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- 2021-05-13 发布
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天津高考压轴卷数学文word版有解析
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合A={x|x>1},B={x|x<m},且A∪B=R,那么m的值可以是( ).
A.
﹣1
B.
0
C.
1
D.
2
2.设集合,集合B为函数的定义域,则( ).
(A) (B) (C)[1,2) (D) (1,2]
3. 函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能的值为( ).
A.
B.
C.
0
D.
4. 函数f(x)=log2(1+x),g(x)=log2(1﹣x),则f(x)﹣g(x)是( ).
A.
奇函数
B.
偶函数
C.
既不是奇函数又不是偶函数
D.
既是奇函数又是偶函数
5.设曲线上任一点处切线斜率为,则函数的部分图象可以为( ).
6. 设z=2x+y,其中变量x,y满足条件,若z的最小值为3,则m的值为( ).
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
7. 已知点P(x,y)在直线x+2y=3上移动,当2x+4y取最小值时,过P点(x,y)引圆C:=1的切线,则此切线长等于( ).
A.
1
B.
C.
D.
2
8. 已知f(x)=x3﹣6x2+9x﹣abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论:
①f(0)f(1)>0;
②f(0)f(1)<0;
③f(0)f(3)>0;
④f(0)f(3)<0.
其中正确结论的序号是( ).
A.
①③
B.
①④
C.
②③
D.
②
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡的相应位置.
9. 已知平面向量=(2,4),=(1,﹣2),若=﹣(•),则||=_____________.
10. 已知tanα=,tanβ=﹣,且0<α<,<β<π,则2α﹣β的值________________.
11. 记等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a2+a4=6,S4=10.则a10=___________ .
12. 棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如
图所示,那么该几何体的体积是___________.
13.已知圆的方程为x2+y2
﹣6x﹣8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为________________.
14. 球面上有四个点P、A、B、C,若PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=1,则该球的表面积是_______________.
15. △ABC中,AB=3,∠A=60°,∠A的平分线AD交边BC于点D,且,则AD的长为____________.
16. 在△ABC中,BC=a,AC=b,a、b是方程的两个根,且A+B=120°,求△ABC的面积及AB的长.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.
17. 如图,在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中,下底ABCD是边长为2的正方形,上底A1B1C1D1是边长为1的正方形,侧棱DD1⊥平面ABCD,DD1=2.
(1)求证:B1B∥平面D1AC;
(2)求证:平面D1AC⊥平面B1BDD1.
18. 数列{an}是递增的等差数列,且a1+a6=﹣6,a3•a4=8.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn的最小值;
(3)求数列{|an|}的前n项和Tn.
19. 已知椭圆C:的右焦点为F(1,0),且点(﹣1,)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知动直线l过点F,且与椭圆C交于A,B两点,试问x轴上是否存在定点Q,使得恒成立?若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
20. 已知函数已知函数f(x)=ex+ln(x+1)
(Ⅰ)求函数y=f(x)图象在点(0,f(0))处的切线方程;
(Ⅱ)若a≤2,证明:当x≥0时,有f(x)≥ax+1.
天津高考压轴卷数学文word版参考答案
1.【答案】D.
【解析】解:根据题意,若集合A={x|x>1},B={x|x<m},且A∪B=R,
必有m>1,分析选项可得,D符合;故选D.
2. 【答案】D.
【解析】解:,由得,即,所以,所以选D.
3. 【答案】B.
【解析】解:令y=f(x)=sin(2x+φ),
则f(x+)=sin[2(x+)+φ]=sin(2x++φ),
∵f(x+)为偶函数,
∴+φ=kπ+,
∴φ=kπ+,k∈Z,
∴当k=0时,φ=.
故φ的一个可能的值为.
故选B.
4. 【答案】A.
【解析】解:∵f(x)=log2(1+x),g(x)=log2(1﹣x),
∴f(x)﹣g(x)的定义域为(﹣1,1)
记F(x)=f(x)﹣g(x)=log2,
则F(﹣x)=log2=log2()﹣1=﹣log2=﹣F(x)
故f(x)﹣g(x)是奇函数.
故选A.
5. 【答案】C.
