2012新课标高考数学基础知识归纳总结 16页

‎2012新课标高考数学基础知识归纳总结 模块(一)‎ 第一部分 不等式 ‎1、不等式性质 ‎（1）不等式比较性质 ①比差性：，；‎ ③比商性：；。‎ ‎（2）不等式的基本性质 ①对逆性： ；‎ ②传递性：；‎ ③倒数性：；；‎ ④可加性：；‎ ⑤可乘性：；；‎ ⑥可乘方性：；‎ ⑦可开方性：；‎ ⑧同向不等式可加性：；‎ ⑨异向不等式可减性：；‎ ⑩同向正数不等式可乘性：；‎ ‎⑾异向正数不等式可除性：，。‎ ‎（3）含绝对值不等式性质 ‎①，；，；‎ ‎②绝对值三角不等式：‎ ‎（4）几个重要不等式（基本不等式）‎ ‎①,（当且仅当时取号），变形公式：‎ ‎②（基本不等式、均值不等式、算术—几何平均不等式）‎ ‎ ,（当且仅当时取到等号）.‎ 变形公式：，‎ ‎（当仅当a=b时取等号）‎ 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.‎ ‎③（三维基本不等式、均值不等式、算术—几何平均不等式）‎ ‎（当且仅当时取到等号）. （选讲）‎ ‎④（当且仅当时取到等号）.‎ ‎⑤（当且仅当时取到等号）.‎ ‎⑥ 其中；浓度规则：小于1同加则变大 ‎⑦平均不等式：‎ ‎,（当且仅当时取号）（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.‎ ‎ 变形公式： ‎ ‎2、解不等式 ‎（1）一元二次不等式的解法 求一元二次不等式解集的步骤：‎ 一化：化二次项前的系数为正数。二判：判断对应方程的根。三求：求对应方程的根。‎ 四画：画出对应函数的图象。五解集：根据图象写出不等式的解集。‎ 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边。‎ ‎（2）高次整式不等式的解法：穿根法.‎ 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（原则：未知数的系数为正，奇穿偶切回），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.‎ ‎（3）分式不等式的解法：先移项使得不等式一端为0，再通分。‎ ‎①穿根法：规则同上 ‎②把分式不等式等价转化为整式不等式求解：‎ ‎ （时同理）‎ ‎（4）无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 ‎① ‎ ‎②‎ ③‎ ④‎ ⑤‎ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.‎ ‎（5）指数不等式的解法：根据指数函数的单调性转化 ‎①当时,；‎ ‎②当时, ‎ ‎（6）对数不等式的解法：根据对数函数的单调性转化，并注意对数函数的定义域 ‎①当时, ‎ ‎②当时, ‎ ‎（7）含绝对值不等式的解法：（选讲）‎ ‎⑴性质法：利用性质同解变形，关键是去掉绝对值的符号.‎ ‎①②‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎⑵平方法：‎ ‎⑶讨论法（通法）：适用于解含有两个（或两个以上）绝对值的不等式 找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集. ‎ ‎（8）含参数的不等式的解法 解形如且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：‎ ‎⑴讨论与0的大小；⑵讨论与0的大小；⑶讨论两根的大小（合层划分法）.‎ ‎3、恒成立问题 ‎⑴不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：‎ 当时 ②当时 ‎⑵不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：‎ 当时 ②当时 ‎⑶恒成立 恒成立（高低原理）‎ ‎⑷恒成立 恒成立（高低原理）‎ ‎4、比较大小及不等式的证明 ‎ （1）比较大小的基本方法：‎ 比较法（比差、比商）、中间量法（传递性）、单调性法（定义、求导）和图象法。‎ ‎（2）证明不等式的基本方法：‎ 比较法、综合法与分析法、反证法与放缩法 第二部分 逻辑、推理与证明 ‎1、命题 ‎（1）命题：可以判断真假的语句叫命题；‎ 逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；‎ 简单命题：不含逻辑联结词的命题;‎ 复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题.‎ 常用小写的拉丁字母，，，，……表示命题.‎ ‎（2）四种命题及其相互关系 四种命题的真假性之间的关系：‎ ‎⑴两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；‎ ‎⑵两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．