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- 2021-05-13 发布
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2015高考数学圆锥曲线的综合问题一轮专练
【选题明细表】
知识点、方法
题号
圆锥曲线的综合问题
2、4、6、11
直线与圆锥曲线的综合问题
3、8、9、14
圆与圆锥曲线的综合问题
7、10、12、13
圆锥曲线与其他内容的综合
1、5
一、选择题
1.椭圆+=1(a>b>0)的左顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,D是它短轴上的一个端点,若3=+2,则该椭圆的离心率为( D )
(A) (B) (C) (D)
解析:设D(0,b),则=(-c,-b),
=(-a,-b),=(c,-b),
由3=+2得-3c=-a+2c,
即a=5c,
∴e==.
故选D.
2.(2012年高考福建卷)已知双曲线-=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( A )
(A) (B)4 (C)3 (D)5
解析:抛物线y2=12x的焦点是(3,0),
∴c=3,b2=c2-a2=5.
∴双曲线的渐近线方程为y=±x,
焦点(3,0)到y=±x的距离d==.
故选A.
3.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A、B两点,过原点与线段AB中点直线的斜率为,则的值为( A )
(A) (B) (C) (D)
解析:设交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),中点为M(x0,y0),
将y=1-x代入ax2+by2=1
得(a+b)x2-2bx+b-1=0,
故x1+x2=,x0=,
∴y1+y2=2-=,y0=,
∴k===.
故选A.
4.(2013山东淄博一中高三上期末考试)过椭圆+=1(a>b>0)的焦点垂直于x轴的弦长为,则双曲线-=1的离心率e的值是( B )
(A) (B) (C) (D)
解析:设椭圆的半焦距为c1,
在椭圆中当x=c1时,+=1,
y2=b21-=,
∴y=±.
∴=,
即a2=4b2,
设双曲线的半焦距为c2,
∴在双曲线中=a2+b2=5b2,
∴e===.
故选B.
5.(2013河北省衡水中学高三模拟)点P在双曲线-=1(a>0,b>0)上,F1、F2是双曲线的两个焦点,∠F1PF2=90°,且△F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是( D )
(A) (B) (C)2 (D)5
解析:不妨设点P在双曲线的右支上,F1为左焦点,
设|PF1|=r1,|PF2|=r2,
则r1-r2=2a,2r1=r2+2c,
解得r1=2c-2a,r2=2c-4a,
代入+=4c2可得c2+5a2-6ac=0,
两边同除以a2得e2-6e+5=0,
解得e=1或e=5.
又e>1,所以e=5.故选D.
6.(2013福建泉州质检)如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且,AB=2AD.设∠DAB=θ,θ∈0,,以A、B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1,以C、D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2,则( B )
(A)随着角度θ的增大,e1增大,e1e2为定值
(B)随着角度θ的增大,e1减小,e1e2为定值
(C)随着角度θ的增大,e1增大,e1e2也增大
(D)随着角度θ的增大,e1减小,e1e2也减小
解析:设AD=1,则AB=2,DC=2-2cos θ,
在△ABD中,由余弦定理得BD=,
e1==,θ∈0,,
所以随着角度θ的增大,e1减小;
又e2===,
∴e1e2==1,故选B.
7.过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于点P,若T为线段FP的中点,则该双曲线的渐近线方程为( B )
(A)x±y=0 (B)2x±y=0
(C)4x±y=0 (D)x±2y=0
解析:如图所示,设双曲线的另一个焦点为F′,连结OT、PF′.
∵FT为圆的切线,
∴FT⊥OT,且|OT|=a,
又∵T、O分别为FP、FF′的中点,
∴OT∥PF′且|OT|=|PF′|,
∴|PF′|=2a,
且PF′⊥PF.
又|PF|-|PF′|=2a,
∴|PF|=4a.
在Rt△PFF′中,|PF|2+|PF′|2=|FF′|2,
即16a2+4a2=4c2,∴=5.
∴=-1=4,∴=2,
即渐近线方程为y=±2x,
即2x±y=0.故选B.
二、填空题
8.(2012年高考重庆卷)设P为直线y=x与双曲线-=1(a>0,b>0)左支的交点,F1是左焦点,PF1垂直于x轴,则双曲线的离心率e= .
