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  • 2021-05-13 发布

试卷新课标全国卷高考理数试题分类汇编

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2015-2017 新课标全国卷高考理数试题分类汇编 一、集合、复数运算考点: (一)集合: 15 年:1.已知集合 , ,则 ( ) A.  B.    C.  D. 16 年:(1)设集合 S= ,则 S T= (A) [2,3] (B)(- ,2] [3,+ ) (C) [3,+ ) (D)(0,2] [3,+ ) 17 年:1.已知集合 A= ,B= ,则 A B 中元素的个数为 A.3 B.2 C.1 D.0 (二)复数运算: 15 年:若 为实数且 ,则 ( ) A. B. C. D. 16 年:(2)若 ,则 (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i 17 年:2.设复数 z 满足(1+i)z=2i,则∣z∣= A. B. C. D.2 二、程序框图考点: 15 年:8.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损 术”.执行该程序框图,若输入 分别为 14,18,则输出的 ( ) A.0 B.2 C.4 D.14 16 年:(7)执行下图的程序框图,如果输入的 ,那么输出的 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 17 年:7.执行下面的程序框图,为使输出 S 的值小于 91,则输入的正整数 N 的最小值为 A.5 B.4 C.3 D.2 { } { }| ( 2)( 3) 0 , | 0S x x x T x x= − − ≥ = >  ∞  ∞ ∞  ∞ 1 2z i= + 4 1 i zz = − 4 6a b= =, n = 2 1,01,2A = − −{ , , } { }( 1)( 2 0B x x x= − + < A B = { }1,0A = − { }0,1 { }1,0,1− { }0,1,2 { }2 2( , ) 1x y x y+ =│ { }( , )x y y x=│  a (2 )( 2 ) 4ai a i i+ − = − a = 1− 0 1 2 1 2 2 2 2 ,a b a = (15 年) (16 年) (17 年) 三、函数考点:(一)单调性、对称性、奇偶性及周期性 15 年:5.设函数 , ( ) A.3 B.6 C.9 D.12 10.如图,长方形 的边 , , 是 的中点,点 沿着边 , 与 运动,记 .将动 到 、 两点距离之和表示为 的函数 ,则 的图像大致为( ) a > b a = a - b b = b - a 输出 a 结 束 开 始 输入 a, b a ≠ b 是 是 否 否 2 1 1 log (2 ), 1, ( ) 2 , 1,x x x f x x− + − <=  ≥ 2( 2) (log 12)f f− + = ABCD 2AB = 1BC = O AB P BC CD DA BOP x∠ = P A B x ( )f x ( )y f x= D P C B OA x 16 年:(6)已知 , , ,则 (A) (B) (C) (D) 17 年 : 15 . 设 函 数 , 则 满 足 的 x 的 取 值 范 围 _________. (二)三角函数: 15 年:17.(本题满分 12 分) 中, 是 上的点, 平分 , 面积是 面积的 2 倍. (Ⅰ) 求 ;(Ⅱ)若 , ,求 和 的长. 16 年:(5)若 ,则 (A) (B) (C) 1 (D) (8)在 中, ,BC 边上的高等于 ,则 (A) (B) (C) (D) (14)函数 的图像可由函数 的图像至少向右平移 _____________个单位长度得到. 17 年:6.设函数 ,则下列结论错误的是 A. 的一个周期为 B. 的图像关于直线 对称 C. 的一个零点为 D. 在( , )单调递减 17.(12 分) 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 ,a=2 4 32a = 2 54b = 1 325c = b a c< < a b c< < b c a< < c a b< < 3tan 4 α = 2cos 2sin 2α α+ = 64 25 48 25 16 25 ABC△ π 4B = 1 3 BC cos A = 3 10 10 10 10 10 10- 3 10 10- sin 3 cosy x x= − sin 3 cosy x x= + 1 0( ) 2 0x x xf x x + ≤=  > , , 1( ) ( ) 12f x f x+ − > ABC∆ D BC AD BAC∠ ABD∆ ADC∆ sin sin B C ∠ ∠ 1AD = 2 2DC = BD AC ( ) π( 3cos )f x x= + ( )f x 2π− ( )y f x= 8π 3x = ( π)f x + π 6x = ( )f x π 2 π ABC△ sin 3 cos 0A A+ = ,b=2. (1)求 c;(2)设 D 为 BC 边上一点,且 AD AC,求△ABD 的面积. (三)导函数考点: 15 年:12.设函数 是奇函数 的导函数, ,当 时, ,则使得 成立的 的取值范围是( ) A.    B. C.    D. 21.(本题满分 12 分)设函数 (Ⅰ)证明: 在 单调递减,在 单调递增; (Ⅱ)若对于任意 ,都有 ,求 的取值范围. 16 年:(15)已知 为偶函数,当 时, ,则曲线 在 点 处的切线方程是_______________。 (21)(本小题满分 12 分)设函数 ,其中 ,记 的最大值为 . (Ⅰ)求 ;(Ⅱ)求 ;(Ⅲ)证明 . 17 年:11.已知函数 有唯一零点,则 a= A. B. C. D.1 21.(12 分)已知函数 . ( 1 ) 若 , 求 a 的 值 ; ( 2 ) 设 m 为 整 数 , 且 对 于 任 意 正 整 数 n , ,求 m 的最小值. (四)定积分: 15 年:无 16 年:无 17 年:无 四、线性规划考点:15 年:14.