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  • 2021-05-13 发布

湖南高考数学文科卷及答案

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2006年湖南高考试卷 科目:数学(文史类)‎ ‎(试题卷)‎ 注意事项:‎ ‎ 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上,并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目。‎ ‎ 2.考生作答时,选择题和非选择题均须作在答题卡上,在草稿纸和本试卷上答题无效。考生在答题卡上按如下要求答题:‎ ‎(1)选择题部分请用2B铅笔把应题目的答案标号所在方框涂黑,修改时用橡皮擦干净,不留痕迹。‎ ‎(2)非选择题部分(包括填空题和解答题)请按题号用‎0.5毫米黑色墨水签字笔书写,否则作答无效。‎ ‎ (3)保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁、不折叠。‎ ‎3.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。‎ ‎4. 本试卷共5页。如缺页,考生须声明,否则后果自负。 ‎ ‎ ‎ ‎ 姓  名          ‎ ‎     准考证号          ‎ 绝密★启用前 数 学(文史类)‎ 本试题卷他选择题和非选择题(包括填空题和解答题)两部分. 选择题部分1至2页. 非选择题部分3至5页. 时量120分钟. 满分150分.‎ 参考公式:‎ ‎ 如果事件、互斥,那么 ‎ 如果事件、相互独立,那么 ‎ 如果事件在一次试验中发生的概率是,那么次独立重复试验中恰好发生次的概率是 ‎ 球的体积公式 ,球的表面积公式,其中表示球的半径 ‎ ‎ 一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.函数的定义域是 ‎  A.(0,1]     B. (0,+∞)    C. (1,+∞)    D. [1,+∞)‎ ‎2.已知向量若时,∥;时,,则 ‎  A.      B.    ‎ C.    D. ‎ ‎3. 若的展开式中的系数是80,则实数a的值是 ‎  A.-2      B.      C.     D. 2‎ ‎4.过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面,若OA与该截面所成的角是60°则该截面的面积是 ‎ A.π        B. 2π     C. 3π     D. ‎ ‎5.“a=‎1”‎是“函数在区间[1,+∞)上为增函数”的 ‎  A.充分不必要条件            B. 必要不充分条件 ‎  C. 充要条件              D. 既不充分也不必要条件 ‎6.在数字1,2,3与符号+,-五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列个数是 A.6     B. ‎12 ‎     C. 18    D. 24‎ ‎7.圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 A.36     B. ‎18 ‎      C.     D. ‎ ‎8.设点P是函数的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值,则的最小正周期是 A.2π     B. π     C.     D. ‎ ‎9.过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C,且,则双曲线M的离心率是 A.     B.    C.     D. ‎ A B O M 图1‎ ‎10. 如图1:OM∥AB,点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且,则实数对(x,y)可以是 A.     B. ‎ C. D. ‎ 二.填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在答题上部 对应题号的横上.‎ ‎11. 若数列满足:,2,3….则      .‎ ‎12. 某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人,乙班50人. 现分析两个班的一次考试成绩,算得甲班的平均成绩是90分,乙班的平均成绩是81分,则该校数学建模兴趣班的平均成绩是     分.‎ ‎13. 已知则的最小值是     .‎ ‎14. 过三棱柱 ABC-A1B‎1C1 的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB‎1A1平行的直线共有     条.‎ ‎15. 若是偶函数,则a= .‎ 三.解答题:本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎16.(本小题满分12分)‎ ‎ 已知求θ的值.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ ‎ 某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检). 若安检不合格,则必须整改. 