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- 2021-05-13 发布
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第八章 单元测试
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题中只有一项符合题目要求)
1.设 m,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列四个命题:
①若α∥β,m⊂α,则 m∥β;②若 m∥α,n⊂α,则 m∥n;③若α⊥β,m∥α,则 m⊥β;④若
m⊥α,m∥β,则α⊥β.
其中为真命题的是 ( )
A.①③ B.②③
C.①④ D.②④
答案 C
解析 ①为空间面面平行的性质,是真命题;②m,n 可能异面,故该命题为假命题;③直线 m 与平面
β也可以平行也可以相交不垂直.故该命题是一个假命题;④为真命题.故选 C.
2.用与球心距离为 1 的平面去截球,所得的截面面积为π,则球的体积为
A.8π
3
B.8 2π
3
C.8 2π D.32π
3
答案 B
解析 S 圆=πr2=1⇒r=1,而截面圆圆心与球心的距离 d=1,∴球的半径为 R= r2+d2= 2.
∴V=4
3
πR3=8 2π
3
,故选 B.
3.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 ( )
A.16
3
π B.19
3
π
C.19
12
π D.4
3
π
答案 B
解析 设球半径是 R,依题意知,该三棱柱是一个底面边长为 2、侧棱长为 1 的正三棱柱,记上、下
底面的中心分别是 O1、O,易知球心是线段 O1O 的中点,于是
R2=(1
2
)2+( 3
2
×2×2
3
)2=19
12
,因此所求球的表面积是 4πR2=4π×19
12
=19π
3
,选 B.
4. 如右图所示,是一个正方体的表面展开图,A、B、C 均为棱的中点,D 是顶点,则在正方体中,异
面直线 AB 和 CD 的夹角的余弦值为 ( )
A. 2
5
B. 3
5
C. 10
5
D. 5
5
答案 C
解析
把展开图复原为正方体后示意图如右图所示,∠EGF 为 AB 和 CD 所成的角,F 为正方体一棱的中点.
∴EF=GF= 5
2
,EG= 2.
∴cos∠EGF= 10
5
.
5.图中的三个直角三角形是一个体积为 20 cm3 的几何体的三视图,则这个几何体外接球的表面积为 ( )
A.25π cm2 B.77π
2
cm2
C.77π cm2 D.144π cm2
答案 C
解析 由三视图画出此空间几何体的直观图如图所示.由题意得
V=1
3
×1
2
×h×5×6=20⇒h=4.
从而易知,其外接球的半径为
r=1
2
42+52+62= 77
2
.
从而外接球的表面积为 S=4πr2=4π( 77
2
)2=77π.选 C.
6.如下图所示,正四棱锥 P-ABCD 的底面积为 3,体积为 2
2
,E 为侧棱 PC 的中点,则 PA 与 BE 所成
的角为 ( )
A.π
6
B.π
4
C.π
3
D.π
2
答案 C
解析 连接 AC、BD 交于点 O,连接 OE,易得 OE∥PA.
∴所求角为∠BEO.
由所给条件易得 OB= 6
2
,OE=1
2
PA= 2
2
,BE= 2.
∴cos∠OEB=1
2
,∴∠OEB=60°,选 C.
7.直三棱柱 ABC-A1B1C1 的直观图及三视图如下图所示,D 为 AC 的中点,则下列命题是假命题的是 ( )
A.AB1∥平面 BDC1
B.A1C⊥平面 BDC1
C.直三棱柱的体积 V=4
D.直三棱柱的外接球的表面积为 4 3π
答案 D
解析
由三视图可知,直三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 B1C1CB 是边长为 2 的正方形,底面 ABC 是等腰直角三角形,
AB⊥BC,AB=BC=2.连接 B1C 交 BC1 于点 O,连接 AB1,OD.在△CAB1 中,O,D 分别是 B1C,AC 的中点,∴OD
∥AB1,∴AB1∥平面 BDC1.故 A 正确.
直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,
∴AA1⊥BD.又 AB=BC=2,D 为 AC 的中点,
∴BD⊥AC,∴BD⊥平面 AA1C1C.
∴BD⊥A1C.又 A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,
∴A1B1⊥平面 B1C1CB,∴A1B1⊥B1C.
∵BC1⊥B1C,且 BC1∩B1C=0,∴BC1⊥平面 A1B1C.
∴BC1⊥A1C,∴A1C⊥平面 BDC1.
故 B 正确.V=S△ABC×C1C=1
2
×2×2×2=4,∴C 正确.
此直三棱柱的外接球的半径为 3,其表面积为 12π,D 错误.故选 D.
8.已知圆锥的底面半径为 R,高为 3R,在它的所有内接圆柱中,全面积的最大值是 ( )
A.22πR2 B.9
4
πR2
C.8
3
πR2 D.5
2
πR2
答案 B
解析
如图所示,为组合体的轴截面,由相似三角形的比例关系,得
PO1
3R
=x
R
,PO1=3x,圆柱的高为
3R-3x,所以圆柱的全面积为
S=2πx2+2πx(3R-3x)
=-4πx2+6πRx,
则当 x=3
4
R 时,S 取最大值,
Smax=9
4
πR2.
9.二面角的棱上有 A、B 两点,直线 AC、BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于 AB.已知
AB=4,AC=6,BD=8,CD=2 17,则该二面角的大小为 ( )
A.150° B.45°
C.60° D.120°
答案 C
解析 由条件,知CA
→
·AB
→
=0,AB
→
·BD
→
=0,
CD
→
=CA
→
+AB
→
+BD
→
.
