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  • 2021-05-13 发布

2014高考总复习单元检测立体几何

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第八章 单元测试 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题中只有一项符合题目要求) 1.设 m,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列四个命题: ①若α∥β,m⊂α,则 m∥β;②若 m∥α,n⊂α,则 m∥n;③若α⊥β,m∥α,则 m⊥β;④若 m⊥α,m∥β,则α⊥β. 其中为真命题的是 ( ) A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 答案 C 解析 ①为空间面面平行的性质,是真命题;②m,n 可能异面,故该命题为假命题;③直线 m 与平面 β也可以平行也可以相交不垂直.故该命题是一个假命题;④为真命题.故选 C. 2.用与球心距离为 1 的平面去截球,所得的截面面积为π,则球的体积为 A.8π 3 B.8 2π 3 C.8 2π D.32π 3 答案 B 解析 S 圆=πr2=1⇒r=1,而截面圆圆心与球心的距离 d=1,∴球的半径为 R= r2+d2= 2. ∴V=4 3 πR3=8 2π 3 ,故选 B. 3.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 ( ) A.16 3 π B.19 3 π C.19 12 π D.4 3 π 答案 B 解析 设球半径是 R,依题意知,该三棱柱是一个底面边长为 2、侧棱长为 1 的正三棱柱,记上、下 底面的中心分别是 O1、O,易知球心是线段 O1O 的中点,于是 R2=(1 2 )2+( 3 2 ×2×2 3 )2=19 12 ,因此所求球的表面积是 4πR2=4π×19 12 =19π 3 ,选 B. 4. 如右图所示,是一个正方体的表面展开图,A、B、C 均为棱的中点,D 是顶点,则在正方体中,异 面直线 AB 和 CD 的夹角的余弦值为 ( ) A. 2 5 B. 3 5 C. 10 5 D. 5 5 答案 C 解析 把展开图复原为正方体后示意图如右图所示,∠EGF 为 AB 和 CD 所成的角,F 为正方体一棱的中点. ∴EF=GF= 5 2 ,EG= 2. ∴cos∠EGF= 10 5 . 5.图中的三个直角三角形是一个体积为 20 cm3 的几何体的三视图,则这个几何体外接球的表面积为 ( ) A.25π cm2 B.77π 2 cm2 C.77π cm2 D.144π cm2 答案 C 解析 由三视图画出此空间几何体的直观图如图所示.由题意得 V=1 3 ×1 2 ×h×5×6=20⇒h=4. 从而易知,其外接球的半径为 r=1 2 42+52+62= 77 2 . 从而外接球的表面积为 S=4πr2=4π( 77 2 )2=77π.选 C. 6.如下图所示,正四棱锥 P-ABCD 的底面积为 3,体积为 2 2 ,E 为侧棱 PC 的中点,则 PA 与 BE 所成 的角为 ( ) A.π 6 B.π 4 C.π 3 D.π 2 答案 C 解析 连接 AC、BD 交于点 O,连接 OE,易得 OE∥PA. ∴所求角为∠BEO. 由所给条件易得 OB= 6 2 ,OE=1 2 PA= 2 2 ,BE= 2. ∴cos∠OEB=1 2 ,∴∠OEB=60°,选 C. 7.直三棱柱 ABC-A1B1C1 的直观图及三视图如下图所示,D 为 AC 的中点,则下列命题是假命题的是 ( ) A.AB1∥平面 BDC1 B.A1C⊥平面 BDC1 C.直三棱柱的体积 V=4 D.直三棱柱的外接球的表面积为 4 3π 答案 D 解析 由三视图可知,直三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 B1C1CB 是边长为 2 的正方形,底面 ABC 是等腰直角三角形, AB⊥BC,AB=BC=2.连接 B1C 交 BC1 于点 O,连接 AB1,OD.在△CAB1 中,O,D 分别是 B1C,AC 的中点,∴OD ∥AB1,∴AB1∥平面 BDC1.故 A 正确. 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC, ∴AA1⊥BD.又 AB=BC=2,D 为 AC 的中点, ∴BD⊥AC,∴BD⊥平面 AA1C1C. ∴BD⊥A1C.又 A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B, ∴A1B1⊥平面 B1C1CB,∴A1B1⊥B1C. ∵BC1⊥B1C,且 BC1∩B1C=0,∴BC1⊥平面 A1B1C. ∴BC1⊥A1C,∴A1C⊥平面 BDC1. 故 B 正确.V=S△ABC×C1C=1 2 ×2×2×2=4,∴C 正确. 此直三棱柱的外接球的半径为 3,其表面积为 12π,D 错误.故选 D. 8.已知圆锥的底面半径为 R,高为 3R,在它的所有内接圆柱中,全面积的最大值是 ( ) A.22πR2 B.9 4 πR2 C.8 3 πR2 D.5 2 πR2 答案 B 解析 如图所示,为组合体的轴截面,由相似三角形的比例关系,得 PO1 3R =x R ,PO1=3x,圆柱的高为 3R-3x,所以圆柱的全面积为 S=2πx2+2πx(3R-3x) =-4πx2+6πRx, 则当 x=3 4 R 时,S 取最大值, Smax=9 4 πR2. 