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- 2021-05-13 发布
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2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数学(文科)
第I卷(选择题共55分)
一、选择题:本大题共11小题,每小题5分,共55分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若,,则( )
A. B. C. D.
2.椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
3.等差数列的前项和为,若,,则( )
A. B. C. D.
4.下列函数中,反函数是其自身的函数为( )
A., B.
C. D.,
5.若圆的圆心到直线的距离为,则的值为( )
A.或 B.或 C.或 D.或
6.设,,均为直线,其中在平面内,则“”是“且”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
1
2
第7题图
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.图中的图象所表示的函数的解析式为( )
A.
B.
C.
D.
8.设,且,,,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
9.如果点在平面区域上,点在曲线上,那么的最小值为( )
A. B. C. D.
10.把边长为的正方形沿对角线折成直二面角,折成直二面角后,在四点所在的球面上,与两点之间的球面距离为( )
A. C. B. D.
11.定义在上的函数既是奇函数,又是周期函数,是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为,则可能为( )
A.0 B.1 C.3 D.5
2007年普通高等学校招生全国统一考试(安微卷)
数学(文科)
第II卷(非选择题共95分)
注意事项:
请用毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置.
12.已知,则的值等于.
13.在四面体中,,,,为的中点,为的中点,则(用表示)
14.在正方体上任意选择两条棱,则这两条棱相互平行的概率为.
15.函数的图象为,如下结论中正确的是(写出所有正确结论的编号).
①图象关于直线对称;
②图象关于点对称;
③函数在区间内是增函数;
④由的图角向右平移个单位长度可以得到图象.
三、解答题:本大题共6小题,共79分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A
B
C
D
16.(本小题满分10分)
解不等式.
17.(本小题满分14分)
如图,在六面体中,四边形是边长为2的正方形,四边形是边长为1的正方形,平面,平面,.
(Ⅰ)求证:与共面,与共面.
(Ⅱ)求证:平面平面;
(Ⅲ)求二面角的大小(用反三角函数值表示)
18.(本小题满分14分)
设是抛物线的焦点.
(I)过点作抛物线的切线,求切线方程;
(II)设为抛物线上异于原点的两点,且满足,延长,分别交抛物线于点,求四边形面积的最小值.
19.(本小题满分13分)
在医学生物试验中,经常以果蝇作为试验对象.一个关有6只果蝇的笼子里,不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子:6只果蝇和2只苍蝇),只好把笼子打开一个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到两只苍蝇都飞出,再关闭小孔.
(I)求笼内恰好剩下1只果蝇的概率;
(II)求笼内至少剩下5只果蝇的概率.
20.(本小题满分14分)
设函数,,
其中,将的最小值记为.
(I)求的表达式;
(II)讨论在区间内的单调性并求极值.
21.(本小题满分14分)
某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为,以后每年交纳的数目均比上一年增加,因此,历年所交纳的储备金数目是一个公差为的等差数列.与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利.这就是说,如果固定年利率为,那么,在第年末,第一年所交纳的储备金就变为,第二年所交纳的储备金就变为,.以表示到第年末所累计的储备金总额.
(Ⅰ)写出与的递推关系式;
(Ⅱ)求证:,其中是一个等比数列,是一个等差数列.
2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数学(文史)参考答案
一、选择题:本题考查基本知识的基本运算.每小题5分,满分55分.
1.D 2.A 3.C 4.D 5.C 6.A
7.B 8.B 9.A 10.C 11.D
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.
12. 13. 14. 15.①②③
三、解答题
16.本小题主要考查三角函数的基本性质,含绝对值不等式的解法,考查基本运算能力.本小题满分10分.
解:因为对任意,,所以原不等式等价于.
即,,,故解为.
所以原不等式的解集为.
17.本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识,考查空间想象能力和思维能力,应用向量知识解决立体几何问题的能力.本小题满分14分.
解法1(向量法):
A
B
C
D
以为原点,以所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系如图,
则有.
(Ⅰ)证明:.
.
与平行,与平行,
于是与共面,与共面.
(Ⅱ)证明:,,
,.
与是平面内的两条相交直线.
平面.
又平面过.
平面平面.