‎ ⑶注意区分：某命题的否命题与该命题的否定（非命题）。‎ ‎（3）充分条件、必要条件与充要条件 ‎⑴如果已知，那么就说：是的充分条件，是的必要条件；‎ 若，则是的充分必要条件，简称充要条件．‎ ‎⑵注意区分：“甲是乙的充分条件（甲乙）”与“甲的充分条件是乙（乙甲）”‎ Ⅰ、从逻辑推理关系上看：‎ ‎①若，则是充分条件，是的必要条件；‎ ‎②若，但，则是充分而不必要条件;‎ ‎③若，但，则是必要而不充分条件;‎ ‎④若且，则是的充要条件；‎ ‎⑤若且，则是的既不充分也不必要条件.‎ Ⅱ、从集合与集合之间的关系上看：‎ 已知满足条件，满足条件：‎ ‎①若,则是充分条件；‎ ‎②若,则是必要条件；‎ ‎③若AB，则是充分而不必要条件;‎ ‎④若AB，则是必要而不充分条件;‎ ‎⑤若，则是的充要条件；‎ ‎⑥若且，则是的既不充分也不必要条件.‎ ‎（4）复合命题 ‎⑴复合命题有三种形式：或（）；且（）；非（）.‎ ‎⑵复合命题的真假判断 ‎“或”形式复合命题的真假判断方法：一真必真；‎ ‎“且”形式复合命题的真假判断方法：一假必假；‎ ‎“非”形式复合命题的真假判断方法：真假相对.‎ ‎（5）全称量词与存在量词 ‎⑴全称量词与全称命题 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题.‎ ‎⑵存在量词与特称命题 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题.‎ ‎⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定 ‎①全称命题：，它的否定：全称命题的否定是特称命题．‎ ‎②特称命题：，它的否定：特称命题的否定是全称命题.‎ ‎（6）常见结论的否定形式 原命题词语 非命题对应词语 原命题词语 非命题对应词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有个 至多有（）个 小于 不小于 至多有个 至少有（）个 对所有，成立 存在某，不成立 或 且 对任何，不成立 存在某，成立 且 或 ‎2、推理与证明 ‎（1）推理：‎ ‎⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。‎ ‎①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。‎ 注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。‎ ‎②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。‎ 注：类比推理是特殊到特殊的推理。‎ ‎⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。‎ 注：演绎推理是由一般到特殊的推理。‎ ‎“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---已知的一般结论；⑵小前提---所研究的特殊情况；⑶结论---根据一般原理，对特殊情况得出的判断。‎ ‎（2）证明：‎ ‎⑴直接证明 ‎ ①综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。‎ ②分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。‎ ‎（2）间接证明（反证法）：‎ 一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。 实质就是证原命题的逆否命题。 ‎ 第三部分 集合 ‎1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：①元素三个特征：互异性、无序性、确定性；②元素是函数关系中自变量x的取值？还是函数y的取值？还是曲线上的点(x,y)？… ‎ ‎2 .数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决 ‎3. 属于与包含于之区别 ‎(1) 元素与集合的关系：,.‎ ‎（2）集合与集合的关系：；；‎ ‎（3）是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.‎ ‎4．集合运算：交、并、补.‎ ‎5．运算性质 德摩根公式： .‎ 重要等价性质：；‎ 集合的运算律：‎ 交换律： ‎ 结合律:.‎ 分配律:..‎ 注意：φ∩A=φ；φ∪A= A；‎ A∩CUA=φ；A∪CuA=U ；CUU=φ；CUφ=U .‎ 讨论的时候不要遗忘了的情况.‎ ‎6．有限集的元素个数 定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.‎ 基本公式：‎ ‎7．集合的子集个数共有 个；真子集有–1个；非空子集有 –1个；‎ 非空真子集有–2个.