高考安徽理科数学试题及答案word解析 6页

2015 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2015 年安徽，理 1，5 分】 i 为虚数单位，则复数 2i 1 i 在复平面内所对应的点位于（ ） （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 【答案】B 【解析】由题意      2i 1 i2i 2 2i 1 i1 i 1 i 1 i 2          ，其对应的点坐标为 1,1 ，位于第二象限，故选 B． 【点评】本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础． （2）【2015 年安徽，理 2，5 分】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） （A） cosy x （B） siny x （C） lny x （D） 2 1y x  【答案】A 【解析】由选项可知，B、C 项均不是偶函数，故排除 B、C，A、D 项是偶函数，但 D 项与 x 轴没有交点，即 D 项不存在零点，故选 A． 【点评】本题考查了函数的奇偶性和零点的判断．①求函数的定义域；②如果定义域关于原点不对称，函数是非 奇非偶的函数；如果关于原点对称，再判断  f x 与  f x 的关系；相等是偶函数，相反是奇函数；函 数的零点与函数图象与 x 轴的交点以及与对应方程的解的个数是一致的． （3）【2015 年安徽，理 3，5 分】设 :1 2p x  ， : 2 1xq  ，则 p 是 q 成立的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由 0: 2 2xq  ，解得 0x  ，易知， p 能推出 q ，但 q不能推出 p ，故 p 是 q 成立的充分不必要条件，故 选 A． 【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查指数函数的单调性的运用，属于基础题． （4）【2015 年安徽，理 4，5 分】下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 2y x  的是（ ） （A） 2 2 14 yx   （B） 2 2 14 x y  （C） 2 2 14 y x  （D） 2 2 14 xy   【答案】C 【解析】由题意，选项 A，B 的焦点在 x 轴，故排除 A，B，C 项渐近线方程为 2 2 14 y x  ，即 2y x  ，故选 C． 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程的求法，属于基础题． （5）【2015 年安徽，理 5，5 分】已知 m ，n 是两条不同直线， ， 是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） （A）若 ，  垂直于同一平面，则 与  平行 （B）若 m ， n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行 （C）若 ，  不平行，则在 内不存在与  平行的直线 （D）若 m ， n不平行，则 m 与 n不可能垂直于同一平面 【答案】D 【解析】对于 A，若 ，  垂直于同一平面，则 ，  不一定平行，如果墙角的三个平面；故 A 错误； 对于 B，若 m ， n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行．相交或者异面；故 B 错误； 对于 C，若 ，  不平行，则在 内存在无数条与  平行的直线；故 C 错误； 对于 D，若 m ，n不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这 两条在平行；故选 D． 【点评】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系． （6）【2015 年安徽，理 6，5 分】若样本数据 1x ， 2x ， ， 10x 的标准差为8，则数据 12 1x  ， 22 1x  ， ， 102 1x  的标准差为（ ） （A）8 （B）15 （C）16 （D）32 【答案】C 【解析】设样本数据 1x ， 2x ， ， 10x 的标准差为 DX ，则 8DX  ，即方差 64DX  ，而数据 12 1x  ， 22 1x  ，  ， 102 1x  的方差   2 22 1 2 2 64D X DX    ，所以其标准差为 22 64 16  ，故选 C． 【点评】本题主要考查方差和标准差的计算，根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键 （7）【2015 年安徽，理 7，5 分】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ） （A）1 3 （B） 2 3 （C）1 2 2 （D） 2 2 【答案】B 【解析】由题意，该四面体的直观图如下， ABD ， ACD 时直角三角形， ABC ， ACD 是等 边三角形，则 1 2 2 12BCD ABDS S      ， 1 32 2 sin602 2ABC ACDS S       ， 所以四面体的表面积 32 1 2 2 32BCD ABD ABC ACDS S S S S             ，故选 B． 【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的 结构特征，是基础题目． （8）【2015 年安徽，理 8，5 分】 ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a  ，b  满足 2AB a  ， 2AC a b    ，则下列结论正确的是（ ） （A） 1b  （B） a b  （C） 1a b   （D）  4a b BC    【答案】D 【解析】依题意，  2 2BC AC AB a b a b            ，故 2b  ，故 A 错误， 2 2 2a a   ， 所以 1a  ，又   2 2 2 4 2 2 2cos60 2AB AC a a b a ab                ，所以 1a b    ， 故 B，C 错误；设 BC 中点为 D ，则 2AB AC AD    ，且 AD BC  ，所以  4a b BC    ，故选 D． 