高考数学抛物线试题汇编 25页

第三节　抛物线 高考试题 考点一 抛物线的定义和标准方程 ‎ ‎1.(2010年陕西卷,理8)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,则p的值为(　　)‎ ‎(A) (B)1 (C)2 (D)4‎ 解析:圆x2+y2-6x-7=0化为标准方程为(x-3)2+y2=16,∴圆心为(3,0),半径是4,‎ 抛物线y2=2px(p>0)的准线是x=-,‎ ‎∴3+=4,‎ 又p>0,解得p=2.故选C.‎ 答案:C ‎2.(2011年辽宁卷,理3)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)‎ ‎(A) (B)1 (C) (D) 解析:∵|AF|+|BF|=xA+xB+=3,‎ ‎∴xA+xB=.‎ ‎∴线段AB的中点到y轴的距离为=.故选C.‎ 故选C.‎ 答案:C ‎3.(2012年四川卷,理8)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于(　　)‎ ‎(A)2 (B)2 (C)4 (D)2 解析:由题意设抛物线方程为y2=2px(p>0),则M到焦点的距离为xM+=2+=3,∴p=2,∴y2=4x.∴=4×2,∴|OM|===2.故选B.‎ 答案:B ‎4.(2010年上海卷,理3)动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P的轨迹方程是　　　　. ‎ 解析:由抛物线的定义知,点P的轨迹是以F为焦点,定直线x+2=0为准线的抛物线,故其标准方程为y2=8x.‎ 答案:y2=8x ‎5.(2012年陕西卷,理13)如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降 ‎1 m后,水面宽　　　　m. ‎ 解析:建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为 x2=-2py(p>0),‎ 则A(2,-2),将其坐标代入 x2=-2py,得p=1.∴x2=-2y.‎ 当水面下降1 m,得D(x0,-3)(x0>0),‎ 将其坐标代入x2=-2y得=6,‎ ‎∴x0=,∴水面宽|CD|=2 m.‎ 答案:2 ‎6.(2010年浙江卷,理13)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2),若线段FA的中点B在抛物线上,则B到抛物线准线的距离为　　　　. ‎ 解析:由已知得B点的纵坐标为1,横坐标为,即B,将其代入y2=2px得1=2p×,解得p=,则B点到准线的距离为+=p=.‎ 答案: 考点二 抛物线的几何性质及其应用 ‎ ‎1.(2011年四川卷,理10)在抛物线y=x2+ax-5(a≠0)上取横坐标为x1=-4,x2=2的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切,则抛物线顶点的坐标为(　　)‎ ‎(A)(-2,-9) (B)(0,-5)‎ ‎(C)(2,-9) (D)(1,-6)‎ 解析:当x1=-4时,y1=11-4a;当x2=2时,y2=2a-1,所以割线的斜率k==a-2.设直线与抛物线的切点横坐标为x0,由y′=2x+a得切线斜率为2x0+a,∴2x0+a=a-2,∴x0=-1.‎ ‎∴直线与抛物线的切点坐标为(-1,-a-4),切线方程为y+a+4=(a-2)(x+1),‎ 即(a-2)x-y-6=0.‎ 圆5x2+5y2=36的圆心到切线的距离d=.由题意得=,即(a-2)2+1=5.‎ 又a≠0,∴a=4,此时y=x2+4x-5=(x+2)2-9,顶点坐标为(-2,-9).故选A.‎ 答案:A ‎2.(2009年四川卷,理9)已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)‎ ‎(A)2 (B)3 (C) (D) 解析:如图所示,动点P到l2:x=-1的距离可转化为点P到点F的距离.由图可知,距离和的最小值即F到直线l1的距离d==2.故选A.‎ 答案:A ‎3.(2009年福建卷,理13)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的长为8,则p=　　　　. ‎ 解析:∵F,∴设AB:y=x-,与y2=2px联立,得x2-3px+=0.∴xA+xB=3p.‎ ‎∴|AB|=xA+xB+p=4p=8,得p=2.‎ 答案:2‎ ‎4.(2010年大纲全国卷Ⅱ,理15)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A,与C的一个交点为B,若=,则p=　　　　. ‎ 解析:如图所示,由AB的斜率为,‎ 知∠α=60°,‎ 又=,‎ ‎∴M为AB的中点.‎ 过点B作BP垂直准线l于点P,‎ 则∠ABP=60°,∴∠BAP=30°.‎ ‎∴|BP|=|AB|=|BM|,‎ ‎∴M为焦点,即=1,∴p=2.‎ 答案:2‎ 考点三 直线与抛物线位置关系 ‎ ‎1.