若 x,y 满足约束条件 ,则 的最 大值为____________. ( )f x 0x < ( ) ln( ) 3f x x x= − + ( )y f x= (1, 3)− ( ) cos2 ( 1)(cos 1)f x a x a x= + − + 0a > | ( ) |f x A ( )f x′ A | ( ) | 2f x A′ ≤ 7 ⊥ ' ( )f x ( )( )f x x R∈ ( 1) 0f − = 0x > ' ( ) ( ) 0xf x f x− < ( ) 0f x > x ( , 1) (0,1)−∞ −  ( 1,0) (1, )− +∞ ( , 1) ( 1,0)−∞ − − (0,1) (1, )+∞ 2( ) mxf x e x mx= + − ( )f x ( ,0)−∞ (0, )+∞ 1 2, [ 1,1]x x ∈ − 1 2( ) ( ) 1f x f x e− ≤ − m 2 1 1( ) 2 (e e )x xf x x x a − − += − + + 1 2 − 1 3 1 2 ( ) 1 lnf x x a x= − − ( ) 0f x ≥ 2 1 1 11 1 12 2 2n m    + + + <         1 0 2 0, 2 2 0, x y x y x y − + ≥  − ≤  + − ≤ , z x y= + 16 年:(13 )若 满足约束条件 则 的最大值为_____________. 17 年:13.若 , 满足约束条件 ,则 的最小值为__________. 五、平面向量考点: 15 年:13.设向量 , 不平行,向量 与 平行,则实数 _________. 16 年:(3)已知向量 , 则 ABC= 17 年:无 六、数列考点: 15 年:4.等比数列{an}满足 a1=3, =21,则 ( ) A.21 B.42 C.63 D.84 16.设 是数列 的前 n 项和,且 , ,则 ________. 16 年:(17)(本小题满分 12 分) 已知数列 的前 n 项和 ,其中 . (I)证明 是等比数列,并求其通项公式;(II)若 ,求 . 17 年:9.等差数列 的首项为 1,公差不为 0.若 a2,a3,a6 成等比数列,则 前 6 项的和为 A. B. C.3 D.8 14.设等比数列 满足 a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3,则 a4 = ___________. 七、立体几何考点: (一)三视图: 15 年:一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积 与剩余部分体积的比值为( ) A. B. C. D. 16 年:(9)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实现画出的是某多面体的三视图,则该 多面体的表面积为 (A) (B) (C)90 (D)81 ,x y 1 0 2 0 2 2 0 x y x y x y − + ≥  − ≤  + − ≤ z x y= + 1 3( , )2 2BA = 3 1( , ),2 2BC = ∠ { }na 1n nS aλ= + 0λ ≠ { }na 5 31 32S = λ 18 36 5+ 54 18 5+ x y 0 2 0 0 x y x y y − ≥  + − ≤  ≥ 3 4z x y= − a b a bλ +  2a b+  λ = 1 3 5a a a+ + 3 5 7a a a+ + = nS { }na 1 1a = − 1 1n n na S S+ += nS = { }na { }na 24− 3− { }na 8 1 7 1 6 1 5 1 (15 年) (16 年) 17 年:无 (二)求值及证明: 15 年:9.已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90,C 为该球面上的动点,若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( ) A.36π B.64π C.144π D.256π 19.(本题满分 12 分)如图,长方体 中, , , , 点 , 分别在 , 上, .过点 , 的平面 与此长方体的面 相交,交线围成一个正方形. (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由); (Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值. 16 年:(10) 在封闭的直三棱柱 内有一个体积为 V 的球,若 , , , ,则 V 的最大值是 (A)4π (B) (C )6π (D) 1 1 1ABC A B C− AB BC⊥ 6AB = 8BC = 1 3AA = 9 2 π 32 3 π 1 1 1 1ABCD A B C D− =16AB =10BC 1 8AA = E F 1 1A B 1 1C D 1 1 4A E D F= = E F α D D1 C1 A1 E F A B C B1 AF α (19)(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 中, 地面 , , , , 为线段 上一点, , 为 的中点. (I)证明 平面 ;(II)求直线 与平面 所成角的正弦值. 17 年:8.已知圆柱的高为 1,它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上,则该 圆柱的体积为 A. B. C. D. 16.a,b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a, b 都垂直,斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转,有下列结论: ①当直线 AB 与 a 成 60°角时,AB 与 b 成 30°角; ②当直线 AB 与 a 成 60°角时,AB 与 b 成 60°角; ③直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45°; ④直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60°. 