‎ 模块(二)‎ 第四部分 函数与导数 ‎1．映射：注意: ①第一个集合中的每个元素必须有象（任意性）；②一对一或多对一（唯一性）.‎ ‎2．函数值域的求法：①利用函数单调性 ；②导数法；③换元法 ；④判别式法 ；⑤配方法 ；‎ ‎⑥利用均值不等式 ；⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（、、等）；‎ ‎3．复合函数的有关问题:‎ ‎（1）复合函数定义域求法：‎ 若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b解出 ‎（2）复合函数单调性的判定：‎ ‎①首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数 ‎②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性 ‎③根据“同增，异减”来判断原函数在其定义域内的单调性.‎ ‎4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。‎ ‎5．函数的奇偶性:‎ ‎⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 ‎⑵是奇函数（或，若时，）；‎ 是偶函数（，若时，）.‎ ‎⑶奇函数在0处有定义，则 ‎⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性 ‎⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性。如 ‎6．函数的单调性:‎ ‎⑴单调性的定义：‎ ‎①在区间上是增函数当时，恒有；‎ ‎②在区间上是减函数当时，恒有；‎ ‎⑵单调性的判定：①定义法：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法 注：证明单调性主要用定义法和导数法。‎ ‎7．函数的周期性：‎ ‎(1)周期性的定义：对定义域内的任意，若有 （其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。‎ ‎（2）三角函数的周期：① ；② ；③；‎ ‎④ ；⑤‎ ‎(3)与周期有关的结论：‎ 的周期为（用替换即证）‎ 的周期为（用替换即证）‎ 的周期为 的周期为 的周期为 ‎8．基本初等函数的图像与性质：‎ ㈠指数运算、对数运算性质 ‎ ①分数指数幂性质：‎ ‎；；‎ ‎（，且）；（，且）. ‎ ‎②指数运算性质：‎ 若，则，，，‎ ③指数、对数运算转化性质：； ‎ ‎④对数运算性质 若 则； ；‎ ‎⑤对数的换底公式:‎ ‎（）‎ ‎⑥指数、对数互逆性质: ‎ ‎ （），（）。‎ ㈡基本初等函数的图像与性质 ‎⑴简单基本初等函数 ‎ ①一次函数，特殊：正比例函数：‎ ‎②反比例函数：；‎ ‎③对号函数：‎ ‎④二次函数：‎ ‎▲二次函数的解析式的三种形式：‎ 一般式；顶点式；‎ 零点式.‎ ‎▲闭区间上的二次函数的最值 ：‎ ‎ 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下：‎ 当a>0时，若，则；‎ 若，则，.‎ 当a<0时，若，则，‎ 若，则，.‎ ‎▲一元二次方程（a＞0）的实根分布 ‎ 设 有二个正根；有二个负根 有二个根；有二个根；‎ 有二个根；二根，‎ 其它情形利用零点存在定理解决。‎ ‎⑵指数函数：；‎ 定义域R,值域，恒过点（0，1），渐近线：x轴 当时,增函数；当时，减函数 ‎⑶对数函数:；‎ 定义域,值域R，恒过点（1，0），渐近线：y轴 当时,增函数；当时，减函数 ‎⑷幂函数： （ ；‎ 恒过点（1，1）‎ 当时，还恒过点（0，0）；在是增函数；凸（）凹（）性。‎ 当时，在是减函数。‎ ‎⑸正弦函数的定义域R；值域 [-1,1]；最（极）值；奇函数；‎ 对称中心为；对称轴为；‎ 调递增区间为；单调递减区间为。‎ ‎⑹余弦函数的定义域R；值域 [-1,1]；最（极）值：偶函数；‎ 对称中心为；对称轴为；‎ 单调递增区间为,单调递减区间为，‎ ‎⑺正切函数的定义域；值域R；奇函数；‎ 对称中心为；单调递增区间为.‎ ‎10．函数图象： ‎ ‎⑴图象作法：①描点法（特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法 ③导数法 ‎⑵图象变换：‎ ① 平移变换：‎ ⅰ) ,‎ ‎；。‎ ‎ ⅱ) ‎ ‎；。‎ 推广到曲线：,‎ 规则：；;‎ ‎；;‎ ② 对称变换 如何求中心对称点（中点坐标公式）和轴对称点坐标（中垂线）？‎ ‎▲求对称函数解析式：ⅰ)；ⅱ)；‎ ⅲ) ； ⅳ)；‎ ⅴ）；ⅵ）.‎ ‎？