解析:由
消去y得x=±a.
又PF1⊥x轴,∴a=c,∴e==.
答案:
9.(2013东莞模拟)已知抛物线C的方程为x2=y,过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是 .
解析:当t=0时,直线AB与抛物线C有公共点,
当t≠0,则过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线方程为
=,
即4x-ty-t=0,
由
得2tx2-4x+t=0,Δ=16-4×2t2<0,
解得t<-或t>.
答案:(-∞,-)∪(,+∞)
10.过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线,切点分别为A、B.若∠AOB=120°(O是坐标原点),则双曲线C的离心率为 .
解析:如图,由题知
OA⊥AF,OB⊥BF
且∠AOB=120°,
∴∠AOF=60°.
又OA=a,OF=c,
∴==cos 60°=,
∴=2.
答案:2
11.(2013安徽蚌埠二模)点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的准线的距离为p,则双曲线C2的离心率等于 .
解析:设A(x0,y0),
∵A在抛物线上,
∴x0+=p,
∴x0=,
由=2px0得y0=p或y0=-p.
∴双曲线渐近线的斜率==2.
∴e===.
答案:
三、解答题
12.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且椭圆经过圆C:x2+y2-4x+2y=0的圆心C.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切,求直线l的方程.
解:(1)圆C方程可化为(x-2)2+(y+)2=6,
圆心C(2,-),半径r=
设椭圆的方程为+=1(a>b>0),
则
∴
∴所求椭圆的方程是+=1.
(2)由(1)得椭圆的左右焦点分别是F1(-2,0),F2(2,0),
|F2C|==)的右焦点F在圆D:(x-2)2+y2=1上,直线l:x=my+3(m≠0)交椭圆于M、N两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若⊥(O为坐标原点),求m的值;
(3)若点P的坐标是(4,0),试问△PMN的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
解:(1)由题意知,圆D:(x-2)2+y2=1的圆心坐标是(2,0),半径是1,
故圆D与x轴交于两点(3,0),(1,0),
所以在椭圆中c=3或c=1,
又b2=3,
所以a2=12或a2=4(不满足a>,舍去),
于是,椭圆C的方程为+=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),
直线l与椭圆C方程联立
化简并整理得(m2+4)y2+6my-3=0,
∴y1+y2=,y1y2=,
∴x1+x2=m(y1+y2)+6=,
x1x2=m2y1y2+3m(y1+y2)+9
=++9
=.
∵⊥,
∴·=0,
即x1x2+y1y2=0得=0,
所以m2=,m=±.
(3)S△PMN=|FP|·|y1-y2|
=·1·
=
=2
=2≤2=1.
当且仅当m2+1=3,
即m=±时等号成立.
故△PMN的面积存在最大值1.
14.(2013黄冈一模)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆Ω的方程为+=1(a>b>0),它的离心率为,一个焦点是(-1,0),过直线x=4上一点引椭圆Ω的两条切线,切点分别是A、B.
(1)求椭圆Ω的方程;
(2)若椭圆Ω:+=1(a>b>0)在点(x0,y0)处的切线方程是:+=1.求证:直线AB恒过定点C,并求出定点C的坐标;
(3)求证:+为定值 (点C为直线AB恒过的定点).
(1)解:椭圆Ω的焦点是(-1,0),
故c=1,又=,
所以a=2,b==,
所以所求的椭圆Ω方程为
+=1.
(2)解:设切点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),直线l上一点M的坐标(4,t),
则切线AM、BM的方程分别为
+=1,+=1.
又两切线均过点M,
所以x1+y1=1,x2+y2=1,
即点A,B的坐标都适合方程x+y=1,
故直线AB的方程是x+y=1,
显然直线x+y=1恒过点(1,0),
故直线AB恒过定点C(1,0).
(3)证明:将直线AB的方程x=-y+1,代入椭圆方程,得
3-y+12+4y2-12=0,
即+4y2-2ty-9=0,
∴y1+y2=,
y1y2=,
不妨设y1>0,y2<0,
|AC|=
=
=y1,
同理|BC|=-y2,
∴+=·-
=·
=-·
=-·
=·
=,
即+为定值.
大题冲关集训(五)
1.
(2013福师大附中模拟)如图,已知抛物线C1:x2=2py的焦点在抛物线C2:y=x2+1上.