9.二面角的棱上有 A、B 两点,直线 AC、BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于 AB.已知 AB=4,AC=6,BD=8,CD=2 17,则该二面角的大小为 ( ) A.150° B.45° C.60° D.120° 答案 C 解析 由条件,知CA → ·AB → =0,AB → ·BD → =0, CD → =CA → +AB → +BD → . ∴|CD → |2=|CA → |2+|AB → |2+|BD → |2+2CA → ·AB → +2AB → ·BD → +2CA → ·BD → =62+42+82+2×6×8cos〈CA → ,BD → 〉= (2 17)2. ∴cos〈CA → ,BD → 〉=-1 2 ,〈CA → ,BD → 〉=120°,∴二面角的大小为 60°,故选 C. 10.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 棱长为 1,点 P 在线段 BD1 上,当∠APC 最大时,三棱锥 P-ABC 的体积 为 ( ) A. 1 24 B. 1 18 C.1 9 D. 1 12 答案 B 解析 以 B 为坐标原点,BA 为 x 轴,BC 为 y 轴,BB1 为 z 轴建立空间直角坐标系,设BP → =λBD1 → ,可得 P(λ,λ,λ),再由 cos∠APC= AP → ·CP → |AP → ||CP → | 可求得当λ=1 3 时,∠APC 最大,故 VP-ABC=1 3 ×1 2 ×1×1×1 3 = 1 18 . 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线上) 11.已知 m、n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,给出下列命题: ①若α⊥β,m∥α,则 m⊥β;②若 m⊥α,n⊥β,且 m⊥n,则α⊥β;③若 m⊥β,m∥α,则α ⊥β;④若 m∥α,n∥β,且 m∥n,则α∥β. 其中真命题的序号是________. 答案 ②③ 解析 若α⊥β,m∥α,则 m 与β可能相交、平行或 m 在平面β内,故①错;m∥α,n∥β,m∥n, 则α与β可能平行,可能相交,故④错. 12.圆台上、下底面面积分别是π、4π,侧面积是 6π,这个圆台的体积是________. 答案 7 3 3 π 解析 上底半径 r=1,下底半径 R=2. ∵S 侧=6π,设母线长为 l,则π(1+2)·l=6π. ∴l=2,∴高 h= l2- R-r 2= 3. ∴V=1 3 π· 3(1+1×2+2×2)=7 3 3 π. 13.(2019·天津文)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为________m3. 答案 4 解析 由三视图可知,此几何体的上面是正四棱柱,其长,宽,高分别是 2,1,1,此几何体的下面是 长方体,其长,宽,高分别是 2,1,1,因此该几何体的体积 V=2×1×1+2×1×1=4(m3). 14.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 是上底面 A1B1C1D1 内一动点,则三棱锥 P-ABC 的主视图与 左视图的面积的比值为________. [来源:学,科,网 Z,X,X,K] 答案 1 解析 依题意得三棱锥 P-ABC 的主视图与左视图分别是一个三角形,且这两个三角形的底边长都等 于正方体的棱长,底边上的高也都相等,因此三棱锥 P-ABC 的主视图与左视图的面积之比等于 1. 15.直三棱柱 ABC-A1B1C1 的各顶点都在同一球面上.若 AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°,则此球的表 面积等于______. 答案 20π 解析 设球心为 O,球半径为 R,△ABC 的外心是 M,则 O 在底面 ABC 上的射影是点 M,在△ABC 中, AB=AC=2,∠BAC=120°,∠ABC=1 2 (180°-120°)=30°, AM= AC 2sin30° =2.因此,R2=22+(AA1 2 )2=5,此球的表面积等于 4πR2=20π. 16.如图是一几何体的平面展开图,其中 ABCD 为正方形,E、F、分别为 PA、PD 的中点,在此几何体 中,给出下面四个结论: ①直线 BE 与直线 CF 异面; ②直线 BE 与直线 AF 异面; ③直线 EF∥平面 PBC; ④平面 BCE⊥平面 PAD. 其中正确的有______个. 答案 2 解析 将几何体展开图拼成几何体(如图),因为 E、F 分别为 PA、PD 的中点,所以 EF∥AD∥BC,即直 线 BE 与 CF 共面,①错;因为 B∉ 平面 PAD ,E∈平面 PAD,E∉ AF,所以 BE 与 AF 是异面直线,②正确; 因为 EF∥AD∥BC,EF⊄ 平面 PBC,BC⊂平面 PBC,所以 EF∥平面 PBC,③正确;平面 PAD 与平面 BCE 不一 定垂直,④错. 三、解答 题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)下图为一简单组合体,其底面 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,EC∥PD,且 PD=AD=2EC=2. (1)请画出该几何体的三视图; (2)求四棱锥 B-CEPD 的体积. 