（对称点坐标变化规律决定对称曲线变化结果）‎ 推广到曲线：‎ ⅰ）曲线C1:f(x,y)=0关于原点（0,0）的对称曲线C2方程为：f(－x,－y)=0;‎ ⅱ）曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C2方程为：f(－x, y)=0; ‎ ⅲ）曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C2方程为：f(x, －y)=0;‎ ⅳ）曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C2方程为：f(y, x)=0‎ ⅴ）；ⅵ）‎ ‎？（对称点坐标变化规律决定对称曲线变化结果）‎ ▲ 函数自身对称问题 某函数图像（或方程曲线）关于某对称点（或轴）的对称图像（或曲线）与之完全重合，则该函数图像（方程曲线）自身具有对称性。故所有函数图像（或方程曲线）对称问题均可用上述方法解决。‎ ‎※f(a+x)=f(b－x) （x∈R）y=f(x)图像关于直线x=对称；‎ 特别地：f(a+x)=f(a－x)（x∈R）y=f(x)图像关于直线x=a对称.‎ f(x)=f(‎2a－x)（x∈R）y=f(x)图像关于直线x=a对称.‎ f(x)=f(－x)（x∈R）y=f(x)图像关于直线x=0对称.‎ ‎※的图象关于点对称.‎ 特别地：的图象关于点对称.‎ ‎ f(x)=-f(‎2a－x)的图象关于点对称 f(x)=-f(－x)的图象关于点（0，0）对称 ③ 翻折变换：‎ ⅰ)———（去左翻右）y轴右不动，右向左翻（在左侧图象去掉）；‎ ⅱ)———（留上翻下）x轴上不动，下向上翻（||在下面无图象）；‎ ‎12．函数零点的求法：‎ ‎⑴零点存在定理：若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)·f(b)<0 , 则y=f(x)在（a,b)内至少有一个零点。‎ ‎⑵零点唯一性论证：若y=f(x)在（a,b)内存在零点，且y=f(x)在（a,b)上单调，则y=f(x)在（a,b)内只有一个零点。‎ ‎⑶求零点或零点个数：直接法（求的根）；图象法；二分法.‎ ‎13．导数： ‎ ‎⑴导数定义：f(x)在点x0处的导数记作 ‎⑵常见函数的导数公式: ‎ ‎①；②；③；④；⑤‎ ‎；⑥；⑦；⑧ 。‎ ‎⑶导数的四则运算法则：‎ ‎⑷（理科）复合函数的导数：‎ ‎⑸导数的应用： ‎ ‎①利用导数求切线。注意：※有切点必用，无切点设切点再用※ⅰ)所给点是切点吗？ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的切线？‎ ‎②利用导数判断函数单调性：i）是增函数；ii）为减函数；iii）为常数； ‎ ‎※增、减，决定的凹（先慢后快）、凸（先快后慢）。‎ ‎③利用导数求极值：‎ ⅰ）求导数；ⅱ）求方程的根；ⅲ）列表得极值。‎ ① 利用导数求最大值与最小值：‎ ⅰ）求极值；ⅱ）求区间端点值（如果有）；ⅲ）比较得最值。‎ 模块(三)‎ 第五部分 数列 ‎1．定义：‎ ‎⑵等比数列 ‎ ‎2．等差、等比数列性质：‎ 等差数列 等比数列 通项公式 前n项和 性质 ‎①an=am+ (n－m)d,‎ ‎①an=amqn-m;‎ ‎②m+n=p+q时am+an=ap+aq ‎ ‎②m+n=p+q时aman=apaq ‎③成AP ‎③成GP ‎3．常见数列通项的求法：‎ ‎⑴定义法（利用AP,GP的定义）；⑵公式法： ‎ 递推公式求通项：⑶累加法（型）；⑷累乘法（型）；‎ ‎⑸待定系数法（凑配化等比）（型）转化为 ‎⑹间接法（例如：）。‎ ‎4．前项和的求法：‎ ‎⑴公式法：适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。‎ ‎⑵倍差法（错位相减法）；:适用于其中{ }是等差数列，是等比数列。‎ ‎⑶裂项法。适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；‎ 如①； ②；‎ ‎③，‎ ‎⑷分组求和法；‎ ‎⑸倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.‎ ‎5．等差数列前n项和最值的求法：‎ ‎⑴最大值 ；⑵利用二次函数的图象与性质。‎ ‎6. 等比数列的前项和公式的常见应用题：‎ ‎⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为，年增长率为，则每年的产量成等比数列，公比为. 其中第年产量为，且过年后总产量为：‎ ‎⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，则每月的元过个月后便成为元. 因此，第二年年初可存款：‎ ‎=.‎ ‎⑶分期付款应用题：为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；为年利率.‎ 注意：i. ，是a、b、c成等比的双非条件，即a、b、c等比数列.‎ ii. （ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要.