(Ⅲ)解:.
设为平面的法向量,
,.
于是,取,则,.
设为平面的法向量,
,.
于是,取,则,.
A
B
C
D
.
二面角的大小为.
解法2(综合法):
(Ⅰ)证明:平面,平面.
,,平面平面.
于是,.
设分别为的中点,连结,
有.
,
于是.
由,得,
故,与共面.
过点作平面于点,
则,连结,
于是,,.
,.
,.
所以点在上,故与共面.
(Ⅱ)证明:平面,,
又(正方形的对角线互相垂直),
与是平面内的两条相交直线,
平面.
又平面过,平面平面.
(Ⅲ)解:直线是直线在平面上的射影,,
根据三垂线定理,有.
过点在平面内作于,连结,
则平面,
于是,
所以,是二面角的一个平面角.
根据勾股定理,有.
,有,,,.
,,
二面角的大小为.
18.本小题主要考查抛物线的方程与性质,抛物线的切点与焦点,向量的数量积,直线与抛物线的位置关系,平均不等式等基础知识,考查综合分析问题、解决问题的能力.本小题满分14分.
解:(I)设切点.由,知抛物线在点处的切线斜率为,故所求切线方程为.
即.
因为点在切线上.
所以,,.
所求切线方程为.
(II)设,.
由题意知,直线的斜率存在,由对称性,不妨设.
因直线过焦点,所以直线的方程为.
点的坐标满足方程组
得,
由根与系数的关系知
.
因为,所以的斜率为,从而的方程为.
同理可求得.
.
当时,等号成立.所以,四边形面积的最小值为.
19.本小题主要考查排列、组合知识与等可能事件、互斥事件概率的计算,运用概率知识分析问题及解决实际问题的能力.本小题满分13分.
解:以表示恰剩下只果蝇的事件.
以表示至少剩下只果蝇的事件.
可以有多种不同的计算的方法.
方法1(组合模式):当事件发生时,第只飞出的蝇子是苍蝇,且在前
只飞出的蝇子中有1只是苍蝇,所以.
方法2(排列模式):当事件发生时,共飞走只蝇子,其中第只飞出的蝇子是苍蝇,哪一只?有两种不同可能.在前只飞出的蝇子中有只是果蝇,有种不同的选择可能,还需考虑这只蝇子的排列顺序.所以.
由上式立得;
.
20.本小题主要考查同角三角函数的基本关系,倍角的正弦公式,正弦函数的值域,多项式函数的导数,函数的单调性,考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间,极值与最值等问题的综合能力.本小题满分14分.
解:(I)我们有
.
由于,,故当时,达到其最小值,即
.
(II)我们有.
列表如下:
极大值
极小值
由此可见,在区间和单调增加,在区间
单调减小,极小值为,极大值为.
21.本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法,考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力.本小题满分14分.
解:(Ⅰ)我们有.
(Ⅱ),对反复使用上述关系式,得
, ①
在①式两端同乘,得
②
②①,得
.
即.
如果记,,
则.
其中是以为首项,以为公比的等比数列;是以为首项,为公差的等差数列.
2008年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
第I卷(选择题共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1).若位全体实数的集合,则下列结论正确的是( )
A.B.
C. D.
(2).若,, 则( )
A. (1,1) B.(-1,-1) C.(3,7) D.(-3,-7)
(3).已知是两条不同直线,是三个不同平面,下列命题中正确的是( )
A. B.
C. D.
(4).是方程至少有一个负数根的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
(5).在三角形中,,则的大小为( )
A. B. C. D.
(6).函数的反函数为
A. B.
C. D.
(7).设则中奇数的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
(8).函数图像的对称轴方程可能是( )
A. B. C. D.
(9).设函数 则( )
A.有最大值 B.有最小值 C.是增函数 D.是减函数
(10)若过点的直线与曲线有公共点,则直线的斜率的取值范围为( )
A. B. C. D.
(11) 若为不等式组表示的平面区域,则当从-2连续变化到1时,动直线 扫过中的那部分区域的面积为 ( )
A. B.1 C. D.5
(12)12名同学合影,站成前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是 ( )
A. B. C. D.
B.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
考生注意事项:
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效.