∴|CD
→
|2=|CA
→
|2+|AB
→
|2+|BD
→
|2+2CA
→
·AB
→
+2AB
→
·BD
→
+2CA
→
·BD
→
=62+42+82+2×6×8cos〈CA
→
,BD
→
〉=
(2 17)2.
∴cos〈CA
→
,BD
→
〉=-1
2
,〈CA
→
,BD
→
〉=120°,∴二面角的大小为 60°,故选 C.
10.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 棱长为 1,点 P 在线段 BD1 上,当∠APC 最大时,三棱锥 P-ABC 的体积
为 ( )
A. 1
24
B. 1
18
C.1
9
D. 1
12
答案 B
解析 以 B 为坐标原点,BA 为 x 轴,BC 为 y 轴,BB1 为 z 轴建立空间直角坐标系,设BP
→
=λBD1
→
,可得
P(λ,λ,λ),再由 cos∠APC=
AP
→
·CP
→
|AP
→
||CP
→
|
可求得当λ=1
3
时,∠APC 最大,故
VP-ABC=1
3
×1
2
×1×1×1
3
= 1
18
.
二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线上)
11.已知 m、n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,给出下列命题:
①若α⊥β,m∥α,则 m⊥β;②若 m⊥α,n⊥β,且 m⊥n,则α⊥β;③若 m⊥β,m∥α,则α
⊥β;④若 m∥α,n∥β,且 m∥n,则α∥β.
其中真命题的序号是________.
答案 ②③
解析 若α⊥β,m∥α,则 m 与β可能相交、平行或 m 在平面β内,故①错;m∥α,n∥β,m∥n,
则α与β可能平行,可能相交,故④错.
12.圆台上、下底面面积分别是π、4π,侧面积是 6π,这个圆台的体积是________.
答案 7 3
3
π
解析 上底半径 r=1,下底半径 R=2.
∵S 侧=6π,设母线长为 l,则π(1+2)·l=6π.
∴l=2,∴高 h= l2- R-r 2= 3.
∴V=1
3
π· 3(1+1×2+2×2)=7 3
3
π.
13.(2019·天津文)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为________m3.
答案 4
解析 由三视图可知,此几何体的上面是正四棱柱,其长,宽,高分别是 2,1,1,此几何体的下面是
长方体,其长,宽,高分别是 2,1,1,因此该几何体的体积
V=2×1×1+2×1×1=4(m3).
14.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 是上底面 A1B1C1D1 内一动点,则三棱锥 P-ABC 的主视图与
左视图的面积的比值为________.
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]
答案 1
解析 依题意得三棱锥 P-ABC 的主视图与左视图分别是一个三角形,且这两个三角形的底边长都等
于正方体的棱长,底边上的高也都相等,因此三棱锥 P-ABC 的主视图与左视图的面积之比等于 1.
15.直三棱柱 ABC-A1B1C1 的各顶点都在同一球面上.若 AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°,则此球的表
面积等于______.
答案 20π
解析 设球心为 O,球半径为 R,△ABC 的外心是 M,则 O 在底面 ABC 上的射影是点 M,在△ABC 中,
AB=AC=2,∠BAC=120°,∠ABC=1
2
(180°-120°)=30°,
AM= AC
2sin30°
=2.因此,R2=22+(AA1
2
)2=5,此球的表面积等于 4πR2=20π.
16.如图是一几何体的平面展开图,其中 ABCD 为正方形,E、F、分别为 PA、PD 的中点,在此几何体
中,给出下面四个结论:
①直线 BE 与直线 CF 异面;
②直线 BE 与直线 AF 异面;
③直线 EF∥平面 PBC;
④平面 BCE⊥平面 PAD.
其中正确的有______个.
答案 2
解析 将几何体展开图拼成几何体(如图),因为 E、F 分别为 PA、PD 的中点,所以 EF∥AD∥BC,即直
线 BE 与 CF 共面,①错;因为 B∉ 平面 PAD ,E∈平面 PAD,E∉ AF,所以 BE 与 AF 是异面直线,②正确;
因为 EF∥AD∥BC,EF⊄ 平面 PBC,BC⊂平面 PBC,所以 EF∥平面 PBC,③正确;平面 PAD 与平面 BCE 不一
定垂直,④错.
三、解答 题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分 10 分)下图为一简单组合体,其底面 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,EC∥PD,且
PD=AD=2EC=2.
(1)请画出该几何体的三视图;
(2)求四棱锥 B-CEPD 的体积.
解析 (1)该组合体的三视图如下图所示.
(2)因为 PD⊥平面 ABCD,PD⊂平面 PDCE,
所以平面 PDCE⊥平面 ABCD.
因为四边形 ABCD 为正方形,
所以 BC⊥CD,且 BC=DC=AD=2.
又因为平面 PDCE∩平面 ABCD=CD,BC⊂平面 ABCD,
所以 BC⊥平面 PDCE.
因为 PD⊥平面 ABCD,DC⊂平面 ABCD,
所以 PD⊥DC.
又因为 EC∥PD,PD=2,EC=1,
所以四边形 PDCE 为一个直角梯形,其面积
S 梯形 PDCE=1
2
(PD+EC)×DC=1
2
×3×2=3.
所以四棱锥 B-CEPD 的体积
VB-CEPD=1
3
S 梯形 PDCE×BC=1
3
×3×2=2.
