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- 2021-05-13 发布
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第四章 导数及其应用 第18课 利用导数研究函数的极值、最值课时分层训练
A组 基础达标
(建议用时:30分钟)
一、填空题
1.当函数y=x·2x取极小值时,x等于________.
- [令y′=2x+x·2xln 2=0,
∴x=-.
经验证,-为函数y=x·2x的极小值点.]
2.函数y=ln x-x在x∈(0,e]上的最大值为________.
-1 [函数y=ln x-x的定义域为(0,+∞).
又y′=-1=,令y′=0得x=1,
当x∈(0,1)时,y′>0,函数单调递增;
当x∈(1,e]时,y′<0,函数单调递减.
当x=1时,函数取得最大值-1.]
3.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是________.
(-∞,-3)∪(6,+∞) [∵f′(x)=3x2+2ax+(a+6),
由已知可得f′(x)=0有两个不相等的实根,
∴Δ=4a2-4×3(a+6)>0,即a2-3a-18>0,
∴a>6或a<-3.]
4.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)图象的是________.(填序号)
【导学号:62172101】
① ② ③ ④
图183
④ [因为[f(x)ex]′=f′(x)ex+f(x)(ex)′=[f(x)+f′(x)]ex,且x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,所以f(-1)+f′(-1)=0.选项④中,f(-1)>0,f
′(-1)>0,不满足f′(-1)+f(-1)=0.]
5.函数f(x)=x3+x2-3x-4在[0,2]上的最小值是________.
- [f′(x)=x2+2x-3,令f′(x)=0得x=1(x=-3舍去),又f(0)=-4,f(1)=-,f(2)=-,故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)=-.]
6.设a∈R,若函数y=ex+ax有大于零的极值点,则实数a的取值范围是________.
(-∞,-1) [∵y=ex+ax,∴y′=ex+a.
∵函数y=ex+ax有大于零的极值点,
则方程y′=ex+a=0有大于零的解,
∵x>0时,-ex<-1,∴a=-ex<-1.]
7.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,则f(2)=________.
【导学号:62172102】
18 [∵函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,且f′(x)=3x2+2ax+b,
∴f(1)=10,且f′(1)=0,
即
解得或
而当时,函数在x=1处无极值,故舍去.
∴f(x)=x3+4x2-11x+16.
∴f(2)=18.]
8.函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的单调递减区间是________.
(-1,1) [∵f′(x)=3x2-3a,由f′(x)=0得x=±.
由f′(x)>0得x>或x<-;
由f′(x)<0得-0得x<-2或x>0,
由f′(x)<0得00时,求函数f(x)在[1,2]上的最小值. 【导学号:62172104】
[解] (1)f′(x)=-a(x>0).
①当a≤0时,f′(x)=-a>0,即函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).
②当a>0时,令f′(x)=-a=0,可得x=,
当00;
当x>时,f′(x)=<0,
故函数f(x)的单调递增区间为,
单调递减区间为.
综上可知,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞);
当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)①当≤1,即a≥1时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,所以f(x)的最小值是f(2)=ln 2-2a.
②当≥2,即00时,令f′(x)>0,解得x>m或x<,令f′(x)<0,解得0得x,令f′(x)<0得>x>m,
∴f(x)在(-∞,m)递增,在递减,∴f(x)极大值=f(m)=,而f(m)=0,不成立.
综上,m=.]
2.设函数f(x)=则f(x)的最大值为________.
2 [当x>0时,f(x)=-2x<0;当x≤0时,f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),当x<-1时,f′(x)>0,f(x)是增函数,当-1<x<0时,f′(x)<0,f(x)是减函数,∴f(x)≤f(-1)=2,∴f(x)的最大值为2.]
3.设函数f(x)=(x-1)ex-kx2,当k∈时,求函数f(x)在[0,k]上的最大值M.
[解] 因为f(x)=(x-1)ex-kx2,
所以f′(x)=xex-2kx=x(ex-2k),
令f′(x)=0,解得x1=0,x2=ln 2k,
因为k∈,所以2k∈(1,2],所以0<ln 2k≤ln 2.
设g(k)=k-ln 2k,k∈,
g′(k)=1-=≤0,
所以g(k)在上是减函数,
所以g(k)≥g(1)=1-ln 2>0,即0<ln 2k<k.
所以f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:
x
(0,ln 2k)
ln 2k
(ln 2k,k)
f′(x)
-
0
+
f(x)
极小值
所以函数f(x)在[0,k]上的最大值为f(0)或f(k).
f(0)=-1,f(k)=(k-1)ek-k3,
f(k)-f(0)=(k-1)ek-k3+1=(k-1)ek-(k3-1)
=(k-1)ek-(k-1)(k2+k+1)
=(k-1)[ek-(k2+k+1)].
因为k∈,所以k-1≤0.
令h(k)=ek-(k2+k+1),则h′(k)=ek-(2k+1).
对任意的k∈,y=ek的图象恒在y=2k+1的图象的下方,所以ek-(2k+1)<0,即h′(k)<0,
所以函数h(k)在上为减函数,故h(1)≤h(k)<h=e-=-<0,
所以f(k)-f(0)≥0,即f(k)≥f(0).
所以函数f(x)在[0,k]上的最大值M=f(k)=(k-1)ek-k3.
4.设a>0,函数f(x)=x2-(a+1)x+a(1+ln x).
(1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处与直线y=-x+1垂直的切线方程;
(2)求函数f(x)的极值.
[解] (1)由已知,得x>0,f′(x)=x-(a+1)+,
y=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为1,
所以f′(2)=1,
即2-(a+1)+=1,
所以a=0,
此时f(2)=2-2=0,
故所求的切线方程为y=x-2.
(2)f′(x)=x-(a+1)+
=
=.
a.当0<a<1时,若x∈(0,a),f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
若x∈(a,1),f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
若x∈(1,+∞),f′(x)>0,函数f(x)单调递增.
此时x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点,
函数f(x)的极大值是f(a)=-a2+aln a,极小值是f(1)=-.
b.当a=1时,f′(x)=≥0,
所以函数f(x)在定义域(0,+∞)内单调递增,
此时f(x)没有极值点,故无极值.
c.当a>1时,若x∈(0,1),f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
若x∈(1,a),f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
若x∈(a,+∞),f′(x)>0,函数f(x)单调递增.
此时x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点 ,函数f(x)的极大值是f(1)=-,极小值是f(a)=-a2+aln a.
综上,当0<a<1时,f(x)的极大值是-a2+aln a,极小值是-;
当a=1时,f(x)没有极值;
当a>1时,f(x)的极大值是-,极小值是-a2+aln a.
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