的后1项,即为2003(2003+1)+1=4014013(项).…4分
(Ⅱ)因44×45=1980,45×46=2070,故第2004项在第45对内,从而.…7分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,前2004项中共有45个1,其余1959个数均为3,于是=45+3×1959=5922.…9分
(Ⅳ)前对所在全部项的和为.
易得,=3×252+25=1900,=3×262+26=2054,=1901,且自第652项到第702项均为3,而2004-1901=103不能被3整除,故不存在,使=2004.…………12分
18. 解 (1)由条件可得,代入曲线得;……5分
(2) ∴点代入曲线并整理得,
于是当时,即
…………10分
又当 ,故
所以数列{}是首项为、公差为的等差数列, ;…………12分
19.解:设方案一第n年年末加薪an,因为每年末加薪1000元,则an=1000n;
设方案二第n个半年加薪bn,因为每半年加薪300元,则bn=300n;
(1)在该公司干10年(20个半年),方案1共加薪S10=a1+a2+……+a10=55000元。
方案2共加薪T20=b1+b2+……+b20=20×300+=63000元;……6分
(2)设在该公司干n年,两种方案共加薪分别为:
Sn=a1+a2+……+an=1000×n+=500n2+500n
T2n=b1+b2+……+b2n=2n×300+=600n2+300n …………10分
令T2n≥Sn即:600n2+300n>500n2+500n,解得:n≥2,当n=2时等号成立。
∴如果干3年以上(包括3年)应选择第二方案;如果只干2年,随便选;如果只干1年,当然选择第一方案…12分
20. 解:(1),两式相减,得,
(2),.…………8分
(3)(理)由(2)知 是数列中的最小项,∵时,对于一切自然数,都有,即,
∴,即,解之,得 , ∴取 。 ……12分
(文),当时,,;当时,;
当时,。综上得,………………12分
21.解:(I)……2分 当
当……4分
(II)设 由 由于仅有一个公共点.
(III)…10分
22.(本小题满分14分)
………………3分
…6分
…12分
……13分
……14分