全国卷3高考理科数学含答案详解 9页

绝密★启用前 ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）‎ 理科数学 注意事项：‎ ‎ 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎ 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎ 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为 A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎2．设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=‎ A． B． C． D．2‎ ‎3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．学#科&网 根据该折线图，下列结论错误的是 A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份 D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 ‎4．(+)(2-)5的展开式中33的系数为 A．-80 B．-40 C．40 D．80‎ ‎5．已知双曲线C： (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为 A． B． C． D．‎ ‎6．设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是 A．f(x)的一个周期为−2π B．y=f(x)的图像关于直线x=对称 C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在(,π)单调递减 ‎7．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为 A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A． B． C． D．‎ ‎9．等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为 A．-24 B．-3 C．3 D．8‎ ‎10．已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数有唯一零点，则a=‎ A． B． C． D．1‎ ‎12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为 A．3 B．2 C． D．2‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．若，满足约束条件，则的最小值为__________．‎ ‎14．设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________．‎ ‎15．设函数则满足的x的取值范围是_________。‎ ‎16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：‎ ‎①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；‎ ‎②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；‎ ‎③直线AB与a所称角的最小值为45°；‎ ‎④直线AB与a所称角的最小值为60°；‎ 其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号）‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）‎ ‎△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2,b=2．‎ ‎（1）求c；‎ ‎（2）设D为BC边上一点，且AD AC,求△ABD的面积．‎ ‎18．（12分）‎ 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 最高气温 ‎[10，15）‎ ‎[15，20）‎ ‎[20，25）‎ ‎[25，30）‎ ‎[30，35）‎ ‎[35，40）‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。‎ ‎（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；‎ ‎（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？学科*网 ‎19．（12分）‎ 如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．‎ ‎（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；‎ ‎（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值．‎ ‎20．（12分）‎ 已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．‎ ‎（1）证明：坐标原点O在圆M上；‎ ‎（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程．‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数 =x﹣1﹣alnx．‎ ‎（1）若 ，求a的值；‎ ‎（2）设m为整数，且对于任意正整数n，﹤m，求m的最小值．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修44：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．‎ ‎（1）写出C的普通方程；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)-=0，M为l3与C的交点，求M的极径．‎ ‎23．[选修45：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│．‎ ‎（1）求不等式f（x）≥1的解集；‎ ‎（2）若不等式f（x）≥x2–x +m的解集非空，求m的取值范围．‎ ‎ 2017年理科数学试题正式答案 一、选择题 ‎1.B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.D7.D 8.B 9.A 10.A 11.C 12.A二、填空题13. -1 14. -8 15. 16. ②③‎ 三、解答题17.解：（1）由已知得 tanA=在 △ABC中，由余弦定理得 ‎ ‎（2）有题设可得 故△ABD面积与△ACD面积的比值为 又△ABC的面积为 ‎18.解：（1）由题意知，所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知 ‎.‎ ‎ 因此的分布列为 ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ⑵由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑 当时，‎ 若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n 若最高气温位于区间，则Y=6×300+2（n-300）-4n=1200-2n;‎ 若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n;‎ 因此EY=2n×0.4+（1200-2n）×0.4+(800-2n) ×0.2=640-0.4n 当时，若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n;‎ 若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n;‎ 因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n 所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元。‎ ‎19.解：（1）由题设可得，‎ 又是直角三角形，所以取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO 又由于所以 ‎（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则 由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得E.故 设是平面DAE的法向量，则可取设是平面AEC的法向量，则同理可得 则所以二面角D-AE-C的余弦值为 ‎20.解（1）设 由可得又=4‎ 因此OA的斜率与OB的斜率之积为所以OA⊥OB故坐标原点O在圆M上.‎ ‎（2）由（1）可得 故圆心M的坐标为，圆M的半径 由于圆M过点P（4，-2），因此,故 即由（1）可得，‎ 所以，解得.‎ 当m=1时，直线l的方程为x-y-2=0，圆心M的坐标为（3,1），圆M的半径为，圆M的方程为当时，直线l的方程为，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为 ‎21.解：（1）的定义域为.①若，因为，所以不满足题意；②若，由知，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故x=a是在的唯一最小值点.由于，所以当且仅当a=1时，.故a=1‎ ‎（2）由（1）知当时，令得，从而 故而，所以m的最小值为3.‎ ‎22.解：（1）消去参数t得l1的普通方程；消去参数m得l2的普通方程设P（x,y）,由题设得，消去k得.‎ 所以C的普通方程为 ‎（2）C的极坐标方程为 联立得.‎ 故，从而 代入得，所以交点M的极径为.‎ ‎23.解：‎ ‎（1）当时，无解；‎ 当时，由得，，解得当时，由解得.所以的解集为.‎ ‎（2）由得，而 且当时，.故m的取值范围为