‎ iii. →为a、b、c等比数列的必要不充分.‎ iv. 且→为a、b、c等比数列的充要. ‎ 模块（四)‎ 第六部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形 ‎1．⑴角度制与弧度制的互化：弧度，弧度，弧度 ‎⑵弧长公式：；扇形面积公式：。‎ ‎2．三角函数定义:角终边上任一点（非原点）P,设 ‎ 则：‎ 三角不等式：‎ ‎（1）若，则.‎ ‎(2) 若，则.‎ ‎(3) .‎ ‎3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全s t c”）‎ ‎4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”‎ ‎5．同角三角函数的基本关系：‎ ‎6．三角函数的单调区间及对称性：‎ ‎ ⑴的单调递增区间为,单调递减区间为 ‎，对称轴为,对称中心为.‎ ‎⑵的单调递增区间为,单调递减区间为，‎ 对称轴为,对称中心为.‎ ‎⑶的单调递增区间为，对称中心为.‎ ‎7．三角函数型函数图像与性质 图像：五点作图法 ‎⑴ 对称轴：令 得对称轴 对称中心：令 得对称中心； ‎ ‎⑵ 对称轴：令，得对称轴；‎ 对称中心：令得对称中心； ‎ ‎⑶周期公式:①函数及的周期 (A、ω、为常数，‎ 且A≠0).②函数的周期 (A、ω、为常数，且A≠0).‎ ‎⑷单调区间：‎ ‎8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式： ‎ ‎①；；‎ ‎.‎ ‎②=(其中,辅助角所在象限由点所在的象限 决定, ).‎ ‎9．二倍角公式：①.‎ ‎②（升幂公式）.‎ ‎（降幂公式）.‎ ‎③ ‎ ‎10．正、余弦定理：‎ ‎⑴正弦定理： （是外接圆直径 ）‎ 注：①；②；③。‎ ‎⑵余弦定理：等三个； 等三个。‎ ‎11.几个公式:⑴三角形面积公式：①（分别表示a、b、c边上的高）；②.③‎ ‎⑵外接圆直径2R=‎ 内切圆半径 模块（五)‎ 第七部分 平面向量 ‎1.向量的概念 ‎(1)向量的基本要素：大小和方向. ‎(2)向量的表示：几何表示法 ；字母表示：a；坐标表示法 a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）. ‎(3)向量的长度：即向量的大小，记作. ‎(4)特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O.单位向量aO为单位向量｜aO｜＝1. ‎(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）‎ ‎(6) 相反向量：a=-bb=-aa+b=0‎ ‎(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b. ‎2.向量的平行与垂直： 设=,=，且，，‎ 则：①∥=λ；‎ ‎② ()·=0.‎ ‎3.三点共线的充要条件：P，A，B三点共线。‎ ‎4.平面上两点间的距离公式: 设A，B,‎ 则；.‎ ‎5.向量的运算 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质 向量的 加法 ‎1.平行四边形法则 ‎2.三角形法则 向量的 减法 三角形法则 ‎,‎ 数 乘 向 量 ‎1.是一个向量,‎ 满足:‎ ‎2.>0时, 同向;‎ ‎<0时, 异向;‎ ‎=0时, .‎ 向 量 的 数 量 积 是一个实数 ‎=|a||b|cos‎ 注：①|a|cos叫做a在b方向上的投影；|b|cos叫做b在a方向上的投影；‎ ②a·b的几何意义：a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。‎ ‎③两向量的夹角公式：‎ ‎(=,=).‎ ‎6.三角形五“心”向量形式的充要条件：‎ 设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则 ‎（1）为的外心.‎ ‎（2）为的重心.‎ ‎（3）为的垂心.‎ ‎（4）为的内心. ‎ ‎（5）为的的旁心.‎ 附：三角形的五个“心”的意义：‎ 重心：三角形三条中线交点.‎ 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.‎ 内心：三角形三内角的平分线相交于一点.‎ 垂心：三角形三边上的高相交于一点.‎ 旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.‎ 第八部分 复数 ‎1．概念：‎ ‎⑴复数：形如z=a+bi（a，b∈R）称为复数；其中i2=-1,称为虚数单位。‎ 实数：当b=0 (a,b∈R)时，复数z=a+bi为实数；z=a+bi∈Rz= z2≥ 0。‎ 虚数：当b≠0(a,b∈R时，复数z =a+bi为虚数。‎ 纯虚数：当a=0且b≠ 0(a,b∈R)时，复数z=a+bi为纯虚数；z＋＝0（z≠ 0）z2<0。