(2013年大纲全国卷,理11)已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点,若·=0,则k等于(　　)‎ ‎(A) (B) (C) (D)2‎ 解析:法一　设直线方程为y=k(x-2),A(x1,y1)、B(x2,y2),‎ 由 得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0,‎ ‎∴x1+x2=,‎ x1x2=4,‎ 由·=0,‎ 得(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=‎ ‎(x1+2)(x2+2)+[k(x1-2)-2][k(x2-2)-2]=0,‎ 代入整理得k2-4k+4=0,‎ 解得k=2.故选D.‎ 法二　如图所示,设F为焦点,取AB中点P,‎ 过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为G、H,‎ 连接MF,MP,‎ 由·=0,‎ 知MA⊥MB,‎ 则|MP|=|AB|=(|AG|+|BH|),‎ 所以MP为直角梯形BHGA的中位线,‎ 所以MP∥AG∥BH,‎ 所以∠GAM=∠AMP=∠MAP,‎ 又|AG|=|AF|,‎ ‎|AM|=|AM|,‎ 所以△AMG≌△AMF,‎ 所以∠AFM=∠AGM=90°,‎ 则MF⊥AB,所以k=-=2.‎ 答案:D ‎2.(2010年辽宁卷,理7)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,如果直线AF的斜率为-,那么|PF|等于(　　)‎ ‎(A)4 (B)8 (C)8 (D)16‎ 解析:如图所示,直线AF的方程为y=-(x-2),与准线方程x=-2联立得A(-2,4).‎ 设P(x0,4),代入抛物线y2=8x,‎ 得8x0=48,∴x0=6,‎ ‎∴|PF|=x0+2=8,选B.‎ 答案:B ‎3.(2012年安徽卷,理9)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为(　　)‎ ‎(A) (B) ‎(C) (D)2 解析:如图所示,由题意知,抛物线的焦点F的坐标为(1,0),‎ 又|AF|=3,由抛物线定义知:点A到准线x=-1的距离为3,‎ ‎∴点A的横坐标为2.‎ 将x=2代入y2=4x得y2=8,‎ 由图知点A的纵坐标y=2,‎ ‎∴A(2,2),∴直线AF的方程为y=2(x-1).‎ 联立直线与抛物线的方程 解之得或 由图知B,‎ ‎∴S△AOB=|OF|·|yA-yB|=×1×|2+|=.故选C.‎ 答案:C ‎4.(2009年天津卷,理9)设抛物线y2=2x的焦点为F,过点M(,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|=2,则△BCF与△ACF的面积之比等于(　　)‎ ‎(A) (B) (C) (D) 解析:如图所示,设过点M(,0)的直线方程为y=k(x-),代入y2=2x并整理,得k2x2-(2k2+2)x+3k2=0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1+x2=,x1x2=3,‎ 因为|BF|=2,所以|BB′|=2,‎ ‎∴x2=2-=,‎ 从而x1==2.‎ 设点F到直线AC的距离为d,‎ 则====.‎ 故选A.‎ 答案:A ‎5.(2009年大纲全国卷Ⅱ,理9)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k等于(　　)‎ ‎(A) (B) (C) (D) 解析:将y=k(x+2)代入y2=8x,得 k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.‎ 设交点的横坐标分别为xA,xB,‎ 则xA+xB=-4,①‎ xA·xB=4.‎ 又|FA|=xA+2,|FB|=xB+2,‎ ‎|FA|=2|FB|,‎ ‎∴2xB+4=xA+2.‎ ‎∴xA=2xB+2.②‎ ‎∴将②代入①得xB=-2,‎ xA=-4+2=-2.‎ 故xA·xB==4.‎ 解之得k2=.‎ 而k>0,∴k=,满足Δ>0.故选D.‎ 答案:D ‎6.(2013年安徽卷,理13)已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为　　　　. ‎ 解析:设直线y=a与y轴交于点M,抛物线y=x2上要存在C点,使得∠ACB为直角,只要以|AB|为直径的圆与抛物线y=x2有交点即可,也就是使|AM|≤|MO|,即≤a(a>0),所以a≥1.‎ 答案:[1,+∞)‎ ‎7.(2012年重庆卷,理14)过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=,|AF|<|BF|,则|AF|=　　　　. ‎ 解析:由于y2=2x的焦点坐标为,设AB所在直线的方程为y=k,A(x1,y1),B(x2,y2),x10)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.‎ ‎(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;‎ ‎(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.‎ 解:(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=p,又点A到l的距离d=|FA|=p,‎ 而S△ABD=4.∴|BD|·d=4.