解析 (1)该组合体的三视图如下图所示. (2)因为 PD⊥平面 ABCD,PD⊂平面 PDCE, 所以平面 PDCE⊥平面 ABCD. 因为四边形 ABCD 为正方形, 所以 BC⊥CD,且 BC=DC=AD=2. 又因为平面 PDCE∩平面 ABCD=CD,BC⊂平面 ABCD, 所以 BC⊥平面 PDCE. 因为 PD⊥平面 ABCD,DC⊂平面 ABCD, 所以 PD⊥DC. 又因为 EC∥PD,PD=2,EC=1, 所以四边形 PDCE 为一个直角梯形,其面积 S 梯形 PDCE=1 2 (PD+EC)×DC=1 2 ×3×2=3. 所以四棱锥 B-CEPD 的体积 VB-CEPD=1 3 S 梯形 PDCE×BC=1 3 ×3×2=2. 18.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠ADC=45°,AD= AC=1,O 为 AC 的中点,PO⊥平面 ABCD,PO=2,M 为 PD 的中点. (1)证明:PB∥平面 ACM; (2)证明:AD⊥平面 PAC; (3)求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值. 解析 (1)连接 BD,MO,在平行四边形 ABCD 中,因为 O 为 AC 的中点,所以 O 为 BD 的中点.又 M 为 PD 的中点,所以 PB∥MO.因为 PB⊄ 平面 ACM,MO⊂平面 ACM,所以 PB∥平面 ACM. (2)因为∠ADC=45°,且 AD=AC=1, 所以∠DAC=90°,即 AD⊥AC.又 PO⊥平面 ABCD, AD⊂平面 ABCD,所以 PO⊥AD.而 AC∩PO=O,所以 AD⊥平面 PAC. (3)取 DO 中点 N,连接 MN,AN.因为 M 为 PD 的中点,所以 MN∥PO,且 MN=1 2 PO=1.由 PO⊥平面 ABCD, 得 MN⊥平面 ABCD,所以∠MAN 是直线 AM 与平面 ABCD 所成的角.在 Rt△DAO 中,AD=1,AO=1 2 ,所以 DO = 5 2 .从而 AN=1 2 DO= 5 4 .在 Rt△ANM 中,tan∠MAN=MN AN = 1 5 4 =4 5 5 ,即直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切 值为4 5 5 . 19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,AB=4, PA=3,A 点在 PD 上的射影为 G 点,E 点在 AB 上,平面 PEC⊥平面 PCD. (1)求证:AG∥平面 PEC; (2)求 AE 的长; (3)求二面角 E-PC-A 的正弦值. 解析 (1)证明:∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥CD. 又∵CD⊥AD,PA∩AD=A, ∴CD⊥平面 PAD.∴CD⊥AG. 又 PD⊥AG,∴AG⊥平面 PCD. 作 EF⊥PC 于点 F,连接 GF, ∵平面 PEC⊥平面 PCD, ∴EF⊥平面 PCD.∴EF∥AG. 又 AG⊄ 平面 PEC,EF⊂平面 PEC, ∴AG∥平面 PEC. (2)解:由(1)知 A、E、F、G 四点共面, 又 AE∥CD,AE⊄ 平面 PCD,CD⊂平面 PCD, ∴AE∥平面 PCD. 又∵平面 AEFG∩平面 PCD=GF,∴AE∥GF. 又由(1)知 EF∥AG, ∴四边形 AEFG 为平行四边形,∴AE=GF. ∵PA=3,AD=4,∴PD=5,AG=12 5 . 又 PA2=PG·PD,∴PG=9 5 . 又GP CD =PG PD ,∴GF= 9 5 ×4 5 =36 25 ,∴AE=36 25 . (3)解:过 E 作 EO⊥AC 于点 O,连接 OF,易知 EO⊥平面 PAC,又 EF⊥PC,∴OF⊥PC. ∴∠EFO 即为二面角 E-PC-A 的平面角. EO=AE·sin45°=36 25 × 2 2 =18 2 25 ,又 EF=AG=12 5 , ∴sin∠EFO=EO EF =18 2 25 × 5 12 =3 2 10 . 20.(本小题满分 12 分)如图,在六面体 ABCDEFG 中,平面 ABC∥平面 DEFG,AD⊥平面 DEFG,ED⊥DG, EF∥DG.且 AB=AD=DE=DG=2,AC=EF=1. (1)求证:BF∥平面 ACGD; (2)求二面角 DCGF 的余弦值. 解析 方法一 (1)设 DG 的中点为 M,连接 AM,FM. 则由已知条件易证四边形 DEFM 是平行四边形. ∴MF∥DE,且 MF=DE.∵平面 ABC∥平面 DEFG, ∴AB∥DE.∵AB=DE, ∴MF∥AB,且 MF=AB,∴四边形 ABFM 是平行四边形. ∴BF∥AM. 又 BF⊄ 平面 ACGD,AM⊂平面 ACGD, 故 BF∥平面 ACGD. (2)由已知 AD⊥平面 DEFG,∴DE⊥AD.又 DE⊥DG, ∴DE⊥平面 ADGC.∵MF∥DE,∴MF⊥平面 ADGC. 在平面 ADGC 中,过 M 作 MN⊥GC,垂足为 N,连接 NF,则∠MNF 为所求二面角的平面角. 连接 CM.∵平面 ABC∥平面 DEFG,∴AC∥DM.又 AC=DM=1,所以四边形 ACMD 为平行四边形,∴CM∥ AD,且 CM=AD=2. ∵AD⊥平面 DEFG,∴CM⊥平面 DEFG,∴CM⊥DG. 在 Rt△CMG 中,∵CM=2,MG=1, ∴MN=CM·MG CG = 2 5 =2 5 5 . 