高考理科数学试题分类汇编 圆锥曲线 29页

‎2014年高考数学试题汇编 圆锥曲线 一．选择题 ‎1. （2014大纲）已知双曲线C的离心率为2，焦点为、，点A在C上，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A．‎ ‎2. （2014大纲）已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A．‎ ‎3（2014福建）设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（ ）‎ A. ‎ B. C. D.‎ D ‎4、(2014四川)已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎5(2014重庆)设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. ‎ B. C. D.3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎6(2014新课标I).已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为 ‎. .3 . .‎ ‎【答案】：A ‎【解析】：由：，得，‎ 设，一条渐近线，即，则点到的一条渐近线的距离=，选A. .‎ ‎7(2014新课标I).已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则=‎ ‎. . .3 .2‎ ‎【答案】：C ‎【解析】：过Q作QM⊥直线L于M，∵‎ ‎∴，又，∴，由抛物线定义知 选C ‎8. （2014辽宁）已知点在抛物线C：的准线上，/过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎9. (2014新课标II)设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 【答案】 D ‎10(2014天津)已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（　　）‎ ‎（A）　　 （B）‎ ‎（C）　 　（D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 依题意得，所以，，双曲线的方程为.‎ ‎11. (2014广东)若实数k满足则曲线与曲线的 A．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 　 D.焦距相等 ‎12(2014山东)已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎【考点】椭圆、双曲线的几何性质.‎ ‎13. (2014湖北)已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）‎ A. B. C.3 D.2‎ B 二.解答题 ‎1. (2014广东)（14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为，‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.‎ ‎2. (2014江苏) (本小题满分14分)‎ 如图,在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作轴的垂线交椭圆于另一点C，连结.‎ F1‎ F2‎ O x y B C A ‎(第17题)‎ ‎(1)若点C的坐标为,且,求椭圆的方程；‎ ‎(2)若求椭圆离心率e的值.‎ ‎3(2014陕西)（本小题满分13分）‎ 如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为.‎ （1） 求的值；‎ （2） 过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程.‎ ‎【答案】 （1） a=2,b=1 （2） ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎4. (2014新课标II)（本小题满分12分）‎ 设,分别是椭圆的左右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.‎ ‎（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.‎ ‎【答案】 (1) （2）‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎5(2014安徽)（本小题满分 13 分）‎ 如图，已知两条抛物线：（）和：（），过原点的两条直线和，与，分别交于，两点，与，分别交于，两点．‎ ‎（I）证明：∥；‎ ‎（Ⅱ）过作直线（异于，）与，分别交于，两点．记与 的面积分别为与，求的值．‎ ‎（Ⅰ）证：设直线，的方程分别为，（，≠0），则 由得 ，‎ 由得，‎ 同理可得，．‎ 所以，‎ ‎．‎ 故，所以∥‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知∥，同理可得∥，∥，‎ 所以∽，‎ 因此．‎ 又由（Ⅰ）中的知，‎ 故．‎ ‎6(2014江西)（本小题满分13分）‎ 如图，已知双曲线的右焦点,点分别在的两条渐近线上，轴，∥(为坐标原点）.‎ （1） 求双曲线的方程；‎ （2） 过上一点的直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明点在上移动时，恒为定值，并求此定值 ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】(1)A(),B()‎ 且，即， …………………………… 4分 即…………………………………………………………………… 6分 （2） A(2，)，，F（2,0），‎ M(2，)，N(，)………………………………………………… 9分 ‎ ……………………………………………………………………… 13分 ‎7. (2014新课标I) (本小题满分12分) 已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.