‎ 即×2p×p=4,‎ ‎∴p=-2(舍去)或p=2,‎ ‎∴圆F的方程为x2+(y-1)2=8.‎ ‎(2)∵A、B、F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°.‎ 又由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|,‎ ‎∴∠ABD=30°,m的斜率为-或,‎ 当m的斜率为时,可设n方程为y=x+b.‎ 代入x2=2py得x2-px-2pb=0,‎ 由于n与C只有一个公共点,故Δ=p2+8pb=0‎ ‎∴b=-,‎ 又∵m的截距b1=,=3,‎ ‎∴坐标原点到m、n距离的比值为3.‎ 当m的斜率为-时,由图形对称性知,坐标原点到m、n的距离之比仍为3.‎ ‎12.(2013年广东卷,理20)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;‎ ‎(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.‎ 解:(1)依题意,设抛物线C的方程为x2=4cy,‎ 则=,‎ 结合c>0,解得c=1.所以抛物线C的方程为x2=4y.‎ ‎(2)抛物线C的方程为x2=4y,‎ 即y=x2,求导得y′=x.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2)（其中y1=,y2=）,‎ 则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2.‎ 所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1),‎ 即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0.‎ 同理,可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.‎ 因为切线PA,PB均过点P(x0,y0),‎ 所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0.‎ 所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.‎ 所以直线AB的方程为x0x-2y0-2y=0.‎ ‎(3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,‎ 所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.‎ 联立方程 消去x整理得y2+(2y0-)y+=0,‎ 由根与系数的关系可得y1+y2=-2y0,y1y2=,‎ 所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=+-2y0+1.‎ 又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=y0+2.‎ 所以+-2y0+1=2+2y0+5=2（y0+）2+.‎ 所以当y0=-时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为.‎ ‎13.(2013年湖南卷,理21)过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同直线l1,l2,且k1+k2=2,l1与E相交于点A,B,l2与E相交于点C,D,以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在直线记为l.‎ ‎(1)若k1>0,k2>0,证明:·<2p2;‎ ‎(2)若点M到直线l的距离的最小值为,求抛物线E的方程.‎ 解:(1)由题意知,抛物线E的焦点为F,‎ 直线l1的方程为y=k1x+.‎ 由 得x2-2pk1x-p2=0.‎ 设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),‎ 则x1,x2是上述方程的两个实数根,‎ 从而x1+x2=2pk1,‎ y1+y2=k1(x1+x2)+p=2p+p.‎ 所以点M的坐标为（pk1,p+）,‎ =(pk1,p).‎ 同理可得点N的坐标为(pk2,p+),‎ =(pk2,p),‎ 于是·=p2(k1k2+).‎ 因为k1+k2=2,k1>0,k2>0,k1≠k2,‎ 所以00,‎ 所以点M到直线l的距离为 d= ‎= ‎=.‎ 故当k1=-时,‎ d取最小值.‎ 由题设, =,‎ 解得p=8.‎ 故所求的抛物线E的方程为x2=16y.‎ ‎14.(2013年陕西卷,理20)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.‎ ‎(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;‎ ‎(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线l过定点.‎ ‎(1)解:如图所示,设动圆圆心O1(x,y),‎ 由题意,|O1A|=|O1M|,‎ 当O1不在y轴上时,‎ 过O1作O1H⊥MN交MN于H,‎ 则H是MN的中点,‎ ‎∴|O1M|=,‎ 又|O1A|=,‎ ‎∴=,‎ 化简得y2=8x(x≠0).