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  • 2021-05-13 发布

高考数学数列与极限专项训练

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高考数学数列与极限专项训练(02)‎ 一、选择题(本题每小题5分,共60分)‎ ‎1.在等比数列中,,,则公比的值为 ( )‎ ‎ A.25    B.5    C.-5    D.±5 ‎ ‎2.已知等差数列中,,则的值是 ( )‎ A.5    B. 15    C.20   D.25‎ ‎3.给定正数,其中,若成等比数列,成等差数列,则一元二次方程 ( ) ‎ ‎ A.无实数根 B.有两个相等的实数根 ‎ C.有两个同号的相异的实数根 D.有两个异号的相异的实数根 ‎4.等差数列的前项和记为,若为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是( )‎ ‎  A.   B.    C. D.‎ 第1个 第2个 第3个 ‎5.设数列为等差数列,且等于 ( )‎ ‎ A.501 B.±501 C. D.±‎ ‎6.已知等差数列的前项和为,若,且,则等于( )‎ ‎ A.38 B.20 C.10 D.9‎ ‎7.设等比数列的前项和为,若,则 ( )‎ ‎ A.1:2 B.2:3 C.3:4 D.1:3‎ ‎8.某人为了观看2008年奥运会,从2001年起,每年5月10日到银行存入元定期储蓄,若年利率为且保持不变,并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期,到2008年将所有的存款及利息全部取回,则可取回的钱的总数(元)为 ( )‎ ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎9.已知为的一次函数,为不等于1的常量,且, 设,则数列为 ( )‎ ‎ A.等差数列 B.等比数列 C.递增数列 D.递减数列 ‎10.已知,则的值为 ( )‎ ‎ A.1 B.-1 C.0 D.不存在 ‎11.北京市为成功举办2008年奥运会,决定从2003年到2007年5年间更新市内现有全部出租车,若每年更新的车辆数比前一年递增10%,则2003年底更新车辆数约为现有总车辆数的(参考数据1.14=1.46 1.15=1.61) ( )‎ ‎ A.10% B.16.4% C.16.8% D.20%‎ ‎12.已知的值为 ( )‎ ‎ A.-4 B.8 C.0 D.不存在 二、填空题(本题每小题4分,共16分)‎ ‎13.已知等比数列及等差数列,其中,公差.将这两个数列的对应项相加,得一新数列1,1,2,…,则这个新数列的前10项之和为 .‎ ‎14.设数列满足,且数列是等差数列,求数列的通项公式 .‎ ‎15.设,利用课本中推导等差数列前项和方法,求…的值为 .‎ ‎16.(文)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:‎ 则第个图案中有白色地面砖 块.‎ ‎ (理)已知,把数列的各项排成三角形状;‎ ‎ 记表示第行,第列的项,则 .‎ 三、解答题(本大题共6小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤):‎ ‎17.(本小题满分12分)已知一个数列的各项是1或3.首项为1,且在第个1和第个1之间有个3,即1,3,1,3,3,3,1,3,3,3,3,3,1,….记数列的前项的和为.‎ ‎(1)试问第2004个1为该数列的第几项?(2)求;(3);‎ ‎(4)是否存在正整数,使得?如果存在,求出的值;如果不存在,说明理由.‎ ‎18.(本小题满分12分)如图,曲线上的点与轴的正半轴上的点及原点构成一系列正三角形△,△,…△…设正三角形的边长为,(记为),.‎ y O x Q1‎ Q2‎ P1‎ P2‎ P3‎ ‎ (1)求的值;(2)求数列的通项公式;‎ ‎ (3)求证:当时, 有.‎ ‎19.(本小题满分12分)假设你正在某公司打工,根据表现,老板给你两个加薪的方案:‎ ‎ (Ⅰ)每年年末加1000元; (Ⅱ)每半年结束时加300元。请你选择。‎ ‎ (1)如果在该公司干10年,问两种方案各加薪多少元? ‎ ‎ (2)对于你而言,你会选择其中的哪一种? ‎ ‎20.