【解析】解:,即,所以,为偶函数,图象关于轴对称,所以排除A,B.当,得或,即函数过原点,所以选C.
6. 【答案】A.
【解析】解:作出不等式组对应的平面区域,
∵若z的最小值为3,
∴2x+y=3,
由,
解得,
同时(1,1)都在直线x=m上,
∴m=1.
故选A.
7. 【答案】D.
【解析】解:∵x+2y=3,2x+4y =2x+22y≥2x+2y=23=8,当且仅当 x=2y=时,等号成立,
∴当2x+4y取最小值8时,P点的坐标为(,),
点P到圆心C的距离为CP==,大于圆的半径1,
故切线长为==2,
故选D.
8. 【答案】C.
【解析】解:求导函数可得f′(x)=3x2﹣12x+9=3(x﹣1)(x﹣3)
∵a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0.
∴a<1<b<3<c
设f(x)=(x﹣a)(x﹣b)(x﹣c)=x3﹣(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x﹣abc
∵f(x)=x3﹣6x2+9x﹣abc
∴a+b+c=6,ab+ac+bc=9
∴b+c=6﹣a
∴bc=9﹣a(6﹣a)<
∴a2﹣4a<0
∴0<a<4
∴0<a<1<b<3<c
∴f(0)<0,f(1)>0,f(3)<0
∴f(0)f(1)<0,f(0)f(3)>0
故选C.
9. 【答案】.
【解析】解:∵向量=(2,4),=(1,﹣2),
∴=2×1+4×(﹣2)=﹣6.
∴=(2,4)﹣(﹣6)(1,﹣2)=(8,﹣8),
∴=.
故答案为.
10. 【答案】﹣.
【解析】解:∵0<α<,tanα=<1=tan,y=tanx在(0,)上单调递增,
∴0<α<,又<β<π,
∴﹣π<2α﹣β<﹣,
∵tan2α===,tanβ=﹣,
∴tan(2α﹣β)===1,
∴2α﹣β=﹣.
11. 【答案】10.
【解析】解:等差数列{an}的前n项和为Sn,
∵a2+a4=6,S4=10,设公差为d,
∴,
解得a1=1,d=1,
∴a10=1+9=10.
故答案为10.
12. 【答案】4.
【解析】解:由三视图知余下的几何体如图示:
∵E、F都是侧棱的中点,
∴上、下两部分的体积相等,
∴几何体的体积V=×23=4.
13. 【答案】.
【解析】解:圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0化为(x﹣3)2+(y﹣4)2=25.
圆心坐标(3,4),半径是5.最长弦AC是直径,最短弦BD的中点是E.
SABCD=
故答案为.
14. 【答案】3π.
【解析】解:∵PA、PB、PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=1,
∴分别以PA、PB、PC为长、宽、高,作出正方体
设所得正方体的外接球为球O,则P、A、B、C四点所在的球面就是球O表面
就是正方体的对角线长等于球O的直径
即2R==,得R=
∴球O的表面积为S=4πR2=4π()2=3π
故答案为3π.
15. 【答案】2.
【解析】解:△ABC中,∵AB=3,∠A=60°,∠A的平分线AD交边BC于点D,且,
取AC的一个三等分点E,满足AE=AC,作DF平行于AE,则由条件可得四边形AEDF为平行四边形,
∴∠AFD=120°,∠FAD=30°,∠FDA=30°,故△AFD为等腰三角形,∴AF=DF=AC,故四边形AEDF为菱形.
再由AF=λAB=3λ=DF=AC,可得 AC=9λ,菱形AEDF的边长为3λ.
△AFD中,由余弦定理可得AD2=(3λ)2+(3λ)2﹣2•3λ•3λ•cos120°=27λ2,∴AD=3λ.
△ABD中,由余弦定理可得 BD2=32+27λ2﹣2×3×3λ×cos30°=27λ2﹣27λ+9,∴BD=3.
△ACD中,由余弦定理可得 CD2=81λ2+27λ2﹣2×9λ×3λ×cos30°=27λ2=3λ.
再由三角形的内角平分线性质可得 ,即 =,解得 λ=,或λ= (舍去).
