试卷新课标全国卷高考理数试题分类汇编 14页

2015-2017 新课标全国卷高考理数试题分类汇编 一、集合、复数运算考点： （一）集合： 15 年：1．已知集合 ， ,则 （ ） A． 　B． 　　　C． 　D． 16 年：（1）设集合 S= ，则 S T= (A) [2，3] (B)（- ，2] [3,+ ） (C) [3,+ ） (D)（0，2] [3,+ ） 17 年：1．已知集合 A= ，B= ，则 A B 中元素的个数为 A．3 B．2 C．1 D．0 （二）复数运算： 15 年：若 为实数且 ，则 （ ） A． B． C． D． 16 年：（2）若 ，则 (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i 17 年：2．设复数 z 满足(1+i)z=2i，则∣z∣= A． B． C． D．2 二、程序框图考点： 15 年：8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损 术”．执行该程序框图，若输入 分别为 14,18，则输出的 ( ) A．0 B．2 C．4 D．14 16 年：（7）执行下图的程序框图，如果输入的 ，那么输出的 （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 17 年：7．执行下面的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的正整数 N 的最小值为 A．5 B．4 C．3 D．2 { } { }| ( 2)( 3) 0 , | 0S x x x T x x= − − ≥ = >  ∞  ∞ ∞  ∞ 1 2z i= + 4 1 i zz = − 4 6a b= =， n = 2 1,01,2A = − −｛ ， ， ｝ { }( 1)( 2 0B x x x= − + < A B = { }1,0A = − { }0,1 { }1,0,1− { }0,1,2 { }2 2( , ) 1x y x y+ =│ { }( , )x y y x=│  a (2 )( 2 ) 4ai a i i+ − = − a = 1− 0 1 2 1 2 2 2 2 ,a b a = （15 年） （16 年） （17 年） 三、函数考点：（一）单调性、对称性、奇偶性及周期性 15 年：5．设函数 , ( ) A．3 B．6 C．9 D．12 10．如图，长方形 的边 ， ， 是 的中点，点 沿着边 ， 与 运动，记 ．将动 到 、 两点距离之和表示为 的函数 ，则 的图像大致为（ ） a > b a = a - b b = b - a 输出 a 结 束 开 始 输入 a， b a ≠ b 是 是 否 否 2 1 1 log (2 ), 1, ( ) 2 , 1,x x x f x x− + − <=  ≥ 2( 2) (log 12)f f− + = ABCD 2AB = 1BC = O AB P BC CD DA BOP x∠ = P A B x ( )f x ( )y f x= D P C B OA x 16 年：（6）已知 ， ， ，则 （A） （B） （C） （D） 17 年 ： 15 ． 设 函 数 ， 则 满 足 的 x 的 取 值 范 围 _________. （二）三角函数: 15 年：17．（本题满分 12 分） 中， 是 上的点， 平分 ， 面积是 面积的 2 倍． (Ⅰ) 求 ；(Ⅱ)若 ， ，求 和 的长． 16 年：（5）若 ，则 (A) (B) (C) 1 (D) （8）在 中， ，BC 边上的高等于 ,则 （A） （B） （C） （D） （14）函数 的图像可由函数 的图像至少向右平移 _____________个单位长度得到． 17 年：6．设函数 ，则下列结论错误的是 A． 的一个周期为 B． 的图像关于直线 对称 C． 的一个零点为 D． 在( , )单调递减 17．（12 分） 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 ，a=2 4 32a = 2 54b = 1 325c = b a c< < a b c< < b c a< < c a b< < 3tan 4 α = 2cos 2sin 2α α+ = 64 25 48 25 16 25 ABC△ π 4B = 1 3 BC cos A = 3 10 10 10 10 10 10- 3 10 10- sin 3 cosy x x= − sin 3 cosy x x= + 1 0( ) 2 0x x xf x x + ≤=  > ， ， 1( ) ( ) 12f x f x+ − > ABC∆ D BC AD BAC∠ ABD∆ ADC∆ sin sin B C ∠ ∠ 1AD = 2 2DC = BD AC ( ) π( 3cos )f x x= + ( )f x 2π− ( )y f x= 8π 3x = ( π)f x + π 6x = ( )f x π 2 π ABC△ sin 3 cos 0A A+ = ,b=2. （1）求 c；（2）设 D 为 BC 边上一点，且 AD AC,求△ABD 的面积. （三）导函数考点: 15 年：12．设函数 是奇函数 的导函数， ，当 时， ，则使得 成立的 的取值范围是（ ） A． 　　　B． C． 　　　D． 21．（本题满分 12 分）设函数 (Ⅰ)证明： 在 单调递减，在 单调递增； （Ⅱ）若对于任意 ，都有 ，求 的取值范围． 16 年：（15）已知 为偶函数，当 时， ，则曲线 在 点 处的切线方程是_______________。 （21）（本小题满分 12 分）设函数 ，其中 ，记 的最大值为 ． （Ⅰ）求 ；（Ⅱ）求 ；（Ⅲ）证明 ． 17 年：11．已知函数 有唯一零点，则 a= A． B． C． D．1 21．（12 分）已知函数 . （ 1 ） 若 ， 求 a 的 值 ； （ 2 ） 设 m 为 整 数 ， 且 对 于 任 意 正 整 数 n ， ，求 m 的最小值. （四）定积分： 15 年：无 16 年：无 17 年：无 四、线性规划考点：15 年：14．