(本小题满分12分)已知数列的前项的“均倒数”为,‎ ‎ (1)求的通项公式;(2)设,试判断并说明的符号;‎ ‎ (3)(理)设函数,是否存在最大的实数,当时,对于一切自然数,都有。‎ ‎ (文)已知,数列的前项为,求的值。‎ ‎21.(本小题满分12分)若和分别表示数列和的前项和,对任意正整数 ‎,.‎ ‎ (Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎ (Ⅱ)在平面直角坐标系内,直线的斜率为.且与曲线有且仅一个交点,与轴交于,记求;‎ ‎(Ⅲ)若 ‎22.(本小题满分14分)已知数列中,且点在直线上.‎ ‎ (1)求数列的通项公式;‎ ‎ (2)若函数求函数的最小值;‎ ‎ (3)设表示数列的前项和。试问:是否存在关于的整式,使得 对于一切不小于2的自然数恒成立?若存在,写出的解析式,并加以证明;若不存在,试说明理由。‎ ‎‎ 参 考 答 案(二)‎ 一、选择题(每小题5分,共60分):‎ ‎(1).D (2). C (3).A (4).B (5). A (6). C (7).C (8). D (9).B (10).B (11). B (12).B 提示(9)B ‎ ‎……‎ 二、填空题(每小题4分,共16分)‎ ‎(13). 978; (14). (n∈N*);(15).5;(16).(文)(理)‎ 提示13.设的公比为q,由题知:解得则,.这个新数列的前10项之和为 ‎14. 由已知∴‎ ‎≥2时,‎ ‎==也合适 ∴ ‎ ‎15. 设…‎ 三、解答题(共74分,按步骤得分)‎ ‎17. 解:将第个1与第个1前的3记为第对,即(1,3)为第1对,共1+1=2项;(1,3,3,3)为第2对,共1+(2×2-1)=4项;为第对,共项;….故前对共有项数为. …………2分 ‎ (Ⅰ)第2004个1所在的项为前2003对所在全部项的后1项,即为2003(2003+1)+1=4014013(项).…4分 ‎ (Ⅱ)因44×45=1980,45×46=2070,故第2004项在第45对内,从而.…7分 ‎ (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,前2004项中共有45个1,其余1959个数均为3,于是=45+3×1959=5922.…9分 ‎ (Ⅳ)前对所在全部项的和为.‎ 易得,=3×252+25=1900,=3×262+26=2054,=1901,且自第652项到第702项均为3,而2004-1901=103不能被3整除,故不存在,使=2004.…………12分 ‎18. 解 (1)由条件可得,代入曲线得;……5分 ‎(2) ∴点代入曲线并整理得,‎ 于是当时,即 ‎ …………10分 又当 ,故 所以数列{}是首项为、公差为的等差数列, ;…………12分 ‎19.解:设方案一第n年年末加薪an,因为每年末加薪1000元,则an=1000n;‎ 设方案二第n个半年加薪bn,因为每半年加薪300元,则bn=300n;‎ ‎(1)在该公司干10年(20个半年),方案1共加薪S10=a1+a2+……+a10=55000元。‎ 方案2共加薪T20=b1+b2+……+b20=20×300+=63000元;……6分 ‎(2)设在该公司干n年,两种方案共加薪分别为:‎ Sn=a1+a2+……+an=1000×n+=500n2+500n T2n=b1+b2+……+b2n=2n×300+=600n2+300n …………10分 令T2n≥Sn即:600n2+300n>500n2+500n,解得:n≥2,当n=2时等号成立。‎ ‎∴如果干3年以上(包括3年)应选择第二方案;如果只干2年,随便选;如果只干1年,当然选择第一方案…12分 ‎20. 解:(1),两式相减,得,‎ ‎ (2),.…………8分 ‎(3)(理)由(2)知 是数列中的最小项,∵时,对于一切自然数,都有,即,‎ ‎ ∴,即,解之,得 , ∴取 。 ……12分 ‎ (文),当时,,;当时,;‎ ‎ 当时,。综上得,………………12分 ‎21.解:(I)……2分 当 ‎ 当……4分 ‎(II)设 由 由于仅有一个公共点.‎ ‎(III)…10分 ‎ ‎ ‎22.(本小题满分14分)‎ ‎………………3分 ‎…6分 ‎…12分 ‎……13分 ‎……14分