在 Rt△FMN 中, ∵MF=2,MN=2 5 5 , ∴FN= 4+4 5 =2 30 5 . ∴cos∠MNF=MN FN = 2 5 5 2 30 5 = 6 6 . ∴二面角 DCGF 的余弦值为 6 6 . 方法二 由题意可得,AD,DE,DG 两两垂直,故可建立如图所示的空间直角坐标系. 则 A(0,0,2),B(2,0,2),C(0,1,2),E(2,0,0),G(0,2,0), F(2,1,0). (1)BF → =(2,1,0)-(2,0,2)=(0,1,-2),CG → =(0,2,0)-(0,1,2)=(0,1,-2),∴BF → =CG → ,∴BF∥ CG. 又 BF⊄ 平面 ACGD,故 BF∥平面 ACGD. (2)FG → =(0,2,0)-(2,1,0)=(-2,1,0). 设平面 BCGF 的法向量为 n1=(x,y,z), 则 n1·CG → =y-2z=0, n1·FG → =-2x+y=0. 令 y=2,则 n1=(1,2,1). 则平面 ADGC 的法向量 n2=(1,0,0). ∴cos〈n1,n2〉= n1·n2 |n1|·|n2| = 1×1 12+22+12× 12+02+02 = 6 6 . 由于所求的二面角为锐二面角,∴二面角 DCGF 的余弦值为 6 6 . 21.(本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC⊥BC,AB⊥BB1,AC=BC=BB1=2,D 为 AB 的中点,且 CD⊥DA1. (1)求证:BB1⊥面 ABC; (2)求多面体 DBC-A1B1C1 的体积; (3)求二面角 C-DA1-C1 的余弦值. 解析 (1)证明:∵AC=BC,D 为 AB 的中点, ∴CD⊥AB.又 CD⊥DA1,AB∩A1D=D, ∴CD⊥面 AA1B1B.∴CD⊥BB1. 又 BB1⊥AB,AB∩CD=D,∴BB1⊥面 ABC. (2)解:V 多面体 DBC-A1B1C1=V 棱柱 ABC-A1B1C1-V 棱锥 A1-ADC =S△ABC·|AA1|-1 3 S△ADC·|AA1|=S△ABC·|AA1|-1 3 ×1 2 S△ABC·|AA1|=5 6 S△ABC·|AA 1|=10 3 . (3) 解:以 C 为原点,分别以CB → ,CC1 → ,CA → 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正向,建立空间直角坐标系(如 图所示),则 C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,0,2),C1(0,2,0),A1(0,2,2). ∴D(1,0,1). 设 n1=(x1,y1,z1)是平面 DCA1 的一个法向量,则有 n1·CD → =0, n1·CA1 → =0, 即 x1+z1=0, 2y1+2z1=0. ∴ x1=-z1, y1=-z1. 故可取 n1=(1,1,-1). 同理设 n2=(x2,y2,z2)是平面 DC1A1 的一个法向量,且C1D → =(1,-2,1),C1A1 → =(0,0,2). 则有 n2·C1D → =0, n2·C1A1 → =0, 即 x2-2y2+z2=0, 2z2=0. ∴ x2=2y2, z2=0. 故可取 n2=(2,1,0). ∴cos〈n1,n2〉= n1·n2 |n1||n2| = 3 3× 5 = 15 5 . 又二面角 C-DA1-C1 的平面角为锐角,所以其余弦值为 15 5 . 22.(本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ACB=90°,2AC=AA=BC=2. (1)若 D 为 AA1 的中点,求证:平面 B1CD⊥平面 B1C1D; (2)若二面角 B1-DC-C1 的大小为 60°,求 AD 的长. 解析 (1)方法一 证明:∵∠A1C1B1=∠ACB=90°, ∴B1C1⊥A1C1. 又由直三棱柱的性质知 B1C1⊥CC1, ∴B1C1⊥平面 ACC1A1.∴B1C1⊥CD.① 由 D 为 AA1 的中点,可知 DC=DC1= 2. ∴DC2+DC2 1=CC2 1,即 CD⊥DC1.② 由①②可知 CD⊥平面 B1C1D. 又 CD⊂平面 B1CD,故平面 B1CD⊥平面 B1C1D. (2)解:由(1)可知 B1C1⊥平面 ACC1A1,在平面 ACC1A1 内过 C1 作 C1E⊥CD,交 CD 或其延长线于 E,连接 EB1, ∴∠B1EC1 为二面角 B1-DC-C1 的平面角. ∴∠B1EC1=60°. 由 B1C1=2 知,C1E= 2 tan60° =2 3 3 . 设 AD=x,则 DC= x2+1. ∵△DC1C 的面积为 1,∴1 2 · x2+1·2 3 3 =1. 解得 x= 2,即 AD= 2. 方法二 (1)证明:如图,以 C 为坐标原点,CA、CB、CC1 所在的直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 则 C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2),D(1,0,1),即C1B1 → =(0,2,0),DC1 → =(-1,0,1),CD → =(1,0,1). 由CD → ·C1B1 → =(1,0,1)·(0,2,0)=0,得 CD⊥C1B1. 由CD → ·DC1 → =(1,0,1)·(-1,0,1)=0,得 CD⊥DC1. 又 DC1∩C1B1=C1,∴CD⊥平面 B1C1D. 