18.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠ADC=45°,AD=
AC=1,O 为 AC 的中点,PO⊥平面 ABCD,PO=2,M 为 PD 的中点.
(1)证明:PB∥平面 ACM;
(2)证明:AD⊥平面 PAC;
(3)求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值.
解析 (1)连接 BD,MO,在平行四边形 ABCD 中,因为 O 为 AC 的中点,所以 O 为 BD 的中点.又 M 为
PD 的中点,所以 PB∥MO.因为 PB⊄ 平面 ACM,MO⊂平面 ACM,所以 PB∥平面 ACM.
(2)因为∠ADC=45°,且
AD=AC=1,
所以∠DAC=90°,即 AD⊥AC.又 PO⊥平面 ABCD,
AD⊂平面 ABCD,所以 PO⊥AD.而 AC∩PO=O,所以 AD⊥平面 PAC.
(3)取 DO 中点 N,连接 MN,AN.因为 M 为 PD 的中点,所以 MN∥PO,且 MN=1
2
PO=1.由 PO⊥平面 ABCD,
得 MN⊥平面 ABCD,所以∠MAN 是直线 AM 与平面 ABCD 所成的角.在 Rt△DAO 中,AD=1,AO=1
2
,所以 DO
= 5
2
.从而 AN=1
2
DO= 5
4
.在 Rt△ANM 中,tan∠MAN=MN
AN
=
1
5
4
=4 5
5
,即直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切
值为4 5
5
.
19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,AB=4,
PA=3,A 点在 PD 上的射影为 G 点,E 点在 AB 上,平面 PEC⊥平面 PCD.
(1)求证:AG∥平面 PEC;
(2)求 AE 的长;
(3)求二面角 E-PC-A 的正弦值.
解析 (1)证明:∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD,PA∩AD=A,
∴CD⊥平面 PAD.∴CD⊥AG.
又 PD⊥AG,∴AG⊥平面 PCD.
作 EF⊥PC 于点 F,连接 GF,
∵平面 PEC⊥平面 PCD,
∴EF⊥平面 PCD.∴EF∥AG.
又 AG⊄ 平面 PEC,EF⊂平面 PEC,
∴AG∥平面 PEC.
(2)解:由(1)知 A、E、F、G 四点共面,
又 AE∥CD,AE⊄ 平面 PCD,CD⊂平面 PCD,
∴AE∥平面 PCD.
又∵平面 AEFG∩平面 PCD=GF,∴AE∥GF.
又由(1)知 EF∥AG,
∴四边形 AEFG 为平行四边形,∴AE=GF.
∵PA=3,AD=4,∴PD=5,AG=12
5
.
又 PA2=PG·PD,∴PG=9
5
.
又GP
CD
=PG
PD
,∴GF=
9
5
×4
5
=36
25
,∴AE=36
25
.
(3)解:过 E 作 EO⊥AC 于点 O,连接 OF,易知 EO⊥平面 PAC,又 EF⊥PC,∴OF⊥PC.
∴∠EFO 即为二面角 E-PC-A 的平面角.
EO=AE·sin45°=36
25
× 2
2
=18 2
25
,又 EF=AG=12
5
,
∴sin∠EFO=EO
EF
=18 2
25
× 5
12
=3 2
10
.
20.(本小题满分 12 分)如图,在六面体 ABCDEFG 中,平面 ABC∥平面 DEFG,AD⊥平面 DEFG,ED⊥DG,
EF∥DG.且 AB=AD=DE=DG=2,AC=EF=1.
(1)求证:BF∥平面 ACGD;
(2)求二面角 DCGF 的余弦值.
解析 方法一 (1)设 DG 的中点为 M,连接 AM,FM.
则由已知条件易证四边形 DEFM 是平行四边形.
∴MF∥DE,且 MF=DE.∵平面 ABC∥平面 DEFG,
∴AB∥DE.∵AB=DE,
∴MF∥AB,且 MF=AB,∴四边形 ABFM 是平行四边形.
∴BF∥AM.
又 BF⊄ 平面 ACGD,AM⊂平面 ACGD,
故 BF∥平面 ACGD.
(2)由已知 AD⊥平面 DEFG,∴DE⊥AD.又 DE⊥DG,
∴DE⊥平面 ADGC.∵MF∥DE,∴MF⊥平面 ADGC.
在平面 ADGC 中,过 M 作 MN⊥GC,垂足为 N,连接 NF,则∠MNF 为所求二面角的平面角.
连接 CM.∵平面 ABC∥平面 DEFG,∴AC∥DM.又 AC=DM=1,所以四边形 ACMD 为平行四边形,∴CM∥
AD,且 CM=AD=2.
∵AD⊥平面 DEFG,∴CM⊥平面 DEFG,∴CM⊥DG.
在 Rt△CMG 中,∵CM=2,MG=1,
∴MN=CM·MG
CG
= 2
5
=2 5
5
.
在 Rt△FMN 中,
∵MF=2,MN=2 5
5
,
∴FN= 4+4
5
=2 30
5
.
∴cos∠MNF=MN
FN
=
2 5
5
2 30
5
= 6
6
.
∴二面角 DCGF 的余弦值为 6
6
.
方法二 由题意可得,AD,DE,DG 两两垂直,故可建立如图所示的空间直角坐标系.
则 A(0,0,2),B(2,0,2),C(0,1,2),E(2,0,0),G(0,2,0),
F(2,1,0).