其中正确的是________.(填写所有正确结论的编号) 19.(12 分)如图,四面体 ABCD 中,△ABC 是正三角形,△ACD 是直角三角形,∠ABD=∠ CBD,AB=BD. (1)证明:平面 ACD⊥平面 ABC; (2)过 AC 的平面交 BD 于点 E,若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分,求二 面角 D–AE–C 的余弦值. 八、解析几何考点: P ABC− PA ⊥ ABCD AD BC 3AB AD AC= = = 4PA BC= = M AD 2AM MD= N PC MN  PAB AN PMN π 3π 4 π 2 π 4 15 年:7、过三点 , , 的圆交 y 轴于 M,N 两点,则 ( ) A.2 B.8 C.4 D.10 11.已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,∆ABM 为等腰三角形,且顶角为 120°,则 E 的离心率为( ) A. B. C. D. 20.(本题满分 12 分) 已知椭圆 ,直线 不过原点 且不平行于 坐标轴, 与 有两个交点 , ,线段 的中点为 . (Ⅰ)证明:直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值; (Ⅱ)若 过点 ,延长线段 与 交于点 ,四边形 能否为平行四边形? 若能,求此时 的斜率,若不能,说明理由. 16 年:(11)已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C: 的左焦点,A,B 分 别为 C 的左,右顶点.P 为 C 上一点,且 轴.过点 A 的直线 l 与线段 交于点 M, 与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中 点,则 C 的离心率为 (A) (B) (C) (D) (16)已知直线 : 与圆 交于 两点,过 分别做 的垂线与 轴交于 两点,若 ,则 __________________. (20)(本小题满分 12 分)已知抛物线 : 的焦点为 ,平行于 轴的两条直线 分别交 于 两点,交 的准线于 两点. (I)若 在线段 上, 是 的中点,证明 ; (II)若 的面积是 的面积的两倍,求 中点的轨迹方程. 17 年:5.已知双曲线 C: (a>0,b>0)的一条渐近线方程为 ,且与椭 圆 有公共焦点,则 C 的方程为 A. B. C. D. 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > PF x⊥ PF 1 3 1 2 2 3 3 4 l 3 3 0mx y m+ + − = 2 2 12x y+ = ,A B ,A B l x ,C D 2 3AB = | |CD = C 2 2y x= F x 1 2,l l C A B, C P Q, F AB R PQ AR FQ PQF∆ ABF∆ AB (1,3)A (4,2)B (1, 7)C − | |MN = 6 6 5 2 3 2 2 2 2:9 ( 0)C x y m m+ = > l O l C A B AB M OM l l ( , )3 m m OM C P OAPB l 2 2 2 2 1x y a b − = 5 2y x= 2 2 112 3 x y+ = 2 2 18 10 x y− = 2 2 14 5 x y− = 2 2 15 4 x y− = 2 2 14 3 x y− = 10.已知椭圆 C: 的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线段 A1A2 为直 径的圆与直线 相切,则 C 的离心率为 A. B. C. D. 12.在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若 ,则 的最大值为 A.3 B.2 C. D.2 20.(12 分)已知抛物线 C:y2=2x,过点(2,0)的直线 l 交 C 于 A,B 两点,圆 M 是以线段 AB 为直径的圆. (1)证明:坐标原点 O 在圆 M 上; (2)设圆 M 过点 ,求直线 l 与圆 M 的方程. 九、排列、组合、二项式定理、概率、统计案例考点: (一)排列、组合、概率 15 年:18.(本题满分 12 分) 某公司为了解用户对其产品的满意度,从 , 两地区分别随机调查了 20 个用户,得到用 户对产品的满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度 评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可); 2 2 2 2 0)1(x y a b a b+ = > > 2 0bx ay ab− + = 6 3 3 3 2 3 1 3 AP AB ADλ µ= +   λ µ+ 2 5 ( )4, 2P − A B (Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记时间 C:“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评 价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求 C 的概 率. 16 年: (12)定义“规范 01 数列”{an}如下:{an}共有 2m 项,其中 m 项 为 0,m 项为 1, 且对任意 , 中 0 的个数不少于 1 的个数.若 m=4,则不同的“规范 01 数列”共有 (A)18 个 (B)16 个 (C)14 个 (D)12 个 17 年:18.