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- 2021-05-13 发布
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2012年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
数 学(文科)
参考公式:
如果事件互斥,那么 球的表面积公式
如果事件相互独立,那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是,那么
在次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径
第一部分 (选择题 共60分)
注意事项:
1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上.
2、本部分共12小题,每小题5分,共60分.
一、选择题:每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1、设集合,,则( )
A、 B、 C、 D、
[答案]D
[解析]集合A中包含a,b两个元素,集合B中包含b,c,d三个元素,共有a,b,c,d四个元素,所以
[点评]本题旨在考查集合的并集运算,集合问题属于高中数学入门知识,考试时出题难度不大,重点是掌握好课本的基础知识.
2、的展开式中的系数是( )
A、21 B、28 C、35 D、42
[答案]A
[解析]二项式展开式的通项公式为=,令k=2,则
[点评]高考二项展开式问题题型难度不大,要得到这部分分值,首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式,其次需要强化考生的计算能力.
3、交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数为( )
A、101 B、808 C、1212 D、2012
[答案]B
[解析]N=
[点评]解决分层抽样问题,关键是求出抽样比,此类问题难点要注意是否需要剔除个体.
4、函数的图象可能是( )
[答案]C
[解析]采用特殊值验证法. 函数恒过(1,0),只有C选项符合.
[点评]函数大致图像问题,解决方法多样,其中特殊值验证、排除法比较常用,且简单易用.
5、如图,正方形的边长为,延长至,使,连接、则( )
A、 B、 C、 D、
[答案]B
[点评]注意恒等式sin2α+cos2α=1的使用,需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况.
6、下列命题正确的是( )
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
[答案]C
[解析]若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以A错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故B错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故D错;故选项C正确.
[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质,需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.
7、设、都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是( )
A、且 B、 C、 D、
[答案]D
[解析]若使成立,则选项中只有D能保证,故选D.
[点评]本题考查的是向量相等条件模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量,其模为0且方向任意.
8、若变量满足约束条件,则的最大值是( )
A、12 B、26 C、28 D、33
[答案]C
[解析]目标函数可以变形为
,做函数的平行线,
当其经过点B(4,4)时截距最大时,
即z有最大值为=.
[点评]解决线性规划题目的常规步骤:
一列(列出约束条件)、
二画(画出可行域)、
三作(作目标函数变形式的平行线)、
四求(求出最优解).
9、已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,
并且经过点.若点到该抛物线焦点的距离为,则( )
A、 B、 C、 D、
[答案]B
[解析]设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点坐标为(),准线方程为x=,
[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M为抛物线上任意一点,F为抛物线的焦点,d为点M到准线的距离).
10、如图,半径为的半球的底面圆在平面内,过点作平面的垂线交半球面于点,过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交,所得交线上到平面的距离最大的点为,该交线上的一点满足,则、两点间的球面距离为( )
A、 B、 C、 D、
[答案]A
[解析]以O为原点,分别以OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴,则
A
[点评]本题综合性较强,考查知识点较为全面,题设很自然的把向量、立体几何、三角函数等基础知识结合到了一起.是一道知识点考查较为全面的好题.要做好本题需要有扎实的数学基本功.
11、方程中的,且互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( )
A、28条 B、32条 C、36条 D、48条
[答案]B
[解析]方程变形得,若表示抛物线,则
所以,分b=-2,1,2,3四种情况:
(1)若b=-2, ; (2)若b=2,
以上两种情况下有4条重复,故共有9+5=14条;
同理 若b=1,共有9条; 若b=3时,共有9条.
综上,共有14+9+9=32种
[点评]此题难度很大,若采用排列组合公式计算,很容易忽视重复的4条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用.
12、设函数,是公差不为0的等差数列,,则( )
A、0 B、7 C、14 D、21
[答案]D
[解析]∵是公差不为0的等差数列,且
∴
∴
∴
[点评]本小题考查的知识点较为综合,既考查了高次函数的性质又考查了等差数列性质的应用,解决此类问题必须要敢于尝试,并需要认真观察其特点.
第二部分 (非选择题 共90分)
注意事项:
(1)必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答,作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚.答在试题卷上无效.
(2)本部分共10个小题,共90分.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题纸的相应位置上.)
13、函数的定义域是____________.(用区间表示)
[答案]()
[解析]由分母部分的1-2x>0,得到x∈().
[点评]定义域问题属于低档题,只要保证式子有意义即可,相对容易得分.常见考点有:分母不为0;偶次根下的式子大于等于0;对数函数的真数大于0;0的0次方没有意义.
14、如图,在正方体中,、分别是、的中点,则异面直线与所成的角的大小是____________.
[答案]90º
[解析]方法一:连接D1M,易得DN⊥A1D1 ,DN⊥D1M,
所以,DN⊥平面A1MD1,
又A1M平面A1MD1,所以,DN⊥A1D1,故夹角为90º
方法二:以D为原点,分别以DA, DC, DD1为x, y, z轴,建立空间直角坐标系D—xyz.设正方体边长为2,则D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A1(2,0,2)
故,
所以,cos< = 0,故DN⊥D1M,所以夹角为90º
[点评]异面直线夹角问题通常可以采用两种途径: 第一,把两条异面直线平移到同一平面中借助三角形处理; 第二,建立空间直角坐标系,利用向量夹角公式解决.
