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- 2021-05-13 发布
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2016年江苏数学高考试卷
一、填空题(共14小题.每小题5分.满分70分)
1.(5分)已知集合A={﹣1.2.3.6}.B={x|﹣2<x<3}.则A∩B=______.
2.(5分)复数z=(1+2i)(3﹣i).其中i为虚数单位.则z的实部是______.
3.(5分)在平面直角坐标系xOy中.双曲线﹣=1的焦距是______.
4.(5分)已知一组数据4.7.4.8.5.1.5.4.5.5.则该组数据的方差是______.
5.(5分)函数y=的定义域是______.
6.(5分)如图是一个算法的流程图.则输出的a的值是______.
7.(5分)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1.2.3.4.5.6个点的正方体玩具)先后抛掷2次.则出现向上的点数之和小于10的概率是______.
8.(5分)已知{an}是等差数列.Sn是其前n项和.若a1+a22=﹣3.S5=10.则a9的值是______.
9.(5分)定义在区间[0.3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是______.
10.(5分)如图.在平面直角坐标系xOy中.F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点.直线y=与椭圆交于B.C两点.且∠BFC=90°.则该椭圆的离心率是______.
11.(5分)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数.在区间[﹣1.1)上.f(x)=.其中a∈R.若f(﹣)=f().则f(5a)的值是______.
12.(5分)已知实数x.y满足.则x2+y2的取值范围是______.
13.(5分)如图.在△ABC中.D是BC的中点.E.F是AD上的两个三等分点.•=4.•=﹣1.则•的值是______.
14.(5分)在锐角三角形ABC中.若sinA=2sinBsinC.则tanAtanBtanC的最小值是______.
二、解答题(共6小题.满分90分)
15.(14分)在△ABC中.AC=6.cosB=.C=.
(1)求AB的长;
(2)求cos(A﹣)的值.
16.(14分)如图.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中.D.E分别为AB.BC的中点.点F在侧棱B1B上.且B1D⊥A1F.A1C1⊥A1B1.求证:
(1)直线DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
17.(14分)现需要设计一个仓库.它由上下两部分组成.上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1.下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1(如图所示).并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.
(1)若AB=6m.PO1=2m.则仓库的容积是多少?
(2)若正四棱锥的侧棱长为6m.则当PO1为多少时.仓库的容积最大?
18.(16分)如图.在平面直角坐标系xOy中.已知以M为圆心的圆M:x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A(2.4).
(1)设圆N与x轴相切.与圆M外切.且圆心N在直线x=6上.求圆N的标准方程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点.且BC=OA.求直线l的方程;
(3)设点T(t.0)满足:存在圆M上的两点P和Q.使得+=.求实数t的取值范围.
19.(16分)已知函数f(x)=ax+bx(a>0.b>0.a≠1.b≠1).
(1)设a=2.b=.
①求方程f(x)=2的根;
②若对于任意x∈R.不等式f(2x)≥mf(x)﹣6恒成立.求实数m的最大值;
(2)若0<a<1.b>1.函数g(x)=f(x)﹣2有且只有1个零点.求ab的值.
20.(16分)记U={1.2.….100}.对数列{an}(n∈N*)和U的子集T.若T=∅.定义ST=0;若T={t1.t2.….tk}.定义ST=++…+.例如:T={1.3.66}时.ST=a1+a3+a66.现设{an}(n∈N*)是公比为3的等比数列.且当T={2.4}时.ST=30.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)对任意正整数k(1≤k≤100).若T⊆{1.2.….k}.求证:ST<ak+1;
(3)设C⊆U.D⊆U.SC≥SD.求证:SC+SC∩D≥2SD.
附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题.请选定其中两小题.并在相应的答题区域内作答.若多做.则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.【选修4—1几何证明选讲】
21.(10分)如图.在△ABC中.∠ABC=90°.BD⊥AC.D为垂足.E为BC的中点.求证:∠EDC=∠ABD.
B.【选修4—2:矩阵与变换】
22.(10分)已知矩阵A=.矩阵B的逆矩阵B﹣1=.求矩阵AB.
C.【选修4—4:坐标系与参数方程】
23.在平面直角坐标系xOy中.已知直线l的参数方程为(t为参数).椭圆C的参数方程为(θ为参数).设直线l与椭圆C相交于A.B两点.求线段AB的长.