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置.
(13).函数的定义域为.
(14).已知双曲线的离心率是。则=
(15) 在数列在中,,,,其中为常数,
则
(16)已知点在同一个球面上,若
,则两点间的球面距离是
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17).(本小题满分12分)
已知函数
(Ⅰ)求函数的最小正周期和图象的对称轴方程
(Ⅱ)求函数在区间上的值域
(18).(本小题满分12分)
在某次普通话测试中,为测试汉字发音水平,设置了10张卡片,每张卡片印有一个汉字的拼音,其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g”.
(Ⅰ)现对三位被测试者先后进行测试,第一位被测试者从这10张卡片总随机抽取1张,测试后放回,余下2位的测试,也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上,拼音都带有后鼻音“g”的概率。
(Ⅱ)若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取3张,求这三张卡片上,拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于2张的概率。
(19).(本小题满分12分
如图,在四棱锥中,底面四边长为1的 菱形,, , ,为的中点。
(Ⅰ)求异面直线AB与MD所成角的大小;
(Ⅱ)求点B到平面OCD的距离。
(20).(本小题满分12分)
设函数为实数。
(Ⅰ)已知函数在处取得极值,求的值;
(Ⅱ)已知不等式对任意都成立,求实数的取值范围。
(21).(本小题满分12分)
设数列满足其中为实数,且
(Ⅰ)求数列的通项公式
(Ⅱ)设,,求数列的前项和;
(Ⅲ)若对任意成立,证明
(22).(本小题满分14分)
设椭圆其相应于焦点的准线方程为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知过点倾斜角为的直线交椭圆于两点,求证:
;
(Ⅲ)过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于和,求 的最小值
2008年高考安徽文科数学试题参考答案
一. 选择题
1D 2B 3B 4B 5A 6C 7A 8D 9A 10D 11C 12C
二. 13: 14: 4 15: -1 16:
三. 解答题
17解:
(1)
(2)
因为在区间上单调递增,在区间上单调递减,
所以 当时,取最大值 1
又 ,当时,取最小值
所以 函数 在区间上的值域为
18解:
(1)每次测试中,被测试者从10张卡片中随机抽取1张卡片上,拼音带有后鼻音“g”的概率为,因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的,因而所求的概率为
(2)设表示所抽取的三张卡片中,恰有张卡片带有后鼻音“g”的事件,且其相应的概率为则
,
因而所求概率为
19 方法一(综合法)
(1)
为异面直线与所成的角(或其补角)
作连接
,
所以 与所成角的大小为
(2)点A和点B到平面OCD的距离相等,
连接OP,过点A作 于点Q,
又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离
,
,所以点B到平面OCD的距离为
方法二(向量法)
作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系
,
(1)设与所成的角为,
,
与所成角的大小为
(2)
设平面OCD的法向量为,则
即
取,解得
设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,
, .
所以点B到平面OCD的距离为
20 解:
(1),由于函数在时取得极值,所以
即
(2) 方法一
由题设知:对任意都成立
即对任意都成立
设 , 则对任意,为单调递增函数
所以对任意,恒成立的充分必要条件是
即 ,
于是的取值范围是
方法二
由题设知:对任意都成立
即对任意都成立
于是对任意都成立,即
于是的取值范围是
21解 (1) 方法一:
当时,是首项为,公比为的等比数列。
,即 。当时,仍满足上式。
数列的通项公式为 。
方法二
由题设得:当时,
时,也满足上式。
数列的通项公式为 。
(2)由(1)得
(3) 由(1)知
若,则
由对任意成立,知。下面证,用反证法
方法一:假设,由函数的函数图象知,当趋于无穷大时,趋于无穷大
不能对恒成立,导致矛盾。。
方法二:假设,,
即 恒成立 (*)
为常数, (*)式对不能恒成立,导致矛盾,
22解 :(1)由题意得:
椭圆的方程为
(2)方法一:
由(1)知是椭圆的左焦点,离心率
设为椭圆的左准线。则
作,与轴交于点H(如图)
点A在椭圆上
同理
。
方法二:
当时,记,则
将其代入方程 得
设 ,则是此二次方程的两个根.