‎ 又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y2=8x,‎ ‎∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.‎ ‎(2)证明:由题意,设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),‎ P(x1,y1),Q(x2,y2),‎ 将y=kx+b代入y2=8x中,得k2x2+(2bk-8)x+b2=0,‎ 其中Δ=-32kb+64>0.‎ 由根与系数的关系得,x1+x2=,①‎ x1x2=,②‎ 因为x轴是∠PBQ的角平分线,‎ 所以=-,‎ 即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,‎ ‎(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,‎ ‎2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,③‎ 将①②代入③,‎ 得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,‎ ‎∴k=-b,此时Δ>0,‎ ‎∴直线l的方程为y=k(x-1),‎ ‎∴直线l过定点(1,0).‎ ‎15. (2013年辽宁卷,理20)如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0).点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点A,B(M为原点O时,A,B重合于O).当x0=1-时,切线MA的斜率为-.‎ ‎(1)求p的值;‎ ‎(2)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).‎ 解:(1)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y′=,且切线MA的斜率为-,所以A点坐标为(-1, ),故切线MA的方程为y=-(x+1)+ .‎ 因为点M(1-,y0)在切线MA及抛物线C2上,于是 y0=-(2-)+=-,①‎ y0=-=-.②‎ 由①②得p=2.‎ ‎(2)设N(x,y),A(x1,),B(x2,),x1≠x2,由N为线段AB中点知x=,③‎ y=.④‎ 切线MA,MB的方程为 y=(x-x1)+ .⑤‎ y=(x-x2)+ .⑥‎ 由⑤⑥得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为 x0=,y0=.‎ 因为点M(x0,y0)在C2上,即=-4y0,‎ 所以x1x2=-.⑦‎ 由③④⑦得x2=y,x≠0.‎ 当x1=x2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满足x2=y.‎ 因此线段AB中点N的轨迹方程为x2=y.‎ 模拟试题 考点一 抛物线的定义和标准方程及其应用 ‎ ‎1.(2013福建厦门高三上质检)已知F是抛物线y2=4x的焦点,P是圆x2+y2-8x-8y+31=0上的动点,则|FP|的最小值是(　　)‎ ‎(A)3 (B)4 (C)5 (D)6‎ 解析:圆x2+y2-8x-8y+31=0的圆心C坐标为(4,4),半径为1,∵|PF|≥|CF|-1,‎ ‎∴当P、C、F三点共线时,|PF|取到最小值,‎ 由y2=4x知F(1,0),‎ ‎∴|PF|min=-1=4.故选B.‎ 答案:B ‎2.(2013山东潍坊一模)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线-=1的右焦点重合,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上且|AK|=|AF|,则A点的横坐标为(　　)‎ ‎(A)2 (B)3 (C)2 (D)4‎ 解析:由-=1得c2=4+5=9.‎ ‎∴双曲线右焦点为(3,0),‎ ‎∴抛物线焦点坐标为(3,0),抛物线方程为y2=12x.‎ 设d为点A(x0,y0)到准线的距离,‎ 由抛物线定义知d=|AF|=x0+3,‎ 由题意得|y0|=x0+3,‎ 代入抛物线方程得(x0+3)2=12x0,‎ 解得x0=3.故选B.‎ 答案:B 考点二 抛物线几何性质的应用 ‎ ‎1.(2013云南师大附中高三高考适应性月考卷)在直角坐标系xOy中,有一定点A(2,1),若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,则该抛物线的准线方程是　　　　　　　　　　. ‎ 解析:线段OA的斜率k=,中点坐标为.‎ 所以线段OA的垂直平分线的方程是y-=-2(x-1),‎ 令y=0得到x=.‎ 即抛物线的焦点为.‎ 所以该抛物线的准线方程为x=-.‎ 答案:x=- ‎2.(2013云南省昆明一中高三第二次高中新课程双基检测)已知点A(4,4)在抛物线y2=px(p>0)上,该抛物线的焦点为F,过点A作直线l:x=-的垂线,垂足为M,则∠MAF的平分线所在直线的方程为　　　　　　　　　. ‎ 解析:点A在抛物线上,所以16=4p,所以p=4,所以抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,垂足M(-1,4),由抛物线的定义得|AF|=|AM|,所以∠MAF的平分线所在的直线就是线段MF的垂直平分线,kMF==-2,所以∠MAF的平分线所在的直线方程为y-4=(x-4),即x-2y+4=0.