又 CD⊂平面 B1CD, ∴平面 B1CD⊥平面 B1C1D. (2)解:设 AD=a,则 D 点坐标为(1,0,a),CD → =(1,0,a),CB1 → =(0,2,2). 设平面 B1CD 的一个法向量为 m=(x,y,z). 则 m·CB1 → =0, m·CD → =0 ⇒ 2y+2z=0, x+ax=0, 令 z=-1. 得 m=(a,1,-1),又平面 C1DC 的一个法向量为 n=(0,1,0), 则由 cos60°= m·n |m||n| ,得 1 a2+2 =1 2 . 即 a= 2,故 AD= 2. 1.已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆),根据图中标出的数据,这个几何体的体积 是 ( ) A.288+36π B.60π C.288+72π D.288+18π 答案 A 解析 将几何体的三视图转化为直观图 此几何体下面为长方体上面为半圆柱,根据三视图所标数据,可得 V 长方体=6×8×6=288, V 半圆柱=1 2 ×32×π×8=36π. ∴此几何体的体积为 V=288+36π. 2.设 a、b 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列命题错误的是 ( ) A.若 a⊥α,b∥α,则 a⊥b B.若 a⊥α,b∥a,b⊂β,则α⊥β C.若 a⊥α,b⊥β,α∥β,则 a∥b D.若 a∥α,a∥β,则α∥β 答案 D 解析 由题意可得 A、B、C 选项显然正确,对于选项 D:当α,β相交,且 a 与α,β的交线平行时, 有 a∥α,α∥β,但此时α与β不平行.故选 D. 3.半径为 4 的球面上有 A,B,C,D 四点,且满足AB → ·AC → =0,AD → ·AC → =0,AB → ·AD → =0,则△ABC,△ ACD,△ADB 面积之和 S△ABC+S△ACD+S△ADB 的最大值为 ( ) A.8 B.16 C.32 D.64 答案 C 解析 设 AB=a,AC=b,AD=c, 则 S△ABC+S△ACD+S△ADB=1 2 (ab+ac+bc) ≤1 2 (a2+b2 2 +a2+c2 2 +b2+c2 2 ) =1 2 (a2+b2+c2) =1 2 ×4R2=1 2 ×4×42=32, 当且仅当 a=b=c 时取“=”. 4.设 a、b、c 表示三条不同的直线,α、β表示两个不同的平面,则下列命题中逆命题不成立的是 ( ) A.当 c⊥α时,若α∥β时,则 c⊥β B.当 b⊂β,c 是 a 在β内的射影时,若 b⊥c,则 a⊥b C.当 b⊂β时,若 b⊥α,则β⊥α D.当 b⊂α,c⊄ α时,若 c∥α,则 b∥c 答案 C 解析 A.其逆命题为当 c⊥α时,若 c⊥β,则α∥β,显然垂直于同一直线的两平面平行,逆命题 正确; B.其逆命题为当 b⊂β时,c 是 a 在β内的射影,若 a⊥b,则 b⊥c,此为三垂线定理内容,逆命题 正确; C.其逆命题为当 b⊂β时,若β⊥α,则 b⊥a,显然两平面垂直,其中一平面内任一直线不一定垂 直另一平面,逆命题错误; D.其逆命题为当 b⊂α,c⊄ α时,若 b∥c,则 c∥α,此为线面平行的判断定理,逆命题正确. 5.图 2 中的实线围成的部分是长方体(图 1)的平面展开图,其中四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形.若 向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展形图内的概率是1 4 ,则此长方体的体积是 ________. 答案 3[来源:1ZXXK] 解析 设长方体的高为 h,则图 2 中虚线围成的矩形长为 2+2h,宽为 1+2h,面积为(2+2h)(1+2h), 展开图的面积为 2+4h;由几何概型的概率公式知 2+4h 2+2h 1+2h =1 4 ,得 h=3,所以长方体的体积 是 V=1×3=3. 6.(2019·江苏)如图 ,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠ BCD=90°. (1)求证:PC⊥BC; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离. 解析 (1)证明 因为 PD⊥平面 ABCD,BC⊂平面 ABCD,所以 PD⊥BC. 由∠BCD=90°,得 BC⊥DC. 又 PD∩DC=D, 所以 BC⊥平面 PCD. 因为 PC⊂平面 PCD,故 PC⊥BC. (2)方法一 分别取 AB,PC 的中点 E,F,连接 DE,DF. 易证 DE∥BC,DF⊥PC,则 DE∥面 PBC. ∴点 D,E 到面 PBC 的距离相等. ∴点 A 到面 PBC 的距离为点 D 到面 PBC 的距离的 2 倍. 由(1)知 BC⊥面 PCD,∴面 PBC⊥面 PCD. 又 DF⊥PC,∴DF⊥面 PBC. ∵PD=DC=1,∴DF= 2 2 . ∴点 A 到面 PBC 的距离为 2. 方法二 连接 AC,设点 A 到面 PBC 的距离为 h. ∵AB∥DC,∠BCD=90°, ∴∠ABC=90°. 由 AB=2,BC=1, 得 S△ABC=1 2 AB×BC=1 2 ×2×1=1. ∵VP-ABC=1 3 S△ABC·PD=1 3 ×1×1=1 3 , 又 VP-ABC=VA-PBC, ∴1 3 S△PBC·h=1 3 ,即1 3 ×1 2 ×1× 2h=1 3 ,解得 h= 2. ∴点 A 到面 PBC 的距离为 2. 7.