‎ ‎(Ⅰ)求的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.‎ ‎【解析】：(Ⅰ) 设()，由条件知，得= 又，‎ 所以a=2=， ,故的方程. ……….6分 ‎（Ⅱ）依题意当轴不合题意，故设直线l：，设 ‎ 将代入，得，‎ 当，即时，‎ 从而= + 又点O到直线PQ的距离，所以OPQ的面积 ‎ ，‎ 设，则，，‎ 当且仅当，等号成立，且满足，所以当OPQ的面积最大时，的方程为： 或. …………………………12分 ‎8(2014天津)（本小题满分13分）‎ 设椭圆（）的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为.已知.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切. 求直线的斜率.‎ ‎【答案】 （1） （2） ‎ ‎（18）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识. 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质. 考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分13分.‎ ‎（Ⅰ）解：设椭圆的右焦点的坐标为.由，可得，又，则.‎ 所以，椭圆的离心率.‎ ‎，所以，解得，.‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，.故椭圆方程为.‎ 设.由，，有，.‎ 由已知，有，即.又，故有 ‎. ①‎ 又因为点在椭圆上，故 ‎. ②‎ 由①和②可得.而点不是椭圆的顶点，故，代入①得，即点的坐标为.‎ 设圆的圆心为，则，，进而圆的半径.‎ 设直线的斜率为，依题意，直线的方程为.‎ 由与圆相切，可得，即，‎ 整理得，解得.‎ 所以，直线的斜率为或.‎ ‎9. (2014湖南)如图7,为坐标原点,椭圆的左右焦点分别为,离心率为;双曲线的左右焦点分别为,离心率为,已知,且.‎ ‎(1)求的方程;‎ ‎(2)过点作的不垂直于轴的弦,为的中点,当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值.‎ ‎10、(2014四川) (本小题满分13分) ‎ ‎ 已知椭圆：（）的焦距为，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆与点，。‎ ‎（ⅰ）证明：平分线段（其中为坐标原点）；‎ ‎（ⅱ）当最小时，求点的坐标。‎ ‎【答案】 （Ⅰ） （Ⅱ） ‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ-1）‎ ‎（Ⅱ-2）‎ ‎11(2014山东)（本小题满分14分）‎ 已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为3时，为正三角形.‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，‎ ‎（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；‎ ‎（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.‎ ‎12. (2014湖北)（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系中，点M到点的距离比它到轴的距离多1. 记点M的轨迹为C.‎ ‎（Ⅰ）求轨迹为C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设斜率为k的直线过定点.求直线与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.‎ ‎21.（Ⅰ）设点，依题意得，即， ‎ 化简整理得. ‎ 故点M的轨迹C的方程为 ‎ ‎（Ⅱ）在点M的轨迹C中，记，.‎ 依题意，可设直线的方程为 ‎ 由方程组 可得 ①‎ ‎（1）当时，此时 把代入轨迹C的方程，得.‎ 故此时直线与轨迹恰好有一个公共点. ‎ ‎（2）当时，方程①的判别式为. ②‎ 设直线与轴的交点为，则 由，令，得. ③‎ ‎（ⅰ）若 由②③解得，或.‎ 即当时，直线与没有公共点，与有一个公共点，‎ 故此时直线与轨迹恰好有一个公共点. ‎ ‎（ⅱ）若 或 由②③解得，或.‎ 即当时，直线与只有一个公共点，与有一个公共点.‎ 当时，直线与有两个公共点，与没有公共点. ‎ 故当时，直线与轨迹恰好有两个公共点. ‎ ‎（ⅲ）若 由②③解得，或.‎ 即当时，直线与有两个公共点，与有一个公共点，‎ 故此时直线与轨迹恰好有三个公共点. ‎ 综合（1）（2）可知，当时，直线与轨迹恰好有一个公共点；当时，直线与轨迹恰好有两个公共点；当时，直线与轨迹恰好有三个公共点. ‎ ‎13. （2014辽宁）（本小题满分12分）‎ 圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程 ‎【答案】 （1） （2） ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎.‎ ‎14(2014北京)（本小题14分）‎ 已知椭圆，‎ （1） 求椭圆的离心率.‎ （2） 设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明你的结论.‎ 解：（I）由题意，椭圆C的标准方程为。‎ ‎ 所以，从而。因此。‎ 故椭圆C的离心率。‎ ‎（Ⅱ） 直线AB与圆相切。证明如下：‎ 设点A,B的坐标分别为，，其中。‎ 因为，所以，即，解得。‎ ‎ 当时，，代入椭圆C的方程，得，‎ ‎ 故直线AB的方程为。