24.设a>0.|x﹣1|<.|y﹣2|<.求证:|2x+y﹣4|<a.
附加题【必做题】
25.(10分)如图.在平面直角坐标系xOy中.已知直线l:x﹣y﹣2=0.抛物线C:y2=2px(p>0).
(1)若直线l过抛物线C的焦点.求抛物线C的方程;
(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证:线段PQ的中点坐标为(2﹣p.﹣p);
②求p的取值范围.
26.(10分)(1)求7C﹣4C的值;
(2)设m.n∈N*.n≥m.求证:(m+1)C+(m+2)C+(m+3)C+…+nC+(n+1)C=(m+1)C.
2016年江苏数学参考答案与试题解析
一、填空题(共14小题.每小题5分.满分70分)
1.(5分)已知集合A={﹣1.2.3.6}.B={x|﹣2<x<3}.则A∩B= {﹣1.2} .
【分析】根据已知中集合A={﹣1.2.3.6}.B={x|﹣2<x<3}.结合集合交集的定义可得答案.
【解答】解:∵集合A={﹣1.2.3.6}.B={x|﹣2<x<3}.
∴A∩B={﹣1.2}.
故答案为:{﹣1.2}
【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算.难度不大.属于基础题.
2.(5分)复数z=(1+2i)(3﹣i).其中i为虚数单位.则z的实部是 5 .
【分析】利用复数的运算法则即可得出.
【解答】解:z=(1+2i)(3﹣i)=5+5i.
则z的实部是5.
故答案为:5.
【点评】本题考查了复数的运算性质.考查了推理能力与计算能力.属于基础题.
3.(5分)在平面直角坐标系xOy中.双曲线﹣=1的焦距是 2 .
【分析】确定双曲线的几何量.即可求出双曲线﹣=1的焦距.
【解答】解:双曲线﹣=1中.a=.b=.
∴c==.
∴双曲线﹣=1的焦距是2.
故答案为:2.
【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质.考查学生的计算能力.比较基础.
4.(5分)已知一组数据4.7.4.8.5.1.5.4.5.5.则该组数据的方差是 0.1 .
【分析】先求出数据4.7.4.8.5.1.5.4.5.5的平均数.由此能求出该组数据的方差.
【解答】解:∵数据4.7.4.8.5.1.5.4.5.5的平均数为:
=(4.7+4.8+5.1+5.4+5.5)=5.1.
∴该组数据的方差:
S2=[(4.7﹣5.1)2+(4.8﹣5.1)2+(5.1﹣5.1)2+(5.4﹣5.1)2+(5.5﹣5.1)2]=0.1.
故答案为:0.1.
【点评】本题考查方差的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意方差计算公式的合理运用.
5.(5分)函数y=的定义域是 [﹣3.1] .
【分析】根据被开方数不小于0.构造不等式.解得答案.
【解答】解:由3﹣2x﹣x2≥0得:x2+2x﹣3≤0.
解得:x∈[﹣3.1].
故答案为:[﹣3.1]
【点评】本题考查的知识点是函数的定义域.二次不等式的解法.难度不大.属于基础题.
6.(5分)如图是一个算法的流程图.则输出的a的值是 9 .
【分析】根据已知的程序框图可得.该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值.模拟程序的运行过程.可得答案.
【解答】解:当a=1.b=9时.不满足a>b.故a=5.b=7.
当a=5.b=7时.不满足a>b.故a=9.b=5
当a=9.b=5时.满足a>b.
故输出的a值为9.
故答案为:9
【点评】本题考查的知识点是程序框图.当循环次数不多.或有规律可循时.可采用模拟程序法进行解答.
7.(5分)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1.2.3.4.5.6个点的正方体玩具)先后抛掷2次.则出现向上的点数之和小于10的概率是 .
【分析】出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10.由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于10的概率.
【解答】解:将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1.2.3.4.5.6个点的正方体玩具)先后抛掷2次.
基本事件总数为n=6×6=36.
出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10.
出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有:
(4.6).(6.4).(5.5).(5.6).(6.5).(6.6).共6个.
∴出现向上的点数之和小于10的概率:
p=1﹣=.
故答案为:.
【点评】本题考查概率的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意对立事件概率计算公式的合理运用.
8.(5分)已知{an}是等差数列.Sn是其前n项和.若a1+a22=﹣3.S5=10.则a9的值是 20 .