(2019·北京理)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,AB=2,∠BAD =60°. (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)若 PA=AB,求 PB 与 AC 所成角的余弦值; (3)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的长. 解析 (1)因为四边形 ABCD 是菱形, 所以 AC⊥BD. 又因为 PA⊥平面 ABCD, 所以 PA⊥BD,又 AC∩PA=A, 所以 BD⊥平面 PAC.[来源:1ZXXK] (2)设 AC∩BD=O. 因为∠BAD=60°,PA=AB=2, 所以 BO=1,AO=CO= 3. 如图,以 O 为坐标原点,建立空间直角坐标系 O-xyz,则 P(0,- 3,2),A(0,- 3,0),B(1,0,0,)C(0, 3,0),所以 PB → =(1, 3,-2),AC → =(0,2 3,0). 设 PB 与 AC 所成角为θ, 则 cosθ= PB → ·AC → |PB → ||AC → | = 6 2 2×2 3 = 6 4 . (3)由(2)知BC → =(-1, 3,0). 设 P(0,- 3,t)(t>0), 则BP → =(-1,- 3,t). 设平面 PBC 的一个法向量 m=(x,y,z), 则BC → ·m=0,BP → ·m=0, 所以 -x+ 3y=0, -x- 3y+tz=0. 令 y= 3,则 x=3,z=6 t . 所以 m=(3, 3,6 t ). 同理,平面 PDC 的一个法向量 n=(-3, 3,6 t ). 因为平面 PBC⊥平面 PDC, 所以 m·n=0,即-6+36 t2 =0. 解得 t= 6,所以 PA= 6. 8.(2019·浙江理)如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,PO⊥平面 ABC,垂足 O 落在 线段 AD 上.已知 BC=8,PO=4,AO=3,OD=2. (1)证明:AP⊥BC; (2)在线段 AP 上是否存在点 M,使得二面角 A-MC-B 为直二面角?若存在,求出 AM 的长;若不存在, 请说明理由. 解析 方法一 (1)如图,以 O 为原点,以射线 OD 为 y 轴的正半轴,以射线 OP 为 z 轴的正半轴,建 立空间直角坐标系 O-xyz. 则 O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4). AP → =(0,3,4),BC → =(-8,0,0),由此可得AP → ·BC → =0,所以AP → ⊥BC → ,即 AP⊥BC. (2)设PM → =λPA → ,λ≠1,则 PM → =λ(0,-3,-4). BM → =BP → +PM → =BP → +λPA → =(-4,-2,4)+λ(0,-3,-4)=(-4,-2-3λ,4-4λ), AC → =(-4,5,0),BC → =(-8,0,0). 设平面 BMC 的法向量 n1=(x1,y1,z1),平面 APC 的法向量 n2=(x2,y2,z2). 由 BM → ·n1=0, BC → ·n1=0, 得 -4x1- 2+3λ y1+ 4-4λ z1=0, -8x1=0. 即 x1=0, z1=2+3λ 4-4λ y1, 可取 n1=(0,1,2+3λ 4-4λ ). 由 AP → ·n2=0, AC → ·n2=0, 即 3y2+4z2=0, -4x2+5y2=0, 得 x2=5 4 y2, z2=-3 4 y2, 可取 n2=(5,4,-3). 由 n1·n2=0,得 4-3·2+3λ 4-4λ =0. 解得λ=2 5 ,故 AM=3. 综上所述,存在点 M 符合题意,AM=3. 方法二 (1)由 AB=AC,D 是 BC 的中点,得 AD⊥BC. 又 PO⊥平面 ABC,得 PO⊥BC. 因为 PO∩AD=O,所以 BC⊥平面 PAD,故 BC⊥PA. (2)如图,在平面 PAB 内作 BM⊥PA 于 M,连接 CM. 由(1)中知 AP⊥BC,得 AP⊥平面 BMC. 又 AP⊂平面 APC, 所以平面 BMC⊥平面 APC. 在 Rt△ADB 中,AB2=AD2+BD2=41,得 AB= 41. 在 Rt△POD 中,PD2=PO2+OD2. 在 Rt△PDB 中,PB2=PD2+BD2. 所以 PB2=PO2+OD2+DB2=36,得 PB=6. 在 Rt△POA 中,PA2=AO2+OP2=25,得 PA=5. 又 cos∠BPA=PA2+PB2-AB2 2PA·PB =1 3 , 从而 PM=PBcos∠BPA=2,所以 AM=PA-PM=3. 综上所述,存在点 M 符合题意,AM=3. 9.(2019·天津理)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,H 是正方形 AA1B1B 的中心,AA1=2 2,C1H⊥平面 AA1B1B,且 C1H= 5. (1)求异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值; (2)求二面角 A-A1C1-B1 的正弦值; (3)设 N 为棱 B1C1 的中点,点 M 在平面 AA1B1B 内,且 MN⊥平面 A1B1C1,求线段 BM 的长. 解析 方法一 如图所示,建立空间直角坐标系,点 B 为坐标原点,依题意得 A(2 2,0,0),B(0,0,0), C( 2,- 2, 5),A1(2 2,2 2,0),B1(0,2 2,0),C1( 2, 2, 5). (1)易得AC → =(- 2,- 2, 5),A1B1 → =(-2 2,0,0). 