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  • 2021-05-13 发布

上海市春季高考数学试卷答案与解析

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‎2009年上海市春季高考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.填空题(本大题满分34分)本大题共有11题,‎ ‎1.(3分)(2009•上海)函数y=log2(x﹣1)的定义域是 (1,+∞) .‎ ‎【考点】对数函数的定义域.菁优网版权所有 ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】由函数的解析式知,令真数x﹣1>0即可解出函数的定义域.‎ ‎【解答】解:∵y=log2(x﹣1),∴x﹣1>0,x>1‎ 函数y=log2(x﹣1)的定义域是(1,+∞)‎ 故答案为(1,+∞)‎ ‎【点评】本题考查求对数函数的定义域,熟练掌握对数函数的定义及性质是正确解答本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)(2009•上海)计算:(1﹣i)2= ﹣2i (i为虚数单位).‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算.菁优网版权所有 ‎【分析】按照完全平方公式把要求的式子展开、化简.‎ ‎【解答】解:(1﹣i)2 =1﹣2i+i2 =﹣2i,‎ 故答案为﹣2i.‎ ‎【点评】复数代数形式的乘方,按照多项式的乘方法则进行,再根据i2  =﹣1 化简出最终结果.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)(2009•上海)函数的最小正周期T= 4π .‎ ‎【考点】三角函数的周期性及其求法.菁优网版权所有 ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】直接利用余弦函数的周期的求法,求出函数的周期即可.‎ ‎【解答】解:因为函数,所以函数的最小正周期为:T==4π.‎ 故答案为:4π.‎ ‎【点评】本题是基础题,考查三角函数的周期的求法,送分题.‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)(2009•上海)若集合A={x||x|>1},集合B={x|0<x<2},则A∩B= {x|1<x<2} .‎ ‎【考点】交集及其运算.菁优网版权所有 ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】求解绝对值得不等式化简集合A,然后直接利用交集运算求解.‎ ‎【解答】解:∵A={x||x|>1}={x|x<﹣1或x>1},B={x|0<x<2},‎ ‎∴A∩B={x|x<﹣1或x>1}∩{x|0<x<2}={x|1<x<2}.‎ 故答案为{x|1<x<2}.‎ ‎【点评】本题考查了绝对值不等式的解法,考查了交集及其运算,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)(2009•上海)抛物线y2=x的准线方程为 x=﹣ .‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.菁优网版权所有 ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】抛物线y2=x的焦点在x轴上,且开口向右,2p=1,由此可得抛物线y2=x的准线方程.‎ ‎【解答】解:抛物线y2=x的焦点在x轴上,且开口向右,2p=1‎ ‎∴‎ ‎∴抛物线y2=x的准线方程为x=﹣‎ 故答案为:x=﹣‎ ‎【点评】本题考查抛物线的标准方程,考查抛物线的几何性质,定型与定位是关键.‎ ‎ ‎ ‎6.(4分)(2009•上海)已知.若,则与夹角的大小为   .‎ ‎【考点】数量积表示两个向量的夹角;平面向量数量积的运算.菁优网版权所有 ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】欲求与夹角的大小,根据公式,代入数据计算得到夹角的余弦值,即可得到两个向量的夹角.‎ ‎【解答】解:因为,所以=,‎ 所以与夹角的大小为.‎ 故答案为.‎ ‎【点评】本题考查数量积计算公式,应熟练掌握.‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)(2009•上海)过点A(4,﹣1)和双曲线﹣=1右焦点的直线方程为 x﹣y﹣5=0 .‎ ‎【考点】直线的一般式方程;双曲线的简单性质.菁优网版权所有 ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】由双曲线的方程找出a和b的值,根据c2=a2+b2求出双曲线的右焦点的坐标,然后根据右焦点坐标和点A的坐标写出直线的方程即可.