‎ ‎⑵复数相等条件：a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈R)。‎ ‎⑶复数z=a+bi对应点为Z（a，b）.‎ ‎⑷复数的模 ‎2．复数的代数形式及其运算：设z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R)，则：‎ ‎⑴z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i；⑵ z1.z2 = (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i；⑶= (z2≠ 0) ;‎ ‎3．几个重要的结论：‎ ‎； ⑵； ⑶‎ ‎⑷性质： ；‎ ‎4．模的性质：⑴；⑵；⑶。‎ ‎5.实系数一元二次方程的解： ‎ ‎①若,则;②若,则;‎ ‎③若，它在实数集内没有实数根；‎ 在复数集内有且仅有两个共轭虚数根：.‎ 模块（六)‎ 第九部分 立体几何 ‎1．三视图与直观图：⑴画三视图要求：正视图与俯视图长对正；俯视图与侧视图宽相等；正视图与侧视图高平齐。 ⑵斜二测画法画水平放置几何体的直观图的要领。‎ ‎2．表（侧）面积与体积公式：‎ ‎⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底；②侧面积：S侧=；③体积：V=S底h ‎ ‎⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底；②侧面积：S侧=；③体积：V=S底h：‎ ‎⑶台体：①表面积：S=S侧+S下底;②侧面积：S侧=;③体积：V=（S+）h.‎ ‎⑷球体：①表面积：S=；②体积：V=.‎ ‎▲求体积的关键在于确定易求值的高（经常利用面面垂直的性质定理确定高线，或用等积法）；或采用换顶点法（有体内换顶点和体外换顶点两种方法）‎ ‎3．位置关系的证明（主要方法）：‎ 证明直线与直线的平行的思考途径 ‎（1）转化为判定共面二直线无交点（平行定义）；‎ ‎（2）转化为二直线同与第三条直线平行（公理4）；‎ ‎（3）转化为线面平行（线面平行的性质定理）；‎ ‎（4）转化为线面垂直（线面垂直的性质定理）；‎ ‎（5）转化为面面平行（面面平行的性质定理）.‎ 证明直线与平面的平行的思考途径 ‎（1）转化为直线与平面无公共点（平行定义）；‎ ‎（2）转化为线线平行（线面平行的判定定理）；‎ ‎（3）转化为面面平行（平行定义）.‎ 证明平面与平面平行的思考途径 ‎（1）转化为判定二平面无公共点（平行定义）；‎ ‎（2）转化为线面平行（面面平行的判定定理）；‎ ‎（3）转化为线面垂直.（面面平行的性质定理）‎ 证明直线与直线的垂直的思考途径 ‎（1）转化为相交垂直（化平面几何）；‎ ‎（2）转化为线面垂直（垂直定义）；‎ ‎（3）转化为线与另一线的射影垂直（三垂线逆定理）；‎ ‎（4）转化为线与形成射影的斜线垂直（三垂线定理）.‎ 证明直线与平面垂直的思考途径 ‎（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直（垂直定义）；‎ ‎（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直（直线与平面垂直的判定定理）；‎ ‎（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行（直线与平面垂直的性质定理）；‎ ‎（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面（面面平行的性质定理）；‎ ‎（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直（面面垂直的性质定理）。‎ 证明平面与平面的垂直的思考途径 ‎（1）转化为判断二面角是直二面角；‎ ‎（2）转化为线面垂直（面面垂直的判定定理）。‎ ‎4.求角：（步骤-------Ⅰ.找或作角；Ⅱ.求角）‎ ‎⑴异面直线所成角的求法：‎ 平移法：平移直线，构造三角形；‎ ‎⑵直线与平面所成的角：‎ 直接法（利用线面角定义）； ‎ ‎5.求距离：‎ 点到平面的距离：Ⅰ. 等体积法；‎ Ⅱ.找或作垂线段(面面垂直——面内的点到交线距离即为点到另一面距离)，求垂线段长。‎ ‎6．结论：‎ ‎⑴棱（圆）锥的平行截面的性质：如果棱（圆）锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于截得小锥体的高与原棱锥高的比的平方；截得小锥体与原锥体体积比为它们高的比的平方。‎ ‎⑵长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则体对角线长为，全面积为2ab+2bc+2ca，体积V=abc。‎ ‎⑶正方体的棱长为a，则体对角线长为，全面积为，体积V=。‎ ‎⑷正四面体的性质：设棱长为，则正四面体的：‎ ① 高：；②对棱间距离：；③内切球半径：；④外接球半径：。