【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组.求出首项和公差.由此能求出a9的值.
【解答】解:∵{an}是等差数列.Sn是其前n项和.a1+a22=﹣3.S5=10.
∴.
解得a1=﹣4.d=3.
∴a9=﹣4+8×3=20.
故答案为:20.
【点评】本题考查等差数列的第9项的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意等差数列的性质的合理运用.
9.(5分)定义在区间[0.3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是 7 .
【分析】画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0.3π]上的图象即可得到答案.
【解答】解:画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0.3π]上的图象如下:
由图可知.共7个交点.
故答案为:7.
【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象.作出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0.3π]上的图象是关键.属于中档题.
10.(5分)如图.在平面直角坐标系xOy中.F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点.直线y=与椭圆交于B.C两点.且∠BFC=90°.则该椭圆的离心率是 .
【分析】设右焦点F(c.0).将y=代入椭圆方程求得B.C的坐标.运用两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1.结合离心率公式.计算即可得到所求值.
【解答】解:设右焦点F(c.0).
将y=代入椭圆方程可得x=±a=±a.
可得B(﹣a.).C(a.).
由∠BFC=90°.可得kBF•kCF=﹣1.
即有•=﹣1.
化简为b2=3a2﹣4c2.
由b2=a2﹣c2.即有3c2=2a2.
由e=.可得e2==.
可得e=.
故答案为:.
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法.注意运用两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1.考查化简整理的运算能力.属于中档题.
11.(5分)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数.在区间[﹣1.1)上.f(x)=.其中a∈R.若f(﹣)=f().则f(5a)的值是 ﹣ .
【分析】根据已知中函数的周期性.结合f(﹣)=f().可得a值.进而得到f(5a)的值.
【解答】解:f(x)是定义在R上且周期为2的函数.在区间[﹣1.1)上.f(x)=.
∴f(﹣)=f(﹣)=﹣+a.
f()=f()=|﹣|=.
∴a=.
∴f(5a)=f(3)=f(﹣1)=﹣1+=﹣.
故答案为:﹣
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用.函数的周期性.根据已知求出a值.是解答的关键.
12.(5分)已知实数x.y满足.则x2+y2的取值范围是 [.13] .
【分析】作出不等式组对应的平面区域.利用目标函数的几何意义.结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域.
设z=x2+y2.则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方.
由图象知A到原点的距离最大.
点O到直线BC:2x+y﹣2=0的距离最小.
由得.即A(2.3).此时z=22+32=4+9=13.
点O到直线BC:2x+y﹣2=0的距离d==.
则z=d2=()2=.
故z的取值范围是[.13].
故答案为:[.13].
【点评】本题主要考查线性规划的应用.涉及距离的计算.利用数形结合是解决本题的关键.
13.(5分)如图.在△ABC中.D是BC的中点.E.F是AD上的两个三等分点.•=4.•=﹣1.则•的值是 .
【分析】由已知可得=+.=﹣+.=+3.=﹣+3.=+2.=﹣+2.结合已知求出2=.2=.可得答案.
【解答】解:∵D是BC的中点.E.F是AD上的两个三等分点.
∴=+.=﹣+.
=+3.=﹣+3.
∴•=2﹣2=﹣1.
•=92﹣2=4.
∴2=.2=.
又∵=+2.=﹣+2.
∴•=42﹣2=.
故答案为:
【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算.平面向量的线性运算.难度中档.
14.(5分)在锐角三角形ABC中.若sinA=2sinBsinC.则tanAtanBtanC的最小值是 8 .
【分析】结合三角形关系和式子sinA=2sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC.进而得到tanB+tanC=2tanBtanC.结合函数特性可求得最小值.
【解答】解:由sinA=sin(π﹣A)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC.sinA=2sinBsinC.
可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC.①
由三角形ABC为锐角三角形.则cosB>0.cosC>0.
在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC.
又tanA=﹣tan(π﹣A)=﹣tan(B+C)=﹣ ②.
则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC.
由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣.
令tanBtanC=t.由A.B.C为锐角可得tanA>0.tanB>0.tanC>0.
由②式得1﹣tanBtanC<0.解得t>1.
tanAtanBtanC=﹣=﹣.
=()2﹣.由t>1得.﹣≤<0.