若 x，y 满足约束条件 ，则 的最 大值为____________． ( )f x 0x < ( ) ln( ) 3f x x x= − + ( )y f x= (1, 3)− ( ) cos2 ( 1)(cos 1)f x a x a x= + − + 0a > | ( ) |f x A ( )f x′ A | ( ) | 2f x A′ ≤ 7 ⊥ ' ( )f x ( )( )f x x R∈ ( 1) 0f − = 0x > ' ( ) ( ) 0xf x f x− < ( ) 0f x > x ( , 1) (0,1)−∞ −  ( 1,0) (1, )− +∞ ( , 1) ( 1,0)−∞ − − (0,1) (1, )+∞ 2( ) mxf x e x mx= + − ( )f x ( ,0)−∞ (0, )+∞ 1 2, [ 1,1]x x ∈ − 1 2( ) ( ) 1f x f x e− ≤ − m 2 1 1( ) 2 (e e )x xf x x x a − − += − + + 1 2 − 1 3 1 2 ( ) 1 lnf x x a x= − − ( ) 0f x ≥ 2 1 1 11 1 12 2 2n m    + + + <         1 0 2 0, 2 2 0, x y x y x y − + ≥  − ≤  + − ≤ ， z x y= + 16 年：（13 ）若 满足约束条件 则 的最大值为_____________. 17 年：13．若 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为__________. 五、平面向量考点: 15 年：13．设向量 ， 不平行，向量 与 平行，则实数 _________． 16 年：（3）已知向量 , 则 ABC= 17 年：无 六、数列考点: 15 年：4．等比数列｛an｝满足 a1=3， =21，则 ( ) A．21 B．42 C．63 D．84 16．设 是数列 的前 n 项和，且 ， ，则 ________． 16 年：（17）（本小题满分 12 分） 已知数列 的前 n 项和 ，其中 ． （I）证明 是等比数列，并求其通项公式；（II）若 ，求 ． 17 年：9．等差数列 的首项为 1，公差不为 0．若 a2，a3，a6 成等比数列，则 前 6 项的和为 A． B． C．3 D．8 14．设等比数列 满足 a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则 a4 = ___________. 七、立体几何考点： （一）三视图： 15 年：一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积 与剩余部分体积的比值为( ) A． B． C． D． 16 年：(9)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该 多面体的表面积为 （A） （B） （C）90 （D）81 ,x y 1 0 2 0 2 2 0 x y x y x y − + ≥  − ≤  + − ≤ z x y= + 1 3( , )2 2BA = 3 1( , ),2 2BC = ∠ { }na 1n nS aλ= + 0λ ≠ { }na 5 31 32S = λ 18 36 5+ 54 18 5+ x y 0 2 0 0 x y x y y − ≥  + − ≤  ≥ 3 4z x y= − a b a bλ +  2a b+  λ = 1 3 5a a a+ + 3 5 7a a a+ + = nS { }na 1 1a = − 1 1n n na S S+ += nS = { }na { }na 24− 3− { }na 8 1 7 1 6 1 5 1 （15 年） （16 年） 17 年：无 （二）求值及证明： 15 年：9．已知 A,B 是球 O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为( ) A．36π B.64π C.144π D.256π 19．（本题满分 12 分）如图，长方体 中, ， ， ， 点 ， 分别在 ， 上， ．过点 ， 的平面 与此长方体的面 相交，交线围成一个正方形． （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值． 16 年：(10) 在封闭的直三棱柱 内有一个体积为 V 的球，若 ， ， ， ，则 V 的最大值是 （A）4π （B） （C ）6π （D） 1 1 1ABC A B C− AB BC⊥ 6AB = 8BC = 1 3AA = 9 2 π 32 3 π 1 1 1 1ABCD A B C D− =16AB =10BC 1 8AA = E F 1 1A B 1 1C D 1 1 4A E D F= = E F α D D1 C1 A1 E F A B C B1 AF α （19）（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 中， 地面 ， ， ， ， 为线段 上一点， ， 为 的中点． （I）证明 平面 ；（II）求直线 与平面 所成角的正弦值. 17 年：8．已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该 圆柱的体积为 A． B． C． D． 16．a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a， b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 30°角； ②当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 60°角； ③直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45°； ④直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60°. 其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号） 19．