‎ ‎⑸球的组合体：‎ 球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.‎ 球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.‎ 球与正四面体的组合体: 棱长为的正四面体的内切球的半径为，(正四面体高的),‎ 棱长为的正四面体的外接球的半径为(正四面体高的).‎ 模块（七)‎ 第十部分 直线与圆 ‎1．斜率公式：，其中、.‎ 直线的方向向量，则直线的斜率为=.‎ ‎2.直线方程的五种形式：‎ ‎(1)点斜式： (直线过点，且斜率为)．‎ ‎(2)斜截式：(为直线在轴上的截距).‎ ‎(3)两点式：(、 ，).‎ ‎(4)截距式：(其中、分别为直线在轴、轴上的截距，且).‎ ‎(5)一般式：(其中A、B不同时为0).‎ ‎3．两条直线的位置关系：‎ ‎（1）若，,则：‎ ‎① ∥,； ②.‎ ‎（2）若,,则：‎ ‎① 且；②.‎ ‎4．求解线性规划问题的步骤是：‎ ‎（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。‎ ‎5．两个公式:‎ ‎⑴点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离：；‎ ‎⑵两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离 ‎6．圆的方程：‎ ‎⑴标准方程：① ；② 。‎ ‎⑵一般方程： （‎ 注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>0‎ ‎⑶圆的参数方程： （为参数）‎ ‎7．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。 ‎ ‎8．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）‎ ‎⑴点与圆的位置关系：（表示点到圆心的距离）‎ ‎①点在圆上；②点在圆内；③点在圆外。‎ ‎⑵直线与圆的位置关系：（表示圆心到直线的距离）‎ ‎①相切；②相交；③相离。‎ ‎⑶圆与圆的位置关系：（表示圆心距，表示两圆半径，且）‎ ‎①相离；②外切；③相交；‎ ‎④内切；⑤内含。‎ ‎9．直线与圆相交所得弦长 第十一部分 圆锥曲线 ‎1．抛物线的标准方程的类型及其几何性质：‎ 图形 焦点 准线 范围 对称轴 轴 轴 顶点 ‎ （0，0）‎ 离心率 焦点半径 注：①顶点.‎ ‎②则焦点半径;则焦点半径为.‎ ‎③方程y2=ax与x2=ay的焦点坐标及准线方程.‎ ‎④（或）的参数方程为（或）（为参数）.‎ 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 椭圆 双曲线 抛物线 定义 ‎1．到两定点F1,F2的距离之和为定值‎2a(‎2a>|F‎1F2|)的点的轨迹 ‎1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值‎2a(0<‎2a<|F‎1F2|)的点的轨迹 ‎2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（01）‎ 与定点和直线的距离相等的点的轨迹.‎ 图形 方 程 标准方程 ‎(>0)‎ ‎(a>0,b>0)‎ y2=2px 参数方程 ‎(t为参数)‎ 范围 ‎─a£x£a，─b£y£b ‎|x| ³ a，yÎR x³0‎ 中心 原点O（0，0）‎ 原点O（0，0）‎ 顶点 ‎(a,0), (─a,0), (0,b) (0,─b)‎ ‎(a,0), (─a,0)‎ ‎(0,0)‎ 对称轴 x轴，y轴；‎ 长轴长2a,短轴长2b x轴，y轴;‎ 实轴长2a, 虚轴长2b.‎ x轴 焦点 F1(c,0), F2(─c,0)‎ F1(c,0), F2(─c,0)‎ 焦距 ‎2c‎ （c=）‎ ‎2c‎ （c=）‎ 离心率 e=1‎ 准线 x=‎ x=‎ 渐近线 y=±x ‎1．结论 ：‎ ‎⑴直线与圆锥曲线相交的弦长公式:若弦端点为,‎ 则,或, 或.‎ 注：ⅰ）抛物线：①＝x1+x2+p；②通径（最短弦）：2p;‎ ⅱ）椭圆、双曲线的通径：.‎ ‎⑵过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：‎ ‎（同时大于0时表示椭圆； 时表示双曲线）；‎ ‎⑶双曲线中的结论：‎ ‎①双曲线（a>0,b>0）的渐近线：； ‎ ‎②共渐进线的双曲线标准方程可设为为参数，≠ 0）；‎ ‎③双曲线为等轴双曲线渐近线互相垂直；‎ ‎⑷焦点三角形问题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。‎ ‎3．直线与圆锥曲线问题解法：‎ ‎⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。