若整改后经复查仍不合格,则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5,整改后安检合格的概率是0.8,计算(结果精确到0.01):‎ ‎(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率;‎ ‎(Ⅱ)某煤矿不被关闭的概率;‎ ‎(Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率.‎ ‎18.(本小题满分14分)‎ Q B C P A D 图2‎ ‎ 如图2,已知两个正四棱锥P-ABCD与 Q-ABCD的高都是2,AB=4. ‎ ‎ (Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD;‎ ‎ (Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角;‎ ‎ (Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.‎ ‎19.(本小题满分14分)‎ ‎ 已知函数.‎ ‎ (I)讨论函数的单调性;‎ ‎ (Ⅱ)若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直,且线段AB与x轴有公共点,求实数a的取值范围.‎ ‎20.(本小题满分14分)‎ ‎ 在m(m≥2)个不同数的排列P1P2…Pn中,若1≤i<j≤m时Pi>Pj(即前面某数大于后面某数),则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为an,如排列21的逆序数,排列321的逆序数.‎ ‎(Ⅰ)求a4、a5,并写出an的表达式;‎ ‎(Ⅱ)令,证明,n=1,2,….‎ ‎21.(本小题满分14分)‎ ‎ 已知椭圆C1:,抛物线C2:,且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.‎ ‎(Ⅰ)当轴时,求p、m的值,并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上;‎ ‎ (Ⅱ)若且抛物线C2的焦点在直线AB上,求m的值及直线AB的方程.‎ 参考答案:‎ ‎1-10:DCDAABCBCDC ‎11., 12. 85, 13. 5 ,14. 6 ,15. -3 .‎ ‎1.函数的定义域是,解得x≥1,选D.‎ ‎2.向量若时,∥,∴ ;时,,,选C.‎ ‎3.的展开式中的系数=x3, 则实数的值是2,选D ‎4.过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面,若OA与该截面所成的角是60°,则截面圆的半径是R=1,该截面的面积是π,选A.‎ ‎5.若“”,则函数=在区间上为增函数;而若在区间上为增函数,则0≤a≤1,所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件,选A.‎ ‎6.在数字1,2,3与符号“+”,“-”五个元素的所有全排列中,先排列1,2,3,有种排法,再将“+”,“-”两个符号插入,有种方法,共有12种方法,选B.‎ ‎7.圆的圆心为(2,2),半径为3,圆心到到直线的距离为>3,圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R =6,选C.‎ ‎8.设点P是函数的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值,∴ 最小正周期为π,选B.‎ ‎9.过双曲线的左顶点(1,0)作斜率为1的直线:y=x-1, 若与双曲线的两条渐近线分别相交于点, 联立方程组代入消元得 ‎,∴ ,x1+x2=2x1x2,又,则B为AC中点,2x1=1+x2,代入解得,∴ b2=9,双曲线的离心率e=,选D.‎ ‎10.如图,OM∥AB,点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且,‎ 由图知,x<0,当x=-时,即=-,P点在线段DE上,=,=,而<<,∴ 选C.‎ 二.填空题:‎ ‎11.; 12. 85; 13. 5 ; 14. 6 ; 15. -3 .‎ ‎11.数列满足:,2,3…,该数列为公比为2的等比数列,∴ .‎ ‎12.某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人,乙班50人. 现分析两个班的一次考试成绩,算得甲班的平均成绩是90分,乙班的平均成绩是81分,则该校数学建模兴趣班的平均成绩是分.‎ ‎13.已知,如图画出可行域,得交点A(1,2),B(3,4),则的最小值是5. ‎ ‎14.过三棱柱 ABC-A1B‎1C1 的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB‎1A1平行的直线共有6条。‎ ‎15.是偶函数,取a=-3,可得为偶函数。‎ ‎16. 解 由已知条件得.‎ 即.‎ 解得.‎ 由0<θ<π知,从而.‎ ‎17. 解 (Ⅰ)每家煤矿必须整改的概率是1-0.5,且每家煤矿是否整改是相互独立的. 所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是.‎ ‎(Ⅱ)解法一 某煤矿被关闭,即该煤矿第一次安检不合格,整改后经复查仍不合格,所以该煤矿被关闭的概率是,从而煤矿不被关闭的概率是0.90.