15、椭圆为定值,且的的左焦点为,直线与椭圆相交于点、,的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是______.
[答案]
[解析]根据椭圆定义知:4a=12, 得a=3 , 又
[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.
16、设为正实数,现有下列命题:
①若,则;
②若,则;
③若,则;
④若,则.
其中的真命题有____________.(写出所有真命题的编号)
[答案] ①④
[解析]若a,b都小于1,则a-b<1
若a,b中至少有一个大于等于1, 则a+b>1,
由a2-b2=(a+b)(a-b)=1 ,所以,a-b<1 故①正确.
对于|a3-b3|=|(a-b)(a2+ab+b2)|=1,
若a,b中至少又一个大于等于1,则a2+ab+b2>1,则|a-b|<1
若a,b都小于1,则|a-b|<1,所以④正确.
综上,真命题有 ① ④ .
[点评]此类问题考查难度较大,要求对四个备选项都要有正确的认识,需要考生具备扎实的数学基础,平时应多加强这类题的限时性练习.
三、解答题(本大题共6个小题,共74分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.)
17、(本小题满分12分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)和,系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和.
(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为,求的值;
(Ⅱ)求系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率.
[解析](1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么
1-P(C)=1-P= ,解得P=………………………………6 分
(2)设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为
事件D,
那么P(D)=
答:检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为. ………………12分.
[点评]本小题主要考查相互独立事件,独立重复试验、互斥事件等概念及相关计算,考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力.
18、(本小题满分12分) 已知函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期和值域;
(Ⅱ)若,求的值.
[解析](1)由已知,f(x)=
所以f(x)的最小正周期为2,值域为.…………………6分
(2)由(1)知,f()=
所以cos().
所以
,…………………12分
[点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查化归与转化等数学思想.
19、(本小题满分12分) 如图,在三棱锥中,,,,点在平面内的射影在上.
(Ⅰ)求直线与平面所成的角的大小;
(Ⅱ)求二面角的大小.
[解析](1)连接OC. 由已知,所成的角
设AB的中点为D,连接PD、CD.
因为AB=BC=CA,所以CDAB.
因为等边三角形,
不妨设PA=2,则OD=1,OP=, AB=4.
所以CD=2,OC=.
在Rttan.…………………………6分
(2)过D作DE于E,连接CE.
由已知可得,CD平面PAB.
据三垂线定理可知,CE⊥PA,
所以,.
由(1)知,DE=
在Rt△CDE中,tan
故 …………………………………12分
[点评]本题旨在考查线面位置关系和二面角的基础概念,重点考查思维能力和空间想象能力,进一步深化对二面角的平面角的求解.求解二面角平面角的常规步骤:一找(寻找现成的二面角的平面角)、二作(若没有找到现成的,需要引出辅助线作出二面角的平面角)、三求(有了二面角的平面角后,在三角形中求出该角相应的三角函数值).
20、(本小题满分12分) 已知数列的前项和为,常数,且对一切正整数都成立.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,,当为何值时,数列的前项和最大?
[解析]取n=1,得
若a1=0,则s1=0, 当n
若a1, 当n
上述两个式子相减得:an=2an-1,所以数列{an}是等比数列
综上,若a1 = 0,
若a1 …………………………………………7分
(2)当a1>0,且
所以,{bn}单调递减的等差数列(公差为-lg2)
则 b1>b2>b3>…>b6=
当n≥7时,bn≤b7=
故数列{lg}的前6项的和最大. …………………………12分
[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一,知识层面:考查等差数列、等比数列、对数等基础知识;第二,能力层面:考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力;第三,数学思想:考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.
21、(本小题满分12分) 如图,动点与两定点、构成,且直线的斜率之积为4,设动点的轨迹为.
(Ⅰ)求轨迹的方程;
(Ⅱ)设直线与轴交于点,与轨迹相交于点,且,求的取值范围.
[解析](1)设M的坐标为(x,y),当x=-1时,直线MA的斜率不存在;当x=1时,直线MB的斜率不存在.
于是x≠1且x≠-1.此时,MA的斜率为,MB的斜率为.
由题意,有·=4
化简可得,4x2-y2-4=0
故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0(x≠1且x≠-1)…………………………4分
(2) 由消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0. (﹡)
对于方程(﹡),其判别式=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0
而当1或-1为方程(*)的根时,m的值为-1或1.
结合题设(m>0)可知,m>0,且m≠1
设Q、R的坐标分别为(XQ,YQ),(XR,YR),则为方程(*)的两根.
因为,所以,
所以.
此时
所以
所以
综上所述, …………………………12分
[点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识,考察思维能力、运算能力,考察函数、分类与整合等思想,并考察思维的严谨性.
22、(本小题满分14分) 已知为正实数,为自然数,抛物线与轴正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距.
(Ⅰ)用和表示;
(Ⅱ)求对所有都有成立的的最小值;
(Ⅲ)当时,比较与
的大小,并说明理由.
[解析](1)由已知得,交点A的坐标为,对
则抛物线在点A处的切线方程为:
………………4分
(2) 由(1)知f(n)=,则
即知,对于所有的n成立,
特别地,当n=1时,得到a≥3
当a=3,n≥1时,
当n=0时,=2n+1.故a=3时对所有自然数n均成立.
所以满足条件的a的最小值为3. ………………………………………………8分
(3) 由(1)知f(k)=
下面证明:
首先证明00,即得
由0