‎ ‎【解答】解:由于a2=9,b2=16,∴c2=25,故右焦点为(5,0).‎ 所求直线方程为y=(x﹣5),即x﹣y﹣5=0.‎ 故答案为:x﹣y﹣5=0‎ ‎【点评】此题考查学生会利用双曲线的简单性质求焦点的坐标,会根据两点坐标求直线的一般式方程,是一道综合题.‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)(2009•上海)在△ABC中,若AB=3,∠ABC=75°,∠ACB=60°,则BC等于  .‎ ‎【考点】正弦定理的应用.菁优网版权所有 ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】根据三角形内角和求得∠BAC,进而根据正弦定理求得BC.‎ ‎【解答】解:根据三角形内角和定理知 ‎∠BAC=180°﹣75°﹣60°=45°.‎ 根据正弦定理得=,‎ 即=,∴BC===.‎ 故答案为:‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理的应用.考查了学生对基础知识的运用.‎ ‎ ‎ ‎9.(3分)(2009•上海)已知对于任意实数x,函数f(x)满足f(﹣x)=f(x).若方程f(x)=0有2009个实数解,则这2009个实数解之和为 0 .‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质.菁优网版权所有 ‎【专题】函数的性质及应用.‎ ‎【分析】不妨设方程f(x)=0的实数解为x1,x2,…,x2009,且x1<x2<…<x2009,由f(﹣x)=f(x),可知实数解关于原点对称,由此可求得答案.‎ ‎【解答】解:设方程f(x)=0的实数解为x1,x2,…,x2009,‎ 不妨设x1<x2<…<x2009,‎ 又f(﹣x)=f(x),‎ ‎∴如存在x0使f(x0)=0,则f(﹣x0)=0,‎ ‎∴x1+x2009=0,x2+x2008=0,…,x1004+x1006=0,x1005=0,‎ ‎∴x1+x2+…+x2009=0.‎ 故答案为:0.‎ ‎【点评】本题考查偶函数的性质、方程的解,考查学生的观察能力,属基础题.‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)(2009•上海)一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘.若每敲1次在屏幕上出现一个字母,它连续敲击10次,屏幕上的10个字母依次排成一行,则出现单词“monkey”的概率为  (结果用数值表示).‎ ‎【考点】等可能事件的概率.菁优网版权所有 ‎【专题】压轴题;创新题型.‎ ‎【分析】由题意知本题是一个古典概型,由分步计数原理试验发生所包含的总事件数266,满足条件的事件是10个字母的前6个个组成单词“monkey”,第二到第七个组成,第三到第八个组成,第四到第九个组成,第五到第十个,共有5种结果.‎ ‎【解答】解:由题意知本题是一个古典概型,‎ ‎∵由分步计数原理试验发生所包含的总事件数2610,‎ 满足条件的事件中“monkey”出现的可能方式有:10个字母的前6个组成单词“monkey”,第二到第七个组成,第三到第八个组成,第四到第九个组成,第五到第十个,共有5种结果.其它四个字母没有限制,共有264种,‎ ‎∴由古典概型公式得到P==,‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题是一个古典概型,培养学生运用数学思想,提高发现问题、分析问题、解决问题的能力,增强学生数学思维情趣,形成学习数学知识的积极态度.‎ ‎ ‎ ‎11.(3分)(2009•上海)以下是面点师一个工作环节的数学模型:如图,在数轴上截取与闭区间[0,1]对应的线段,对折后(坐标1所对应的点与原点重合)再均匀地拉成1个单位长度的线段,这一过程称为一次操作(例如在第一次操作完成后,原来的坐标变成,原来的坐标变成1,等等).那么原闭区间[0,1]上(除两个端点外)的点,在第二次操作完成后,恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标是 和  ;原闭区间[0,1]上(除两个端点外)的点,在第n次操作完成后(n≥1),恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为 ,,…, .‎ ‎【考点】归纳推理.菁优网版权所有 ‎【专题】综合题;压轴题.‎ ‎【分析】根据题意,可知下一次的操作把上一次的对应点正好扩大了2倍.因为第一次操作后,原线段AB上的,均变成,则第二次操作后,恰好被拉到与1重合的点所对应的数是和,则它们的和可求.根据题意,将恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标列出数据,找出规律,列出通式即可.