【点评】本题考查了向量的数量积公式的运用；注意：三角形的内角与向量的夹角的关系． （9）【2015 年安徽，理 9，5 分】函数    2 ax bf x x c   的图象如图所示，则下列结论成立 的是（ ） （A） 0a  ， 0b  ， 0c  （B） 0a  ， 0b  ， 0c  （C） 0a  ， 0b  ， 0c  （D） 0a  ， 0b  ， 0c  【答案】C 【解析】由    2 ax bf x x c   及图像可知，x c  ， 0c  ；当 0x  时，   20 0bf c   ，所以 0b  ；当 0y  ， 0ax b  ， 所以 0bx a    ，所以 0a  ．故 0a  ， 0b  ， 0c  ，故选 C． 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合定义域，零点以及  0f 的符号是解 决本题的关键． （10）【2015 年安徽，理 10，5 分】已知函数    sinf x x    （ A ， ， 均为正的常数）的最小正周期 为 ，当 2 3x  时，函数  f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） （A）      2 2 0f f f   （B）      0 2 2f f f   （C）      2 0 2f f f   （D）      2 0 2f f f   【答案】A 【解析】由题意，    sinf x x     0, 0, 0A     ， 2 2T       ，所以 2  ，则    sinf x x    ， 而当 2 3x  时， 2 32 2 ,3 2 k k Z       ，解得 2 ,6 k k Z    ，所以    sin 2 06f x x A       ， 则当 2 26 2x k     ，即 6x k   时，  f x 取得最大值．要比较      2 , 2 , 0f f f 的大小，只需判 断 2，-2，0 与最近的最高点处对称轴的距离大小，距离越大，值越小，易知 0，2 与 6  比较近，-2 与 5 6  比较近，所以当 0k  时， 6x  ，此时 0 0.526   ， 2 1.476   ，当 1k   时， 5 6x   ，此时 52 0.66        ，所以      2 2 0f f f   ，故选 A． 【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，用诱导公式将函数值转化到一个 单调区间是比较大小的关键，属于中档题． 第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．把答案填在答题卡的相应位置． （11）【2015 年安徽，理 11，5 分】 7 3 1x x     的展开式中 3x 的系数是 （用数字填写答案）． 【答案】35 【解析】由题意  73 21 4 1 7 7 1 r rr r r rT C x C xx         ，令 21 4 5r  ，得 4r  ，则 5x 的系数是 4 7 35C  ． 【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决 二项展开式的特定项问题的工具． （12）【2015 年安徽，理 12，5 分】在极坐标中，圆 8sin  上的点到直线  3 R   距离的最大值是 ． 【答案】6 【解析】由题意 2 sin   ，转化为直角坐标方程为 2 2 8x y y  ，即  22 4 16x y   ；直线  3 R   转化 为直角坐标方程为 3y x ，则圆上到直线的距离最大值是通过圆心的直线，设圆心到直线的距离为 d ， 圆心的半径为 r ，则圆到直线距离的最大值  22 0 4 4 2 4 6 1 3 D d r          ． 【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． （13）【2015 年安徽，理 13，5 分】执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出 的 n 为 ． 【答案】4 【解析】由题意，程序框图循环如下：① 1a  ，； 1n  ② 1 31 1 1 2a    ， 2n  ； ③ 1 71 3 512 a     ， 3n  ；④ 1 171 7 1215 a     ， 4n  ，此时， 17 1.414 0.003 0.00512    ，所以输出 4n  ． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的 a ，n的值是解题的关键，属于基础题． （14）【2015 年安徽，理 14，5 分】已知数列 na 是递增的等比数列， 2 4 9a a  ， 2 3 8a a  ，则数列 na 的前 n 项和等于 ． 【答案】 2 1n  【解析】由题意， 1 4 2 3 1 4 9 8 a a a a a a       ，解得 1 1a  ， 4 8a  或者 1 8a  ， 4 1a  ，而数列 na 是递增的等比数列，所 以 1 1a  ， 4 8a  ，即 3 4 1 8aq a   ，所以 2q  ，因而数列 na 的前 n项和  1 1 1 2 2 11 1 2 n n n n a q S q       ． 【点评】本题考查等比数列的性质，数列 na 的前 n 项和求法，基本知识的考查． （15）【2015 年安徽，理 15，5 分】设 3 0x ax b   ，其中 ,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一 个实根的是 __．