‎ 答案:x-2y+4=0‎ 考点三 直线与抛物线的位置关系 ‎ ‎1.(2013河南郑州高三第一次质量预测)已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB中点到x轴的最短距离为(　　)‎ ‎(A) (B) (C)1 (D)2‎ 解析:易知,AB的斜率存在,设AB方程为y=kx+b.‎ 由得x2-4kx-4b=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1,x2是上述方程的两个根,‎ ‎∴x1+x2=4k,x1·x2=-4b,‎ 又|AB|=6,∴=6,‎ 化简得b=-k2,‎ 设AB中点为M(x0,y0),‎ 则y0===+b ‎=2k2+-k2‎ ‎=k2+=(k2+1)+ -1‎ ‎≥2×-1=2.‎ 当且仅当k2+1=,‎ 即k2=时,y0取到最小值2.故选D.‎ 答案:D ‎2.(2013北京市东城区高三上学期期末)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线的右焦点重合,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上且|AK|=|AF|,则△AFK的面积为(　　)‎ ‎(A)4 (B)8 (C)16 (D)32‎ 解析:双曲线的右焦点为(4,0),抛物线的焦点为,‎ 所以=4,即p=8.‎ 所以抛物线方程为y2=16x,焦点F(4,0),‎ 准线方程为x=-4,‎ 即K(-4,0),设A(x,y),‎ 由于|AK|=|AF|,‎ ‎∴|y|=x+4,‎ 又y2=16x,‎ ‎∴(x+4)2=16x,即x=4.‎ ‎∴A(4,±8),‎ S△AFK=×8×|y|=32.故选D.‎ 答案:D ‎3.(2013北京海淀高三上期末)已知E(2,2)是抛物线C:y2=2px上一点,经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A,B两点(不同于点E),直线EA,EB分别交直线x=-2于点M,N.‎ ‎(1)求抛物线方程及其焦点坐标;‎ ‎(2)已知O为原点,求证:∠MON为定值.‎ 解:(1)∵点E(2,2)在抛物线y2=2px上,‎ ‎∴4=2p×2,∴p=1.‎ ‎∴抛物线方程为y2=2x,焦点坐标为.‎ ‎(2)显然,直线l斜率存在,且不为0.‎ 设l斜率为k,则l方程为y=k(x-2).‎ 由 得ky2-2y-4k=0,‎ 设A,B.‎ 则y1+y2=,y1·y2=-4.‎ ‎∵kEA===.‎ ‎∴EA方程为y-2=(x-2).‎ 令x=-2,得y=2-=.‎ ‎∴M.‎ 同理可求得N.‎ ‎∴·=· ‎=4+ ‎=4+ ‎=0‎ ‎∴⊥.‎ 即∠MON=90°,‎ ‎∴∠MON为定值.‎ 综合检测 ‎ ‎1.(2012东北三校第二次联考)若抛物线y2=2px(p>0)上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6,则p的值为(　　)‎ ‎(A)2 (B)18‎ ‎(C)2或18 (D)4或16‎ 解析:设P(x0,y0),则 ‎∴36=2p,即p2-20p+36=0.‎ 解得p=2或18.故选C.‎ 答案:C ‎2.(2012洛阳二模)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线与该抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则+的最小值是(　　)‎ ‎(A)4 (B)8 (C)12 (D)16‎ 解析:抛物线的准线方程为x=-1,‎ ‎∴|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,‎ ‎∴+=4x1+4x2=4(|AF|+|BF|)-8=4|AB|-8.‎ ‎∵|AB|的最小值为4(当AB⊥x轴时取得),‎ ‎∴+的最小值为8.故选B.‎ 答案:B ‎3.(2012陕西五校联考)设动点P(x,y)(x≥0)到定点F的距离比到y轴的距离大.记点P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求点P的轨迹方程;‎ ‎(2)设圆M过A(1,0),且圆心M在P的轨迹上,BD是圆M在y轴上截得的弦,当M运动时弦长BD是否为定值?说明理由;‎ ‎(3)过F作互相垂直的两直线交曲线C于G、H、R、S,求四边形GRHS面积的最小值.‎ 解:(1)由题意知,所求动点P(x,y)的轨迹为以F为焦点,直线l:x=-为准线的抛物线,其方程为y2=2x.‎ ‎(2)是定值.解法如下:设圆心M,‎ 半径r=,‎ 圆的方程为+(y-a)2=a2+,‎ 令x=0,得B(0,1+a),D(0,-1+a),‎ ‎∴BD=2,即弦长BD为定值.‎ ‎(3)设过F的直线GH的方程为y=k,G(x1,y1),H(x2,y2),‎ 由得k2x2-(k2+2)x+=0,‎ ‎∴x1+x2=1+,x1x2=,‎ ‎∴|GH|=·=2+,‎ 同理得|RS|=2+2k2.‎ S四边形GRHS=(2+2k2)=2≥8(当且仅当k=±1时取等号).‎ ‎∴四边形GRHS面积的最小值为8.‎