(1)BF
→
=(2,1,0)-(2,0,2)=(0,1,-2),CG
→
=(0,2,0)-(0,1,2)=(0,1,-2),∴BF
→
=CG
→
,∴BF∥
CG.
又 BF⊄ 平面 ACGD,故 BF∥平面 ACGD.
(2)FG
→
=(0,2,0)-(2,1,0)=(-2,1,0).
设平面 BCGF 的法向量为 n1=(x,y,z),
则
n1·CG
→
=y-2z=0,
n1·FG
→
=-2x+y=0.
令 y=2,则 n1=(1,2,1).
则平面 ADGC 的法向量 n2=(1,0,0).
∴cos〈n1,n2〉= n1·n2
|n1|·|n2|
= 1×1
12+22+12× 12+02+02
= 6
6
.
由于所求的二面角为锐二面角,∴二面角 DCGF 的余弦值为 6
6
.
21.(本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC⊥BC,AB⊥BB1,AC=BC=BB1=2,D 为 AB
的中点,且 CD⊥DA1.
(1)求证:BB1⊥面 ABC;
(2)求多面体 DBC-A1B1C1 的体积;
(3)求二面角 C-DA1-C1 的余弦值.
解析 (1)证明:∵AC=BC,D 为 AB 的中点,
∴CD⊥AB.又 CD⊥DA1,AB∩A1D=D,
∴CD⊥面 AA1B1B.∴CD⊥BB1.
又 BB1⊥AB,AB∩CD=D,∴BB1⊥面 ABC.
(2)解:V 多面体 DBC-A1B1C1=V 棱柱 ABC-A1B1C1-V 棱锥 A1-ADC
=S△ABC·|AA1|-1
3
S△ADC·|AA1|=S△ABC·|AA1|-1
3
×1
2
S△ABC·|AA1|=5
6
S△ABC·|AA 1|=10
3
.
(3) 解:以 C 为原点,分别以CB
→
,CC1
→
,CA
→
的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正向,建立空间直角坐标系(如
图所示),则
C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,0,2),C1(0,2,0),A1(0,2,2).
∴D(1,0,1).
设 n1=(x1,y1,z1)是平面 DCA1 的一个法向量,则有
n1·CD
→
=0,
n1·CA1
→
=0,
即
x1+z1=0,
2y1+2z1=0.
∴
x1=-z1,
y1=-z1.
故可取 n1=(1,1,-1).
同理设 n2=(x2,y2,z2)是平面 DC1A1 的一个法向量,且C1D
→
=(1,-2,1),C1A1
→
=(0,0,2).
则有
n2·C1D
→
=0,
n2·C1A1
→
=0,
即
x2-2y2+z2=0,
2z2=0.
∴
x2=2y2,
z2=0.
故可取 n2=(2,1,0).
∴cos〈n1,n2〉= n1·n2
|n1||n2|
= 3
3× 5
= 15
5
.
又二面角 C-DA1-C1 的平面角为锐角,所以其余弦值为 15
5
.
22.(本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ACB=90°,2AC=AA=BC=2.
(1)若 D 为 AA1 的中点,求证:平面 B1CD⊥平面 B1C1D;
(2)若二面角 B1-DC-C1 的大小为 60°,求 AD 的长.
解析 (1)方法一 证明:∵∠A1C1B1=∠ACB=90°,
∴B1C1⊥A1C1.
又由直三棱柱的性质知 B1C1⊥CC1,
∴B1C1⊥平面 ACC1A1.∴B1C1⊥CD.①
由 D 为 AA1 的中点,可知 DC=DC1= 2.
∴DC2+DC2
1=CC2
1,即 CD⊥DC1.②
由①②可知 CD⊥平面 B1C1D.
又 CD⊂平面 B1CD,故平面 B1CD⊥平面 B1C1D.
(2)解:由(1)可知 B1C1⊥平面 ACC1A1,在平面 ACC1A1 内过 C1 作 C1E⊥CD,交 CD 或其延长线于 E,连接
EB1,
∴∠B1EC1 为二面角 B1-DC-C1 的平面角.
∴∠B1EC1=60°.
由 B1C1=2 知,C1E= 2
tan60°
=2 3
3
.
设 AD=x,则 DC= x2+1.
∵△DC1C 的面积为 1,∴1
2
· x2+1·2 3
3
=1.
解得 x= 2,即 AD= 2.
方法二
(1)证明:如图,以 C 为坐标原点,CA、CB、CC1 所在的直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,
则
C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2),D(1,0,1),即C1B1
→
=(0,2,0),DC1
→
=(-1,0,1),CD
→
=(1,0,1).
由CD
→
·C1B1
→
=(1,0,1)·(0,2,0)=0,得 CD⊥C1B1.
由CD
→
·DC1
→
=(1,0,1)·(-1,0,1)=0,得 CD⊥DC1.
又 DC1∩C1B1=C1,∴CD⊥平面 B1C1D.
又 CD⊂平面 B1CD,
∴平面 B1CD⊥平面 B1C1D.
(2)解:设 AD=a,则 D 点坐标为(1,0,a),CD
→
=(1,0,a),CB1
→
=(0,2,2).
设平面 B1CD 的一个法向量为 m=(x,y,z).
则
m·CB1
→
=0,
m·CD
→
=0
⇒
2y+2z=0,
x+ax=0,
令 z=-1.
得 m=(a,1,-1),又平面 C1DC 的一个法向量为 n=(0,1,0),
则由 cos60°= m·n
|m||n|
,得 1
a2+2
=1
2
.