① 3, 3a b    ；② 3, 2a b   ；③ 3, 2a b   ；④ 0, 2a b  ；⑤ 1, 2a b  ． 【答案】①③④⑤ 【解析】令   3f x x ax b   ，求导得   23f x x a   ，当 0a  时，   0f x  ，所以  f x 单调递增，且至少存 在一个数使   0f x  ，至少存在一个数使   0f x  ，所以   3f x x ax b   必有一个零点，即方程 3 0x ax b   仅有一根，故④⑤正确；当 0a  时，若 3a   ，则     23 3 3 1 1f x x x x      ，易知，  f x 在 , 1  ， 1, 上单调递增，在 1,1 上单调递减，所以    1 1 3 2f x f b b       极大 ，    1 1 3 2 0f x f b b      极小 ，解得 2b   或 2b  ，故①③正确．所以使得三次方程仅有一个实 根的是①③④⑤． 【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系；关键是数形结合、利用导数解之． 三、解答题：本大题共 6 题，共 75 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定 区域内． （16）【2015 年安徽，理 16，12 分】在 ABC 中， 4A  ， 6AB  ， 3 2AC  点 D 在 BC 边上， AD BD ，求 AD 的长． 解：设 ABC 的内角 , ,A B C 所对边的长分别是 , ,a b c ，由余弦定理得 2 2 2 2 cosa b c bc BAC    2 2 3(3 2) 6 2 3 2 6 cos 4       18 36 ( 36)    90 ，所以 3 10a  ． 又由正弦定理得 sin 3 10sin 103 10 b BACB a    ， 由题设知 0 4B   ，所以 2 1 3 10cos 1 sin 1 10 10B B     ， 在 ABD 中，由正弦定理得 sin 6sin 3 10sin( 2 ) 2sin cos cos AB B BAD B B B B     ． 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查． （17）【2015 年安徽，理 17，12 分】已知 2 件次品和 3 件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机 检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结果． （1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； （2）已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要 的检测费用（单位：元），求 X 的分布列和均值（数学期望）． 解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A， 1 1 2 3 2 5 3( ) 10 A AP A A   ． （2）  的可能取值为 200，300，400， 2 2 2 5 1( 200) 10 AP A     ； 3 1 1 2 3 2 3 2 3 5 3( 300) 10 A C C AP A     ； 1 3 6( 400) 1 ( 200) ( 300) 1 10 10 10P P P            ． 故  的分布列为  200 300 400 P 1 10 3 10 6 10 1 3 6200 300 400 35010 10 10E        ． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力． （18）【2015 年安徽，理 18，12 分】设 *n N ， nx 是曲线 2 3 1ny x   在点 (1 2)， 处的切线与 x 轴交点的横坐标． （1）求数列{ }nx 的通项公式； （2）记 2 2 2 1 2 2 1n nT x x x   ，证明 1 4nT n  ． 解：（1） 2 2 2 1( 1) (2 2)n ny x n x      ，曲线 2 2 1ny x   在点 (1 2)， 处的切线斜率为 2 2n  ， 从而切线方程为 2 (2 2)( 1)y n x    ，令 0y  ，解得切线与 x 轴交点的横坐标 11 1 1n nx n n     ． （2）由题设和（1）中的计算结果知 2 2 2 2 2 2 1 3 2 1 1 3 2 1... ( ) ( ) ...( )2 4 2n n nT x x x n   ， 当 1n  时， 1 1 4T  ；当 2n  时，因为 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 (2 1) (2 1) 1 2 2 1( )2 (2 ) (2 ) 2n n n n n nx n n n n n           ； 所以 21 1 2 1 1( ) ...2 2 3 4n nT n n       ，综上可得对任意的 *n N ，均有 1 4nT n  ． 【点评】本题主要考查切线方程的求法和放缩法的应用，属基础题型． （19）【2015 年安徽，理 19，13 分】如图所示，在多面体 1 1 1A B D DCBA，四边形 1 1AA B B ， 1 1,ADD A ABCD 均为正方形， E 为 1 1B D 的中点，过 1, ,A D E 的平面交 1CD 于 F ． （1）证明： 1 1/ /EF B C ； （2）求二面角 1 1E A D B  余弦值． 