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- 2021-05-13 发布
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2016年普通高等学校招生全国统一考试·丙卷(全国卷Ⅲ)
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.
第Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设集合,则=
(A) [2,3] (B)(,2] [3,+)
(C) [3,+) (D)(0,2] [3,+)
(2)若,则
(A) 1 (B) 1 (C) i (D) i
(3)已知向量 , ,则=
(A) (B) (C) (D)
(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃,B点表示四月的平均最低气温约为5℃。下面叙述不正确的是
(A) 各月的平均最低气温都在0℃以上
(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大
(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同
(D) 平均气温高于20℃的月份有5个
(5)若 ,则
(A) (B) (C) 1 (D)
(6)已知,,,则
(A) (B) (C) (D)
(7)执行如图的程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n=
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
(8)在中,,BC边上的高等于,则
(A) (B) (C) (D)
(9)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为
(A) (B) (C)90 (D)81
(10)在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球,若ABBC,AB=6,BC=8,,则的最大值是
(A)4π (B) (C)6π (D)
(11)已知O为坐标原点,F是椭圆C:的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为
(A) (B) (C) (D)
(12)定义“规范01数列”如下:共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意,中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有
(A)18个 (B)16个 (C)14个 (D)12个
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分
(13)若,y满足约束条件 ,则的最大值为___________.
(14)函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到.
(15)已知为偶函数,当时,,则曲线,在点处的切线方程是_______________.
(16)已知直线:与圆交于,两点,过,分别作的垂线与轴交于,两点.若,则=____________.
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
已知数列的前项和,其中.
(Ⅰ)证明是等比数列,并求其通项公式;
(Ⅱ)若,求.
(18)(本小题满分12分)
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图
(Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合与的关系,请用相关系数加以说明;
(Ⅱ)建立关于的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注:
参考数据:,,,≈2.646.
参考公式:相关系数
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
(19)(本小题满分12分)
如图,四棱锥中,⊥底面,,,,为线段上一点,,为的中点.
(Ⅰ)证明平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
(20)(本小题满分12分)
已知抛物线C:的焦点为F,平行于x轴的两条直线,分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.
(Ⅰ)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;
(Ⅱ)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
(21)(本小题满分12分)
设函数,其中,记的最大值为.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求;
(Ⅲ)证明.
请考生在(22)、(23)、(24)题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,⊙O中的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点.
(Ⅰ)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小;
(Ⅱ)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明OG⊥CD.
23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)写出的普通方程和的直角坐标方程;
(Ⅱ)设点P在上,点Q在上,求的最小值及此时P的直角坐标.
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数
(Ⅰ)当a=2时,求不等式的解集;
(Ⅱ)设函数,当时,,求a的取值范围.
2016年普通高等学校招生全国统一考试·丙卷(新课标Ⅲ)
理科数学答案
(1)D【解析】,所以,故选D.
(2)C【解析】,故选C.
(3)A【解析】由题意得,
所以,故选A.
(4)D【解析】由图可知0℃在虚线框内,所以各月的平均最低气温都在0℃以上,A正确;由图可知七月的平均温差比一月的平均温差大,B正确;由图可知三月和十一月的平均最高气温都约为10℃,基本相同,C正确;由图可知平均最高气温高于20℃的月份不是5个,D不正确,故选D.
(5)A【解析】由,,得,或
,,所以,
则,故选A.
(6)A【解析】因为,,,且幂函数在上单调递增,指数函数在上单调递增,所以,故选A.
(7)B【解析】第一次循环,得;第二次循环,得,;第三次循环,得;第四次循环,得,此时,退出循环,输出的,故选B.
(8)C【解析】设△中角,,的对边分别是,,,由题意可得
,则.在△中,由余弦定理可得
,则.
由余弦定理,可得,故选C.