即 a= 2,故 AD= 2.
1.已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆),根据图中标出的数据,这个几何体的体积
是 ( )
A.288+36π B.60π
C.288+72π D.288+18π
答案 A
解析 将几何体的三视图转化为直观图
此几何体下面为长方体上面为半圆柱,根据三视图所标数据,可得
V 长方体=6×8×6=288,
V 半圆柱=1
2
×32×π×8=36π.
∴此几何体的体积为 V=288+36π.
2.设 a、b 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列命题错误的是 ( )
A.若 a⊥α,b∥α,则 a⊥b
B.若 a⊥α,b∥a,b⊂β,则α⊥β
C.若 a⊥α,b⊥β,α∥β,则 a∥b
D.若 a∥α,a∥β,则α∥β
答案 D
解析 由题意可得 A、B、C 选项显然正确,对于选项 D:当α,β相交,且 a 与α,β的交线平行时,
有 a∥α,α∥β,但此时α与β不平行.故选 D.
3.半径为 4 的球面上有 A,B,C,D 四点,且满足AB
→
·AC
→
=0,AD
→
·AC
→
=0,AB
→
·AD
→
=0,则△ABC,△
ACD,△ADB 面积之和 S△ABC+S△ACD+S△ADB 的最大值为 ( )
A.8 B.16
C.32 D.64
答案 C
解析 设 AB=a,AC=b,AD=c,
则 S△ABC+S△ACD+S△ADB=1
2
(ab+ac+bc)
≤1
2
(a2+b2
2
+a2+c2
2
+b2+c2
2
)
=1
2
(a2+b2+c2)
=1
2
×4R2=1
2
×4×42=32,
当且仅当 a=b=c 时取“=”.
4.设 a、b、c 表示三条不同的直线,α、β表示两个不同的平面,则下列命题中逆命题不成立的是 ( )
A.当 c⊥α时,若α∥β时,则 c⊥β
B.当 b⊂β,c 是 a 在β内的射影时,若 b⊥c,则 a⊥b
C.当 b⊂β时,若 b⊥α,则β⊥α
D.当 b⊂α,c⊄ α时,若 c∥α,则 b∥c
答案 C
解析 A.其逆命题为当 c⊥α时,若 c⊥β,则α∥β,显然垂直于同一直线的两平面平行,逆命题
正确;
B.其逆命题为当 b⊂β时,c 是 a 在β内的射影,若 a⊥b,则 b⊥c,此为三垂线定理内容,逆命题
正确;
C.其逆命题为当 b⊂β时,若β⊥α,则 b⊥a,显然两平面垂直,其中一平面内任一直线不一定垂
直另一平面,逆命题错误;
D.其逆命题为当 b⊂α,c⊄ α时,若 b∥c,则 c∥α,此为线面平行的判断定理,逆命题正确.
5.图 2 中的实线围成的部分是长方体(图 1)的平面展开图,其中四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形.若
向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展形图内的概率是1
4
,则此长方体的体积是
________.
答案 3[来源:1ZXXK]
解析 设长方体的高为 h,则图 2 中虚线围成的矩形长为 2+2h,宽为 1+2h,面积为(2+2h)(1+2h),
展开图的面积为 2+4h;由几何概型的概率公式知 2+4h
2+2h 1+2h
=1
4
,得 h=3,所以长方体的体积
是 V=1×3=3.
6.(2019·江苏)如图 ,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠
BCD=90°.
(1)求证:PC⊥BC;
(2)求点 A 到平面 PBC 的距离.
解析 (1)证明 因为 PD⊥平面 ABCD,BC⊂平面 ABCD,所以 PD⊥BC.
由∠BCD=90°,得 BC⊥DC.
又 PD∩DC=D,
所以 BC⊥平面 PCD.
因为 PC⊂平面 PCD,故 PC⊥BC.
(2)方法一 分别取 AB,PC 的中点 E,F,连接 DE,DF.
易证 DE∥BC,DF⊥PC,则 DE∥面 PBC.
∴点 D,E 到面 PBC 的距离相等.
∴点 A 到面 PBC 的距离为点 D 到面 PBC 的距离的 2 倍.
由(1)知 BC⊥面 PCD,∴面 PBC⊥面 PCD.
又 DF⊥PC,∴DF⊥面 PBC.
∵PD=DC=1,∴DF= 2
2
.
∴点 A 到面 PBC 的距离为 2.
方法二
连接 AC,设点 A 到面 PBC 的距离为 h.
∵AB∥DC,∠BCD=90°,
∴∠ABC=90°.
由 AB=2,BC=1,
得 S△ABC=1
2
AB×BC=1
2
×2×1=1.
∵VP-ABC=1
3
S△ABC·PD=1
3
×1×1=1
3
,
又 VP-ABC=VA-PBC,
∴1
3
S△PBC·h=1
3
,即1
3
×1
2
×1× 2h=1
3
,解得 h= 2.
∴点 A 到面 PBC 的距离为 2.
7.(2019·北京理)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,AB=2,∠BAD
=60°.
(1)求证:BD⊥平面 PAC;
(2)若 PA=AB,求 PB 与 AC 所成角的余弦值;
(3)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的长.
解析 (1)因为四边形 ABCD 是菱形,
所以 AC⊥BD.
又因为 PA⊥平面 ABCD,
所以 PA⊥BD,又 AC∩PA=A,
所以 BD⊥平面 PAC.[来源:1ZXXK]
(2)设 AC∩BD=O.
