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  • 2021-05-13 发布

高考新课标丙卷全国Ⅲ理科数学试题附答案

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‎2016年普通高等学校招生全国统一考试·丙卷(全国卷Ⅲ)‎ 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.‎ 第Ⅰ卷 一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎(1)设集合,则=‎ ‎(A) [2,3] (B)(,2] [3,+)‎ ‎(C) [3,+) (D)(0,2] [3,+)‎ ‎(2)若,则 ‎ ‎(A) 1 (B) 1 (C) i (D) i ‎(3)已知向量 , ,则=‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃,B点表示四月的平均最低气温约为5℃。下面叙述不正确的是 ‎(A) 各月的平均最低气温都在0℃以上 ‎(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 ‎(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 ‎(D) 平均气温高于20℃的月份有5个 ‎(5)若 ,则 ‎ ‎(A) (B) (C) 1 (D) ‎ ‎(6)已知,,,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(7)执行如图的程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n=‎ ‎(A)3 (B)4 (C)5 (D)6‎ ‎(8)在中,,BC边上的高等于,则 ‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(9)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为 ‎(A) (B) (C)90 (D)81‎ ‎(10)在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球,若ABBC,AB=6,BC=8,,则的最大值是 ‎(A)4π (B) (C)6π (D) ‎ ‎(11)已知O为坐标原点,F是椭圆C:的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(12)定义“规范01数列”如下:共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意,中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有 ‎(A)18个 (B)16个 (C)14个 (D)12个 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分 ‎(13)若,y满足约束条件 ,则的最大值为___________.‎ ‎(14)函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到.‎ ‎(15)已知为偶函数,当时,,则曲线,在点处的切线方程是_______________.‎ ‎(16)已知直线:与圆交于,两点,过,分别作的垂线与轴交于,两点.若,则=____________.‎ 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎(17)(本小题满分12分)‎ 已知数列的前项和,其中.‎ ‎(Ⅰ)证明是等比数列,并求其通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若,求.‎ ‎(18)(本小题满分12分)‎ 下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图 ‎(Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合与的关系,请用相关系数加以说明;‎ ‎(Ⅱ)建立关于的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.‎ 附注:‎ 参考数据:,,,≈2.646.‎ 参考公式:相关系数 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:‎ ‎(19)(本小题满分12分)‎ 如图,四棱锥中,⊥底面,,,,为线段上一点,,为的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明平面;‎ ‎(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎(20)(本小题满分12分)‎ 已知抛物线C:的焦点为F,平行于x轴的两条直线,分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.‎ ‎(Ⅰ)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;‎ ‎(Ⅱ)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.‎ ‎(21)(本小题满分12分)‎ 设函数,其中,记的最大值为.‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ)求;‎ ‎(Ⅲ)证明.‎ 请考生在(22)、(23)、(24)题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图,⊙O中的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点.‎ ‎(Ⅰ)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小;‎ ‎(Ⅱ)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明OG⊥CD.‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)写出的普通方程和的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)设点P在上,点Q在上,求的最小值及此时P的直角坐标.‎ ‎24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数 ‎(Ⅰ)当a=2时,求不等式的解集;‎ ‎(Ⅱ)设函数,当时,,求a的取值范围.‎ ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试·丙卷(新课标Ⅲ)‎ 理科数学答案 ‎(1)D【解析】,所以,故选D.‎ ‎(2)C【解析】,故选C.‎ ‎(3)A【解析】由题意得,‎ 所以,故选A.‎ ‎(4)D【解析】由图可知0℃在虚线框内,所以各月的平均最低气温都在0℃以上,A正确;由图可知七月的平均温差比一月的平均温差大,B正确;由图可知三月和十一月的平均最高气温都约为10℃,基本相同,C正确;由图可知平均最高气温高于20℃的月份不是5个,D不正确,故选D.‎ ‎(5)A【解析】由,,得,或 ‎,,所以,‎ 则,故选A.‎ ‎(6)A【解析】因为,,,且幂函数在上单调递增,指数函数在上单调递增,所以,故选A.‎ ‎(7)B【解析】第一次循环,得;第二次循环,得,;第三次循环,得;第四次循环,得,此时,退出循环,输出的,故选B.‎ ‎(8)C【解析】设△中角,,的对边分别是,,,由题意可得 ‎,则.在△中,由余弦定理可得 ‎,则.‎ 由余弦定理,可得,故选C.‎ ‎(9)B【解析】由三视图可得该几何体是平行六面体,上下底面是边长为3的正方形,故面积都是9,前后两个侧面是平行四边形,一边长为3、该边上的高为6,故面积都为18,左右两个侧面是矩形,边长为和3,故面积都为,则该几何体的表面积为2(9 +18+)=54 +.‎ ‎(10)B【解析】由题意可得若y最大,则球与直三棱柱的部分面相切,若与三个侧面都相切,可求得球的半径为2,球的直径为4,超过直三棱柱的高,所以这个球放不进去,则球可与上下底面相切,此时球的半径,该球的体为 ‎,故选B.‎ ‎(11)A【解析】设,则直线的方程为,由题意可知,‎ 和三点共线,则,化简得,‎ 则的离心率.故选A.‎ ‎(12)C【解析】由题意可得,,,,…,中有3个O、3个1,且满足对任意≤8,都有,,…,中O的个数不少于1的个数,利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111, 00011011, 00011101,00100111, 00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101,共14个.‎ ‎(13)【解析】约束条件对应的平面区域是以点、和 为顶点的三角形,当目标函数经过点时,取得最大值.‎ ‎(14)【解析】函数的图像可由函数 的图像至少向右平移个单位长度得到.‎ ‎(15)【解析】由题意可得当时,,则,‎ ‎,则在点处的切线方程为,即.‎ ‎(16)4【解析】设圆心到直线的距离为,则弦长 ‎,得,即,解得,‎ 则直线,数形结合可得.‎ ‎(17)【解析】(Ⅰ)由题意得,故,,.‎ 由,得,即.‎ 由,且得,所以.‎ 因此是首项为,公比为的等比数列,于是.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得,由得,即,‎ 解得.‎ ‎(18)【解析】(Ⅰ)由折线图这数据和附注中参考数据得 ‎,,,‎ ‎,‎ ‎.‎ 因为与的相关系数近似为0.99,说明与 的线性相关相当高,从而可以用线性回归模型拟合与的关系.‎ ‎(Ⅱ)由及(Ⅰ)得,‎ ‎.‎ 所以,关于的回归方程为:.‎ 将2016年对应的代入回归方程得:.‎ 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.‎ ‎(19)【解析】(Ⅰ)由已知得,‎ 取的中点,连接.‎ 由为中点知,. ‎ 又,故平行且等于,四边形为平行四边形,于是.‎ 因为平面,平面,所以平面.‎ ‎(Ⅱ)取的中点,连结,由得,从而,且.‎ 以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,由题意知,‎ ‎,,,,‎ ‎,,‎ ‎.‎ 设为平面的法向量,则,即,‎ 可取,‎ 于是.‎ ‎(20)【解析】由题设.设,则,且 ‎.‎ 记过两点的直线为,则的方程为.‎ ‎(Ⅰ)由于在线段上,故.‎ 记的斜率为,的斜率为,则 ‎.‎ 所以.‎ ‎(Ⅱ)设与轴的交点为,‎ 则.‎ 由题设可得,所以(舍去),.‎ 设满足条件的的中点为.‎ 当与轴不垂直时,由可得.‎ 而,所以.‎ 当与轴垂直时,与重合.所以,所求轨迹方程为.‎ ‎(21)【解析】(Ⅰ).‎ ‎(Ⅱ)当时,‎ 因此,.‎ 当时,将变形为.‎ 令,则是在上的最大值,,‎ ‎,且当时,取得极小值,‎ 极小值为.‎ 令,解得(舍去),.‎ ‎(ⅰ)当时,在内无极值点,,,‎ ‎,所以.‎ ‎(ⅱ)当时,由,知.‎ 又,所以.‎ 综上,.‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅰ)得.‎ 当时,.‎ 当时,,所以.‎ 当时,,所以.‎ ‎22. 【解析】(Ⅰ)连结,则.‎ 因为,所以,又,所以.‎ 又,所以, 因此.‎ ‎(Ⅱ)因为,所以,由此知四点共圆,其圆心既在的垂直平分线上,又在的垂直平分线上,故就是过四点的圆的圆心,所以在的垂直平分线上,因此.‎ ‎23.【解析】(Ⅰ)的普通方程为,的直角坐标方程为.‎ ‎(Ⅱ)由题意,可设点的直角坐标为,因为是直线,‎ 所以 的最小值,即为到的距离的最小值,‎ ‎. ‎ 当且仅当时,取得最小值,最小值为,‎ 此时的直角坐标为. ‎ ‎24. 【解析】(Ⅰ)当时,.‎ 解不等式,得.‎ 因此,的解集为.‎ ‎(Ⅱ)当时,‎ ‎,当时等号成立,‎ 所以当时,等价于 ① ‎ 当时,①等价于,无解.‎ 当时,①等价于,解得.‎ 所以的取值范围是.‎