（12 分）如图，四面体 ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD=∠ CBD，AB=BD． （1）证明：平面 ACD⊥平面 ABC； （2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二 面角 D–AE–C 的余弦值. 八、解析几何考点： P ABC− PA ⊥ ABCD AD BC 3AB AD AC= = = 4PA BC= = M AD 2AM MD= N PC MN  PAB AN PMN π 3π 4 π 2 π 4 15 年：7、过三点 ， ， 的圆交 y 轴于 M，N 两点，则 ( ) A．2 B．8 C．4 D．10 11．已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为（ ） A． B． C． D． 20．（本题满分 12 分） 已知椭圆 ,直线 不过原点 且不平行于 坐标轴， 与 有两个交点 ， ，线段 的中点为 ． (Ⅰ)证明：直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若 过点 ，延长线段 与 交于点 ，四边形 能否为平行四边形？ 若能，求此时 的斜率，若不能，说明理由． 16 年：（11）已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C： 的左焦点，A，B 分 别为 C 的左，右顶点.P 为 C 上一点，且 轴.过点 A 的直线 l 与线段 交于点 M， 与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中 点，则 C 的离心率为 （A） （B） （C） （D） （16）已知直线 ： 与圆 交于 两点，过 分别做 的垂线与 轴交于 两点，若 ，则 __________________. （20）（本小题满分 12 分）已知抛物线 ： 的焦点为 ，平行于 轴的两条直线 分别交 于 两点，交 的准线于 两点． （I）若 在线段 上， 是 的中点，证明 ； （II）若 的面积是 的面积的两倍，求 中点的轨迹方程. 17 年：5．已知双曲线 C： (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为 ,且与椭 圆 有公共焦点，则 C 的方程为 A． B． C． D． 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > PF x⊥ PF 1 3 1 2 2 3 3 4 l 3 3 0mx y m+ + − = 2 2 12x y+ = ,A B ,A B l x ,C D 2 3AB = | |CD = C 2 2y x= F x 1 2,l l C A B， C P Q， F AB R PQ AR FQ PQF∆ ABF∆ AB (1,3)A (4,2)B (1, 7)C − | |MN = 6 6 5 2 3 2 2 2 2:9 ( 0)C x y m m+ = > l O l C A B AB M OM l l ( , )3 m m OM C P OAPB l 2 2 2 2 1x y a b − = 5 2y x= 2 2 112 3 x y+ = 2 2 18 10 x y− = 2 2 14 5 x y− = 2 2 15 4 x y− = 2 2 14 3 x y− = 10．已知椭圆 C： 的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直 径的圆与直线 相切，则 C 的离心率为 A． B． C． D． 12．在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若 ，则 的最大值为 A．3 B．2 C． D．2 20．（12 分）已知抛物线 C：y2=2x，过点（2,0）的直线 l 交 C 于 A,B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆. （1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上； （2）设圆 M 过点 ，求直线 l 与圆 M 的方程. 九、排列、组合、二项式定理、概率、统计案例考点： （一）排列、组合、概率 15 年：18．（本题满分 12 分） 某公司为了解用户对其产品的满意度，从 ， 两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用 户对产品的满意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度 评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）； 2 2 2 2 0)1(x y a b a b+ = > > 2 0bx ay ab− + = 6 3 3 3 2 3 1 3 AP AB ADλ µ= +   λ µ+ 2 5 ( )4, 2P − A B （Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记时间 C：“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评 价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 C 的概 率． 16 年: （12）定义“规范 01 数列”{an}如下：{an}共有 2m 项，其中 m 项 为 0，m 项为 1， 且对任意 ， 中 0 的个数不少于 1 的个数.若 m=4，则不同的“规范 01 数列”共有 （A）18 个 （B）16 个 （C）14 个 （D）12 个 17 年：18．