‎ ‎【解答】解:∵第一次操作后,原线段AB上的,,均变成,‎ ‎∴对应点扩大了2倍,‎ 则第二次操作后,恰好被拉到与1重合的点所对应的数是和,‎ 根据题意,得 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎1‎ 由上图表格,可以推出第n次操作后,恰好被拉到与1重合的点所对应的数的通式为为,.‎ 所以恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为,,…,.‎ 故答案为:和 ;,,…,.‎ ‎【点评】此题的难点是理解题意,能够发现对应点之间的变化规律:下一次的操作把上一次的对应点正好扩大了2倍.解答本题的难点是根据数据列出通式,方便比较数据之间的联系,通过列表格的形式,可以直观一些.‎ ‎ ‎ 二.选择题(本大题满分12分)‎ ‎12.(3分)(2009•上海)在空间中,“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;两条直线垂直的判定.菁优网版权所有 ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】先判断p⇒q与q⇒p的真假,再根据充要条件的定义给出结论;也可判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p与命题q的关系.‎ ‎【解答】解:在空间中,两条直线没有公共点,这两条直线可能是异面直线,‎ 即由“两条直线没有公共点”不能推知“这两条直线平行”;‎ 反过来,由“两条直线平行”可知“这两条直线没有公共点”.‎ 因此,在空间中,“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的必要不充分条件,‎ 故选B.‎ ‎【点评】判断充要条件的方法是:①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件;②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件;③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的充要条件;④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p与命题q的关系.‎ ‎ ‎ ‎13.(3分)(2009•上海)过点P(0,1)与圆x2+y2﹣2x﹣3=0相交的所有直线中,被圆截得的弦最长时的直线方程是(  )‎ A.x=0 B.y=1 C.x+y﹣1=0 D.x﹣y+1=0‎ ‎【考点】直线的一般式方程.菁优网版权所有 ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】圆的直径所在直线符合题意,求出辞职显得斜率,用点斜式求直线的方程.‎ ‎【解答】解:易知圆的直径所在直线符合题意,由圆心为O(1,0)且过点P(0,1),故直线的斜率,‎ 则根据点斜式方程为 y﹣1=﹣1(x﹣0),即 x+y﹣1=0,‎ 故选 C.‎ ‎【点评】本题考查用点斜式求求直线方程,判断圆的直径所在直线符合题意是解题的突破口.‎ ‎ ‎ ‎14.(3分)(2009•上海)已知函数若f(x0)>3,则x0的取值范围是(  )‎ A.x0>8 B.x0<0或x0>8 C.0<x0<8 D.x0<0或0<x0<8‎ ‎【考点】对数函数的单调性与特殊点;指数函数的单调性与特殊点.菁优网版权所有 ‎【专题】计算题;压轴题;分类讨论.‎ ‎【分析】通过对函数f(x)在不同范围内的解析式,得关于x0的不等式,从而可解得x0的取值范围.‎ ‎【解答】解:①当x≤0时,f(x0)=>3,‎ ‎∴x0+1>1,‎ ‎∴x0>0 这与x≤0相矛盾,‎ ‎∴x∈∅.‎ ‎②当x>0时,f(x0)=log2x0>3,‎ ‎∴x0>8‎ 综上:x0>8‎ 故选A.‎ ‎【点评】本题主要考查对数函数的单调性,及分段函数,在解不等式时注意分类讨论,是个基础题.‎ ‎ ‎ ‎15.(3分)(2009•上海)函数的反函数图象是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】反函数;函数的图象.菁优网版权所有 ‎【专题】常规题型;压轴题.‎ ‎【分析】先画出条件中函数式的图象,再将其图象作关于直线y=x对称的图象即得.‎ ‎【解答】解:作出函数的图象,如图,‎ ‎∵互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称,‎ ‎∴函数的反函数图象是:C.‎ 故选C.‎ ‎【点评】本小题主要考查反函数、反函数的应用、函数的图象等基础知识,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.‎ ‎ ‎ 三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,‎ ‎16.