................(1)
代入(1)式得 ........................(2)
当时, 仍满足(2)式。
(3)设直线的倾斜角为,由于由(2)可得
,
当时,取得最小值
2009年普通高等学校招生全国统一考试安徽卷
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
1. i是虚数单位,i(1+i)等于
A.1+i B. -1-i C.1-i D. -1+i
2. 若集合,则是
A.{1,2,3} B. {1,2}
C. {4,5} D. {1,2,3,4,5}
3.不等式组所表示的平面区域的面积等于
A. B. C. D.
4.“”是“且”的
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知为等差数列,,则等于
A. -1 B. 1 C. 3 D.7
6.下列曲线中离心率为的是
A. B. C. D.
7. 直线过点(-1,2)且与直线垂直,则的方程是
A. B.
C. D.
8.设,函数的图像可能是
9.设函数,其中,则导数的取值范围是
A. B. C. D.
10.考察正方体6个面的中心,从中任意选3个点连成三角形,再把剩下的3个点也连成三角形,则所得的两个三角形全等的概率等于
A.1 B. C. D. 0
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡的相应位置。
11.在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(1,-3,1),点M在y轴上,且M到A与到B的距离相等,则M的坐标是________。
12.程序框图(即算法流程图)如图所示,其输入结果是_______。
13.从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________。
14.在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,或=+,其中,R ,则+= _________。
15.对于四面体ABCD,下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)。
○1相对棱AB与CD所在的直线是异面直线;
○2由顶点A作四面体的高,其垂足是BCD的三条高线的交点;
○3若分别作ABC和ABD的边AB上的高,则这两条高的垂足重合;
○4任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积;
○5分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点。
三.解答题;本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。
16.(本小题满分12分)在ABC中,C-A=, sinB=。
(I)求sinA的值; (II)设AC=,求ABC的面积。
17.(本小题满分12分)
某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A,将其与原有的一个优良品种B进行对照
试验,两种小麦各种植了25亩,所得亩产数据(单位:千克)如下:
品种A:357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,414,
415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,451,454
品种B:363,371,374,383,385,386,391,392,394,395,397
397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430
(Ⅰ)完成所附的茎叶图
(Ⅱ)用茎叶图处理现有的数据,有什么优点?
(Ⅲ)通过观察茎叶图,对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较,写出统计结论。
18.(本小题满分12分)
已知椭圆(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心。椭圆短半轴长半径的
圆与直线y=x+2相切,
(Ⅰ)求a与b;
(Ⅱ)设该椭圆的左,右焦点分别为和,直线过且与x轴垂直,动直线与y轴垂直,交与点p..求线段P垂直平分线与的交点M的轨迹方程,并指明曲线类型。
¥19.(本小题满分12分)
已知数列{} 的前n项和,数列{}的前n项和
(Ⅰ)求数列{}与{}的通项公式;
(Ⅱ)设,证明:当且仅当n≥3时,<
20.(本小题满分13分)
如图,ABCD的边长为2的正方形,直线l与平面ABCD平行,g和F式l上的两个不同点,且EA=ED,FB=FC, 和是平面ABCD内的两点,和都与平面ABCD垂直,
(Ⅰ)证明:直线垂直且平分线段AD:
(Ⅱ)若∠EAD=∠EAB=60°,EF=2,求多面体ABCDEF的体积。
21.(本小题满分14分)
已知函数,
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)设a=3,求在区间{1,}上值域。期中e=2.71828…是自然对数的底数。
数学(文科)参考答案
一、选择题
1- 10 D B C A B B A C D A
二、填空题
11.【解析】设由可得故 【答案】(0,-1,0)
12. 【解析】根据流程图可得的取值依次为1、3、7、15、31、63……
【答案】127
13. 【解析】依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况:
2、3、4或3、4、5或2、4、5,故=0.75.【答案】0.75
14.【解析】设、则 , ,
代入条件得【答案】4/3
15. 【解析】由空间四面体棱,面关系可判断①④⑤正确,可举例说明②③错误.
【答案】①④⑤
16. 【思路】(1)依据三角函数恒等变形可得关于的式子,这之中要运用到倍角公式;
(2)应用正弦定理可得出边长,进而用面积公式可求出.