（12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元， 售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售 经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的 频数分布表： 最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X（单位：瓶）的分布列； 2k m≤ 1 2, , , ka a a A 地区 B 地区 4 5 6 7 8 9 （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量 n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ （二）二项式定理： 15 年 ： 15 ． 的 展 开 式 中 x 的 奇 数 次 幂 项 的 系 数 之 和 为 32 ， 则 __________． 16 年：无 17 年：4． 的展开式中 的系数为 A． B． C．40 D．80 （三）统计案例（独立性检验、线性回归）： 15 年:3．根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。 以下结论不正确的是( ) A．逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B．2007 年我国治理二氧化硫排放显现 C．2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D．2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 16 年：（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平 均最低气温的雷达图。图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 150C，B 点表示四月的平 均最低气温约为 50C。下面叙述不正确的是 4( )(1 )a x x+ + a = ( )( )52x y x y+ − 3 3x y 80− 40− 2004 年 2005 年 2006 年 2007 年 2008 年 2009 年 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 (A) 各月的平均最低气温都在 00C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于 200C 的月份有 5 个 （18）（本小题满分 12 分） 下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图 （I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明； （II）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016 年我国生活垃圾无害化处 理量。 参考数据： ， ， ， 7≈2.646. 参考公式：相关系数 回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 17 年：3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 7 1 9.32i i y = =∑ 7 1 40.17i i i t y = =∑ 7 2 1 ( ) 0.55i i y y = − =∑ 1 2 2 1 1 ( )( ) ( ) (y y) n i i i n n i i i i t t y y r t t = = = − − = − − ∑ ∑ ∑ ， y a bt= +   1 2 1 ( )( ) ( ) n i i i n i i t t y y b t t = = − − = − ∑ ∑  ， = .a y bt−   根据该折线图，下列结论错误的是 A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月 D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 十、选做题考点：坐标系与参数方程: 15 年：23．（本小题满分 10 分）在直角坐标系 中，曲线 （ 为参数， ），其 中 ， 在 以 为 极 点 ， 轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 ， 曲 线 ，曲线 ． （Ⅰ）.求 与 交点的直角坐标； （Ⅱ）.若 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，求 的最大值． 16 年 ： 23. （ 本 小 题 满 分 10 分 ） 在 直 角 坐 标 系 中 ， 曲 线 的 参 数 方 程 为 ，以坐标原点为极点，以 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲 线 的极坐标方程为 . （I）写出 的普通方程和 的直角坐标方程； （II）设点 P 在 上，点 Q 在 上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标. 17 年：22．在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为 （t 为参数），直线 l2 的参 数方程为 .设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C. （1）写出 C 的普通方程； xOy 1C 3cos ( ) sin x y θ θ θ  = = 为参数 x 2C sin( ) 2 24 ρ θ π+ = 1C 2C 1C 2C xoy 1 cos ,: sin , x tC y t α α =  = t 0t ≠ 0 α π≤ < O x 2 : 2sinC ρ θ= 3 : 2 3 cosC ρ θ= 2C 1C 2C 1C A 3C 1C B AB 2+ , , x t y kt =  = 2 , , x m mmy k = − + = （ 为参数） （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 ， M 为 l3 与 C 的交点，求 M 的极径. ( )3 : cos sin 2 0l ρ θ θ+ − =