(12分)(2009•上海)如图所示,在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠A1AC=∠ACB=,∠AA1C=,侧棱BB1‎ 与底面所成的角为,AA1=4,BC=4.求斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V.‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.菁优网版权所有 ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】如图,在Rt△AA1C中求出AC,作B1H⊥平面ABC,垂足为H,则∠B1BH=,求出B1H就是棱柱的高,然后求出斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积.‎ ‎【解答】解:在Rt△AA1C中,AC=AA1•tan∠AA1C=4×=4.‎ 作B1H⊥平面ABC,垂足为H,则∠B1BH=,‎ 在Rt△B1BH中,B1H=BB1•sin∠B1BH=AA1•sin=4×=6.‎ ‎∴V=S△ABC•B1H=×4×4×6=48.‎ ‎【点评】本题是基础题,考查斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积的求法,求出底面面积,它的高是本题的难点,注意正确分析,仔细体会.‎ ‎ ‎ ‎17.(14分)(2009•上海)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且3an+1+2Sn=3(n为正整数).‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)记S=a1+a2+…+an+…若对任意正整数n,kS≤Sn恒成立,求实数k的最大值.‎ ‎【考点】数列递推式;数列与不等式的综合.菁优网版权所有 ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】(1)3an+1+2sn=3,3an+2sn﹣1=3,两式相减,得3an+1﹣3an+2(Sn﹣Sn﹣1)=0,由此能求出数列{an}的通项公式.‎ ‎(2)S==,由此能求出k的最大值.‎ ‎【解答】解:(1)由题设条件得 ‎3an+1+2sn=3,3an+2sn﹣1=3‎ 两式相减,得3an+1﹣3an+2(Sn﹣Sn﹣1)=0,‎ 即,n>1 又,‎ 所以通项为:.‎ ‎(2)S==,‎ 要kS≤Sn恒成立,由于Sn递增 所以只要kS=S1,即k的最大值为.‎ ‎【点评】本题考查数列的递推式和数列性质的综合应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意不等式和数列的综合应用.‎ ‎ ‎ ‎18.(14分)(2009•上海)我国计划发射火星探测器,该探测器的运行轨道是以火星(其半径R=34百公里)的中心F为一个焦点的椭圆.如图,已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A到火星表面的距离为8百公里,远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B到火星表面的距离为800百公里.假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为百公里时进行变轨,其中a、b分别为椭圆的长半轴、短半轴的长,求此时探测器与火星表面的距离(精确到1百公里).‎ ‎【考点】椭圆的应用.菁优网版权所有 ‎【专题】应用题.‎ ‎【分析】利用待定系数法,先求出轨道方程,再利用探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为百公里时进行变轨,可求探测器位置的坐标,从而可求探测器在变轨时与火星表面的距离.‎ ‎【解答】解:设所求轨道方程为,.‎ ‎∵a+c=800+34,a﹣c=8+34,‎ ‎∴a=438,c=396.…(4分)‎ 于是 b2=a2﹣c2=35028.‎ ‎∴所求轨道方程为 .…(8分)‎ 设变轨时,探测器位于P(x0,y0),则x02+y02=ab=81975.1,‎ 又,‎ 解得 x0=239.7,y0=156.7.…(11分)‎ ‎∴探测器在变轨时与火星表面的距离为.…(14分)‎ 答:探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里.…(16分)‎ ‎【点评】本题以实际问题为载体,考查椭圆方程的运用,解题的关键是求出椭圆方程,利用探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为百公里时进行变轨,求出探测器位置的坐标 ‎ ‎ ‎19.(16分)(2009•上海)如图,在直角坐标系xOy中,有一组对角线长为an的正方形AnBnCnDn(n=1,2,…),其对角线BnDn依次放置在x轴上(相邻顶点重合).