因为∠BAD=60°,PA=AB=2,
所以 BO=1,AO=CO= 3.
如图,以 O 为坐标原点,建立空间直角坐标系 O-xyz,则 P(0,- 3,2),A(0,- 3,0),B(1,0,0,)C(0,
3,0),所以
PB
→
=(1, 3,-2),AC
→
=(0,2 3,0).
设 PB 与 AC 所成角为θ,
则 cosθ=
PB
→
·AC
→
|PB
→
||AC
→
|
= 6
2 2×2 3
= 6
4
.
(3)由(2)知BC
→
=(-1, 3,0).
设 P(0,- 3,t)(t>0),
则BP
→
=(-1,- 3,t).
设平面 PBC 的一个法向量 m=(x,y,z),
则BC
→
·m=0,BP
→
·m=0,
所以
-x+ 3y=0,
-x- 3y+tz=0.
令 y= 3,则 x=3,z=6
t
.
所以 m=(3, 3,6
t
).
同理,平面 PDC 的一个法向量 n=(-3, 3,6
t
).
因为平面 PBC⊥平面 PDC,
所以 m·n=0,即-6+36
t2 =0.
解得 t= 6,所以 PA= 6.
8.(2019·浙江理)如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,PO⊥平面 ABC,垂足 O 落在
线段 AD 上.已知 BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.
(1)证明:AP⊥BC;
(2)在线段 AP 上是否存在点 M,使得二面角 A-MC-B 为直二面角?若存在,求出 AM 的长;若不存在,
请说明理由.
解析 方法一 (1)如图,以 O 为原点,以射线 OD 为 y 轴的正半轴,以射线 OP 为 z 轴的正半轴,建
立空间直角坐标系 O-xyz.
则 O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).
AP
→
=(0,3,4),BC
→
=(-8,0,0),由此可得AP
→
·BC
→
=0,所以AP
→
⊥BC
→
,即 AP⊥BC.
(2)设PM
→
=λPA
→
,λ≠1,则
PM
→
=λ(0,-3,-4).
BM
→
=BP
→
+PM
→
=BP
→
+λPA
→
=(-4,-2,4)+λ(0,-3,-4)=(-4,-2-3λ,4-4λ),
AC
→
=(-4,5,0),BC
→
=(-8,0,0).
设平面 BMC 的法向量 n1=(x1,y1,z1),平面 APC 的法向量 n2=(x2,y2,z2).
由
BM
→
·n1=0,
BC
→
·n1=0,
得
-4x1- 2+3λ y1+ 4-4λ z1=0,
-8x1=0.
即
x1=0,
z1=2+3λ
4-4λ
y1, 可取 n1=(0,1,2+3λ
4-4λ
).
由
AP
→
·n2=0,
AC
→
·n2=0,
即
3y2+4z2=0,
-4x2+5y2=0,
得
x2=5
4
y2,
z2=-3
4
y2,
可取 n2=(5,4,-3).
由 n1·n2=0,得 4-3·2+3λ
4-4λ
=0.
解得λ=2
5
,故 AM=3.
综上所述,存在点 M 符合题意,AM=3.
方法二 (1)由 AB=AC,D 是 BC 的中点,得 AD⊥BC.
又 PO⊥平面 ABC,得 PO⊥BC.
因为 PO∩AD=O,所以 BC⊥平面 PAD,故 BC⊥PA.
(2)如图,在平面 PAB 内作 BM⊥PA 于 M,连接 CM.
由(1)中知 AP⊥BC,得
AP⊥平面 BMC.
又 AP⊂平面 APC,
所以平面 BMC⊥平面 APC.
在 Rt△ADB 中,AB2=AD2+BD2=41,得 AB= 41.
在 Rt△POD 中,PD2=PO2+OD2.
在 Rt△PDB 中,PB2=PD2+BD2.
所以 PB2=PO2+OD2+DB2=36,得 PB=6.
在 Rt△POA 中,PA2=AO2+OP2=25,得 PA=5.
又 cos∠BPA=PA2+PB2-AB2
2PA·PB
=1
3
,
从而 PM=PBcos∠BPA=2,所以 AM=PA-PM=3.
综上所述,存在点 M 符合题意,AM=3.
9.(2019·天津理)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,H 是正方形 AA1B1B 的中心,AA1=2 2,C1H⊥平面
AA1B1B,且 C1H= 5.
(1)求异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值;
(2)求二面角 A-A1C1-B1 的正弦值;
(3)设 N 为棱 B1C1 的中点,点 M 在平面 AA1B1B 内,且 MN⊥平面 A1B1C1,求线段 BM 的长.
解析 方法一 如图所示,建立空间直角坐标系,点 B 为坐标原点,依题意得 A(2 2,0,0),B(0,0,0),
C( 2,- 2, 5),A1(2 2,2 2,0),B1(0,2 2,0),C1( 2, 2, 5).
(1)易得AC
→
=(- 2,- 2, 5),A1B1
→
=(-2 2,0,0).
于是 cos〈AC
→
,A1B1
→
〉=
AC
→
·A1B1
→
|AC
→
|·|A1B1
→
|
= 4
3×2 2
= 2
3
.
所以异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值为 2
3
.
(2)易知AA1
→
=(0,2 2,0),A1C1
→
=(- 2,- 2, 5).
设平面 AA1C1 的法向量 m=(x,y,z),
则
m·A1C1
→
=0,
m·AA1
→
=0.