(12 分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶 4 元, 售价每瓶 6 元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售 经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于 25,需求量为 500 瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为 300 瓶;如果最高气温低于 20,需求量为 200 瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的 频数分布表: 最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天的需求量 X(单位:瓶)的分布列; 2k m≤ 1 2, , , ka a a A 地区 B 地区 4 5 6 7 8 9 (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量 n (单位:瓶)为多少时,Y 的数学期望达到最大值? (二)二项式定理: 15 年 : 15 . 的 展 开 式 中 x 的 奇 数 次 幂 项 的 系 数 之 和 为 32 , 则 __________. 16 年:无 17 年:4. 的展开式中 的系数为 A. B. C.40 D.80 (三)统计案例(独立性检验、线性回归): 15 年:3.根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图。 以下结论不正确的是( ) A.逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现 C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 16 年:(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平 均最低气温的雷达图。图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 150C,B 点表示四月的平 均最低气温约为 50C。下面叙述不正确的是 4( )(1 )a x x+ + a = ( )( )52x y x y+ − 3 3x y 80− 40− 2004 年 2005 年 2006 年 2007 年 2008 年 2009 年 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 (A) 各月的平均最低气温都在 00C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于 200C 的月份有 5 个 (18)(本小题满分 12 分) 下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图 (I)由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请用相关系数加以说明; (II)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01),预测 2016 年我国生活垃圾无害化处 理量。 参考数据: , , , 7≈2.646. 参考公式:相关系数 回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 17 年:3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图. 7 1 9.32i i y = =∑ 7 1 40.17i i i t y = =∑ 7 2 1 ( ) 0.55i i y y = − =∑ 1 2 2 1 1 ( )( ) ( ) (y y) n i i i n n i i i i t t y y r t t = = = − − = − − ∑ ∑ ∑ , y a bt= +   1 2 1 ( )( ) ( ) n i i i n i i t t y y b t t = = − − = − ∑ ∑  , = .a y bt−   根据该折线图,下列结论错误的是 A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月 D.各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月,波动性更小,变化比较平稳 十、选做题考点:坐标系与参数方程: 15 年:23.(本小题满分 10 分)在直角坐标系 中,曲线 ( 为参数, ),其 中 , 在 以 为 极 点 , 轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 , 曲 线 ,曲线 . (Ⅰ).求 与 交点的直角坐标; (Ⅱ).若 与 相交于点 , 与 相交于点 ,求 的最大值. 16 年 : 23. ( 本 小 题 满 分 10 分 ) 在 直 角 坐 标 系 中 , 曲 线 的 参 数 方 程 为 ,以坐标原点为极点,以 轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲 线 的极坐标方程为 . (I)写出 的普通方程和 的直角坐标方程; (II)设点 P 在 上,点 Q 在 上,求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标. 17 年:22.在直角坐标系 xOy 中,直线 l1 的参数方程为 (t 为参数),直线 l2 的参 数方程为 .设 l1 与 l2 的交点为 P,当 k 变化时,P 的轨迹为曲线 C. (1)写出 C 的普通方程; xOy 1C 3cos ( ) sin x y θ θ θ  = = 为参数 x 2C sin( ) 2 24 ρ θ π+ = 1C 2C 1C 2C xoy 1 cos ,: sin , x tC y t α α =  = t 0t ≠ 0 α π≤ < O x 2 : 2sinC ρ θ= 3 : 2 3 cosC ρ θ= 2C 1C 2C 1C A 3C 1C B AB 2+ , , x t y kt =  = 2 , , x m mmy k = − + = ( 为参数) (2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设 , M 为 l3 与 C 的交点,求 M 的极径. ( )3 : cos sin 2 0l ρ θ θ+ − =