于是 cos〈AC → ,A1B1 → 〉= AC → ·A1B1 → |AC → |·|A1B1 → | = 4 3×2 2 = 2 3 . 所以异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值为 2 3 . (2)易知AA1 → =(0,2 2,0),A1C1 → =(- 2,- 2, 5). 设平面 AA1C1 的法向量 m=(x,y,z), 则 m·A1C1 → =0, m·AA1 → =0. 即 - 2x- 2y+ 5z=0, 2 2y=0. 不妨令 x= 5,可得 m=( 5,0, 2). 同样地,设平面 A1B1C1 的法向量 n=(x,y,z), 则 n·A1C1 → =0, n·A1B1 → =0. 即 - 2x- 2y+ 5z=0, -2 2x=0. 不妨令 y= 5,可得 n=(0, 5, 2). 于是 cos〈m,n〉= m·n |m|·|n| = 2 7· 7 =2 7 . 从而 sin〈m,n〉=3 5 7 . 所以二面角 A-A1C1-B1 的正弦值为3 5 7 . (3)由 N 为棱 B1C1 的中点,得 N( 2 2 ,3 2 2 , 5 2 ). 设 M(a,b,0),则MN → =( 2 2 -a,3 2 2 -b, 5 2 ). 由 MN⊥平面 A1B1C1,得 MN → ·A1B1 → =0, MN → ·A1C1 → =0. 即 2 2 -a· -2 2 =0, 2 2 -a· - 2 + 3 2 2 -b· - 2 + 5 2 · 5=0. 解得 a= 2 2 , b= 2 4 . 故 M( 2 2 , 2 4 ,0). 因此BM → =( 2 2 , 2 4 ,0),所以线段 BM 的长|BM → |= 10 4 . 方法二 (1)由于 AC∥A1C1,故∠C1A1B1 是异面直线 AC 与 A1B1 所成的角. 因为 C1H⊥平面 AA1B1B,又 H 为正方形 AA1B1B 的中心,AA1=2 2,C1H= 5,可得 A1C1=B1C1=3. 因为 cos∠C1A1B1=A1C2 1+A1B2 1-B1C2 1 2A1C1·A1B1 = 2 3 . 所以异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值为 2 3 . (2)连接 AC1,易知 AC1=B1C1. 又由于 AA1=B1A1,A1C1=A1C1, 所以△AC1A1≌△B1C1A1. 过点 A 作 AR⊥A1C1 于点 R,连接 B1R. 于是 B1R⊥A1C1. 故∠ARB1 为二面角 A-A1C1-B1 的平面角. 在 Rt△A1RB1 中,B1R=A1B1·sin∠RA1B1=2 2· 1- 2 3 2=2 14 3 . 连接 AB1,在△ARB1 中,AB1=4,AR=B1R. cos∠ARB1=AR2+B1R2-AB2 1 2AR·B1R =-2 7 . 从而 sin∠ARB1=3 5 7 . 所以二面角 A-A1C1-B1 的正弦值为3 5 7 . (3)因为 MN⊥平面 A1B1C1,所以 MN⊥A1B1. 取 HB1 中点 D,连接 ND. 由于 N 是棱 B1C1 中点, 所以 ND∥C1H 且 ND=1 2 C1H= 5 2 . 又 C1H⊥平面 AA1B1B, 所以 ND⊥平面 AA1B1B. 故 ND⊥A1B1. 又 MN∩ND=N,所以 A1B1⊥平面 MND. 连接 MD 并延长交 A1B1 于点 E, 则 ME⊥A1B1,故 ME∥AA1. 由DE AA1 =B1E B1A1 =B1D B1A =1 4 ,得 DE=B1E= 2 2 . 延长 EM 交 AB 于点 F,可得 BF=B1E= 2 2 . 连接 NE. 在 Rt△ENM 中,ND⊥ME,故 ND2=DE·DM.[来源:Zxxk.Com] 所以 DM=ND2 DE =5 2 4 .可得 FM= 2 4 . 连接 BM.在 Rt△BFM 中,BM= FM2+BF2= 10 4 . 10.(2019·东北三校联考)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 BC=1,BB1=2,AB⊥平面 BB1C1C. (1)求直线 C1B 与底面 ABC 所成角的正切值; (2)在棱 CC1(不包括端点 C、C1)上确定一点 E 的位置,使 EA⊥EB1(要求说明理由); (3)在(2)的条件下,若 AB= 2,求二面角 A-EB1-A1 的大小. 解析 方法一 (1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,C1C⊥平面 ABC, ∴C1B 在平面 ABC 上的射影为 CB. ∴∠C1BC 为直线 C1B 与底面 ABC 所成的角. ∵在 Rt△CC1B 中,CC1=2,BC=1, ∴tan∠C1BC=2,即直线 C1B 与底面 ABC 所成角的正切值为 2. (2)连接 BE,当 E 为 CC1 的中点时,EA⊥EB1. ∵CE=EC1=1,BC=B1C1=1, ∴∠BEC=∠B1EC1=45°. ∴∠BEB1=90°,即 B1E⊥BE. 又∵AB⊥平面 BB1C1C,EB1⊂平面 BB1C1C, ∴AB⊥EB1. 又 AB⊂平面 ABE,BE⊂平面 ABE,BE∩AB=B, ∴EB1⊥平面 ABE. 又 EA⊂平面 ABE,故 EA⊥EB1. (3)如图,取 EB1 的中点 G,A1E 的中点 F,连接 FG,则 FG∥A1B1,且 FG=1 2 A1B1. ∵A1B1⊥EB1,∴FG⊥EB1. 