即
- 2x- 2y+ 5z=0,
2 2y=0.
不妨令 x= 5,可得 m=( 5,0, 2).
同样地,设平面 A1B1C1 的法向量 n=(x,y,z),
则
n·A1C1
→
=0,
n·A1B1
→
=0.
即
- 2x- 2y+ 5z=0,
-2 2x=0.
不妨令 y= 5,可得 n=(0, 5, 2).
于是 cos〈m,n〉= m·n
|m|·|n|
= 2
7· 7
=2
7
.
从而 sin〈m,n〉=3 5
7
.
所以二面角 A-A1C1-B1 的正弦值为3 5
7
.
(3)由 N 为棱 B1C1 的中点,得 N( 2
2
,3 2
2
, 5
2
).
设 M(a,b,0),则MN
→
=( 2
2
-a,3 2
2
-b, 5
2
).
由 MN⊥平面 A1B1C1,得
MN
→
·A1B1
→
=0,
MN
→
·A1C1
→
=0.
即
2
2
-a· -2 2 =0,
2
2
-a· - 2 + 3 2
2
-b· - 2 + 5
2
· 5=0.
解得
a= 2
2
,
b= 2
4
.
故 M( 2
2
, 2
4
,0).
因此BM
→
=( 2
2
, 2
4
,0),所以线段 BM 的长|BM
→
|= 10
4
.
方法二
(1)由于 AC∥A1C1,故∠C1A1B1 是异面直线 AC 与 A1B1 所成的角.
因为 C1H⊥平面 AA1B1B,又 H 为正方形 AA1B1B 的中心,AA1=2 2,C1H= 5,可得 A1C1=B1C1=3.
因为 cos∠C1A1B1=A1C2
1+A1B2
1-B1C2
1
2A1C1·A1B1
= 2
3
.
所以异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值为 2
3
.
(2)连接 AC1,易知 AC1=B1C1.
又由于 AA1=B1A1,A1C1=A1C1,
所以△AC1A1≌△B1C1A1.
过点 A 作 AR⊥A1C1 于点 R,连接 B1R.
于是 B1R⊥A1C1.
故∠ARB1 为二面角 A-A1C1-B1 的平面角.
在 Rt△A1RB1 中,B1R=A1B1·sin∠RA1B1=2 2· 1- 2
3
2=2 14
3
.
连接 AB1,在△ARB1 中,AB1=4,AR=B1R.
cos∠ARB1=AR2+B1R2-AB2
1
2AR·B1R
=-2
7
.
从而 sin∠ARB1=3 5
7
.
所以二面角 A-A1C1-B1 的正弦值为3 5
7
.
(3)因为 MN⊥平面 A1B1C1,所以 MN⊥A1B1.
取 HB1 中点 D,连接 ND.
由于 N 是棱 B1C1 中点,
所以 ND∥C1H 且 ND=1
2
C1H= 5
2
.
又 C1H⊥平面 AA1B1B,
所以 ND⊥平面 AA1B1B.
故 ND⊥A1B1.
又 MN∩ND=N,所以 A1B1⊥平面 MND.
连接 MD 并延长交 A1B1 于点 E,
则 ME⊥A1B1,故 ME∥AA1.
由DE
AA1
=B1E
B1A1
=B1D
B1A
=1
4
,得 DE=B1E= 2
2
.
延长 EM 交 AB 于点 F,可得 BF=B1E= 2
2
.
连接 NE.
在 Rt△ENM 中,ND⊥ME,故 ND2=DE·DM.[来源:Zxxk.Com]
所以 DM=ND2
DE
=5 2
4
.可得 FM= 2
4
.
连接 BM.在 Rt△BFM 中,BM= FM2+BF2= 10
4
.
10.(2019·东北三校联考)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 BC=1,BB1=2,AB⊥平面 BB1C1C.
(1)求直线 C1B 与底面 ABC 所成角的正切值;
(2)在棱 CC1(不包括端点 C、C1)上确定一点 E 的位置,使 EA⊥EB1(要求说明理由);
(3)在(2)的条件下,若 AB= 2,求二面角 A-EB1-A1 的大小.
解析 方法一 (1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,C1C⊥平面 ABC,
∴C1B 在平面 ABC 上的射影为 CB.
∴∠C1BC 为直线 C1B 与底面 ABC 所成的角.
∵在 Rt△CC1B 中,CC1=2,BC=1,
∴tan∠C1BC=2,即直线 C1B 与底面 ABC 所成角的正切值为 2.
(2)连接 BE,当 E 为 CC1 的中点时,EA⊥EB1.
∵CE=EC1=1,BC=B1C1=1,
∴∠BEC=∠B1EC1=45°.
∴∠BEB1=90°,即 B1E⊥BE.
又∵AB⊥平面 BB1C1C,EB1⊂平面 BB1C1C,
∴AB⊥EB1.
又 AB⊂平面 ABE,BE⊂平面 ABE,BE∩AB=B,
∴EB1⊥平面 ABE.
又 EA⊂平面 ABE,故 EA⊥EB1.
(3)如图,取 EB1 的中点 G,A1E 的中点 F,连接 FG,则 FG∥A1B1,且 FG=1
2
A1B1.
∵A1B1⊥EB1,∴FG⊥EB1.
连接 A1B,AB1,设 A1B∩AB1=O,
连接 OF,OG,则 OG∥AE,且 OG=1
2
EA.
∵EA⊥EB1,∴OG⊥EB1.
∴∠OGF 为二面角 A-EB1-A1 的平面角.