(1)求抛物线C1的方程及其准线方程;
(2)过抛物线C1上的动点P作抛物线C2的两条切线PM,PN,切点为M,N.若PM,PN的斜率乘积为m,且m∈[2,4],求|OP|的取值范围.
解:(1)C1的焦点为F0,,
所以=0+1,p=2.
故C1的方程为x2=4y,其准线方程为y=-1.
(2)任取点P(2t,t2),设过点P的C2的切线方程为
y-t2=k(x-2t).
由得x2-2kx+4tk-2t2+2=0.
由Δ=(-2k)2-4(4tk-2t2+2)=0,
化简得k2-4tk+2t2-2=0,
设PM,PN斜率分别为k1,k2,
则m=k1k2=2t2-2,
因为m∈[2,4],所以t2∈[2,3],
所以|OP|2=4t2+t4=(t2+2)2-4∈[12,21],
所以|OP|∈[2,].
2.(2013河南洛阳一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,直线l:y=x+2与以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆O相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C与曲线|y|=kx(k>0)的交点为A、B,求△OAB面积的最大值.
解:(1)由题设可知,圆O的方程为x2+y2=b2,
因为直线l:x-y+2=0与圆O相切,
故有=b,
所以b=.
又e==,所以有a2=3c2=3(a2-b2),
所以a2=3,
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)设点A(x0,y0)(x0>0,y0>0),
则y0=kx0,
设AB交x轴于点D,如图,
由对称性知:
S△OAB=2S△OAD=2×x0y0=k.
由解得=.
所以S△OAB=k·=≤=.
当且仅当=3k,即k=时取等号.
所以△OAB面积的最大值为.
3.
(2013泉州五中模拟)已知抛物线C:x2=2py(p>0)上一点P(a,)到焦点距离为1.
(1)求抛物线C的方程;
(2)直线y=kx+2交C于M,N两点,Q是线段MN的中点,过Q作x轴的垂线交C于点T.
①证明:抛物线C在点T处的切线与MN平行;
②是否存在实数k使·=0?若存在,求k的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)依据抛物线的定义知,P到抛物线焦点F的距离为PF=+=1,所以p=,
抛物线的方程为x2=y.
(2)①证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x0,y0),
联立得2x2-kx-2=0,
所以x1+x2=,x1·x2=-1,
所以x0==.
因为y=2x2,所以y′=k,
所以抛物线y=2x2在T点处的切线与MN平行.
②由①可得T,,
则·=x1-x2-+y1-y2-
=(k2+1)x1x2+k-(x1+x2)++2-2
=-(k2-4)(k2+16)=0,
解得k=±2,所以存在k=±2满足·=0.
4.(2012年高考江西卷)已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足|+|=·(+)+2.
(1)求曲线C的方程;
(2)点Q(x0,y0)(-20,
∴关于m的方程m2-m+2-3=0有解.
∴在x轴上存在点C,使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立.
7.(2013年高考广东卷)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;
(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.
解:(1)∵抛物线C的焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,
∴=,得c=1,
∴F(0,1),即抛物线C的方程为x2=4y.
(2)设切点A(x1,y1),B(x2,y2),
由x2=4y得y′=x,
∴切线PA:y-y1=x1(x-x1),
有y=x1x-+y1,而=4y1,
即切线PA:y=x1x-y1,
同理可得切线PB:y=x2x-y2.
∵两切线均过定点P(x0,y0),
∴y0=x1x0-y1,y0=x2x0-y2,
由此两式知点A,B均在直线y0=xx0-y上,
∴直线AB的方程为y0=xx0-y,
即y=x0x-y0.
(3)设点P的坐标为(x′,y′),
由x′-y′-2=0,
得x′=y′+2,
则|AF|·|BF|=·
=·
=·
=(y1+1)·(y2+1)
=y1y2+(y1+y2)+1.
由
得y2+(2y′-x′2)y+y′2=0,
有y1+y2=x′2-2y′,y1y2=y′2,
∴|AF|·|BF|=y′2+x′2-2y′+1
=y′2+(y′+2)2-2y′+1
=2y′+2+,
当y′=-,x′=时,
即P,-时,|AF|·|BF|取得最小值.