【解析】(1)∵∴∴∴
又∴(2)如图,由正弦定理得∴
A
B
9 7
35
8 7
36
3
5
37
1 4
8
38
3 5 6
9 2
39
1 2 4 457 7
5 0
40
0 1 1 3 6 7
5 4 2
41
0 2 5 6
7 3 3 1
42
2
4 0 0
43
0
5 5 3
44
4 1
45
∴.
17. 【思路】由统计知识可求出A、B两种品种的小麦稳定性大小并画出茎叶图,用茎叶图处理数据,看其分布就比较明了。
【解析】(1)茎叶图如图所示
(2)用茎叶图处理现有的数据不仅可以看出数据的分布状况,而且可以看出每组中的具体数据.
(3)通过观察茎叶图,可以发现品种A的平均每亩产量为411.1千克,品种B的平均亩产量为397.8千克.由此可知,品种A的平均亩产量比品种B的平均亩产量高.但品种A的亩产量不够稳定,而品种B的亩产量比较集中D平均产量附近.
18. 【思路】(1)由椭圆建立a、b等量关系,再根据直线与椭圆相切求出a、b.
(2)依据几何关系转化为代数方程可求得,这之中的消参就很重要了。
【解析】(1)由于∴∴ 又∴b2=2,a2=3因此,.
(2)由(1)知F1,F2两点分别为(-1,0),(1,0),由题意可设P(1,t).(t≠0).那么线段PF1中点为,设M(x、y)是所求轨迹上的任意点.由于则
消去参数t得
,其轨迹为抛物线(除原点)
19. 【思路】由可求出,这是数列中求通项的常用方法之一,在求出后,进而得到,接下来用作差法来比较大小,这也是一常用方法。
【解析】(1)由于
当时,
又当时
数列项与等比数列,其首项为1,公比为
(2)由(1)知
由即即
又时成立,即由于恒成立.
因此,当且仅当时,
20. 【思路】根据空间线面关系可证线线垂直,由分割法可求得多面体体积,体现的是一种部分与整体的基本思想。
【解析】(1)由于EA=ED且
点E在线段AD的垂直平分线上,同理点F在线段BC的垂直平分线上.
又ABCD是四方形
线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线
即点EF都居线段AD的垂直平分线上.
所以,直线EF垂直平分线段AD.
(2)连接EB、EC由题意知多面体ABCD可分割成正四棱锥E—ABCD和正四面体E—BCF两部分.设AD中点为M,在Rt△MEE中,由于ME=1, .
—ABCD
又—BCF=VC-BEF=VC-BEA=VE-ABC
多面体ABCDEF的体积为VE—ABCD+VE—BCF=
21. 【思路】由求导可判断得单调性,同时要注意对参数的讨论,即不能漏掉,也不能重复。第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数在上的值域。
【解析】(1)由于
令
①当,即时,恒成立.
在(-∞,0)及(0,+∞)上都是增函数.
②当,即时
由得或
或或
又由得
综上①当时,在上都是增函数.
②当时,在上是减函数,
在上都是增函数.
(2)当时,由(1)知在上是减函数.
在上是增函数.
又
函数在上的值域为
2010年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
第Ⅰ卷(选择题共50分)
一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.
(1)若A=,B=,则=
(A)(-1,+∞) (B)(-∞,3) (C)(-1,3) (D)(1,3)
(2)已知,则i()=
(A) (B) (C) (D)
(3)设向量,,则下列结论中正确的是
(A) (B)
(C) (D)与垂直
(4)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是
(A)x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0
(C)2x+y-2=0 (D)x+2y-1=0
(5)设数列{}的前n项和=,则的值为
(A) 15 (B) 16 (C) 49 (D)64
(6)设abc>0,二次函数f(x)=a+bx+c的图像可能是
(7)设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是
(A)a>c>b (B)a>b>c (C)c>a>b (D)b>c>a
(8)设x,y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值是
(A)3 (B) 4 (C) 6 (D)8
(9)一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积是
(A)372 (C)292
(B)360 (D)280
(10)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,一页从该正方形四个顶点中任意选择连个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是
(A) (A) (A) (A)
数 学(文科)(安徽卷)
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
请用0 5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上大体无效.二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置·
(11)命题“存在x∈R,使得x2+2x+5=0”的否定是
(12)抛物线y2=8x的焦点坐标是
(13)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出值x=
(14)某地有居民100000户,其中普通家庭99 000户,高收入家庭1 000户.从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户,从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取l00户进行调查,发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房,其中普通家庭50户,高收人家庭70户.依据这些数据并结合所掌握的统计知识,你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是 .