‎ 注意以下问题：①联立的关于“”还是关于“”的一元二次方程？②直线斜率不存在时考虑了吗？③判别式验证了吗？‎ ‎⑵设而不求（点差法-----代点作差法）：--------处理弦中点问题 步骤如下：①设点A(x1，y1)、B(x2,y2)；②作差得；③解决问题。‎ ‎4．求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （2）直接法（列等式）；（3）代入法（又称相关点法或坐标转移法）；⑷待定系数法；（5）消参法；（6）交轨法；（7）几何法。‎ 模块（八)‎ 第十一部分 概率与统计 ‎1．事件的关系：‎ ‎⑴事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作；‎ ‎⑵事件A与事件B相等：若，则事件A与B相等，记作A=B；‎ ‎⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作（或）；‎ ‎⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作（或） ；‎ ‎⑸事件A与事件B互斥：若为不可能事件（），则事件A与互斥；‎ ⑹对立事件：为不可能事件，为必然事件，则A与B互为对立事件。‎ ‎2．概率公式：‎ ‎⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；‎ ‎⑵古典概型：；‎ ‎⑶几何概型： ；‎ 第十二部分 统计与统计案例 ‎1．抽样方法：‎ ‎⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量 为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。‎ 注：①每个个体被抽到的概率为；‎ ‎②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数表法。‎ ‎⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的规则，从 每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。‎ 注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定起始的个体编号；④按预 先制定的规则抽取样本。‎ ‎⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，‎ 将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。‎ 注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数 注:以上三种抽样的共同特点是：在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等 ‎2．频率分布直方图与茎叶图：⑴用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。⑵当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。‎ ‎3．总体特征数的估计：‎ ‎⑴样本平均数；‎ ‎⑵样本方差 ；‎ ‎⑶样本标准差= ‎ ‎3．相关系数（判定两个变量线性相关性）：‎ ‎ ‎ 注：⑴>0时，变量正相关； <0时，变量负相关；⑵当 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；当 越接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。‎ ‎4． 回归直线方程 ‎ ‎，其中 ‎ 模块（九)‎ 第十三部分 算法初步 ‎1．程序框图：‎ ‎⑴图形符号：‎ ‎① 终端框（起止框）；② 输入、输出框； ‎ ‎③ ‎ ‎ 处理框（执行框）；④ 判断框；⑤ 流程线 ；‎ ‎⑵程序框图分类:‎ ‎①顺序结构： ②条件结构： ③循环结构：‎ ‎ r =0? 否 求n除以i的余数 ‎ 输入n 是 ‎ n不是质数 n是质数 i=i+1 ‎ ‎ i=2‎ ‎ in或r=0? 否 ‎ 是 注：循环结构分为：Ⅰ．当型（while型） ——先判断条件，再执行循环体；‎ Ⅱ．直到型（until型）——先执行一次循环体，再判断条件。‎ ‎2．基本算法语句：‎ ‎⑴输入语句 INPUT “提示内容”；变量 ；输出语句：PRINT “提示内容”；表达式 ‎ 赋值语句： 变量=表达式 ‎ ⑵条件语句：① ②‎ ‎ IF 条件THEN IF条件 THEN ‎ 语句体 语句体1‎ ‎ END IF ELSE ‎ ‎ 语句体2‎ ‎ END IF ‎⑶循环语句：①当型： ②直到型: ‎ ‎ WHILE条件 DO ‎ ‎ 循环体 循环体 ‎ WEND LOOP UNTIL 条件 ‎ ‎