解：（1）由正方形的性质可知 1 1 / / / /A B AB DC ，且 1 1A B AB DC  ，所以四边形 1 1A B CD 为平行 四边形，从而 1 1/ /B C A D ，又 1A D  面 1A DE ， 1B C  面 1A DE ，于是 1 / /B C 面 1A DE ， 又 1B C  面 1 1B CD ，面 1A DE  面 1 1B CD EF ，所以 1/ /EF B C ． （2） 1 1, ,AA AB AA AD AB AD   ，且 1AA AB AD  ，以 A 为原点，分别以 1, ,AB AD AA    为 x 轴， y 轴和 z 轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标 (0,0,0)A ， (1,0,0)B ， (0,1,0)D ， 1 1 1(0,0,1), (1,0,1), (0,1,1)A B D ，而 E 点为 1 1B D 的中点，所以 E 点的坐标为  0.5,0.5,1 ． 设面 1A DE 的法向量 1 1 1 1( , , )n r s t ，而该面上向量  1 0.5,0.5,0A E  ，  1 0,1, 1A D   ，由 1 1n A E  ， 1 1n A D  得 1 1 1, ,r s t 应满足的方程组 1 1 1 1 0.5 0.5 0 0 r s s t      ， 1,1,1 为其一组解， 所以可取  1 1,1,1n   ，设面 1 1A B CD 的法向量 2 2 2 2( , , )n r s t ，而该面上向量  1 1 0.5,0.5,0A B  ，  1 0,1, 1A D   ，由此同理可得 2 (0,1,1)n  所以结合图形知二面角 1 1E A D B  的余弦值为 1 2 1 2 | | 2 6 | | | | 33 2 n n n n      ． 【点评】本题考查空间中线线平行的判定，求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题． （20）【2015 年安徽，理 20，13 分】设椭圆 E 的方程为   2 2 2 2 1 0x y a ba b     ，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为  0a， ，点 B 的坐标为  0 b， ，点 M 在线段 AB 上，满足 2BM MA ，直线 OM 的斜率为 5 10 ． （1）求 E 的离心率 e ； （2）设点C 的坐标为  0 b， ， N 为线段 AC 的中点，点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为 7 2 ，求 E 的 方程． 解：（1）由题设条件知，点 M 的坐标为 2 1( , )3 3a b ，又 5 10OMk  ，从而 5 2 10 b a  ，进而得 2 25 , 2a b c a b b    ，、 故 2 5 5 ce a   ． （2）由题设条件和（1）的计算结果可得，直线 AB 的方程为 1 5 x y bb   ，点 N 的坐标为 5 1( , )2 2b b ， 设点 N 关于直线 AB 的对称点 S 的坐标为 1 7( , )2x ，则线段 NS 的中点T 的坐标为 15 1 7( , )4 2 4 4 xb b   ， 又点T 在直线 AB 上，且 1NS ABk k   ，从而有 1 1 5 1 7 4 2 4 4 1, 5 7 1 2 2 5, 5 2 xb b bb b x b             解得 3b  ， 所以 3 5a  ，故椭圆 E 的方程为 2 2 145 9 x y  ． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之 间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题． （21）【2015 年安徽，理 21，13 分】设函数 2( )f x x ax b   ． （1）讨论函数 (sin )f x 在 2 2  (- , )内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； （2）记 2 0 0 0( )f x x a x b   ，求函数 0(sin ) (sin )f x f x 在 2 2  (- , )上的最大值 D ； （3）在（2）中，取 0 0 0a b  ，求 2 4 az b  满足 1D  时的最大值． 解：（1） 2(sin ) sin sin sin (sin )f x x a x b x x a b      ， 2 2x    ，[ (sin )] (2sin )cos , 2 2f x x a x x       ， 因为 2 2x    ，所以 cos 0x  ， 2 2sin 2x   ， ① 2,a b R   时，函数 (sin )f x 单调递增，无极值； ② 2,a b R  时，函数 (sin )f x 单调递减，无极值； ③对于 2 2a   ，在 ( , )2 2   内存在唯一的 0x ，使得 02sin x a ， 02 x x   时，函数 (sin )f x 单调递减； 0 2x x   时，函数 (sin )f x 单调递增． 因此 2 2a   ，b R 时，函数 (sin )f x 在 0x 处有极小值 2 0(sin ) ( )2 4 a af x f b   ． （2） 2 2x    时， 0 0 0 0 0| (sin ) (sin ) | | ( )sin | | | | |f x f x a a x b b a a b b         ， 当 0 0( )( ) 0a a b b   时，取 2x  ，等号成立，当 0 0( )( ) 0a a b b   时，取 2x   ，等号成立． 由此可知， 0| (sin ) (sin ) |f x f x 在[ , ]2 2   上的最大值为 0 0| | | |D a a b b    ． （3） 1D  即为| | | | 1a b  ，此时 20 1, 1 1a b     ，从而 2 14 az b   ． 取 0, 1a b  ，则| | | | 1a b  ，并且 2 14 az b   ，由此可知， 2 4 az b  满足条件 1D  的最大值为 1． 【点评】本题考查函数的性质和运用，主要考查二次函数的单调性和极值、最值，考查分类讨论的思想方法和数 形结合的思想，属于难题．