高考数学模拟试题7苏教版 16页

‎2015年高考模拟试卷(7)‎ ‎ 第Ⅰ卷（必做题，共160分）‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． ‎ ‎1．复数＝ ．‎ ‎2． 设全集＝{1,2,3,4,5}，＝{2,4}，则＝ ． ‎ ‎3． 从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 ‎ ． ‎ ‎4．某单位有职工52人,现将所有职工按l,2,3,…,52随机编号,若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知6号,32号,45号职工在样本中,则样本中还有一个职工的编号是________.‎ ‎5．执行如图所示的程序框图,若输出的值为11,则输入自然数的 值是 ．‎ ‎6．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，‎ 那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为________．‎ ‎7． 已知各项均为正数的等比数列中，与的等比中项为，则的最小值为 .‎ ‎8． 给出下列几个命题：‎ ‎①若函数是定义域为的奇函数，对于任意的 都有，则函数的图象关于直线对称；‎ ‎②已知是函数定义域内的两个值，当时，，则是减函数；‎ ‎③设函数的最大值和最小值分别为和，则；‎ ‎④若是定义域为的奇函数，且也为奇函数，则是以4为周期的周期函数．‎ 其中正确的命题序号是 ．（写出所有正确命题的序号）‎ ‎9．设F1、F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时， 的值为 ． ‎ ‎10．已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为 ．‎ ‎11．已知正实数满足，则的最大值为 ．‎ ‎12．已知圆C：，点P在直线l：上，若圆C上存在两点A、B使得，则点P的横坐标的取值范围是 ．‎ ‎13．在中，内角所对的边分别为，，，令．‎ 若函数（是常数）只有一个零点．则实数的取值范围是 ．‎ ‎14．设两个向量和，其中．‎ 若，则的取值范围是 ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分．‎ ‎15．（本小题满分14分）在中，角的对边分别为，已知，‎ 且成等比数列．‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若，求的值．‎ ‎16．（本小题满分14分）如图，直角梯形中，∥,,平面平面,为等边三角形，分别是的中点，．‎ ‎(1)证明;‎ ‎(2)证明∥平面;‎ ‎(3)若,求几何体的体积．‎ ‎17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，其焦点在圆上．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是椭圆上的三点（异于椭圆的顶点），且存在锐角，使 ‎．‎ ‎① 求证:直线与的斜率的乘积为定值；‎ ‎② 求的值．‎ ‎18． (本小题满分16分) 某小区想利用一矩形空地建造市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一个水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中，，且中，，经测量得到．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点作一条直线交于，从而得到五边形的市民健身广场．‎ ‎（1）假设，试将五边形的面积表示为的函数，并注明函数的定义域；‎ ‎（2）问：应如何设计，可使市民健身广场的面积最大？并求出健身广场的最大面积．‎ A B C D E F M N G ‎ ‎ ‎19．（本小题满分16分）已知函数（）．‎ ‎（1）当时，求的图象在处的切线方程；‎ ‎（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若函数的图象与轴有两个不同的交点，且，‎ 求证：（其中是的导函数）．‎ ‎20．（本小题满分16分）设数列的各项均为正数，若对任意的，存在，‎ 使得成立，则称数列为“型”数列．‎ ‎（1）若数列是“型”数列，且，，求；‎ ‎（2）若数列既是“型”数列，又是“型”数列，证明数列是等比数列．‎ 第Ⅱ卷（附加题，共40分）‎ ‎21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答． ‎ A．（选修４－１：几何证明选讲）如图，的直径的延长线与弦的延长线相交于点，为上一点，，求证：．‎ B．（选修４－２：矩阵与变换）已知二阶矩阵有特征值，及对应的一个特征向量 ‎，并且对应的变换将点．变换成，求矩阵．‎ ‎ ‎ C．（选修４－４：坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆C的圆心坐标为，半径为2． 