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- 2021-05-13 发布
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2012高考文科试题解析分类汇编:平面向量专题
一、选择题
1.【2012高考全国文9】中,边的高为,若,,,,,则
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【命题意图】本试题主要考查了正四棱柱的性质的运用,以及点到面的距离的求解。体现了转换与化归的思想的运用,以及线面平行的距离,转化为点到面的距离即可。
【解析】因为底面的边长为2,高为,且连接,得到交点为,连接,,则点到平面的距离等于到平面的距离,过点作,则即为所求,在三角形中,利用等面积法,可得,故选答案D。
2.【2012高考重庆文6】设 ,向量且 ,则
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
3.【2012高考浙江文7】设a,b是两个非零向量。
A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b
B.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|
C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λa
D.若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|
【答案】C
【命题意图】本题考查的是平面向量,主要考查向量加法运算,向量的共线含义,向量的垂直关系。
【解析】利用排除法可得选项C是正确的,∵|a+b|=|a|-|b|,则a,b共线,即存在实
数λ,使得a=λb.如选项A:|a+b|=|a|-|b|时,a,b可为异向的共线向量;选项B:若a⊥b,由正方形得|a+b|=|a|-|b|不成立;选项D:若存在实数λ,使得a=λb,a,b
可为同向的共线向量,此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立.
4.【2012高考四川文7】设、都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是( )
A、且 B、 C、 D、
【答案】D
[解析]若使成立,则选项中只有D能保证,故选D.
[点评]本题考查的是向量相等条件模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量,其模为0且方向任意.
5.【2012高考陕西文7】设向量=(1.)与=(-1, 2)垂直,则等于 ( )
A B C .0 D.-1
【答案】C.
【解析】∵向量与垂直,∴,即,∴.
∴.故选C.
6.【2012高考辽宁文1】已知向量a = (1,—1),b = (2,x).若a ·b = 1,则x =
(A) —1 (B) — (C) (D)1
【答案】D
【命题意图】本题主要考查向量的数量积,属于容易题。
【解析】,故选D
7.【2012高考广东文3】若向量,,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选
8.【2012高考广东文10】对任意两个非零的平面向量和,定义
. 若两个非零的平面向量,满足与的夹角,且和都在集合中,则
A. B. C. 1 D.
【答案】D
都在集合中得:
9.【2102高考福建文3】已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则a⊥b的充要条件是
A.x=- B.x-1 C.x=5 D.x=0
【答案】D
考点:平面向量的垂直。
难度:易。
分析:本题考查的知识点为平面向量的垂直,若非零向量,,
则。
解答:非零向量。
。
10.【2012高考天津文科8】在△ABC中, A=90°,AB=1,设点P,Q满足=, =(1-), R。若=-2,则=
(A) (B) C) (D)2
【答案】B
【解析】如图,设 ,则,又,,由得
,即,选B.
二、填空题
1.【2012高考新课标文15】已知向量夹角为 ,且;则
【答案】
【命题意图】.本题主要考查平面向量的数量积及其运算法则,是简单题.
【解析】∵||=,平方得,即,解得||=或(舍)
2.【2012高考安徽文11】设向量,,,若,则______.
【答案】
3.【2012高考湖南文15】如图4,在平行四边形ABCD中 ,AP⊥BD,垂足为P,且= .
【答案】18
【解析】设,则,=
.
【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算,考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.
4.【2012高考浙江文15】在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则=________.
【答案】-16
【命题意图】本题主要考查了平面向量在三角形中的综合应用.
【解析】由余弦定理
,
,,两式子相加为,
,
.
5.【2012高考山东文16】如图,在平面直角坐标系中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为____.
【答案】
考点:考查转化化归能力、弧度制、诱导公式等
【解析】因为圆心移动的距离为2,所以劣弧,即圆心角,,则,所以,,所以,,所以.
另解:根据题意可知滚动制圆心为(2,1)时的圆的参数方程为,且
,则点P的坐标为,即.
6.【2012高考江西文12】设单位向量m=(x,y),b=(2,-1)。若,则=_______________
【答案】
【解析】由已知可得,又因为m为单位向量所以,联立解得或代入所求即可.
7.【2012高考江苏9】(5分)如图,在矩形中,点为的中点,点在边上,若,则的值是 ▲ .
【答案】。
【考点】向量的计算,矩形的性质,三角形外角性质,和的余弦公式,锐角三角函数定义。
【解析】由,得,由矩形的性质,得。
∵,∴,∴。∴。
记之间的夹角为,则。
又∵点E为BC的中点,∴。
∴
。
8.【2012高考上海文12】在矩形中,边、的长分别为2、1,若、分别是边、上的点,且满足,则的取值范围是
【答案】[1,4].
【解析1】设=(0≤≤1),
则=,=,
则==
=+++,
又∵=0,
∴=,
∵0≤≤1,∴1≤≤4,即的取值范围是[1,4].
【解析2】以向量AB所在直线为轴,以向量AD所在直线为轴建立平面直角坐标系,如图所示,因为,所以 设,根据题意,,所以
所以,所以, 即.
【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时,要切实注意条件的运用.本题属于中档题,难度适中.
9.【2012高考湖北文13】已知向量a=(1,0),b=(1,1),则
(Ⅰ)与2a+b同向的单位向量的坐标表示为____________;
(Ⅱ)向量b-3a与向量a夹角的余弦值为____________。
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)由,得.设与同向的单位向量为,则且,解得故.即与同向的单位向量的坐标为.
(Ⅱ)由,得.设向量与向量的夹角为,则.
【点评】本题考查单位向量的概念,平面向量的坐标运算,向量的数量积等.与某向量同向的单位向量一般只有1个,但与某向量共线的单位向量一般有2个,它包含同向与反向两种.不要把两个概念弄混淆了. 来年需注意平面向量基本定理,基本概念以及创新性问题的考查.
10【2102高考北.京文13】已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为________,的最大值为______。
【答案】1,1
【解析】根据平面向量的数量积公式,由图可知,
,因此,
,而就是向量在边上的射影,要想让最大,即让射影最大,此时E点与B点重合,射影为,所以长度为1.
【考点定位】 本题是平面向量问题,考查学生对于平面向量点乘知识的理解,其中包含动点问题,考查学生最值的求法。