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  • 2021-05-13 发布

详细解析上海高考数学理科

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‎2001年上海市高考数学试卷 ‎(理科)‎ 一、填空题(本大题满分48分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.‎ ‎1.已知,则满足的值为  ___ .‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】时,,,不合题意,舍去;时,‎ ‎,,综上可得.‎ ‎【点评】本题考查分段函数求值问题,属基本题.‎ ‎2.设数列的通项为,则 ____ .‎ ‎【答案】153‎ ‎【解析】由,解得,所以数列的前3项为负数,‎ 则.‎ ‎【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值,是一道基础题.‎ ‎3.设为双曲线上一动点,为坐标原点,为线段的中点,则点的 轨迹方程是 _____ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设,则,代入双曲线方程得,即为所求.‎ ‎【点评】代入法是圆锥曲线问题的常用方法.‎ ‎4.设集合,则的元素 个数为 _____ 个.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由,可得,∴或,检验知符合题意,∴,时,;时,,∴的元素个数为1个,故答案为1.‎ ‎【点评】本题考查集合的化简,考查学生的计算能力,属于基础题.‎ ‎5.抛物线的焦点坐标为 ______ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得,,表示顶点在,开口向上的抛物线,,∴故焦点坐标是.‎ ‎【点评】本题考查抛物线的标准方程,以及简单性质的应用,求出抛物线的顶点坐标和p是解题的关键.‎ ‎6.设数列是公比为的等比数列,是它的前项和,若,则此数列的首项的取值范围为 _____ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】若该等比数列是一个递增的等比数列,则不会有极限.因此这是一个无穷递缩等比数列.设公比为,则,.而等比数列前项和,因此,而根据极限的四项运算法则有,,因此,解得.‎ ‎【点评】本题是中档题,考查等比数列前n项和的极限问题,注意公比的范围,是解题的关键,考查计算能力.‎ ‎7.某餐厅供应客饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种.现 在餐厅准备了5种不同的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上的不同选择,则餐厅至少还需要不同的素菜品种 _____ 种.(结果用数值表示)‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】设素菜种,则,所以的最小值为7.‎ ‎【点评】正确应用乘法计数原理,组合数以及不等式运算,为最小正整数.‎ ‎8.在的展开式中,常数项为 _____ .‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】由于 ‎,故展开式中,常数项为.‎ ‎【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题.‎ ‎9.设,且,则的取值范围是 _____ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得,而表示在区间上余弦值等于的一个角,∴,故答案为 .‎ ‎【点评】本题主要考查正弦函数的定义域和值域,反余弦函数的意义,属于中档题.‎ ‎10.直线与曲线(为参数)的交点坐标是 _____ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵,∴曲线方程化为,与直线联立,解得或,由,故 不合题意,舍去,则直线与曲线的交点坐标为.‎ ‎【点评】此题考查了参数方程与普通方程的转化,二倍角的余弦函数公式,以及正弦函数的值域,熟练掌握二倍角的余弦函数公式是解本题的关键 ‎11.已知两个圆:①;②,则由①式减去②式可得上述两个圆 的对称轴方程.将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为 _____ .‎ ‎【答案】设圆方程①,②(或,‎ 则由①—②,得两圆的对称轴方程.