设{an}是首项为a,公差为d(d>0)的等差数列,点B1的坐标为(d,0).‎ ‎(1)当a=8,d=4时,证明:顶点A1、A2、A3不在同一条直线上;‎ ‎(2)在(1)的条件下,证明:所有顶点An均落在抛物线y2=2x上;‎ ‎(3)为使所有顶点An均落在抛物线y2=2px(p>0)上,求a与d之间所应满足的关系式.‎ ‎【考点】曲线与方程;三点共线;轨迹方程.菁优网版权所有 ‎【专题】压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ ‎【分析】(1)求出A1A2、A1A3的斜率,利用斜率不相等,即可得到结论;‎ ‎(2)确定顶点An的横坐标、纵坐标,即可证得结论;‎ ‎(3)顶点An的横、纵坐标,消去n﹣1,利用所有顶点An均落在抛物线y2=2px(p>0)上,即可求a与d之间所应满足的关系式.‎ ‎【解答】(1)证明:由题意可知,A1(8,4),A2(18,6),A3(32,8),‎ ‎∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴顶点A1、A2、A3不在同一条直线上;‎ ‎(2)证明:由题意可知,顶点An的横坐标=2(n+1)2,‎ 顶点An的纵坐标.‎ ‎∵对任意正整数n,点An(xn,yn)的坐标满足方程y2=2x,‎ ‎∴所有顶点An均落在抛物线y2=2x上.‎ ‎(3)解:由题意可知,顶点An的横、纵坐标分别是+(n﹣1)a,‎ 消去n﹣1,可得 为使得所有顶点An均落在抛物线y2=2px(p>0)上,则有 解之,得d=4p,a=8p.‎ ‎∴a,d所应满足的关系式是:a=2d.‎ ‎【点评】本题考查曲线与方程,考查学生分析解决问题的能力,考查学生的计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎20.(18分)(2009•上海)设函数fn(θ)=sinnθ+(﹣1)ncosnθ,0,其中n为正整数.‎ ‎(1)判断函数f1(θ)、f3(θ)的单调性,并就f1(θ)的情形证明你的结论;‎ ‎(2)证明:2f6(θ)﹣f4(θ)=(cos4θ﹣sin4θ)(cos2θ﹣sin2θ);‎ ‎(3)对于任意给定的正奇数n,求函数fn(θ)的最大值和最小值.‎ ‎【考点】三角函数的最值;函数单调性的判断与证明;同角三角函数基本关系的运用.菁优网版权所有 ‎【专题】证明题;综合题;压轴题.‎ ‎【分析】(1)设 θ1<θ2,θ1、θ2∈[0,],根据三角函数的特点判断f1(θ1)﹣f1(θ2)=(sinθ1﹣sinθ2)+(cosθ2﹣cosθ1)<0,从而得出结论;‎ ‎(2)首先利用余弦的二倍角公式化简原式的左边等于cos22θ,同理原式右边也等于cos22θ,从而证明结论.‎ ‎(3)当n=1时,f1(θ)在[0,]上单调递增,求出最值;当n=3时,f3(θ)在[0,]上为单调递增,求出最值;正奇数n≥5的情形,首先根据定义判断出函数的单调递增,从而得出fn(θ)的最大值为fn()=0,最小值为fn(0)=﹣1.‎ ‎【解答】解:(1)f1(θ)、f3(θ)在0,上均为单调递增的函数.‎ 对于函数f1(θ)=sinθ﹣cosθ,设 θ1<θ2,θ1、θ2∈[0,],则 f1(θ1)﹣f1(θ2)=(sinθ1﹣sinθ2)+(cosθ2﹣cosθ1),‎ ‎∵sinθ1<sinθ2,cosθ2<cosθ1∴f1(θ1)<f1(θ2)函数f1(θ)在[0,]上单调递增.‎ ‎(2)∵原式左边=2(sin6θ+cos6θ)﹣(sin4θ+cos4θ)‎ ‎=2(sin2θ+cos2θ)(sin4θ﹣sin2θcos2θ+cos4θ)﹣(sin4θ+cos4θ)‎ ‎=1﹣sin22θ=cos22θ.‎ 又∵原式右边=(cos2θ﹣sin2θ)2=cos22θ ‎∴2f6(θ)﹣f4(θ)=(cos4θ﹣sin4θ)(cos2θ﹣sin2θ).‎ ‎(3)当n=1时,函数f1(θ)在[0,]上单调递增,‎ ‎∴f1(θ)的最大值为f1()=0,最小值为f1(0)=﹣1.‎ 当n=3时,函数f3(θ)在[0,]上为单调递增.‎ ‎∴f3(θ)的最大值为f3()=0,最小值为f3(0)=﹣1.‎ 下面讨论正奇数n≥5的情形:对任意θ1、θ2∈[0,],且θ1<θ2∵fn(θ1)﹣fn(θ2)=(sinnθ1﹣sinnθ2)+(cosnθ2﹣cosnθ1),‎ 以及 0≤sinθ1<sinθ2<1 0≤cosθ2<cosθ1<1,‎ ‎∴sinnθ1<sinnθ2 cosnθ2<cosnθ1,从而fn(θ1)<fn(θ2).‎ ‎∴fn(θ)在[0,]上为单调递增,‎ 则fn(θ)的最大值为fn()=0,最小值为fn(0)=﹣1.‎ 综上所述,当n为奇数时,函数fn(θ)的最大值为0,最小值为﹣1.‎ ‎【点评】本题考查了三角函数的最值,函数单调性的判定以及同角三角函数的基本关系,一般根据定义判断函数的单调性,此题有一定难度.‎ ‎ ‎