(15)若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a.
b恒成立的是(写出所有正确命题的编号).
①ab≤1; ②+≤; ③a2+b2≥2;
④a3+b3≥3;
三、解答题:本大题共6小题.共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内。
(16)△ABC的面积是30,内角A,B,C,所对边长分别为a,b,c,cosA=.
(1) 求
(2) 若c-b=1,求a的值.
(17)椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率.
(1) 求椭圆E的方程;
(2) 求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程.
18、(本小题满分13分)
某市20104月1日—4月30日对空气污染指数的检测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物):
61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,
77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45,
(Ⅰ) 完成频率分布表;
(Ⅱ)作出频率分布直方图;
(Ⅲ)根据国家标准,污染指数在0~50之间时,空气质量为优:在51~100之间时,为良;在101~150之间时,为轻微污染;在151~200之间时,为轻度污染。
请你依据所给数据和上述标准,对该市的空气质量给出一个简短评价.
(19) (本小题满分13分)
如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点,
(Ⅰ)求证:FH∥平面EDB;
(Ⅱ)求证:AC⊥平面EDB;
(Ⅲ)求四面体B—DEF的体积;
(20)(本小题满分12分)
设函数f(x)=sinx-cosx+x+1, 0﹤x﹤2∏,求函数f(x)的单调区间与极值.
(21)(本小题满分13分)
设,...,,…是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在x轴的正半轴上,且都与直线y=x相切,对每一个正整数n,圆都与圆相互外切,以表示的半径,已知为递增数列.
(Ⅰ)证明:为等比数列;
(Ⅱ)设=1,求数列的前n项和.
2010年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)答案
一..
(1)答案:C 解析:画数轴易知.
(2)答案:B 解析:直接计算.
(3)答案:D 解析:利用公式计算,采用排除法.
(4)答案:A 解析:利用点斜式方程.
(5)答案:A 解析:利用=S8-S7,即前8项和减去前7项和.
(6)答案:D 解析:利用开口方向a、对称轴的位置、y轴上的截距点c之间关系,结合abc>0产生矛盾,采用排除法易知.
(7)答案:A 解析:利用构造幂函数比较a、c再利用构造指数函数比较b、c.
(8)答案:C 解析:画出可行域易求.
(9)
答案:B 解析:可理解为长8、宽10、高2的长方体和长6、宽2、高8的长方体组合而成,注意2×6重合两次,应减去.
(10)答案:C 解析:所有可能有6×6,所得的两条直线相互垂直有5×2.
二.(11)答案:对任何X∈R,都有X2+2X+5≠0
解析:依据“存在”的否定为“任何、任意”,易知.
(12)答案:(2,0) 解析:利用定义易知.
答案:12 解析:运算时X顺序取值为: 1,2,4,5,6,8,9,10,12.
(14)答案:5.7% 解析:,,易知.
(15)答案:①,③,⑤ 解析:①,⑤化简后相同,令a=b=1排除②、易知④
,再利用易知③正确
三、
(16)(本题考查同角三角形函数基本关系,三角形面积公式,向量的数量积,利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.
解:由cosA=,得sinA= =.
又bc sinA=30,∴bc=156.
(1)=bc cosA=156·=144.
(2)a2=b2+c2-2bc cosA=(c-b)2+2bc(1-cosA)=1+2·156·(1-)=25,
∴a=5
17(本小题满分12分)本题考查椭圆的定义,椭圆的标准方程及简单几何性质,直线的点斜式方程与一般方程,点到直线的距离公式等基础知识,考查解析几何的基本思想和综合运算能力.