∵AE= AC2+CE2=2,OG=1
2
AE=1,FG=1
2
A1B1= 2
2
,OF=1
2
BE= 2
2
,∴∠OGF=45°.
∴二面角 A-EB1-A1 的大小为 45°.
方法二 以 B 为坐标原点,B C、BB1、AB 所在的直线分别为 x、y、z 轴建立如图所示的空间直角坐标
系,则
B(0,0,0),C1(1,2,0),B1(0,2,0).
(1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,平面 ABC 的一个法向量为BB1
→
=(0,2,0),又BC1
→
=(1,2,0),
设 BC1 与平面 ABC 所成的角为θ,
则 sinθ=|cos〈BB1
→
,BC1
→
〉|=2 5
5
.
∴tanθ=2,即直线 C1B 与底面 ABC 所成角的正切值为 2.
(2)设 E(1,y,0),A(0,0,z),则EB1
→
=(-1,2-y,0),
EA
→
=(-1,-y,z).
∵EA⊥EB1,∴EA
→
·EB1
→
=1-y(2-y)=0.
∴y=1,即 E(1,1,0).
∴E 为 CC1 的中点.
(3)由题知 A(0,0, 2),则
AE
→
=(1,1,- 2),B1E
→
=(1,-1,0).
设平面 AEB1 的一个法向量为 n=(x1,y1,z1),
则
n·AE
→
=0,
n·B1E
→
=0.
∴ x1+y1- 2z1=0,
x1-y1=0.
令 x1=1,则 n=(1,1, 2).
∵BE
→
=(1,1,0),∴BE
→
·B1E
→
=1-1=0.
∴BE⊥B1E.
又 BE⊥A1B1,∴BE⊥平面 A1B1E.
∴平面 A1B1E 的一个法向量为BE
→
=(1,1,0).
∴cos〈n,BE
→
〉=
n·BE
→
|n|·|BE
→
|
= 2
2
.
∴二面角 A-EB1-A1 的大小为 45°.
11.如图,AC 是圆 O 的直径,点 B 在圆 O 上,∠BAC=30°,BM⊥AC 交 AC 于点 M,EA⊥平面 ABC,FC
∥EA,AC=4,EA=3,FC=1.
(1)证明:EM⊥BF;
(2)求平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值.
解析 方法一 (1)证明:∵EA⊥平面 ABC,BM⊂平面 ABC,∴EA⊥BM.
又∵BM⊥AC,EA∩AC=A,
∴BM⊥平面 ACFE.
而 EM⊂平面 ACFE.
∴BM⊥EM.
∵AC 是圆 O 的直径,∴∠ABC=90°.
又∵∠BAC=30°,AC=4,
∴AB=2 3,BC=2,AM=3,CM=1.
∵EA⊥平面 ABC,FC∥EA,∴FC⊥平面 ABC.
又FC=CM=1,AM=EA=3,
∴△EAM 与△FCM 都是等腰直角三角形.
∴∠EMA=∠FMC=45°.
∴∠EMF=90°,即 EM⊥MF.
∵MF∩BM=M,∴EM⊥平面 MBF.
而 BF⊂平面 MBF,∴EM⊥BF.
(2)解:延长 EF 交 AC 的延长线于 G,连接 BG,过点 C 作 CH⊥BG,连接 FH.
由(1)知 FC⊥平面 ABC,BG⊂平面 ABC,
∴FC⊥BG.
而 FC∩CH=C,∴BG⊥平面 FCH.
∵FH⊂平面 FCH,∴FH⊥BG.
∴∠FHC 为平面 BEF 与平面 ABC 所成的二面角的平面角.
在 Rt△ABC 中,∵∠BAC=30°,AC=4,
∴BM=AB·sin30°= 3.
由FC
EA
=GC
GA
=1
3
,得 GC=2.
∵BG= BM2+MG2= 3 2+32=2 3,
又∵△GCH∽△GBM,
∴GC
BG
=CH
BM
,∴CM=GC·BM
BG
=2× 3
2 3
=1.
∴△FCH 是等腰直角三角形,∠FHC=45°.
∴平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为 2
2
.
方法二 (1)证明:因为 AC 是圆 O 的直径,所以∠ABC=90°,又∠BAC=30°,AC=4,所以 AB=2 3,
而 BM⊥AC,易得 AM=3,BM= 3.
如图,以 A 为坐标原点,垂直于 AC 的直线,AC、AE 所在的直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系.
由已知条件得 A(0,0,0),M(0,3,0),E(0,0,3),B( 3,3,0),F(0,4,1).
∴ME
→
=(0,-3,3),BF
→
=(- 3,1,1).
由ME
→
·BF
→
=(0,-3,3)·(- 3,1,1)=0,
得ME
→
⊥BF
→
,∴EM⊥BF.
(2)解:由(1)知BE
→
=(- 3,-3,3),BF
→
=(- 3,1,1).
设平面 BEF 的法向量为 n=(x,y,z),
由 n·BE
→
=0,n·BF
→
=0,
得
- 3x-3y+3z=0,
- 3x+y+z=0.
令 x= 3得 y=1,z=2,∴n=( 3,1,2).
由已知 EA⊥平面 ABC,所以平面 ABC 的一个法向量为AE
→
=(0,0,3).
设平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角为θ,
则 cosθ=|cos〈n,AE
→
〉|=| 3×0+1×0+2×3|
3×2 2
= 2
2
.
[来源:1ZXXK]