‎ ‎【解析】将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广:‎ 设圆方程①,②(或),由①—②,得两圆的对称轴方程.‎ ‎【点评】本题考查的知识点是类比推理,类比推理的一般步骤是:(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).在解决类似题目时,一定要注意观察原题特点,找到其特征,再类比写结论.‎ ‎12.据报道,我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一.左下图表示我国土地沙化总面积在20世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况,由图中的相关信息,可将上述有关年代中,我国年平均土地沙化面积在右下图中图示为_______ .‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】1950﹣1970:土地沙化面积增加了(万平方公里),‎ 平均沙化面积为:(万平方千米)(百平方公里)‎ ‎1970﹣1990:平均沙化面积为:(万平方千米)(百平方公里);‎ ‎1990﹣2000:平均沙化面积为:(万平方千米)(百平方公里).如上图.‎ ‎【点评】本题主要考查了函数的图象与图想的变化,考查了变量的变化与平均变化的基本概念,考查了识图、作图的能力.‎ 二、选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分.‎ ‎13.是直线和直线平行且不重合的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】当时,两直线分别为,∴两直线斜率相等,则平行且不重合;若两直线平行且不重合,则 ,∴综上所述,是两直线平行且不重合的充要条件.故选C.‎ ‎【点评】本题以直线为载体,考查四种条件.判定两条直线位置关系的时候,注意到直线一般式系数满足的关系式.‎ ‎14.如图,在平行六面体中,为与的交点,若,‎ ‎.则下列向量中与相等的向量是 A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得 ‎.‎ ‎【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,属于基础题.‎ ‎15.已知为两条不同的直线,为两个不同的平面,且,则下列命题中的假命题是 A.若,则 B.若,则 C.若相交,则相交 D.若相交,则相交 ‎【答案】D ‎【解析】略.‎ ‎16.用计算器验算函数的若干个值,可以猜想下列命题中的真命题只能是 A.在上是单调减函数 B.的值域为 C.有最小值 D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵的导数,,‎ ‎∴当时,;当时,.‎ 可得函数在上为增函数,在为减函数,最大值,值域为,由此可得A、B、C三项都不正确.‎ 由极限的运算法则,可得,D项正确.‎ ‎【点评】本题给出关于函数的几个结论,要我们找出其中的正确结论,着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的值域求法和极限的运算法则等知识,属于中档题.‎ 三.解答题(本大题满分86分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤.‎ ‎17.(本题满分12分)‎ 已知是中的对边,是的面积,若 ‎,求的长度.‎ ‎【解】∵,∴, ......(4分)‎ 于是,或, ......(6分)‎ 又 ......(8分)‎ 当时,,; ...... (10分)‎ 当时,,. ...... (12分)‎ 故的长度为或.‎ ‎【点评】本题主要考查了三角形面积公式,余弦定理等知识解三角形,属于基础试题.‎ ‎18.(本题满分12分)‎ 设为椭圆的两个焦点,为椭圆上的一点,已知是一个直角三角形的三个顶点,且,求的值.‎ ‎【解】解法一:由已知得.......(4分)‎ 根据直角的不同位置,分两种情况:‎ 若为直角,则,即,‎ 得,故; ......(9分)‎ 若为直角,则,即,‎ 得,故.. .....(12分)‎ 解法二:由椭圆的对称性不妨设,‎ 则由已知可得. ......(4分)‎ 根据直角的不同位置,分两种情况:‎ 若为直角,则,于是,故;...(9分)‎ 若为直角,则,‎ 解得,即,‎ 于是,故.. .....(12分)‎ ‎(说明:两种情况,缺少一种扣3分).‎ ‎【点评】本题考查椭圆的定义和标准方程,以及椭圆的简单性质的应用,体现了分类讨论的数学思想,注意考虑轴时的情况.‎ ‎19.(本题满分14分)本题有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.