以极点为原点，极轴为的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线 的参数方程为（为参数）‎ ‎（1）求圆C的极坐标方程；‎ ‎（2）设与圆C的交点为， 与轴的交点为，求 D．（选修４－５：不等式选讲）已知，，为正实数，若，求证：.‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．‎ ‎22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥中，底面，， ， ，，点为棱的中点． ‎ ‎（1）证明；‎ ‎（2）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．‎ ‎23．（本小题满分10分）已知 ‎（1）若，求证是奇数；‎ ‎（2）求证对于任意，都存在正整数，使得．‎ ‎2015年高考模拟试卷(7)参考答案 第Ⅰ卷（必做题，共160分）‎ 一、填空题 ‎1． ； 2． {1,3,5}； 3． ； 4． 19； 5． 4； 6． 3∶2．【解析】设圆柱的底面半径是r，则该圆柱的母线长是2r，圆柱的侧面积是2πr·2r＝4πr2，设球的半径是R，则球的表面积是4πR2，根据已知4πR2＝4πr2，所以R＝r．所以圆柱的体积是πr2·2r＝2πr3，球的体积是πr3，所以圆柱的体积和球的体积的比是＝3∶2； 7．8； 8．③④；9．3；10． ； 11．．【解析】．‎ 令，则，令 得，进而可求得，所以； 12．；13．或．【解析】，得 函数只有一个零点，即方程在上只有一解，‎ 即函数与的图像只有一个交点，所以或，‎ 从而或；14． ．【解析】由，得 由，得 ‎，又， ‎ 则，∴‎ 解得，而，故.‎ 二、解答题 ‎15． (1)根据题意得，．‎ 由正弦定理得，‎ ‎，‎ ‎(2)‎ ‎，． ‎ ‎． ‎ 由余弦定理得 ‎ ‎ ‎16．(1) 为等边三角形，是的中点 ‎，‎ 又因为平面平面，交线为,平面 根据面面垂直的性质定理得 平面； ‎ 又平面 ‎ .‎ ‎(2)取中点G，连接 ‎ ‎,且 ,‎ ‎,‎ ‎,且 ,‎ 四边形是平行四边形 ‎ ,‎ 又平面，平面 平面.‎ ‎(3)依题，直角梯形中，,‎ 则直角梯形的面积为 ,‎ 由（1）可知平面，是四棱锥的高,‎ 在等边中，由边长,得,‎ 故几何体的体积为 ‎ ‎ .‎ ‎17．（1）根据题意得，于是,‎ 所以椭圆方程为． ‎ ‎（2）①设则，‎ 又设，由得， ‎ 又在椭圆上，‎ 整理得,‎ ‎，．‎ 为定值． ‎ ‎②‎ ‎ ,又, ,‎ ‎.‎ ‎18．（1）作GH⊥EF，垂足为H，因为，所以，因为 所以，所以 ‎ 过作交于T，则 ‎，‎ 所以 ‎ 由于与重合时，适合条件，故, ‎ ‎（2）， ‎ ‎ 所以当且仅当，即时，取得最大值2000， ‎ 答：当时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为． ‎ ‎19．（1）当时，，，切点坐标为，‎ 切线的斜率，则切线方程为，即． ‎ ‎（2），则，‎ ‎∵，故时，．当时，；当时，．‎ 故在处取得极大值． ‎ 又，，，则，‎ 所以，在上的最小值是 ‎ 在上有两个零点的条件是，解得 所以实数的取值范围是 . ‎ ‎（3）因为的图象与轴交于两个不同的点 所以方程的两个根为，则，两式相减得 ‎，又，则 下证（*），即证明 即证明在上恒成立 ‎ 因为又，所以 所以，在上是增函数，则，从而知 故，即成立 ‎20． （1）由题意得，成等比数列，且公比,‎ ‎． ‎ ‎（2）由是“型”数列得…成等比数列，设公比为． ‎ 由是“型”数列得…成等比数列，设公比为；‎ ‎…成等比数列，设公比为；‎ ‎…成等比数列，设公比为； ‎ 则，，，‎ ‎，不妨令，则． ‎ ‎,‎ 综上，，从而是等比数列． ‎ 第Ⅱ卷（附加题，共40分）‎ ‎21． A． ，为直径 又 ‎.‎ B．设，由=3，得． ‎ 由=，得， ‎ 可以解得， ‎ 故． ‎ C． （1）法一：在直角坐标系中，圆心的坐标为，所以圆C的方程为即， ‎ 化为极坐标方程得，即.‎ 法二：令圆Ｃ上任一点，‎ 在中（其中Ｏ为极点），， ‎ 由余弦定理得 从而圆Ｃ的极坐标方程为.‎ ‎（2）法一：把代入得，所以点A、B对应的参数分别为,‎ 令得点P对应的参数为.‎ 所以.‎ 法二：把化为普通方程得， ‎ 令得点Ｐ坐标为，‎ 又因为直线l恰好经过圆Ｃ的圆心Ｃ，‎ 故.‎ D.，‎ ‎ . ‎ ‎22． 依题意，以点为原点建立空间直角坐标系，‎ 可得，，，．由为棱的中点，得．‎ ‎（1）向量，，故． 所以，.‎ ‎（2）向量，， ，．‎ 由点在棱上，设，．‎ 故．‎ 由，得，‎ 因此，，解得． ‎ 即．‎ 设为平面的法向量，则即 不妨令，可得为平面的一个法向量． ‎ 取平面的法向量，则 ‎．‎ 易知，二面角是锐角，所以其余弦值为． ‎ ‎23． （1）由二项式定理得，‎ 所以，为奇数． ‎ ‎（2）由（1），设 所以． ‎ 当为偶数时，，存在，使得；‎ 当为奇数时，，存在，使得；‎ 综上，对于任意，都存在正整数，使得． ‎