故AD=3λ=3×=2,
故答案为 2.
16. 【解析】∵A+B=120°,∴C=60°.
∵a、b是方程的两个根,
∴a+b=,ab=2,
∴S△ABC==,
AB=c====.
17. 【解析】证明:(1)设AC∩BD=E,连接D1E,
∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1.
∴B1D1∥BE,∵B1D1=BE=,
∴四边形B1D1EB是平行四边形,
所以B1B∥D1E.
又因为B1B⊄平面D1AC,D1E⊂平面D1AC,
所以B1B∥平面D1AC
(2)证明:侧棱DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,
∴AC⊥DD1.
∵下底ABCD是正方形,AC⊥BD.
∵DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线,
∴AC⊥平面B1BDD1
∵AC⊂平面D1AC,∴平面D1AC⊥平面B1BDD1.
18. 【解析】(1)由得:,
∴a3、a4是方程x2+6x+8=0的二个根,
∴x1=﹣2,x2=﹣4;
∵等差数列{an}是递增数列,
∴a3=﹣4,a4=﹣2,
∴公差d=2,a1=﹣8.
∴an=2n﹣10;
(2)∵Sn==n2﹣9n=﹣,
∴(Sn)min=S4=S5=﹣20;
(3)由an
≥0得2n﹣10≥0,解得n≥5,此数列前四项为负的,第五项为0,从第六项开始为正的.
当1≤n≤5且n∈N*时,
Tn=|a1|+|a2|+…+|an|
=﹣(a1+a2+…+an)
=﹣Sn
=﹣n2+9n;
当n≥6且n∈N*时,
Tn=|a1|+|a2|+…+|a5|+|a6|+…+|an|
=﹣(a1+a2+…+a5)+(a6+…+an)
=Sn﹣2S5
=n2﹣9n﹣2(25﹣45)
=n2﹣9n+40.
∴Tn=.
19. 【解析】(1)由题意,c=1
∵点(﹣1,)在椭圆C上,∴根据椭圆的定义可得:2a=,∴a=
∴b2=a2﹣c2=1,
∴椭圆C的标准方程为;
(2)假设x轴上存在点Q(m,0),使得恒成立
当直线l的斜率为0时,A(,0),B(﹣,0),则=﹣,∴,∴m=①
当直线l的斜率不存在时,,,则•=﹣,∴
∴m=或m=②
由①②可得m=.
下面证明m=时,恒成立
当直线l的斜率为0时,结论成立;
当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2)
直线方程代入椭圆方程,整理可得(t2+2)y2+2ty﹣1=0,∴y1+y2=﹣,y1y2=﹣
∴=(x1﹣,y1)•(x2﹣,y2)=(ty1﹣)(ty2﹣)+y1y2=(t2+1)y1y2﹣t
(y1+y2)+=+=﹣
综上,x轴上存在点Q(,0),使得恒成立.
20. 【解析】(Ⅰ)解:∵f(x)=ex+ln(x+1),
∴,则f'(0)=2
又f(0)=e0+ln1=1
∴函数y=f(x)图象在点(0,f(0))处的切线方程为:y﹣f(0)=f'(0)x,
即函数y=f(x)图象在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x+1;
(Ⅱ)证明:当a≤2时,则2﹣a≥0…①
令g(x)=f(x)﹣ax﹣1,
则
令φ(x)=ex﹣x﹣1(x∈R),则φ'(x)=ex﹣1(x∈R),
由φ'(x)=0,得x=0
当x≤0时,ex≤1,即ex﹣1≤0;当x>0时,ex>1,即ex﹣1>0
∴函数φ(x)=ex﹣x﹣1在(﹣∞,0]为减函数,在(0,+∞)为增函数
∴φ(x)min=φ(0)=0,即φ(x)≥0
∴对∀x∈R,都有ex≥x+1
故当x≥0时,x+1>0,
∴,
∴g'(x)≥0,
∴若a≤2,函数y=g(x),在[0,+∞)为增函数,
∴当x≥0时,g(x)≥g(0)=0
∴当a≤2时,x≥0,有f(x)≥ax+1成立.