‎ 解法二 某煤矿不被关闭包括两种情况:(i)该煤矿第一次安检合格;(ii)该煤矿第一次安检不合格,但整改后合格.‎ 所以该煤矿不被关闭的概率是.‎ ‎(Ⅲ)由题设(Ⅱ)可知,每家煤矿不被关闭的概率是0.9,且每家煤矿是否被关闭是相互独立的,所以到少关闭一家煤矿的概率是.‎ ‎18. 解法一 (Ⅰ)连结AC、BD,设.‎ 由P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥,所以PO⊥平面ABCD,QO⊥平面ABCD.‎ 从而P、O、Q三点在一条直线上,所以PQ⊥平面ABCD.‎ ‎(Ⅱ)由题设知,ABCD是正方形,所以AC⊥BD. ‎ Q B C P A D z y x O 由(Ⅰ),QO⊥平面ABCD. 故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图),由题条件,相关各点的坐标分别是P(0,0,2),A(,0,0),Q(0,0,-2),B(0,,0).‎ 所以 于是.‎ 从而异面直线AQ与PB所成的角是.‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅱ),点D的坐标是(0,-,0),, ‎ ‎,设是平面QAD的一个法向量,由 得.‎ 取x=1,得.‎ 所以点P到平面QAD的距离.‎ 解法二 (Ⅰ)取AD的中点,连结PM,QM.‎ 因为P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥,‎ 所以AD⊥PM,AD⊥QM. 从而AD⊥平面PQM.‎ 又平面PQM,所以PQ⊥AD.‎ 同理PQ⊥AB,所以PQ⊥平面ABCD.‎ Q B C P A D O M ‎(Ⅱ)连结AC、BD设,由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上,从而P、A、Q、C四点共面.‎ 因为OA=OC,OP=OQ,所以PAQC为平行四边形,AQ∥PC.‎ 从而∠BPC(或其补角)是异面直线AQ与PB所成的角.‎ 因为,‎ 所以.‎ 从而异面直线AQ与PB所成的角是.‎ ‎(Ⅲ)连结OM,则.‎ 所以∠PMQ=90°,即PM⊥MQ.‎ 由(Ⅰ)知AD⊥PM,所以PM⊥平面QAD. 从而PM的长是点P到平面QAD的距离.‎ 在直角△PMO中,.‎ 即点P到平面QAD的距离是.‎ ‎19. 解 (Ⅰ)由题设知.‎ 令.‎ 当(i)a>0时,‎ 若,则,所以在区间上是增函数;‎ 若,则,所以在区间上是减函数;‎ 若,则,所以在区间上是增函数;‎ ‎(i i)当a<0时,‎ 若,则,所以在区间上是减函数;‎ 若,则,所以在区间上是减函数;‎ 若,则,所以在区间上是增函数;‎ 若,则,所以在区间上是减函数.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)的讨论及题设知,曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值,且函数在处分别是取得极值,.‎ 因为线段AB与x轴有公共点,所以.‎ 即.所以.‎ 故.‎ 解得 -1≤a<0或3≤a≤4.‎ 即所求实数a的取值范围是[-1,0)∪[3,4].‎ ‎20. 解 (Ⅰ)由已知得,‎ ‎  .‎ ‎ (Ⅱ)因为,‎ ‎     所以.‎ ‎ 又因为,‎ ‎     所以 ‎              =.‎ ‎ 综上,.‎ ‎21. 解 (Ⅰ)当AB⊥x轴时,点A、B关于x轴对称,所以m=0,直线AB的方程为 ‎ x=1,从而点A的坐标为(1,)或(1,-).‎ ‎ 因为点A在抛物线上,所以,即.‎ ‎ 此时C2的焦点坐标为(,0),该焦点不在直线AB上.‎ ‎ (Ⅱ)解法一 当C2的焦点在AB时,由(Ⅰ)知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为.‎ 由消去y得. ……①‎ 设A、B的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2),‎ 则x1,x2是方程①的两根,x1+x2=.‎ A y B O x 因为AB既是过C1的右焦点的弦,又是过C2的焦点的弦,‎ 所以,且 ‎.‎ 从而.‎ 所以,即.‎ 解得.‎ 因为C2的焦点在直线上,所以.‎ 即.‎ 当时,直线AB的方程为;‎ 当时,直线AB的方程为.‎ 解法二 当C2的焦点在AB时,由(Ⅰ)知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程 为.‎ 由消去y得.         ……①‎ 因为C2的焦点在直线上,‎ 所以,即.代入①有.‎ 即. ……②‎ 设A、B的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2),‎ 则x1,x2是方程②的两根,x1+x2=.‎ 由消去y得.   ……③‎ 由于x1,x2也是方程③的两根,所以x1+x2=.‎ 从而=. 解得.‎ 因为C2的焦点在直线上,所以.‎ 即.‎ 当时,直线AB的方程为;‎ 当时,直线AB的方程为.‎ ‎ 解法三 设A、B的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2),‎ 因为AB既过C1的右焦点,又是过C2的焦点,‎ 所以.‎ 即. ……①‎ 由(Ⅰ)知,于是直线AB的斜率,   ……②‎ 且直线AB的方程是,‎ 所以. ……③‎ 又因为,所以. ……④ ‎ 将①、②、③代入④得,即.‎ 当时,直线AB的方程为;‎ 当时,直线AB的方程为.‎