因此tanAtanBtanC的最小值为8.
当且仅当t=2时取到等号.此时tanB+tanC=4.tanBtanC=2.
解得tanB=2+.tanC=2﹣.tanA=4.(或tanB.tanC互换).此时A.B.C均为锐角.
【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识.有一定灵活性.
二、解答题(共6小题.满分90分)
15.(14分)在△ABC中.AC=6.cosB=.C=.
(1)求AB的长;
(2)求cos(A﹣)的值.
【分析】(1)利用正弦定理.即可求AB的长;
(2)求出cosA、sinA.利用两角差的余弦公式求cos(A﹣)的值.
【解答】解:(1)∵△ABC中.cosB=.
∴sinB=.
∵.
∴AB==5;
(2)cosA=﹣cos(C+B)=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣.
∵A为三角形的内角.
∴sinA=.
∴cos(A﹣)=cosA+sinA=.
【点评】本题考查正弦定理.考查两角和差的余弦公式.考查学生的计算能力.属于基础题.
16.(14分)如图.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中.D.E分别为AB.BC的中点.点F在侧棱B1B上.且B1D⊥A1F.A1C1⊥A1B1.求证:
(1)直线DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
【分析】(1)通过证明DE∥AC.进而DE∥A1C1.据此可得直线DE∥平面A1C1F1;
(2)通过证明A1F⊥DE结合题目已知条件A1F⊥B1D.进而可得平面B1DE⊥平面A1C1F.
【解答】解:(1)∵D.E分别为AB.BC的中点.
∴DE为△ABC的中位线.
∴DE∥AC.
∵ABC﹣A1B1C1为棱柱.
∴AC∥A1C1.
∴DE∥A1C1.
∵A1C1⊂平面A1C1F.且DE⊄平面A1C1F.
∴DE∥A1C1F;
(2)∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱.
∴AA1⊥平面A1B1C1.
∴AA1⊥A1C1.
又∵A1C1⊥A1B1.且AA1∩A1B1=A1.AA1、A1B1⊂平面AA1B1B.
∴A1C1⊥平面AA1B1B.
∵DE∥A1C1.
∴DE⊥平面AA1B1B.
又∵A1F⊂平面AA1B1B.
∴DE⊥A1F.
又∵A1F⊥B1D.DE∩B1D=D.且DE、B1D⊂平面B1DE.
∴A1F⊥平面B1DE.
又∵A1F⊂平面A1C1F.
∴平面B1DE⊥平面A1C1F.
【点评】本题考查直线与平面平行的证明.以及平面与平面相互垂直的证明.把握常用方法最关键.难度不大.
17.(14分)现需要设计一个仓库.它由上下两部分组成.上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1.下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1(如图所示).并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.
(1)若AB=6m.PO1=2m.则仓库的容积是多少?
(2)若正四棱锥的侧棱长为6m.则当PO1为多少时.仓库的容积最大?
【分析】(1)由正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.可得PO1=2m时.O1O=8m.进而可得仓库的容积;
(2)设PO1=xm.则O1O=4xm.A1O1=m.A1B1=•m.代入体积公式.求出容积的表达式.利用导数法.可得最大值.
【解答】解:(1)∵PO1=2m.正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.
∴O1O=8m.
∴仓库的容积V=×62×2+62×8=312m3.
(2)若正四棱锥的侧棱长为6m.
设PO1=xm.
则O1O=4xm.A1O1=m.A1B1=•m.
则仓库的容积V=×(•)2•x+(•)2•4x=x3+312x.(0<x<6).
∴V′=﹣26x2+312.(0<x<6).
当0<x<2时.V′>0.V(x)单调递增;
当2<x<6时.V′<0.V(x)单调递减;
故当x=2时.V(x)取最大值;
即当PO1=2m时.仓库的容积最大.
【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积.导数法求函数的最大值.难度中档.
18.(16分)如图.在平面直角坐标系xOy中.已知以M为圆心的圆M:x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A(2.4).
(1)设圆N与x轴相切.与圆M外切.且圆心N在直线x=6上.求圆N的标准方程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点.且BC=OA.求直线l的方程;
(3)设点T(t.0)满足:存在圆M上的两点P和Q.使得+=.求实数t的取值范围.