圆心O到直线AB的距离。‎ ‎ 此时直线AB与圆相切。‎ ‎ 当时，直线AB的方程为，‎ ‎ 即，‎ ‎ 圆心0到直线AB的距离 ‎ ‎ ‎ 又，故 ‎ ‎ ‎ 此时直线AB与圆相切。‎ ‎15. （2014福建）（本小题满分13分）‎ ‎ 已知双曲线的两条渐近线分别为.‎ ‎ （1）求双曲线的离心率；‎ ‎ （2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，‎ ‎ 四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公 ‎ 共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由。‎ ‎19．解：方法一：‎ ‎(1)因为双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x，‎ 所以＝2，‎ 所以＝2，‎ 故c＝a，‎ 从而双曲线E的离心率 e＝＝.‎ ‎(2)由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.‎ 设直线l与x轴相交于点C.‎ 当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|＝a，|AB|＝4a.又因为△OAB的面积为8，‎ 所以|OC|·|AB|＝8，‎ 因此a·4a＝8，解得a＝2，‎ 此时双曲线E的方程为－＝1.‎ 若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为－＝1.‎ 以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：－＝1也满足条件．‎ 设直线l的方程为y＝kx＋m，依题意，得k>2或k<－2，则C.记A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由得y1＝，同理得y2＝.‎ 由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|，得 ·＝8，‎ 即m2＝4＝4(k2－4)．‎ 由得(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0.‎ 因为4－k2<0，‎ 所以Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)．‎ 又因为m2＝4(k2－4)，‎ 所以Δ＝0，即l与双曲线E有且只有一个公共点．‎ 因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.‎ 方法二：(1)同方法一．‎ ‎(2)由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.‎ 设直线l的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 依题意得－2或k<－2.‎ 由得(4－k2)x2－2kmx－m2＝0，‎ 因为4－k2<0，Δ>0，所以x1x2＝，‎ 又因为△OAB的面积为8，‎ 所以 |OA|·|OB|· sin∠AOB＝8，又易知sin∠AOB＝，‎ 所以·＝8，化简得x1x2＝4.‎ 所以＝4，即m2＝4(k2－4)．‎ 由(1)得双曲线E的方程为－＝1，‎ 由得(4－k2)x2－2kmx－m2－4a2＝0.‎ 因为4－k2<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋4a2)＝0，‎ 即(k2－4)(a2－4)＝0，所以a2＝4，‎ 所以双曲线E的方程为－＝1.‎ 当l⊥x轴时，由△OAB的面积等于8可得l：x＝2，又易知l：x＝2与双曲线E：－＝1有且只有一个公共点．‎ 综上所述，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.‎ ‎16. (2014重庆)‎ 如题（21）图，设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为.‎ （1） 求该椭圆的标准方程；‎ （2） 是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径..‎ ‎【答案】（I） （II）‎ ‎【解析】‎ ‎（I）‎ ‎（II）‎ ‎17（2014浙江）(本题满分15分)如图，设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限.‎ ‎（１）已知直线的斜率为，用表示点的坐标；‎ ‎（２）若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为.‎ ‎21. （I）设直线的方程为，由，消去得，，由于直线与椭圆只有一个公共点，故，即，解得点的坐标为，由点在第一象限，故点的坐标为；‎ ‎（II）由于直线过原点，且与垂直，故直线的方程为，所以点到直线的距离，整理得，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以点到直线的距离的最大值为.‎ ‎18. （2014大纲）（本小题满分12分）‎ 已知抛物线C：的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.‎ ‎（I）求C的方程；‎ ‎（II）过F的直线与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线与C相较于M，N 两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求的方程.‎ 解：（I）设，代入，得．由题设得，解得（舍去）或，∴C的方程为；（II）由题设知与坐标轴不垂直，故可设的方程为，代入得．设则 ‎．故的中点为．又的斜率为的方程为．将上式代入，并整理得．设则．故的中点为．‎ 由于垂直平分线，故四点在同一圆上等价于，从而化简得，解得或．所求直线的方程为或．‎