解:(1)设椭圆E的方程为 由e=,得=,b2=a2-c2 =3c2. ∴ 将A(2,3)代入,有 ,解得:c=2, 椭圆E的方程为
(Ⅱ)由(Ⅰ)知F1(-2,0),F2(2,0),所以直线AF1的方程为 y=(X+2),
即3x-4y+6=0. 直线AF2的方程为x=2. 由椭圆E的图形知,
∠F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数.
设P(x,y)为∠F1AF2的角平分线所在直线上任一点,
则有
若3x-4y+6=5x-10,得x+2y-8=0,其斜率为负,不合题意,舍去.
于是3x-4y+6=-5x+10,即2x-y-1=0.
所以∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为2x-y-1=0.
18、
解:(Ⅰ) 频率分布表:
分 组
频 数
频 率
[41,51)
2
[51,61)
1
[61,71)
4
[71,81)
6
[81,91)
10
[91,101)
5
[101,111)
2
空气污染指数
4151 61 71 81 91 101 111
频率
组距
(Ⅱ)频率分布直方图:
(Ⅲ)答对下述两条中的一条即可:
(i)该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平,占当月天数的. 有26天处于良好的水平,占当月天数的. 处于优或良的天数共有28天,占当月天数的. 说明该市空气质量基本良好.
(ii)轻微污染有2天,占当月天数的. 污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天,加上处于轻微污染的天数,共有17天,占当月天数的,超过50%. 说明该市空气质量有待进一步改善.
19、本题考查空间线面平行,线面垂直,面面垂直,体积的计算等基础知识,同时考查空间想象能力与推理论证能力.
(Ⅰ) 证:设AC与BD交于点G,则G为AC的中点. 连EG,GH,由于H为BC的中点,故GH∥AB且 GH=AB 又EF∥AB且 EF=AB
∴EF∥GH. 且 EF=GH∴四边形EFHG为平行四边形.
∴EG∥FH,而EG 平面EDB,∴FH∥平面EDB.
(Ⅱ)证:由四边形ABCD为正方形,有AB⊥BC.
又EF∥AB,∴EF⊥BC. 而EF⊥FB,∴ EF⊥平面BFC,∴ EF⊥FH.
∴ AB⊥FH.又BF=FC H为BC的中点,FH⊥BC.∴ FH⊥平面ABCD.
∴ FH⊥AC. 又FH∥EG,∴AC⊥EG. 又AC⊥BD,EG∩BD=G,
∴ AC⊥平面EDB.
(Ⅲ)解:∵ EF⊥FB,∠BFC=90°,∴ BF⊥平面CDEF.
∴ BF为四面体B-DEF的高. 又BC=AB=2, ∴ BF=FC=
(20)(本小题满分12分)
解:由f(x)=sinx-cosx+x+1,0﹤x﹤2,
知=cosx+sinx+1,
于是=1+sin(x+).
令=0,从而sin(x+)=-,得x=,或x=.
当x变化时,,f(x)变化情况如下表:
X
(0, )
(,)
(,2)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增↗
+2
单调递减↘
单调递增↗
因此,由上表知f(x)的单调递增区间是(0, )与(,2),单调递减区间是(,),极小值为f()=,极大值为f()=+2.
(21)本题考查等比数列的基本知识,利用错位相减法求和等基本方法,考查抽象能力以及推理论证能力.
解:(Ⅰ)将直线y=x的倾斜角记为 , 则有tan = ,sin =.
设Cn的圆心为(,0),则由题意知= sin = ,得 =2 ;同理,题意知将 =2代入,解得 rn+1=3rn.
故{ rn }为公比q=3的等比数列.
(Ⅱ)由于r1=1,q=3,故rn=3n-1,从而 =n·,
记Sn=, 则有 Sn=1+2·3-1+3·3-2+………+n·. ①
=1·3-1+2·3-2+………+(n-1) ·+n·. ②①-②,得
=1+3-1 +3-2+………+-n·=- n·=–(n+)·
Sn=– (n+)·.
2011年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数学(文科)
参考公式:
椎体体积,其中S为椎体的底面积,h为椎体的高。
若(x,y),(x,y)…,(x,y)为样本点,为回归直线,则 ,
,
说明:若对数据适当的预处理,可避免对大数字进行运算。