【分析】(1)设N(6.n).则圆N为:(x﹣6)2+(y﹣n)2=n2.n>0.从而得到|7﹣n|=|n|+5.由此能求出圆N的标准方程.
(2)由题意得OA=2.kOA=2.设l:y=2x+b.则圆心M到直线l的距离:d=.由此能求出直线l的方程.
(3)=.即||=.又||≤10.得t∈[2﹣2.2+2].对于任意t∈[2﹣2.2+2].欲使.只需要作直线TA的平行线.使圆心到直线的距离为.由此能求出实数t的取值范围.
【解答】解:(1)∵N在直线x=6上.∴设N(6.n).
∵圆N与x轴相切.∴圆N为:(x﹣6)2+(y﹣n)2=n2.n>0.
又圆N与圆M外切.圆M:x2+y2﹣12x﹣14y+60=0.即圆M:((x﹣6)2+(x﹣7)2=25.
∴|7﹣n|=|n|+5.解得n=1.
∴圆N的标准方程为(x﹣6)2+(y﹣1)2=1.
(2)由题意得OA=2.kOA=2.设l:y=2x+b.
则圆心M到直线l的距离:d==.
则|BC|=2=2.BC=2.即2=2.
解得b=5或b=﹣15.
∴直线l的方程为:y=2x+5或y=2x﹣15.
(3)=.即.即||=||.
||=.
又||≤10.即≤10.解得t∈[2﹣2.2+2].
对于任意t∈[2﹣2.2+2].欲使.
此时.||≤10.
只需要作直线TA的平行线.使圆心到直线的距离为.
必然与圆交于P、Q两点.此时||=||.即.
因此实数t的取值范围为t∈[2﹣2.2+2]..
【点评】本题考查圆的标准方程的求法.考查直线方程的求法.考查实数的取值范围的求法.是中档题.解题时要认真审题.注意圆的性质的合理运用.
19.(16分)已知函数f(x)=ax+bx(a>0.b>0.a≠1.b≠1).
(1)设a=2.b=.
①求方程f(x)=2的根;
②若对于任意x∈R.不等式f(2x)≥mf(x)﹣6恒成立.求实数m的最大值;
(2)若0<a<1.b>1.函数g(x)=f(x)﹣2有且只有1个零点.求ab的值.
【分析】(1)①利用方程.直接求解即可.②列出不等式.利用二次函数的性质以及函数的最值.转化求解即可.
(2)求出g(x)=f(x)﹣2=ax+bx﹣2.求出函数的导数.构造函数h(x)=+.求出g(x)的最小值为:g(x0).同理①若g(x0)<0.g(x)至少有两个零点.与条件矛盾.②若g(x0)>0.利用函数g(x)=f(x)﹣2有且只有1个零点.推出g(x0)=0.然后求解ab=1.
【解答】解:函数f(x)=ax+bx(a>0.b>0.a≠1.b≠1).
(1)设a=2.b=.
①方程f(x)=2;即:=2.可得x=0.
②不等式f(2x)≥mf(x)﹣6恒成立.即≥m()﹣6恒成立.
令t=.t≥2.
不等式化为:t2﹣mt+4≥0在t≥2时.恒成立.可得:△≤0或
即:m2﹣16≤0或m≤4.
∴m∈(﹣∞.4].
实数m的最大值为:4.
(2)g(x)=f(x)﹣2=ax+bx﹣2.
g′(x)=axlna+bxlnb=ax[+]lnb.
0<a<1.b>1可得.
令h(x)=+.则h(x)是递增函数.而.lna<0.lnb>0.
因此.x0=时.h(x0)=0.
因此x∈(﹣∞.x0)时.h(x)<0.axlnb>0.则g′(x)<0.
x∈(x0.+∞)时.h(x)>0.axlnb>0.则g′(x)>0.
则g(x)在(﹣∞.x0)递减.(x0.+∞)递增.因此g(x)的最小值为:g(x0).
①若g(x0)<0.x<loga2时.ax>=2.bx>0.则g(x)>0.
因此x1<loga2.且x1<x0时.g(x1)>0.因此g(x)在(x1.x0)有零点.
则g(x)至少有两个零点.与条件矛盾.
②若g(x0)>0.函数g(x)=f(x)﹣2有且只有1个零点.g(x)的最小值为g(x0).可得g(x0)=0.
由g(0)=a0+b0﹣2=0.