‎ 在棱长为的正方体中,分别是棱上的动点,且.‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)当三棱锥的体积取得最大值时,求二面角的大小.(结果用反三角函数表示)‎ ‎【解】(I)证明:如图,以为原点建立空间直角坐标系.‎ 设,则,‎ ‎.‎ ‎∴.......(4分)‎ ‎∵,‎ ‎∴. ......(6分)‎ ‎(II)记,则,‎ 三棱锥的体积,‎ 当且仅当时,等号成立.‎ 因此,三棱锥的体积取得最大值时,.......(10分)‎ 过作交于,连,可知.‎ ‎∴是二面角的平面角.‎ 在直角三角形中,直角边,是斜边上的高,‎ ‎∴,‎ 故二面角的大小为. ......(14分)‎ ‎【点评】本题考查线线垂直,考查面面角,考查向量知识的运用,考查三棱锥的体积,考查基本不等式的运用,属于中档题.‎ ‎20.(本题满分14分)本题有2个小题,第1小题满分10分,第2小题满分4分.‎ 对任意一个非零复数,定义集合.‎ ‎(Ⅰ)设是方程的一个根.试用列举法表示集合,若在中任取两个数,求其和为零的概率;‎ ‎(Ⅱ)设复数,求证:.‎ ‎【解】(Ⅰ)∵是方程的根,‎ ‎∴或. ......(2分)‎ 当时,∵,‎ ‎∴.‎ 当时,∵,‎ ‎∴.‎ 因此,不论取哪一个值,集合是不变的,即. ......(8分)‎ 于是,. ......(10分)‎ ‎(Ⅱ)证明:∵,∴存在,使得.......(12分)‎ 于是对任意,‎ 由于是正奇数,,所以.......(14分)‎ ‎【点评】本题主要考查两个复数代数形式的混合运算,等可能事件的概率求法,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.‎ ‎21.(本题满分16分)本题有3个小题,第1小题满分2分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.‎ 用水清洗一堆蔬菜上残留的农药,对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定:用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的,用水越多洗掉的农药量也越多,但总还有农药残留在蔬菜上.设用单位量的水清洗一次以后,蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数.‎ ‎(Ⅰ)试规定的值,并解释其实际意义;‎ ‎(Ⅱ)试根据假定写出函数应该满足的条件和具有的性质;‎ ‎(Ⅲ)设.现有单位量的水,可以清洗一次,也可以把水平均分成2份后清洗两次,试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较省?说明理由.‎ ‎【解】(Ⅰ),表示没有用水洗时,蔬菜上的农药量将保持原样.......(2分)‎ ‎(Ⅱ)函数应该满足的条件和具有的性质是:,‎ 在上单调递减,且. ......(8分)‎ ‎(Ⅲ)设仅清洗一次,残留在农药量为,‎ 清洗两次后,残留的农药量为, ......(12分)‎ 则.‎ 于是,当时,;当时,;当时,.‎ 因此,当时,清洗两次后残留在农药量较少;‎ 当时,两种清洗方法具有相同的效果;‎ 当时,一次清洗残留的农药量较少. ......(16分)‎ ‎【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用、不等式的解示及比较法比较大小等,属于基础题.考查根据实际问题建立数学模型,以及运用函数的知识解决实际问题的能力.‎ ‎22.(本题满分18分)本题有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.‎ 对任意函数,可按图示构造一个数列发生器,其工作原理如下:‎ ‎①输入数据,经数列发生器输出;‎ ‎②若,则数列发生器结束工作;若,则将反馈回输入端,再输出,并依此规律继续下去,现定义.‎ ‎(Ⅰ)若输入,则由数列发生器产生数列.请写出数列的所有项;‎ ‎(Ⅱ)若要数列发生器产生一个无穷的常数数列,试求输入的初始数据的值;‎ ‎(Ⅲ)若输入时,产生的无穷数列满足;对任意正整数,均有,求的取值范围.‎ ‎【解】(Ⅰ)∵的定义域,‎ ‎∴数列只有三项:. ......(3分)‎ ‎(Ⅱ)∵,即,∴,或.‎ 即当或2时,.‎ 故当时,;‎ 当时,. ......(9分)‎ ‎(Ⅲ)解不等式,得或.‎ 要使,则或. ......(12分)‎ 对于函数,‎ 若,则. ......(15分)‎ 当时,,且,‎ 依此类推,可得数列的所有项均满足.‎ 综上所述,.‎ 由,得.. .....(18分)‎ ‎【点评】本题考查数列与函数的综合,考查新定义,考查学生的计算能力,属于中档题.‎