连接 A1B,AB1,设 A1B∩AB1=O, 连接 OF,OG,则 OG∥AE,且 OG=1 2 EA. ∵EA⊥EB1,∴OG⊥EB1. ∴∠OGF 为二面角 A-EB1-A1 的平面角. ∵AE= AC2+CE2=2,OG=1 2 AE=1,FG=1 2 A1B1= 2 2 ,OF=1 2 BE= 2 2 ,∴∠OGF=45°. ∴二面角 A-EB1-A1 的大小为 45°. 方法二 以 B 为坐标原点,B C、BB1、AB 所在的直线分别为 x、y、z 轴建立如图所示的空间直角坐标 系,则 B(0,0,0),C1(1,2,0),B1(0,2,0). (1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,平面 ABC 的一个法向量为BB1 → =(0,2,0),又BC1 → =(1,2,0), 设 BC1 与平面 ABC 所成的角为θ, 则 sinθ=|cos〈BB1 → ,BC1 → 〉|=2 5 5 . ∴tanθ=2,即直线 C1B 与底面 ABC 所成角的正切值为 2. (2)设 E(1,y,0),A(0,0,z),则EB1 → =(-1,2-y,0), EA → =(-1,-y,z). ∵EA⊥EB1,∴EA → ·EB1 → =1-y(2-y)=0. ∴y=1,即 E(1,1,0). ∴E 为 CC1 的中点. (3)由题知 A(0,0, 2),则 AE → =(1,1,- 2),B1E → =(1,-1,0). 设平面 AEB1 的一个法向量为 n=(x1,y1,z1), 则 n·AE → =0, n·B1E → =0. ∴ x1+y1- 2z1=0, x1-y1=0. 令 x1=1,则 n=(1,1, 2). ∵BE → =(1,1,0),∴BE → ·B1E → =1-1=0. ∴BE⊥B1E. 又 BE⊥A1B1,∴BE⊥平面 A1B1E. ∴平面 A1B1E 的一个法向量为BE → =(1,1,0). ∴cos〈n,BE → 〉= n·BE → |n|·|BE → | = 2 2 . ∴二面角 A-EB1-A1 的大小为 45°. 11.如图,AC 是圆 O 的直径,点 B 在圆 O 上,∠BAC=30°,BM⊥AC 交 AC 于点 M,EA⊥平面 ABC,FC ∥EA,AC=4,EA=3,FC=1. (1)证明:EM⊥BF; (2)求平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值. 解析 方法一 (1)证明:∵EA⊥平面 ABC,BM⊂平面 ABC,∴EA⊥BM. 又∵BM⊥AC,EA∩AC=A, ∴BM⊥平面 ACFE. 而 EM⊂平面 ACFE. ∴BM⊥EM. ∵AC 是圆 O 的直径,∴∠ABC=90°. 又∵∠BAC=30°,AC=4, ∴AB=2 3,BC=2,AM=3,CM=1. ∵EA⊥平面 ABC,FC∥EA,∴FC⊥平面 ABC. 又FC=CM=1,AM=EA=3, ∴△EAM 与△FCM 都是等腰直角三角形. ∴∠EMA=∠FMC=45°. ∴∠EMF=90°,即 EM⊥MF. ∵MF∩BM=M,∴EM⊥平面 MBF. 而 BF⊂平面 MBF,∴EM⊥BF. (2)解:延长 EF 交 AC 的延长线于 G,连接 BG,过点 C 作 CH⊥BG,连接 FH. 由(1)知 FC⊥平面 ABC,BG⊂平面 ABC, ∴FC⊥BG. 而 FC∩CH=C,∴BG⊥平面 FCH. ∵FH⊂平面 FCH,∴FH⊥BG. ∴∠FHC 为平面 BEF 与平面 ABC 所成的二面角的平面角. 在 Rt△ABC 中,∵∠BAC=30°,AC=4, ∴BM=AB·sin30°= 3. 由FC EA =GC GA =1 3 ,得 GC=2. ∵BG= BM2+MG2= 3 2+32=2 3, 又∵△GCH∽△GBM, ∴GC BG =CH BM ,∴CM=GC·BM BG =2× 3 2 3 =1. ∴△FCH 是等腰直角三角形,∠FHC=45°. ∴平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为 2 2 . 方法二 (1)证明:因为 AC 是圆 O 的直径,所以∠ABC=90°,又∠BAC=30°,AC=4,所以 AB=2 3, 而 BM⊥AC,易得 AM=3,BM= 3. 如图,以 A 为坐标原点,垂直于 AC 的直线,AC、AE 所在的直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 由已知条件得 A(0,0,0),M(0,3,0),E(0,0,3),B( 3,3,0),F(0,4,1). ∴ME → =(0,-3,3),BF → =(- 3,1,1). 由ME → ·BF → =(0,-3,3)·(- 3,1,1)=0, 得ME → ⊥BF → ,∴EM⊥BF. (2)解:由(1)知BE → =(- 3,-3,3),BF → =(- 3,1,1). 设平面 BEF 的法向量为 n=(x,y,z), 由 n·BE → =0,n·BF → =0, 得 - 3x-3y+3z=0, - 3x+y+z=0. 令 x= 3得 y=1,z=2,∴n=( 3,1,2). 由已知 EA⊥平面 ABC,所以平面 ABC 的一个法向量为AE → =(0,0,3). 设平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角为θ, 则 cosθ=|cos〈n,AE → 〉|=| 3×0+1×0+2×3| 3×2 2 = 2 2 . [来源:1ZXXK]