因此x0=0.因此=0.﹣=1.即lna+lnb=0.ln(ab)=0.则ab=1.
可得ab=1.
【点评】本题考查函数与方程的综合应用.函数的导数的应用.基本不等式的应用.函数恒成立的应用.考查分析问题解决问题的能力.
20.(16分)记U={1.2.….100}.对数列{an}(n∈N*)和U的子集T.若T=∅.定义ST=0;若T={t1.t2.….tk}.定义ST=++…+.例如:T={1.3.66}时.ST=a1+a3+a66.现设{an}(n∈N*)是公比为3的等比数列.且当T={2.4}时.ST=30.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)对任意正整数k(1≤k≤100).若T⊆{1.2.….k}.求证:ST<ak+1;
(3)设C⊆U.D⊆U.SC≥SD.求证:SC+SC∩D≥2SD.
【分析】(1)根据题意.由ST的定义.分析可得ST=a2+a4=a2+9a2=30.计算可得a2=3.进而可得a1的值.由等比数列通项公式即可得答案;
(2)根据题意.由ST的定义.分析可得ST≤a1+a2+…ak=1+3+32+…+3k﹣1.由等比数列的前n项和公式计算可得证明;
(3)设A=∁C(C∩D).B=∁D(C∩D).则A∩B=∅.进而分析可以将原命题转化为证明SC≥2SB.分2种情况进行讨论:①、若B=∅.②、若B≠∅.可以证明得到SA≥2SB.即可得证明.
【解答】解:(1)当T={2.4}时.ST=a2+a4=a2+9a2=30.
因此a2=3.从而a1==1.
故an=3n﹣1.
(2)ST≤a1+a2+…ak=1+3+32+…+3k﹣1=<3k=ak+1.
(3)设A=∁C(C∩D).B=∁D(C∩D).则A∩B=∅.
分析可得SC=SA+SC∩D.SD=SB+SC∩D.则SC+SC∩D﹣2SD=SA﹣2SB.
因此原命题的等价于证明SC≥2SB.
由条件SC≥SD.可得SA≥SB.
①、若B=∅.则SB=0.故SA≥2SB.
②、若B≠∅.由SA≥SB可得A≠∅.设A中最大元素为l.B中最大元素为m.
若m≥l+1.则其与SA<ai+1≤am≤SB相矛盾.
因为A∩B=∅.所以l≠m.则l≥m+1.
SB≤a1+a2+…am=1+3+32+…+3m﹣1=≤=.即SA≥2SB.
综上所述.SA≥2SB.
故SC+SC∩D≥2SD.
【点评】本题考查数列的应用.涉及新定义的内容.解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述.
附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题.请选定其中两小题.并在相应的答题区域内作答.若多做.则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.【选修4—1几何证明选讲】
21.(10分)如图.在△ABC中.∠ABC=90°.BD⊥AC.D为垂足.E为BC的中点.求证:∠EDC=∠ABD.
【分析】依题意.知∠BDC=90°.∠EDC=∠C.利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°.可得∠ABD=∠C.从而可证得结论.
【解答】解:由BD⊥AC可得∠BDC=90°.
因为E为BC的中点.所以DE=CE=BC.
则:∠EDC=∠C.
由∠BDC=90°.可得∠C+∠DBC=90°.
由∠ABC=90°.可得∠ABD+∠DBC=90°.
因此∠ABD=∠C.而∠EDC=∠C.
所以.∠EDC=∠ABD.
【点评】本题考查三角形的性质应用.利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°.证得∠ABD=∠C是关键.属于中档题.
B.【选修4—2:矩阵与变换】
22.(10分)已知矩阵A=.矩阵B的逆矩阵B﹣1=.求矩阵AB.
【分析】依题意.利用矩阵变换求得B=(B﹣1)﹣1==.再利用矩阵乘法的性质可求得答案.
【解答】解:∵B﹣1=.
∴B=(B﹣1)﹣1==.又A=.
∴AB==.
【点评】本题考查逆变换与逆矩阵.考查矩阵乘法的性质.属于中档题.
C.【选修4—4:坐标系与参数方程】
23.在平面直角坐标系xOy中.已知直线l的参数方程为(t为参数).椭圆C的参数方程为(θ为参数).设直线l与椭圆C相交于A.B两点.求线段AB的长.