(9)B【解析】由三视图可得该几何体是平行六面体,上下底面是边长为3的正方形,故面积都是9,前后两个侧面是平行四边形,一边长为3、该边上的高为6,故面积都为18,左右两个侧面是矩形,边长为和3,故面积都为,则该几何体的表面积为2(9 +18+)=54 +.
(10)B【解析】由题意可得若y最大,则球与直三棱柱的部分面相切,若与三个侧面都相切,可求得球的半径为2,球的直径为4,超过直三棱柱的高,所以这个球放不进去,则球可与上下底面相切,此时球的半径,该球的体为
,故选B.
(11)A【解析】设,则直线的方程为,由题意可知,
和三点共线,则,化简得,
则的离心率.故选A.
(12)C【解析】由题意可得,,,,…,中有3个O、3个1,且满足对任意≤8,都有,,…,中O的个数不少于1的个数,利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111, 00011011, 00011101,00100111, 00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101,共14个.
(13)【解析】约束条件对应的平面区域是以点、和
为顶点的三角形,当目标函数经过点时,取得最大值.
(14)【解析】函数的图像可由函数
的图像至少向右平移个单位长度得到.
(15)【解析】由题意可得当时,,则,
,则在点处的切线方程为,即.
(16)4【解析】设圆心到直线的距离为,则弦长
,得,即,解得,
则直线,数形结合可得.
(17)【解析】(Ⅰ)由题意得,故,,.
由,得,即.
由,且得,所以.
因此是首项为,公比为的等比数列,于是.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,由得,即,
解得.
(18)【解析】(Ⅰ)由折线图这数据和附注中参考数据得
,,,
,
.
因为与的相关系数近似为0.99,说明与
的线性相关相当高,从而可以用线性回归模型拟合与的关系.
(Ⅱ)由及(Ⅰ)得,
.
所以,关于的回归方程为:.
将2016年对应的代入回归方程得:.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.
(19)【解析】(Ⅰ)由已知得,
取的中点,连接.
由为中点知,.
又,故平行且等于,四边形为平行四边形,于是.
因为平面,平面,所以平面.
(Ⅱ)取的中点,连结,由得,从而,且.
以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,由题意知,
,,,,
,,
.
设为平面的法向量,则,即,
可取,
于是.
(20)【解析】由题设.设,则,且
.
记过两点的直线为,则的方程为.
(Ⅰ)由于在线段上,故.
记的斜率为,的斜率为,则
.
所以.
(Ⅱ)设与轴的交点为,
则.
由题设可得,所以(舍去),.
设满足条件的的中点为.
当与轴不垂直时,由可得.
而,所以.
当与轴垂直时,与重合.所以,所求轨迹方程为.
(21)【解析】(Ⅰ).
(Ⅱ)当时,
因此,.
当时,将变形为.
令,则是在上的最大值,,
,且当时,取得极小值,
极小值为.
令,解得(舍去),.
(ⅰ)当时,在内无极值点,,,
,所以.
(ⅱ)当时,由,知.
又,所以.
综上,.
(Ⅲ)由(Ⅰ)得.
当时,.
当时,,所以.
当时,,所以.
22. 【解析】(Ⅰ)连结,则.
因为,所以,又,所以.
又,所以, 因此.
(Ⅱ)因为,所以,由此知四点共圆,其圆心既在的垂直平分线上,又在的垂直平分线上,故就是过四点的圆的圆心,所以在的垂直平分线上,因此.
23.【解析】(Ⅰ)的普通方程为,的直角坐标方程为.
(Ⅱ)由题意,可设点的直角坐标为,因为是直线,
所以 的最小值,即为到的距离的最小值,
.
当且仅当时,取得最小值,最小值为,
此时的直角坐标为.
24. 【解析】(Ⅰ)当时,.
解不等式,得.
因此,的解集为.
(Ⅱ)当时,
,当时等号成立,
所以当时,等价于 ①
当时,①等价于,无解.
当时,①等价于,解得.
所以的取值范围是.