【分析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程.然后联立方程组.求出直线与椭圆的交点坐标.代入两点间的距离公式求得答案.
【解答】解:由.由②得.
代入①并整理得..
由.得.
两式平方相加得.
联立.解得或.
∴|AB|=.
【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程.考查了参数方程化普通方程.考查直线与椭圆位置关系的应用.是基础题.
24.设a>0.|x﹣1|<.|y﹣2|<.求证:|2x+y﹣4|<a.
【分析】运用绝对值不等式的性质:|a+b|≤|a|+|b|.结合不等式的基本性质.即可得证.
【解答】证明:由a>0.|x﹣1|<.|y﹣2|<.
可得|2x+y﹣4|=|2(x﹣1)+(y﹣2)|
≤2|x﹣1|+|y﹣2|<+=a.
则|2x+y﹣4|<a成立.
【点评】本题考查绝对值不等式的证明.注意运用绝对值不等式的性质.以及不等式的简单性质.考查运算能力.属于基础题.
附加题【必做题】
25.(10分)如图.在平面直角坐标系xOy中.已知直线l:x﹣y﹣2=0.抛物线C:y2=2px(p>0).
(1)若直线l过抛物线C的焦点.求抛物线C的方程;
(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证:线段PQ的中点坐标为(2﹣p.﹣p);
②求p的取值范围.
【分析】(1)求出抛物线的焦点坐标.然后求解抛物线方程.
(2):①设点P(x1.y1).Q(x2.y2).通过抛物线方程.求解kPQ.通过P.Q关于直线l对称.点的kPQ=﹣1.推出.PQ的中点在直线l上.推出=2﹣p.即可证明线段PQ的中点坐标为(2﹣p.﹣p);
②利用线段PQ中点坐标(2﹣p.﹣p).推出.得到关于y2+2py+4p2﹣4p=0.有两个不相等的实数根.列出不等式即可求出p的范围.
【解答】解:(1)∵l:x﹣y﹣2=0.∴l与x轴的交点坐标(2.0).
即抛物线的焦点坐标(2.0).
∴.
∴抛物线C:y2=8x.
(2)证明:①设点P(x1.y1).Q(x2.y2).则:.
即:.kPQ==.
又∵P.Q关于直线l对称.∴kPQ=﹣1.即y1+y2=﹣2p.∴.
又PQ的中点在直线l上.∴==2﹣p.
∴线段PQ的中点坐标为(2﹣p.﹣p);
②因为Q中点坐标(2﹣p.﹣p).
∴.即
∴.即关于y2+2py+4p2﹣4p=0.有两个不相等的实数根.
∴△>0.(2p)2﹣4(4p2﹣4p)>0.
∴p∈.
【点评】本题考查抛物线方程的求法.直线与抛物线的位置关系的应用.考查转化思想以及计算能力.
26.(10分)(1)求7C﹣4C的值;
(2)设m.n∈N*.n≥m.求证:(m+1)C+(m+2)C+(m+3)C+…+nC+(n+1)C=(m+1)C.
【分析】(1)由已知直接利用组合公式能求出7的值.
(2)对任意m∈N*.当n=m时.验证等式成立;再假设n=k(k≥m)时命题成立.推导出当n=k+1时.命题也成立.由此利用数学归纳法能证明(m+1)C+(m+2)C+(m+3)C+…+nC+(n+1)C=(m+1)C.
【解答】解:(1)7
=﹣4×
=7×20﹣4×35=0.
证明:(2)对任意m∈N*.
①当n=m时.左边=(m+1)=m+1.
右边=(m+1)=m+1.等式成立.
②假设n=k(k≥m)时命题成立.
即(m+1)C+(m+2)C+(m+3)C+…+k+(k+1)=(m+1).
当n=k+1时.
左边=(m+1)+(m+2)+(m+3)++(k+1)+(k+2)
=.
右边=
∵
=(m+1)[﹣]
=(m+1)×[k+3﹣(k﹣m+1)]
=(k+2)
=(k+2).
∴=(m+1).
∴左边=右边.
∴n=k+1时.命题也成立.
∴m.n∈N*.n≥m.(m+1)C+(m+2)C+(m+3)C+…+nC+(n+1)C=(m+1)C.
【点评】本题考查组合数的计算与证明.是中档题.解题时要认真审题.注意组合数公式和数学归纳法的合理运用.